(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал М

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. Келдыш, Ф. Франкль, Внешняя задача Ней- мана для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла в сжимаемом га- зе, Известия Академии наук СССР. VII серия.

Отделение математических и естественных наук, 1934, выпуск 4, 561–601

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 02:07:15

И З В Е С Т И Я А К А Д Е М И И . Н А У К СССР. 1 9 3 4

В и Ь Ь В Т Ш DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE L'URSS

Classe des sciences Отделение математических mathématiques et naturelles и естественных наук

В Н Е Ш Н Я Я ЗАДАЧА НЕЙМАНА Д Л Я Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х ЭЛЛИПТИ­

ЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ТЕОРИИ К Р Ы Л А В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ

М. КЕЛДЫША и Ф. ФРАНКЛЯ

(Представлено академиком С. А. Чаплыгиным)

1 . Постановка задачи

При скоростях, приближающихся к скорости звука, начинает значи­

тельно сказываться влияние сжимаемости воздуха на подъемную силу крыла.

Цри рассмотрении потоков сжимаемого газа надо существенно различать два случая, сличай, когда скорости потока остаются всюду меньше ско­

рости звука и случай, когда встречаются сверхзвуковые скорости. Настоя­

щ а я работа посвещена рассмотрению первого случая. Эта задача была впервые .решена приближенным способом Прандтлем и Гдауэртом.г) Они пришли к тому результату, что коэффициент подъемной <рлы пропорцио­

нален выражению

1

где р = = — р а в н а отношению скорости потока к скорости звука вдали от акрыла. Эта Формула пригодна для тонких крыльев при малых углах атаки ж дает хорошее согласие с опытом, однако вывод ее отличается недоста­

точной математической строгостью, и поэтому границы ее применимости неизвестны. В своей, еще не опубликованной работе, П . А. Вальтер2) ставит себе задачу наши более точное приближение. Однако и здесь оценка ошибки отсутствует.

Ограничиваясь рассмотрением плоско-параллельного потока, мы даем строгую теорию явления, для достаточно малых значений числа ß. В каче-

1) Handbuch der Experimentalphysik, Bd. IV, T. 1, S. 410, — E . & M., 1135.

2) Работа была доложена на 1-й Всесоюзной Конференции по механике, в мае 1932 г, {Примеч. ред.; ко ©ремени печатания этой статьи — опубликована в № 1 ИМЕН, 1934, стр. 75)-

562 M. КЕЛДЫШ И Ф. ФРАНКЛЬ

стве приложения полученных результатов, дается строгий вывод Формулы Жуковского для подъемной силы в случае сжимаемого газа.

Эта теорема была выведена Глауэртом¹) и акад. С. А. Чаплыгиным²), предполагая, что составляющие скоростей потока в окрестности бесконечно удаленной точки разлагаются в ряд Лорана по расстоянию от начала коор­

динат. Однако, возможность такого разложения до сих пор не установлена.

Уравнение для потенциала скоростей сжимаемого газа имеет вид:

7с—1 ѵ*

/ л - і а *²

д² Ф 4иѵ д² Ф

дх

²

(к

^{1 ) а *2}

дх

^ду

1 a *² ì - b l a ^ j df ~

дФ дФ

где Ф — потенциал скорости и и= ? ѵ — -^~ составляющие скорости по осям X и "у, а*—критическая скорость звука, h = — — отношение

теплоемкостей (h = 1.4 для двухатомных газов).

Задача нахождения потока, обтекающего крыло, сводится к решению этого уравнения, при следующих условиях:

дФ 1) На контуре крыла — = О

2) \imu~w; \ітѵ = О

3) и и V всюду конечны.

Написанное уравнение при скоростях, меньших скорости звука, имеет эллиптический тип.

Мы разберем несколько более общую задачу. Именно: задачу Ней­

мана для уравнения вида

Au = iiF(x, у, и, р, г, 5, t)

правая часть которого F, удовлетворяет некоторым дополнительным усло­

виям, которые мы сформулируем ниже, а (л—параметр. Для решения этой задачи нам потребуются некоторые вспомогательные предложения из теории потенциала, которые мы докажем в первых параграфах.

Надо подчеркнуть, что доказательство сходимости решения проведено*

лишь для достаточно малых значений числа р., причем остается неизвестном до каких пределов для [л можно продолжить это решение.

1) К & Ж., 1135.

2) Доказательство С. А. Чаплыгина не было опубликовано.

В Н Е Ш Н Я Я З А Д А Ч А НЕЙМАНА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 563

Укажем здесь на работу Taylor'а, в которой примененный здесь метод, последовательных приближений был проведен для уравнения сжимаемого г а з а при помощи электрического аппарата.¹) Н а основании полуденных результатов можно предполагать, что последовательные приближения схо­

дятся, если скорость нигде не превышает скорости звука. С другой стороны, -одна экспериментальная работа Busemann'a показывает^ что при слишком больших скоростях, но еще не превышающих в бесконечности скорости звука, не может существовать непрерывного,потенциального потока. Ско­

рость около тела переходит в сверхзвуковую, а затем позади тела скачко­

образно возвращается в дозвуковую область.²) Наконец в одной приближен­

ной математической работе, основанной на вариационных методах Gr. B r a u n³) приходит к тому предположению, что существуют еще такие режимы, когда в некоторых точках около тела встречаются сверхзвуковые скорости, но » т ѳ с сохраняет непрерывный и потенциальный характер. Есть основа­

ние предполагать, что при этом процесс последовательных приближений сходится.

Для решения этого вопроса надо исследовать аналитическое продол­

жение -нашего решения для растущих fju

В нашей работе мы развиваем методы, примененные L . Lichtenstein'oM для решения внутренней задачи Dirichlet для нелинейных эллиптических уравнений.⁴)

2 . Функции Грина

Нам нужно прежде всего уточнить некоторые, требующиеся нам, свойства Функции Грина.

Пусть (О) замкнутая аналитическая кривая, не имеющая особых точек, окружающая начало координат, и (D) внешняя часть плоскости, ограничен­

ная этой кривой.

М ы выберем Функцию Грина, определяемую следующими условиями : пусть у) и Р ( Н , 7)) две точки области (I)), тогда

G{co,y\ ri)^\g~+g(x, у; I, Y)), . . . - . ( 2 , 1 ) P

где _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _

r=\J{x—\f

+ {y—v^ì)\ p = V P - M^A, IJ Yerh. des III. Intern. Kongresses für techn. Mechanik, 1. Teil, 1932, S. 263.

2) Vern. des HL Intern. Kongresses für techn. Mechanik, 1. Teil, 1932, S. 282.

») Ann, der Phys., 1932, Bd. 15, H. 6.

4) Vorlesungen über einige Klassen iiichtlinearer Integralgleichungen und Integro-Difte- rentialgkichungen.

564 M. КЕЛДЫШ И Ф.ФРАНКЛЬ

а E, У}) регулпрйая в области (В) гармоническая Функция от пере­

менных V), обращающаяся в нуль при р = о о и на контуре (С) удовле­

творяющая условию

dg din г1)

т о г д а

dG ä In p

.(2, 2}

Заметим, что последнее выражение не зависит от точки Р (я, у). Нам; по­

требуются следующие свойства Функции Грина.

а) Превдо-симметрия функции Грина Применим Формулу Грина к Функциям

вфх,Ѵ)^вфѵ Р ' ) - ь 1 п р ( ? ( Р2, Р 0 = ( ? ( Р2 5Р,) н ^ к р

по области, ограниченной кривой (С1), кругом Г с центром в начале и радиу­

сом В й кругаіиг у^х и 7з с центрами в точках Р^г и Р². Удаляя Г в беско­

нечность и стягивая у^г и у2 к радиусу нуль, получаем

^ ( P⁵P 0 - i - l g p - = ö ( F⁵P ) ^ l g J 5 ! . . . , . ( 2 , 3 )

В = \Іх*-*-уК

b) Интерпретация функции Грина

Из (2, 3) следует, что при Фиксированном P ' , G (P, Р') есть гармо­

ническая Функция точки Р , причем

d g ( p , p - ) = rf6(p; р) |- д,ід.д = 0 ( 2 4>

du . на границе области. Значит Ф у н к ц и я Грина, рассматриваемая как функция

точки Р (я, у), есть потенциал скоростей потока несяшмаемой жидкости^

с источником в точке Р(£, г\) мощности 2щ и обтекающей контур (С).

с) Поведение функции Грина в бесконечности

По определению # ( Р , Р^г) есть рвгулярная в бесконечности Функция Р^;* при Фиксированном Р . Из (2, 3) следует симметрия этой Функции

. .9( Р , Р ' ) = 4 ( Р ' , Р ) .

1) Производную по нормали Функции vj мы обозначаем ~ 5 а Функции ж, 2/,

В Н Е Ш Н Я Я ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 565

Следовательно, при Ф и к с и р о в а н н о м Р , # ( Р , Р') есть регулярная Ф у н к ц и я Р*

g.ÇPy

Р') есть действительная часть Функции двух комплексных переменных Р, Р ' регулярной в бесконечности по обеим переменным, Это приводит к следующим неравенствам :

дх2

дх ду

&

дхду

<

&9 ду2

• ( 2 , 6 )

d) Поведение функций Грина вблизи границы области

Докажем теперь, что

6 ? ( p , p ' ) = i g ï ( P , F ) ( 2 , 7 ) - где

: Р Р ' , Г * = = Р * Р ' ,

Р* инверсия точки Р относительно аналитичегкой кривой (С), а у ( Р , Р;) регулярная Функция точек Р , Р ^ если точка Р находится в некоторой до­

статочно малой окрестности кривой¹) (С), a F не выходит из области (D).

Для того,⁰ чтобы это усмотреть, заметим, что определенная нами Функ­

ция Грина, для случая внешности круга имеет вид:

< ? ( р , р ' ) = ^ у

где р = O F , г — Р Р , г* — P * P , а Р * инверсия Р относительно круга.

Отобразим конформно внешность круга на область (ТУ) так, чтобы бесконечно удаленные точки соответствовали друг другу. Тогда G перей­

дет в G\ причем

G1 (P, F ) = G ( P , F ) - н W (Pr)

где "^(P') регулярная гармоническая Ф у н к ц и я в области (D), обращающаяся в бесконечности в нуль. В самом деле,

в ^ Р О — £ ( Р , Р ) ,

i) Под окрестностью контура (С) мы будем подразумевать область, заключенную между кривой (С) й какой-нибудь охватывающей ее кривой (С1). Окрестность' кривой (С) мала, если наибольшее из расстояние от точек линии (С) до линии (С) мало.

м: К Е Л Д Ы Ш И Ф . Ф Р А Н К Л Ь

рассматриваемая' как Функция Р ' , имеет на контуре нормальную производ­

ную, значения которой не зависят от положения Р , кроме того эта разность регулярна во всей области В и обращается в нуль при Р ' = о с .

С другой стороны

lg fr*.

_ г г*

lg г y * ⁼ l g _ .

Первое слагаемое есть регулярная Функция Р и Р', если Р находится в достаточно малой окрестности контура (О).

е) Неоднозначная функция Грина

Пусть теперь область (В) ограничена аналитической кривой с одной угловой точкой А. Нам придется пользоваться неоднозначной Функцией

Грина, которая определяется следующим образом: Функция Грина Г fay; Ç, Y)), рас­

сматриваемая как Функция переменных х, у , есть потенциал скоростей течения нес­

жимаемой жидкости, имеющей источник в точке у], с мощностью равной 2-гг, обте­

кающей контур (О) со сходом струй в угло­

вой точке А, и имеющей в бесконечности скорость равную нулю.

Кроме того, мы потребуем, чтобы Г (ж, у, Ç, была бы гармонической Функ-' цией точки Ç, 73, обращающейся в нуль в бесконечности. Эта Функция Г(а?, у; у)) будет, вообще говоря, неоднозначной, ввиду того, что поток будет иметь некоторую циркуляцию.

В случае, когда кривая (G) есть круг с радиусом единица, мы построим такой поток со сходом струй в заданной точке А. Пусть Р точка с коорди­

натами X, у , Р* ее инверсия. Помещая источник в точке Р'(£, ч) и, поль­

зуясь обозначениями ФИГ. 1 , имеем:

Фиг. 1,

0 р2 • ^ a r c t g f . . . . . . ( 2 , 9 ) Совершим теперь конформное отображение внешности круга на область (В) так, чтобы бесконечно удаленные точки соответствовали друг другу, а угловая точка А соответствовала бы точке Д . При этом преобразовании функция Г Сё, у; £, yj") перейдет в неоднозначную .Функцию Грина.

ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 5 6 7

Укажем, что всякая другая неоднозначная Функция Грина, удовлетво­

р я ю щ а я поставленным выше условиям, может отличаться от найденной только на гармоническую Функцию переменных т], регулярную во всей области (D) и обращающуюся в нуль в бесконечности.

Если мы рассечем область (D) купюрой, идущей от какой-нибудь точки контура (С) в бесконечность, то в полученной области Г (а?, у ; 1*, т)) распа­

дается на однозначные ветви, и одну из них мы выберем за главное значение.

3 . Вспомогательные предложения из теории потенциала Рассмотрим в области {D) уравнение Пуассона

A® = h(x,y) ( 3 , 1) правая часть которого удовлетворяет следующим условиям

\1і{х,у)\<КЖ~*

В^Вг = В, d<B и при

\Цх„у1—Цг„Уд\<ХЯ"(ъ

( 3 , 2 )

где

B=\Jx2-^y\ d = \/(x1 — x5f^(y1 — y2f 0 < A < 1 , 0 < V < 1 ,

а К — постоянная величина.

Мы будем сначала предполагать, что аналитическая кривая не имеет

•особых точек.

Теорема L В с я к о е р е ш е н и е у р а в н е н и я ( 3 , 1), у д о в л е т в о р я ю ­ щ е е на к о н т у р е о б л а с т и у с л о в и ю :

д<$>

дп ~ ^О (3, 3)

ш в н у т р и о б л а с т и ÇD) н е р а в е н с т в а м

\дх.\ \ду

( 3 , 4 )

дается Формулой

9 (ж,

у)

= ^ J J G ^ ,

у; Ъ

^Г,)

Hl,

^VI)

dldr,

-t- const . . ( 3 , 5)

568 M. КЕЛДЫШ И Ф. ФРАНКЛЬ

Константа j входящая в Формулу ( 3 , 5) не существенна, так как имею­

щиеся уравнения определяют решение только в точности до произвольной постоянной.

Для доказательства, как это делается обычно, применяем Формулу Грина в области (D'), ограниченной кривой (О), кругом Г радиуса Л с цен­

тром в начале координат и кругом у вокруг точки Р. Тогда

D С Г Т

Если круг Г уходит в бесконечность, то, так как ср удовлетворяет условиям (3, 4) и

да

дВ ^ Я ² j *

j <

^{2 i f}

^j3r*.d8 47E

M L B * "¹ г г

Кроме того, если -у стягивается к Р, то

j - * — 2і:о(сс, у) i

и

(С) (О (С)

следовательно в пределе получаем Формулу ( 3 , 5). Заметим, что полученный двойной интеграл сходится, так как подынтегральное выражение в окрест­

ности бесконечно удаленной точки удовлетворяет условию

|<»|<]РР. (О<Ѵ<І)

Теорема ХГ¹). Ф у н к ц и я Ф(Х⁷ у), о п р е д е л я е м а я р а в е н с т в о м ( 3 , 5 )^у н е п р е і і ы в й а я в м е с т е со своими п р о и з в о д н ы м и до в т о р о г о п о ­ р я д к а включительно, у д о в л е т в о р я е т д и ф ф е р е н ц и а л ь н о м у у р а в -

1) Подобные условия, но без показателя, можно найти в работе Lichti nstein'a. См- Matk Ztschr., Bd. 27, S. 607, и Grundlagen der Hydromechanik, S. 441. Однако, без показа­

теля V, мы не могли обойтись. При ѵ = 0 теорема не верна.

ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА' ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 569

3

і>ри

да? дх²

< ЛЕВ*'¹ d<R

... . • . < A KR^V~² ( В

( 3 , 6 )^!

г д е А к о н с т а н т а , з а в и с я щ а я т о л ь к о от Формы о б л а с т и (D), и в по­

следних н е р а в е н с т в а х Я н а и м е н ь ш е е из чисел і ^ , Д>, а d = f¹ Р^{2 #} Во-первых укажем, что интеграл ( 3 , 5) сходится, и законно диФФерен- пдрование под знаком интеграла. Как обычно

до 1 ГГд&, ^{r j}

дх² 2nJJ <&*

(3, 7}

Отсюда непосредственно следует, что ср удовлетворяет уравнению ( 3 , 1 ) . Начнем с доказательства последних неравенств ( 3 , 6). Нам придется рассмотреть три случая. Пусть, во-первых точки Р^{1 ?} Р² находятся в д о с т а ­ точно малой "окрестности кривой (С), в которой выполняется Формула (2, 8)-- Рассмотрим п р о и з в о д н у ю ^ . Так как й(#, у) удовлетворяет неравен­

ству ( 3 , 2), нам надо доказать, что интеграл

Ф) Ф) Ф) Ф)

удовлетворяет последнему из равенства ( 3 , 6).

Прежде всеію покажем, что первый интеграл удовлетворяет этому условию. Когда Р находится вблизи койтура и Р' пробегает всю область ( D ) , . у ( Р , Р') регулярна и обращается в нуль, когда точка Р удаляется в б е с к о ­ нечность, поэтому

д^

дхь

д3^

дх? дц

<

_Р

нению (Зу 1)', к р а е в о м у условию' ( 3 , 3) й с и с т е м е с л е д у ю щ и х н е ­ р а в е н с т в .

\у\<АКВ^ѵ

570 M. КЕЛДЫШ И Ф, ФРАЯКЛЬ

следовательно, если точки Р^х и Р² находятся в окрестности кривой (С),, в ко­

торой выполняется (2, 8), т о¹)

я

О»

51 _

) hâld-fi < (f " ~ - J ^ ^Ыг

<

Kd<AKd\

Перейдем к оценке второго члена. Пусть (D,) внешность круга доста­

точно большого радиуса В^й и Д , дополнение к ( D J до области (25). Разобьем

•второй интеграл на два слагаемых

(2>) да да

Первый интеграл оценивается так я;е как и выше, так как в обла­

с т и ( D J

V)² In ^г

2

^éì

Что же касается до второго слагаемого, то к нему мы можем приме­

нить теорему Корна²), из которой непосредственно следует, что он меньше чем AKd\

Рассмотрим теперь третье слагаемое. Имеем

д²\пг*_дЧиг^/дх*\² 0 # In г* дх* ду* д² In г* , ду* \*

•2 г ^ — ^ ^ — г - ^ ) . дх*ду* дх ду ду" г*1

д\пг*д²х* д\пг*д²у*

Н

; — -ь

дх дх² ' ду дх*

следовательно, для оценки интеграла, надо рассмотреть каждый из членов этой суммы. Рассмотрим, например, первый член суммы

*д²Ъіг*~

щ

1) Для того, чтобы не писать множества индексов, мы все ковстанты, зависящие только от

Формы

области и чисел X и ѵ, будем обозначать только буквой Л.

2) Korn. Ann. de ГЕсоІе Norm. sup. (1907). Теорема

Формулируется

следующим образом Если в некоторой конечной области распределена масса с поверхностной плотностью P (^œf У)у удовлетворяющей неравенству

\р(ЧзУі)-~?(я2,У2)\<^d\

О < X < 1, то вторые производные потенциала удовлетворяют тому же неравенству с новой

* константой О, причем С зависит только от

Формы

области и показателя X.

ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 5 7 1

Первое слагаемое оценивается так же как предыдущий интеграл, что же- касается второго, то

\ г ^{< М} и как будет показано ниже

"(У In г*"

( t e2

<АК, следовательно второй член не превосходит AKd^K.

Если теперь точки Р^х, Р² лежат вне вышеупомянутой окрестности- контура (О), но внутри круга конечного радиуса і ?⁰, все рассуждения по­

вторяются, с тем упрощением, что член In г* будет входить в регулярную- часть.

Произведем теперь оценку интеграла, для случая, когда точки Р^{1 5} Р² расположены вне круга радиуса і ?⁰, настолько большого, что вся кривая (С) расположена внутри круга радиуса В⁰ : 2.

Пусть Р² и Р² две такие точки и пусть В расстояние до ближайшей из них от начала координат.

Имеем

g

дх² hd\<h\- _У) Третье слагаемое, очевидно, удовлетворяет неравенству

Оценим второй интеграл. Пользуемся последним из неравенств (2, 6}

и неравенством ( 3 , 2 ) ; тогда находим, что второй интеграл не превосходит

Ф)

и, так как d < Д правая часть неравенства меньше, чем AKW ^Д

(!)

Чтобы рассмотреть интеграл

1 ГГГ<ЗЧпт~

2-J J

^{L _}

572 M. КЕЛДЫШ И Ф. ФРАНКЛЬ

разобьем⁽область {D) на четыре части. Для ^того проведем из начала коор­

динат круг радиуса В : 2 и обозначим пересечение нашей области с этим кругом через (Q\ круг с центром в середине отрезка Р^х Р² и радиуса d обозначим через (#), внутренность круга с центром в той же точке и ра­

диуса 2І?, за вычетом (Q) и (£), обозначим через;(2), а внешность этого круга через ( Ü ) .

Тогда

(D) (Q) (S) (T) (Ü)

Мы будим отдельно оценивать каждое слагаемое :

ш

_с» ^{Iдх* 2 In}

^У'

^{s О?) о г}

Я

(2)

d^aln

ІЯ

(Г)

"(J²lnr"

Г'

Интеграл от , - ^ - , распространецный по всякому круяу с центром І В середине отрезка Рг Р2 обращается в нуль, следовательно

d%dr\

я

2к 2

(Г) ' и О 2« 2

о о

Надо теперь оценить интеграл

Я № - ^ < # £ * ( 5 )

¹

( г Г ' * *

* (2*) / Л Л 1 .!

(2)

ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ! 673

дЧпг

(S) (S) . . * {S)

(S) (S)

Нетрудно убедиться, что второе и третье слагаемое обращаются в нуль, что же касается двух других интегралов, то они оцениваются сле­

дующим образом:

2d

(S) о

Сопоставляя все полученные неравенства, находим

Совершенно аналогично доказываются неравенства для разности двух других вторых производных.

Переходя* к оценке самих вторых производных, заметим, что требую­

щиеся неравенства достаточно доказать только при І 2 > JR⁰, так как имея неравенства только при В > В⁰ и пользуясь полученной оценкой для раз­

ности вторых производных* очевидно „получаем неравенства для всей обла­

сти

Доказательство этих неравеств протекает совершенно аналогично

ф) ф)

Каждое слагаемое снова оцениваем отдельно

1 _>ѵ—2

пользуясь неравенством (2, 6)

Перейдем наконец к оценке последнего" члена

574 M. КЕЛДЫШ И Ф.ФРАНКЛЬ

Оценка первого интеграла и в этом случае протекает несколько сложнее именно

(D) (Q) (T+S) (ü,

Интегралы, стоящие в правой части, оцениваются следующим образом:

i r .

(Я) (Q)

l i f / т р г ' » « * » ! <±Н$£>** <

^ÄKB

"

{U) W)

(T-bSf) (24-5)'

где Ä ==A(p). Интеграл от -j-j- ^m кругу с центром в точке Р обра- щается в нуль, следовательно

2те 2

(Г+5)

<

І2

2тг 2"

<

КВТ' J J ^ p A p d ç < ^ Й Г І Г Л О О

Остается еще рассмотреть интеграл

SS тг^-ц\<SS Г* {%î rdrm <AKK

{Г+S)

Совершенно таким же образом протекает доказательство неравенства

д л я

(te

^{2 ïï}

дхду

Рассмотрим, наконец, первые производные. В этом случае, снова до­

статочно доказать неравенства для В > В⁰.

(Я) . (fi).

Из неравенств (2, 6)

àg

ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 575

следовательно

\кИъ

^%

***\

^<АШ

'

(Л)

Второй интеграл, так же как для вторых производных, разбиваем на три части:

я = я - / я я

(D) (Q) (V) ( Ï ' + S )

Тогда

S S таг *

^аЫг

> ! ^ J / I £ p

^à

* ^ <

^{А К І Г 1}

{Q) (Q)

отсюда следует требуемая оценка. Аналогично получим оценку для ^ • Неравенство для <р получаем непосредственно из Формулы

Таким образом мы доказали, что 9 у) удостоверяет уравнению ( 3 , 1 ) и неравенствам ( 3 , 6). Остается еще доказать, что оно удовлетворяет условию ( 3 , 3). Чтобы это сделать разобьем область (В) на три части;

из начала координат опишем круг, охватывающий контур (С) некоторого радуса І 2⁰, и из точки контура Ж", опишем круг радиуса d. Пересечение внутренности этого круга с областью (В) назовем ( 0 , внешность круга радиуса В⁰ назовем чрез (Т) и остальную часть (В). Пусть точка Р при-г ближается к М.

Й = Ш > * Я Я Я - Я

(D) , (Q)

m

^(и)

(Q) «?) (0 («

ИМЕН, 1934, Ѣ 4. 37

576 M. КЕЛДЫШ И Ф. ФРАНКЛЬ

I ^(<é)

<AKd*

2d 2тс

(«) о о

Я

( 0

О О

din г*

мы?)

оценивается аналогично и не превосходит AKd.

В области (С/), ^ равномерно стремится к нулю, когда точка Р при­

ближается к Ж", следовательно

l i m Г f ^ й й £ А ] = 0

Так как В⁰ может быть взято сколь угодно большим, a d сколь угодно малым, условие (3,3) выполняется.

Теорема IIP П у с т ь Тг(х, у) н е п р е р ы в н а в м е с т е со своими производными до в т о р о г о п о р я д к а в к л ю ч и т е л ь н о , и

dh

dx

' 1*

PK

дх³ дхду df < IŒ ^V—4

[ S I | . . . . < ^ ( * ) \ ( * < ^

(3,8)

и <р(ж, y) Ф у н к ц и я , д а н н а я Формулой ( 3 , 5 ) ; т о г д а <р(ж, у) удовлетво­

р я е т неравенствам

[?|<^шг

^ѵ

д<р

при d < J 5 .

dip дх '

( t e²

д дх"

òte*

lì* ²

?

1

<АШГ¹ ...<AJHT*

. . . <АКІГ*

. . . <АКВГ*'

.<AKM^f

( 3 , 9 ) Полученные интегралы оцениваются следующим образом :

ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 577

Я

^{Е М №}

=

^Г

Ш Я Я

'ас*

(•») I (в) '(О) (S+X)

Что касается двух первых интегралов, то они оцениваются совер­

шенно так же, как и раньше* что же касается третьего интеграла, то, обозначая через (L) границу области (T+S), имеем после интегрирования яо частям:

(S-hT) (£) Щ

(24-fl)

Интеграл по области

(S-+-T)

оценивается так ж е , как и раньше, раз­

бивая его по областям (S) ж (Т), что же касается линейных интегралов, то

ЯтгН</т'(ІГ*<^<^

^{а г}

*(І)

W 1 ^ФУ

Путем применения такого же преобразования доказываются осталь­

ные неравенства (3,9), когда точка Р находится вне некоторого круга радиуса Д>.

57*

Совершенно аналогично теорему можно СФормулировать для случая п-ой производной. Мы выбираем для доказательства случай п — 2, так как он нам будет нужен для приложений.

Чтобы доказать эту теорему, надо несколько видоизменить доказа­

тельство, приведенное для случая п— О. Мы укажем на эти изменения.

Пусть надо доказать неравенства, стоящие в последней строке

ё = Ш Я ^

(10

Мы начнем доказывать неравенство для случая, когда Р^І, Р² нахо­

дятся вне круга радиуса В⁰.

Что касается до- слагаемого производимого д(х, у\ £, т}), то здесь оценка производится совершенно аналогично. М ы рассмотрим только сла­

гаемое производимое lg г.

Пользуясь тем же разбиением, как и в предыдущем параграфе, имеем

578 M. КЕЛДЫШ И Ф. ФРАНКЛЬ

Сделаем теперь оценки для случая, когда точки Р^г и Р² находятся в некоторой достаточно малой окрестности контура, в которой применима.

Формула (2, 8).

Для того, чтобы сделать такого рода оценку, мы полагаем

и так же, как и раньше, все сводится к тому, чтобы сделать оценки для слагаемого, содержащего In г. Чтобы сделать такую оценку, мы можем всегда предполагать, что точки Р^х и Р² находятся вблизи прямолинейного*

участка контура (С); так как мы можем всегда свести задачу к этому слу­

чаю, совершив конформное отображение нашей области. Мы предположим,, что этот прямолинейный участок контура (С) принят за ось х.

Рассмотрим теперь интеграл

*Ѣ ( j ^{Ì R r d} ^

Для оценки этого интеграла разобьем область на три части. Именно, из точки, лежащей на средине отрезка Р¹ Р³ проведем круг радиуса d и:

круг радиуса І2⁰, где Е⁰ некоторое Фиксированное число. Пересечение- первого круга с областью (D) назовем (£), пересечения кольца, между двумя»' построенными концентрическими кругами с областью (J9) обозначим:

через (Т) и остальную часть (D) через (Ü). Тогда

j j^{ì n rh d}^^{d yì= =} " j f ^b^£^M%^dV^%^ j jlnrhdldn,

(#) (U) (k+T)

Оценка первого члена получается так;

(U) (U) P

и так как в разбираемом случае достаточно провести доказательство д ж d < 1|, рассматриваемый интеграл не превосходит AKd¹.

Что касается второго слагаемого, его преобразуем двойным интегри­

рованием по частям. Обозначая через (L) границу имеем:

л In r , j r , <sd2h

Я

ВНЕШНЯЯ З А Д А Ч А НЕЙМАНА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНИНИЙ 6 7 9

Так как части линейных интегралов, распространенные на ось х исче­

зают, непосредственно выводим, что линейные интегралы не превосходят AKd

<

^AKd\

Оценим поверхностный интеграл

я

_(24-Я)

(24-S) ( 2 4 - 5 )

d²l n r

"dp J

Первый интеграл преобразуем, снова частным интегрированием в ли­

нейный и также убеждаемся, что его величина не превосходит Ad. Часть второго слагаемого, приходящаяся на область (Т), оценивается так же, как и выше, и следовательно остается еще рассмотреть интеграл по области (#).

я

(S)

ò² In г

•я

(St дх²

д²1пг дх*

d*h ಠК

д х2 д%

дЧ, ді²

d²h

2 L_ß^X2²

(S)

. и , Г Г д ² \ п г „ , Гд²>

' 3 F

d*h d*h dx2^

Оценка первых двух членов производится так же, как и выше, что же касается третьего члена, то для оценки мы преобразуем поверхностный интеграл в линейный,

х_дх£

д

^{2 In}

r.~

^{d% dr\ —}

~дЧі дЧ'

^dxJ

дх

^г

^

din г

Первый множитель не превосходит ЕА\ что же касается второго, то так как часть линейного интеграла, распространенная по оси х, исчезает

2тг ІдЫг

ах* d*ds

Теорема IV.

П р е д п о л о ж и м , ч т о Функция у) о п р е д е л е н н а я

» о б л а с т и (D), вне н е к о т о р о й о к р е с т н о с т и одной из т о ч е к к о н ­ т у р а ^ у д о в л е т в о р я е т н е р а в е н с т в а м (3,2) и в н у т р и э т о й о к р е с т ­ н о с т и н е р а в е н с т в а м

\\—\\<і&(^(а<Щ\

( 3 , 1 0 )

то M. К Е Л Д Ы Ш И Ф. ФРАНКЛЬ

г д е В р а с с т о я н и е от А до б л и ж а й ш е й из т о ч е к Р^{1 5} Р ² и п у с т ь Т(х, у; I, ri) Ф у н к ц и я Г р и н а , т а к а я , что с о о т в е т с т в у ю щ и й ей п о т о к и м е е т сход с т р у й в т о ч к е А. П р и э т и х у с л о в и я х

ï—'èï § J ^Т(^х>'^хя> Zrrì)aWn (3,11)

0>)

у д о в л е т в о р я е т вне о к р е с т н о с т и т о ч к и А у с л о в и я м (3,6), а в н у т р и о к р е с т н о с т и точки А

m

и при CÜ < . й

дх²

ày²

. (3,12)

причем в самой т о ч к е А

дх

"ду

ду ^{О (3,13)}

Неравенства (3,6) доказываются точно так ж е , как и в случае тео­

ремы I. Остается только доказать, что выполняются неравенства (3,12)..

При доказательстве теоремы мы можем предположить, подобно тому, как это делалось выше, что участок линии (С⁷), содержащий точку А> прямо­

линеен.

Мы докажем неравенства относительно разностей вторых производных.

В окрестности точки А Функцию Грина можно представить в виде Т(х, у; Ç,

ч)

^{= In r r} Т(х,у; С,ч)

Оценим слагаемое, происходящее от члена In г. Для этого разобьем область (В) на пять частей: (Q)—пересечение круга радиуса В:2 с цен­

тром в точке А и области (D); (S) — пересечение с областью (D) круга радиуса с? с центром Р⁰ в середине отрезка Р^г Р², ; (Т) — пересечение кольца, заключенного между окружностями радиуса ажВ:2 с центром P^{0 s} и области (В) {мы будем предполагать d < ^jl (U)—часть области (В\

лежащая вне круга, описанного из точки А некоторым Фиксированным радиусом В^0У ж наконец через (V) оставшуюся часть области (D).

При этом разбиении получим

Ф) К (V) (F) (Q) (20 № г

ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 581

(8 показывает, что взята разность соответствующих выражений в точках Р , и Р²).

Переходим к оценке подученных пяти интегралов

(V) (U)

<

(П

( 0 ( 0

Последние два интеграла мы разобьем на две части и затем один из полученных интегралов проинтегрируем по частям. Обозначая через (L) границу области ( Г - + - # ) , получим:

ч <5_дх² In2

г

-%d\dr\ •

(T-hS)

дЫг

дх

dr\.

Оценим линейный интеграл

(X) о

(jj

⁴

Оценка цоверхностного интеграла протекает так же, как и подобная оценка в теореме II.

Член, производимый слагаемым Ь. г*, сводится к выражению, разобран­

ному приемом, употребленным в теореме П.

Рассмотрим теперь Функцию Т(х⁷ у; ij). Эта Функция по ( 2 , 9 ) может быть приведена к виду

ï f o У\ 5, ^)-*-ф(#г2/)х&ч)

где ф(#, у) регулярная Функция х, у в окрестности контура (С). Следова­

тельно, член, производимый Т(х, у); ri) имеет вид

jj yhdldri-+-ty(x, y)J jlhdldri

582 М.КЕЛДЫШ И Ф. ФРАНКЛЬ

Что касается второго слагаемого, то оно оценивается непосредственно, а оценка первого дана при доказательстве теоремы I. Принимая это во внима­

ние, мы докажем неравенства для разностей вторых производных. Осталь­

ные неравенства (3,12) получаются аналогичными выкладками.

Равенства (3,13) следуют из того, что производные Функции

Т(х,у\ ц)

по X ж у при Фиксированных £ и у) стремятся к нулю, когда точка ж, у при­

ближается к точке контура Ж , причем это стремление равномерно, если точка i] находится внутри круга Фиксированного радиуса и вне окрест­

ности точки А.

Комбинируя метод доказательства теоремы I I I и I V , нетрудно-дока­

зать еще следующую теорему:

Теорема V.

П у с т ь

h

у д о в л е т в о р я е т в о к р е с т н о с т и т о ч к и

А

н е р а в е н с т в а м

|7г|<шГ

dh dh дх ду дП

дх²

дЧ дхду

дЧ ду² <КЛ и при d < В

'дЧС дх²

(3,14)

а вне окрестности точки А н е р а в е н с т в а м (3,8), т о г д а Ф у н к ц и я

? (^ж> # ) . определенная равенством (3,11), удовлетворяет в окрест­

ности точки А системе неравенств.

m

дх

³

д*9 да*

и при d < В

d²f дх

,. . .

^ду2

дх²ду daßdy

<АК

<АКВ ¹ , . . . <АКВ

\Ш ІШІ--<^(0

и вне окрестности точки А н е р а в е н с т в а м (3,9).

• ( З Д 5 )