(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Н

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. К. Галимов, А. В. Саченков, Определение ча- стот свободных колебаний и устойчивость поло- гих трехслойных сферических оболочек и плос- ких пластин, Исслед. по теор. пластин и оболо- чек, 1965, выпуск 3, 148–156

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 23:39:14

(2)

Н. К. ГАЛИ МО В, А. В. САЧЕН КОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛОСКИХ ПЛАСТИН Устанавливается аналогия между задачами о свободных колебаниях свободно опертой по краям трехслойной сфери

ческой оболочки, ограниченной в плане прямолинейными отрезками, с хорошо изученной задачей о колебаниях плоской мембраны. Строение оболочки считается несимметричным по толщине, материалы слоев изотропными, а их коэффициенты Пуассона равными между собой. Поперечная сжимаемость заполнителя не учитывается.

§ 1. Решение на основе аналогии с колеблющейся мембраной

Для рассмотрения задач колебаний в уравнении проекции сил на нормаль необходимо добавить инерционный член

d2w

т , где т — масса всех слоев, отнесенная к единице dt2

площади, t — время. Тогда уравнения колебаний будут иметь вид:

дТсп дт\2 дТс12 дТс22

11 + — ^ - = 0, — ^ - + — ^ - = 0, (1а) дх ду дх ду

— — + — - = 2Gh<?v — - ь - + —-— = 2G/z<p2, (16) дх ду дх ду

д2Мси Ш% д2Мс22 1 _ ч d2w

11 + 2

— - ^ -

+ — ~ + ТШ - — (Тп + Т22) -т— = 0.

дх2 дхду ду2 R v J1 dt2

(1в>

Они получены из уравнений равновесия, приведенных в статье [2], но с учетом поперечных сил инерции.

(3)

м

Здесь введены следующие обозначения:

**"ь-*.<-+«л+Ч£+'£)-»(£- ⁺ '-5-)-**

•л.4- »(„ + ,„> ⁺ *(£ ⁺ . i ) - «(£- ⁺ **, - * . ) , <,.*>**

Вг = В + В' + В\ a = h {В' - В"), b = (г'Я' + ^ Д " ) , d, = D + h2 (В' + В"), d2 = D + D' + D" + B'z'2 + В" z"2, dB = D + h (z'B' - z"B"), z' = h + h\ z" = - h - h", В = 2Eh/(l - v2), Bf = 2£'A'/(1 - Л В" =• 2Emh"/(\ - v2),

D = Bh2/3, D' = B'h'Vb D" = B"h"2l?>,

дщ . w du2 , w 0 дщ ди2 1 dx R ' 2 д у Я ' 12 dy • dx

(усилия и моменты Г22, M22, М& получаются из Т\и Мп , Мп заменой ег, е2, «Рь ?2* х> .У н а гъ еъ ?2> ?i> J>, •*)»

Е, Е\ Е", 2h, 2h!, 2h" — соответственно модули упругости и толщины заполнителя и несущих слоев; G — модуль сдвига заполнителя, v — коэффициент Пуассона всех слоев, R — ра

диус оболочки; еь е2, 2е12-—деформации срединной поверх

ности заполнителя; их, иъ w — тангенциальные перемещения и прогиб; <Ръ <р2 —сдвиги заполнителя; Т — первоначальное растягивающее усилие (для сжимающих сил следует изменить знак на обратный); А —оператор Лапласа, Д==-—-+——.

дх2 ду2

Вводя функцию напряжений ХУ и функции ср и Z

гс ___д^__ду₂_дх^тс _ d²w д*чг _{2 1}_дхду

дер , д1 ду д1 (л о ч

Ф = + ? 2 = - ^ Т~ , (1-3>

дх д_у ду дх получим следующую систему уравнений:

дд\р⁼ Bi(\-»²)^д ^ .⁽j^{4 a )} 149

(4)

Д [(ДД - 2GA)? - D3Aw] = 0, A PI ( 1~V )A - 2Gh 7.== 0, (1.46)

где

ДДДда - /)3ДД? + — Д^' — TAw + т Щ- = О, (1.4в)

1 Bx Bx 3 3 Вг

Будем предполагать, что контур оболочки свободно оперт, т. е. на границе должны выполняться следующие граничные условия:

К = О, uz = 0, Мп = 0, <рт = о, Мп = 0, w === 0, (1.5) где

7 ^ , Мп, Мп — нормальные контурные усилие и моменты, uz, <DZ — тангенциальное перемещение и сдвиг на контуре.

Эти величины выражаются через искомые функции сле

дующим образом:

+ D3( l - v ) - * - - * L ,

~с d2W ду b'L а Ь dsJ as on B\ В1

где

—^- , — означают нормальную и касательную Производ

ил ds

ные от функции / .

Для функции <р и X имеем следующие граничные условия:

т

**= 0 , * = -£- = 0.**

an

Тогда из условий Л1Я=0, М°п = 0 получаем граничные условия:

^ 0, J*»- = o,

дя2 дп²

которые можно с учетом 9 = 0, w = 0 на контуре объединить в условия Д<р = 0, &w = 0.

(5)

Учитывая, что £т =*= —^

ции W из соотношения R О на контуре, для функ-

- a ( l - v )

d2w

dn2

ах

ds dn

найдем второе граничное условие д2хР/дп2 = 0. Следовательно, на контуре имеет место А¥ = 0.

Интегрируя уравнение (1.4а), получим:

№ = ekO-Zllw + T* (1.5')

где Гj — гармоническая функция. В силу условий ДЧГ = <ш = О на контуре функция Г^г==0. Интегрируя первое из уравнений (1.46), найдем

(ДА - 2GA) <р = D3A^ + Г2, (1.5") где Г2 — гармоническая функция. В силу y = ky = kw = 0 на

контуре функция Г2 = 0.

Исключая из уравнения (1.4в) функции <р и х1\ получим уравнение относительно w:

(DtD2 - D23) AAAw - (2GhD2 + TDX) AA^ +

-AfrO-*)

+ 2 Q A r

1

^{A w}

.

^{2 0 A}

, ftO-*>

^{w +}

/?* J /?a

4 - ( О1Д - 2 О Л ) 1 Л - ^ - = 0.

Положив да = да (л, у) cos w£, где <о — частота колебаний, найдем:

(£>,£>2 - D!) ДДДда - (20AD2 + Г Д ) ДДда +

+

_Я2

•2GA

+ 2GhT-Dxm<»2 Дда —

Я3

OTu) да = 0. (1.6)

Решение этого уравнения будем искать в виде:

Дда + Хда = 0. (1.7) При подстановке (1.7) в (1.6) относительно X получится

кубичное уравнение, имеющее по крайней мере один веще

ственный корень. Для квадрата частоты получим соотно

шение:

ma>2 (D,X + 2GA) = {(D,D2 - Dt) X3 + (2GAD2 + Г Д ) X2 +

L Я2

**) 2GA7" X + 2GA- ^{' i d - *}³^{) )}

/г

²

Г

^(1.8)

151

(6)

Из уравнений (1.7), (1.5') и (1 5") следует, что при выпол

нении краевого условия w = 0 будут одновременно выпол

няться также другие важнейшие краевые условия для функ

ции w, <р и ЧГ. При этом условия для функции X не являются существенными и ее в рассматриваемом случае можно поло

жить равной нулю [1].

Приведем примеры определения основных частот колеба

ний. Соответствующие решения для мембраны заимствованы из монографии [4].

1. Прямоугольник со сторонами а и b, a>b. Наименьшее собственное число X определяется по формуле

\ = ъ2{а2+Ь2)1аЧ\

2. Равносторонний треугольник

Х^4*

2

/Л

2

, где Л—высота треугольника.

3. Равнобедренный прямоугольный треугольник X = 5ти

2

/а

2

,

где а — длина катета.

4. Прямоугольный треугольник с углами, образованными катетами с гипотенузой, равными 30° и 60°

Х = 112тг

2

/9а

2

,

а — длина гипотенузы.

5. Равнобедренный треугольник с углом при вершине в 30°

X - ъ\!Ь\

b — высота треугольника.

6. Равнобедренная трапеция, острые углы которой равны 45°

*

• Ъ\а

Ш

1,2

10

1,5

10,5

2,0

11,5

Здесь a, b — основания, h — высота трапеции.

7. Ромбовидная область.

В монографии [4] установлены границы основной частоты колеблющейся мембраны в форме ромба с острым углом о и меньшей диагональю d. Следующая_таблица демонстрирует численные значения границ для (dV Х)/я:

\ ^ о

Нижн. гран. . . Верхн. гран. .

90°

2,0000 2,0071

85°

1,9145 1,9241

75°

1,7525 1,7810

65°

1,6002 1,6621

60°

1,5273 1,6100

45е

1,3256 1,4758

30°

1,1575 1,3674

0°

1,0000 1,2024

(7)

8. Сектор с радиусом а и углом 2щх.

В нижеследующей таблице приведены численные значения величины аУ \ в зависимости от параметра ji:

р-

аУТ

1/12

9,9361 1/10

8,7715 1/8

7,5883 1/6

6,3802 1/4

5,1356 1/3

4,4934 1/2

3,8317 1

2,4048

Данное решение для сектора является приближенным, поскольку часть контура криволинейна. Наибольшая погреш

ность метода аналогии, как очевидно, наблюдается для значения р = 1, т. е. для круга. Точное решение этой послед

ней дает значение а У X, равное 2,05, вместо приближен

ного 2,4048. Эта погрешность для круговой области при вы

числении квадрата наименьшей частоты будет составлять 35%, т. е. является довольно значительной. При ^ < 1 эта по

грешность быстро уменьшается.

Установленная аналогия позволяет сформулировать сле

дующие теоремы относительно основной частоты свободно опертой пологой трехслойной сферической оболочки и плоской трехслойной пластины, справедливость которых доказана для плоской мембраны в [4].

1. Из всех треугольников с данной площадью Л равно

сторонний треугольник имеет наименьшее значение V X. При этом для любого треугольника с площадью Л имеет место, неравенство:

УТ> 2,3-1/4

гсЛ-1/2.

2. Из всех четырех угольников с данной площадью Л квадрат имеет наименьшее значение У X. При этом для любого четырехугольника с площадью 'Л имеет место не

равенство:

Заметим, что теорема Релея, утверждающая, что из всех мембран с данной площадью круг имеет самую низкую основную частоту, применительно к плоской пластинке и пологой сферической оболочке является на основании уста

новленной аналогии очевидной лишь для,областей, ограни

ченных прямолинейными отрезками.

Полагая в (1.8) со = 0, Т = —Т, получим формулу для определения критического значения сжимающей силы:

T = D2X ^ — + ВЛ1-"2) ,

ДХ + 2Gh R4

153 .

(8)

;где Tmin отыскивается варьированием л в пределах

У D2R2 V Я2

B , ( l - *2) A (D,a² - z #

§^#2 . Осесимметричные колебания и устойчивость

* пологих сферических куполов, ограниченных в плане круговой областью

Будем полагать, ч т о метрика срединной поверхности заполнителя с т о ч н о с т ь ю д о малых членов совпадает с мет

рикой круглой пластины, ограничивающей контур оболочки.

Уравнения (1.4) сохраняют свой вид, т о л ь к о под оператором А будем понимать оператор

А — — о- — — dr2 r dr где г — р а д и а л ь н а я координата.

Д л я осесимметричной задачи Х = 0, а решение системы (1.4) записывается в виде:

L Р? V Ч £ { P /

^ 3 о 0 I ^3

H \ 9

+ CA\-^ *v-^ \ rl a4 R2 4

= CtJ0 ( p , у ) + C2J0 (p2 - ^ - ) + C3J0 fa -Г-) - -fjl C4; (2.1)

<p = C^Jo (px ^ ) + С2а2У0 (% - ^ ) + C3a3/0 ( p3 у ) - " ^ ,

••где p,, p2, рз — к о р н и уравнения:

a ^3 + a2p2x2 + «;# V + a4p6 = 0, x =

<*! = Д Д , - Z ) i a2 = 2 0 А Д + TDX,

Д 2

Г В, П _ v ^

, a⁴ = 2GA

Г B i ( i - v )

<

— /гаш2 • «5 = 2, 3)

'2Gh

a,= A?2

Z>,p? + 2GAP2

Л» Л ~ функции Б е с с е л я первого рода порядка нуль и единица,

р — р а д и у с круга, ограничивающего сферическую оболочку,

Cv C2... С5 — постоянные решения.

(9)

Пусть контур оболочки свободно оперт. Граничные уело вия в этом случае имеют вид:

a d4

п г dr l\ г dr J³ V г rfr О,

7 * = - L - ^ = o

г dr

при г = р,

A I S -

7

«*

— Д л Дда ^{L— v dm'}

r dr 0, cp = 0 , ^ = 0.

Внося сюда решение (2.1), получаем, что ^должно удов

летворять уравнению:

Щ > - ( 1 - * ) - М Р ) = 0. (2.2) Для больших значений £, заменяя функции 70 и 7Х их

асимптотическими разложениями, получим уравнение:

( l - v ) t g f j i - ^ ) = [J. (2.3) Ниже дана таблица первых пяти корней уравнения (2.2) при v = 0,3. Числовой материал взят из книги [5].

1

2,047

2

5,389

3

8,572

4

11,730 5

14,880

Рассмотрим скользящее защемление. Граничные условия имеют вид:

тс 1 dxv ~ ^ dw ^ ~ dw n

Тп = = 0, w = 0, = 0, <? = 0, = 0,

г dr dr dr

dr при г = p.

Подставляя сюда решение (2.1), найдем, что р удовлет

воряет уравнению

Л ( Р ) = 0 . (2.4) Квадрат частоты определяется по формуле:

/шо2 ( £ > / + 20Лр2) - /(02Оо - D\) - ^ + (2GAA + Г Д ) - ^ +

I " Р4 ~ Р2

+

A B t J l - v ^ ) о / Э А 7Л02 , 0/-5I..D /1 .,2ч Р2

/?2 + 20hT№ + 2Gh-B

1

1(\ - v O - V | , (2.5) 155

(10)

а критическое значение сжимающей силы Т определяется по формуле:

T-±f-

^°3*

₊

^В^г^{(\-^)^}

где £J является корнем уравнения (2.2) или (2.4).

(2.6)

ЛИТЕРАТУРА

1. Э. И. Г р и г о л ю к, П. П. Ч у л к о в. К расчету трехслойных пластин с жестким заполнителем. Изв. АН СССР, мех. и машиностр., № 1, 1964.

2. Н. К. Г а л и мо в, X. М. М у ш т а р и . К теории трехслойных пластин и оболочек. „Исследования по теории пластин и оболочек", Сб. II. Изд-во Казанского ун-та, 1964.

3. А. В. С а ч е н ко в. К расчету на устойчивость плоских пластин.

Известия вузов, серия „Авиационная техника", № 2, 1963.

4. Г. П о л и а, Г. С е г е. Изопериметрические неравенства в матема

тической физике. Физматгиз, М., 1962.

5. А. Н. Д и н н и к. Избранные труды, т. II. Приложение функций Бесселя к задачам теории упругости. Изд. АН УССР, Киев, 1955, стр. 64.