(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал О

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

О. В. Нечаев, Э. П. Шурина, Вычислительные схемы решения трeхмерного векторного уравнения Гельмгольца, Матем. моделирование и краев. зада- чи, 2008, часть 3, 139–141

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

3 ноября 2022 г., 22:24:50

6. Проблемы разработки и добычи нефти на месторождении Узень: Тр. Каз- НИПИ нефтегазовой промышленности. — Грозный, 1980. — Вып. 7. — 80 с.

7. Освоение нефтяного Мангышлака: Тр. КазНИПИ нефтегазовой промыш- ленности. — Грозный, 1981. — Вып. 8. — 78 с.

8. Лионс, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами [Текст] / Ж.-Л. Лионс. — М.: Наука, 1987. — 368 с.

9. Васильев, Ф. П.Численные методы решения экстремальных задач [Текст] / Ф. П. Васильев. — М.: Наука, 1980. — 520 с.

Казахский Национальный университет им. аль-Фараби, г. Алматы, Казахстан m_mukim@fromru.com

УДК 519.621.64

О. В. Нечаев, Э. П. Шурина

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ТР¨EХМЕРНОГО ВЕКТОРНОГО УРАВНЕНИЯ

ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Введение.Решение уравнений Максвелла в квазистационар- ном режиме (гармоническая зависимость от времени) является важным этапом во многих приложениях — неразрушающий кон- троль, геоэлектрика, оптоэлектроника. Структура области моде- лирования для этого класса задач характеризуется геометриче- ской и физической неоднородностью её фрагментов, большой кон- трастностью физических свойств этих подобластей — электропро- водности, диэлектрической и магнитной проницаемости, широким диапазоном частот источников электромагнитного поля.

1. Постановка задачи.В частотной области векторные урав- нения Максвелла приводятся к дифференциальному уравнению второго порядка относительно комплексных векторных функций:

напряжённости электрического (E)~ или магнитного (H)~ поля, к уравнению Гельмгольца. При решении этого уравнения стандарт- ным (скалярным) покомпонентным методом конечных элементов возможно появление нефизичных решений («ложных мод»), кото- рые не исчезают при дроблении сетки [1]. Причиной этому явля- ется свойства rot–оператора, требующие специальной, векторной

139

пространственной аппроксимации [2]. В [2] предложена МКЭ — дискретизация векторных уравнений Максвелла, основанная на специальном базисе, обеспечивающем непрерывность тангенци- альных компонент векторного электрического поля (E)~ или маг- нитного поля (H)~ на межэлементных и, следовательно, на меж- фрагментарных границах. Моделирование гармонических по вре- мени трёхмерных электрических полей в геометрически сложных, неоднородных по физическим свойствам областях на неструкту- рированных симплициальных сетках с использованием векторно- го базиса низкого и высокого порядков приводит к необходимости разработки специальных вычислительных схем.

2. Векторная вариационная постановка. Дифференци- альное уравнение второго порядка относительно вектора напря- жённости электрического поля (E)~ имеет вид:

rotµ⁻¹rotE~ +k²E~ =−iωJ₀ в Ω, (1) где k² =iω−ω²ε,J₀— плотность тока источника, µ— магнитная проницаемость,ε— диэлектрическая проницаемость,σ— электри- ческая проводимость, ω— циклическая частота, i— мнимая еди- ница. На границах между подобластямиΓ с различными физиче- скими свойствами должны выполняться условия непрерывности

[n×E]~ _Γ= 0; [n·(σ+iωε)E]~ _Γ = 0. (2) Область моделирования Ω окружена абсолютно проводящим ма- териалом, ∂Ω— липшиц-непрерывная граница:

~n×E~|∂Ω= 0. (3)

Введём пространства Неделека [2]:

H(rot,Ω) ={v∈L₂(Ω); rotv∈L₂(Ω)}, (4) H₀(rot,Ω) ={v∈H(rot,Ω);v×n|∂Ω} (5) с нормой

kvk²rot,Ω = Z

Ω

v·v^∗dΩ + Z

Ω

rotv·rotv^∗dΩ. (6)

140

Определим скалярное произведение: (u, v) = R

Ωu ·v^∗dΩ. В ре- зультате получаем векторную вариационную постановку: Найти E ∈H₀(rot,Ω) такое, что ∀V ∈H₀(rot,Ω) выполняется

(µ⁻¹rotE,rotV) + (k²E, V) =−i(ωJ₀, V). (7) 3. Результаты вычислительных экспериментов.Можно показать, что решение этого вариационного уравнения при вы- полнении условий вложения удовлетворяет закону сохранения за- ряда в слабом смысле [3]. В расчётной области Ω строится сим- плициальная сетка, на каждом тетраэдре (конечном элементе) определяются векторные базисные функции (edge-элементы), ас- социированные с рёбрами тетраэдра — элементы первого порядка и с рёбрами и гранями — функции второго порядка [2]. Вычисли- тельный эксперимент выполнялся для следующей тестовой зада- чи: трёхмерная областьΩсостоит из трёх подобластей, в каждой из которых значения электропроводности σ₁ = 1_омм¹ σ₂ = 0,1_омм¹ σ₃= 0,01_омм¹ . Скачок нормальной к границе раздела подобластей компоненты электрического поля должен быть равен 10. Расчёты выполнялись на тетраэдральной сетке, характерная длина реб- ра тетраэдра уменьшалась, а порядок полиномиальных вектор- ных базисных функций увеличивался вплоть до полного базиса третьего порядка. На первом порядке базисных функций и доста- точно грубой сетке скачок нормальной компоненты электрическо- го поля равен 9,35 и 7,355 на границах между первой и второй, второй и третьей подобластями соответственно. При измельчении сетки (на невложенных сетках) для базисных функций третьего порядка эти скачки равны 9,972 и 9,985, при этом время счета увеличилось весьма незначительно.

1. Monk, P.Finite Element Methods for Maxwell’s Equations [Text] / P. Monk;

4th ed. — Oxford: Oxford University Press, 2003. — 336 p. — ISBN 0-19-5300483.

2. Nedelec. J.–C. A new family of mixed finite elements in R³ [Text] / J.–

C. Nedelec // Numer. Math. — 1986. — Vol. 50 (1). — P. 57–81.

3. Нечаев, О. В.Многосеточный алгоритм решения векторным методом ко- нечных элементов трёхмерного уравнения Гельмгольца [Текст] / О. В. Неча- ев, Э. П. Шурина // Мат. моделирование. — 2005. — Т. 17, № 6. — С. 92–102.

Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск

shurina@fpm.ami.nstu.ru

141