Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
П. П. Забрейко, А. В. Кривко-Красько, Диаграммы Ньютона и алгебраические кривые. II, Тр. Ин-та матем., 2015, том 23, номер 1, 64–75
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 07:25:47
Национальная академия наук Беларуси
Труды Института математики. 2015. Том 23. № 1. С. 64–75
УДК 517.948:330.105
ДИАГРАММЫ НЬЮТОНА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ. II
П. П. Забрейко, А. В. Кривко-Красько
Белорусский государственный университет e-mail: zabreiko@mail.ru, sbmt@mail.ru
Поступила 28.01.2015
Данная работа является продолжением [1]. Здесь показано, что построенное в работе [1] на основе метода диаграммы Ньютона дерево T(f, σ) позволяет ответить на вопрос о коли- честве бесконечно удаленных особых точек алгебраической кривой и уточнить поведение кривой в этих точках. Показывается также, что с помощью этого дерева классификация Эйлера алгебраических кривых третьего порядка может быть существенно уточнена.
7.В работе [1] показано, что применение метода диаграммы Ньютона к левой части
f(x, y) =
∑n i+j=0
aijxiyj, (1)
определяющего в некоторой системе координат σ алгебраическую кривую
f(x, y) = 0, (2)
приводит к построению графа T(f, σ), который позволяет исследовать “убегающие” в беско- нечность ветви кривой (2).
В случае, если граф T(f, σ) оказывается конечным, то все “убегающие” в бесконечность ветви кривой (2) оказываются простыми. В таком случае, метод диаграммы Ньютона позво- ляет определить представления этих ветвей. В противном случае кривая (2) имеет хотя бы одну кратную “убегающую” в бесконечность ветвь, представление которой определяется бес- конечным числом итераций метода диаграммы Ньютона.
Построение графа T(f, σ), по существу, и есть обобщение классификации Эйлера кривых третьего и четвертого порядков на случай алгебраических кривых произвольного порядка n.
Построение графа T(f, σ), как и рассуждения Эйлера, проводится в евклидовой плоско- сти. Бесконечность в этих построении выступает как “бесконечно удаленная” точка. Иными словами, проведенное построение можно интерпретировать как построение на сфере Римана, которая “представляет” собой обычную евклидову плоскость, дополненную бесконечно удален- ной точкой ∞.
Переход от евклидовой плоскости к сфере Римана является частным случаем процеду- ры компактификации этой плоскости. Вторым и с геометрической точки зрения более важ- ным способом компактификации плоскости является переход от евклидовой к проективной плоскости P2. При этом евклидову плоскость пополняют бесконечным числом бесконечно 64
удаленных точек, которые образуют бесконечно удаленную прямую. Естественно, попытаться выяснить, позволяет ли построенное в первой части статьи дерево T(f, σ) выявить какие-либо особенности поведения кривой в бесконечно удаленных точках проективной плоскости. Ответ оказывается положительным: диаграмма Ньютона N(f, σ) позволяет определить бесконечно удаленные особые точки этой кривой и с достаточной полнотой выяснить их характер.
Рассмотрим кривую (2) в проективной плоскости P2. Для этого удобно перейти к одно- родным координатам. Если M = (x, y) точка в евклидовой плоскости E2, то ее однородными координатами в проективной плоскости P2 называется тройка чисел (ξ1, ξ2, ξ3), не равных одновременно нулю, таких, что
ξ1
ξ3
=x; ξ2
ξ3
=y (3)
(пропорциональные тройки чисел (ξ1, ξ2, ξ3) соответствуют одной и той же точке в евклидовой плоскости E2). При этом, если M — бесконечно удаленная точка в плоскости E2, то ξ3= 0.
В противном случае ξ3̸= 0.
В результате перехода к однородным координатам полином (1) в проективной плоскости P2 будет иметь вид
Φ(ξ1, ξ2, ξ3) =
∑n i+j+k=0
aijξ1iξ2jξ3k. (4)
Как было только что отмечено, бесконечно удаленные точки кривой (2) в проективной плоскости P2 определяются равенством ξ3 = 0. Подставив в (4) равенство ξ3 = 0, получим следующее выражение:
Φ(ξ1, ξ2,0) = ∑
i+j=n
aijξ1iξ2j. (5)
Очевидно, что правая часть (5) совпадает с суммой старших членов полинома (1).
Как известно, особые точки кривой (4) определяются из системы уравнений
Φ′ξ1(ξ1, ξ2, ξ3) = 0; Φ′ξ2(ξ1, ξ2, ξ3) = 0; Φ′ξ3(ξ1, ξ2, ξ3) = 0. (6)
Из теоремы Эйлера об однородных функциях вытекает тождество Эйлера ξ1Φ′ξ1(ξ1, ξ2, ξ3) +ξ2Φ′ξ2(ξ1, ξ2, ξ3) +ξ3Φ′ξ3(ξ1, ξ2, ξ3) = Φ(ξ1, ξ2, ξ3),
которое в свою очередь влечет равенство в особых точках Φ(ξ1, ξ2, ξ3) = 0.
Оказывается, что диаграмма Ньютона старших членов полинома (1) позволяет ответить на вопрос о количестве бесконечно удаленных особых точек кривой (2). Справедливо следующее утверждение:
Теорема 5. Количество кратных корней характеристического полинома, построенного по диаграмме Ньютона старших членов полинома (1), совпадает с количеством бесконеч- но удаленных особых точек кривой (2). При этом кратность корней характеристического полинома совпадет с кратностью соответствующих бесконечно удаленных особых точек кривой (2).
Доказательствопочти тривиально. Как было отмечено выше, бесконечно удаленные точ- ки определяются равенством ξ3 = 0. Если построить характеристический полином для правой части (5), то корни этого полинома позволят определить все бесконечно удаленные точки. В си- лу (6), кратные корни характеристического полинома будут соответствовать бесконечно уда- ленным особым точкам кривой (2). При этом кратность корней характеристического полинома совпадает с кратностью соответствующих бесконечно удаленных особых точек кривой (2).
8.Построение дерева Эйлера T(f, σ) для конкретной кривой небольшого порядка обычно затруднений не вызывает. Однако описание всех возможных деревьев для кривой заданного порядка связано уже с большим объемом соответствующих вычислений. В своей классифика- ции кривых третьего порядка Л. Эйлер выделил 16 классов кривых. Его построения отвечают анализу вершин первой и второй очереди соответствующего дерева T(f, σ). Более тонкий ана- лиз дерева T(f, σ) приводит к уточнению классификации Эйлера кривых третьего порядка даже при использовании вершин лишь первой очереди.
Для наглядности представим уточненную классификацию Эйлера в виде таблицы. Если какой-либо из типов кривых третьего порядка может иметь бесконечно удаленную особую точку, то в представленной таблице содержится информация о ее кратности (кривая третьего порядка, очевидно, может иметь лишь одну бесконечно удаленную особую точку кратности 2 или 3).
66
68
70
72
74
Для всех полученных типов, кроме 1, 7, 10 и 12, можно построить симметричную ломаную Ньютона. Таким образом, уточненная эйлерова классификация кривых третьего порядка по вершинам первой очереди графа T содержит 58 классов.
Литература
1.Забрейко П.П., Кривко-Красько А.В. Диаграммы Ньютона и алгебраические кривые // Труды Ин-та математики НАН Беларуси. 2014. Т. 22. № 2. С. 32–45.
2.Эйлер Л.Введение в анализ бесконечных. II. М., 1961.
3.Puiseux V.Recherches sur les fonctions algebraiques // J. de math, pures et appl. 1850. V. 15. P. 365–480.
4.Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я.Приближен- ное решение операторных уравнений. М., 1969.
5.Уокер Р.Алгебраические кривые. М., 1952.
6.Чеботарев Н.Г.Теория алгебраических функций. М., 1948.
P. P. Zabreiko, A. V. Krivko-Krasko Newton diagrams and algebraic curves. II
Summary
This article is the continuation of [1]. It is shown that the construction from [1] allows us to define the quantity of infinite singular points of the algebraic curve of arbitrary order if this algebraic curve is considered as one in the projective plane. Moreover, it is presented the table with all classes of modified Euler classification for the algebraic curves of the third order.
