Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
С. С. Рышков, Плотность (r, R) -системы, Матем. заметки , 1974, том 16, вы- пуск 3, 447–454
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
5 ноября 2022 г., 18:55:40
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
т. 16, № 3 (1974), 447—454
УДК 513
ПЛОТНОСТЬ (г, U)-CHCTEMbI С. С. Рышков
В статье дана полная геометрическая теория разыскания точной нижней грани плотности n-мерных решеток. Для произ
вольных (г, Я)- систем доказывается аналог известных тео
рем Роджерса из теории упаковок и теоремы Коксеттера, Фью Роджерса из теории упаковок. Рассмотрено несколько частных примеров. Библ. 11 назв.
1°. Достаточно широко известны две основные экст
ремальные задачи геометрии положительных квадратич
ных форм. Это, во-первых, классическая задача о плотней- шей решетчатой упаковке ^-мерных шаров и, во-вторых, поставленная в последние десятилетия задача о наименее плотных решетчатых покрытиях пространства равными шарами.
Большой прогресс, достигнутый в последнее время в решении этих задач *), позволил подойти к решению и некоторых других экстремальных задач, например к за
даче о многомерной ^-функции [8], [7]. Настоящая рабо
та посвящена одной из таких задач — задаче о плотности (г, Д)-системы — и является подробным изложением ча
сти результатов, анонсированных автором в [6]. В работе существенно используются методы и конструкции работ [5] — [7], поэтому мы будем предполагать эти работы из
вестными читателю.
2°. Множество $ CZ 2?п называется равномерно дискрет
ной системой или (г, Л)-системой [9], если существуют такие числа г и Л, что выполнены следующие два условия:
* См. к н и г у [1] и обзор [2], а т а к ж е не вошедшие в обзоры работы [3]—[7], в которых, в частности, имеется более подробная библиография работ последних лет.
@ Издательство «Наука», 447
1. В открытом шаре радиуса г, описанном вокруг лю
бой точки множества <о, нет больше точек этого множества.
2. В любом (замкнутом) шаре радиуса R обязательно лежит точка множества Щ.
Примером равномерно дискретной системы может слу
жить произвольная тг-мерная решетка. В частности, ре
шетка, построенная на кубе с ребром, равным двум, есть (Г, Л)-система для любых положительных г <Г 1 и
R>Y~n.
Рассмотрим произвольную равномерно дискретную систему Щ (Z Еп и найдем числа г* и Л*, являющиеся соответственно верхней и нижней гранями таких чисел г и R, что система Щ является (г, Д)-системой. Очевидно, что система & является и (г*, Д*)-системой. Заметим, что для решетки число R*— это радиус покрытия, а число г — длина минимального вектора (удвоенный радиус соответствующей упаковки).
Отношение R*lr* мы обозначим через х (&) и будем называть плотностью системы.
Через х (п) обозначим точную нижнюю грань отно
шения R*/r* по всем равномерно дискретным системам пространства Еп и через Хг (п) обозначим точную ниж
нюю грань отношения Л*/г* по всем решетчатым (г, R)- системам, т. е. по всем решеткам пространства Еп.
Основная задача теории плотности n-мерных (г, R)- систем состоит в том, чтобы найти число х (п) и указать (г, 7?)-систему (если она существует), реализующую это число. Основная задача в теории плотнейших тг-мерных решетчатых (г, /?)-систем — найти число хг (п) и указать решетку, реализующую это число.
Очевидно, что хГ (п) > х (п), но примеров нерешетча
тых (г, Д)-систем, более плотных чем решетки, автору не известно. Очень близкие вопросы изучались А. Н. Кол
могоровым, А. Г. Витушкиным и другими авторами (см.
книгу А. Г. Витушкина [10]) в связи с исследованием по
нятия «С ТОЧНОСТЬЮ ДО 8».
В некоторой степени «нависли в воздухе» простые ре
зультаты п.3°, посвященные оценкам числа х (п). Три
виальный результат о том, что плотнейшей двумерной решетчатой (г, Д)-системой является решетка Г?, постро
енная на правильном треугольнике (так как она дает мак
симум числа г* и минимум числа R* при фиксированном дискриминанте), был хорошо известен, Однако никаких
448
результатов даже о трехмерных решетчатых (г, ^-систе
мах не было. Как выяснилось (п.3°), это объясняется объективной трудностью задачи, которая оказалась до некоторой степени решенной (см. ниже) лишь после того, как были сконструированы полиэдр \х (т) [6] и поверхность Р (г) [5].
3°. Оценки числа х (п).
ТЕОРЕМА 1. Справедливо неравенство х (п) < 1.
Это неравенство доказывается следующим широко из
вестным (см., например, [10], стр. 26) рассуждением, по
казывающим существование (1, 1)-систем. Выберем про
извольную точку пространства Еп и построим шар Um
с центром в этой точке и радиусом т J> 0. Поместим в этом шаре некоторое количество точек, чтобы полученная система удовлетворяла в шаре Um условию 1) определения (1, 1)-системы. Если система не удовлетворяет условию 2) определения (1, 1)-системы, то в шаре найдется точка, удаленная от всех точек системы не меньше чем на расстоя
ние 1. Присоединив эту точку к исходной системе, мы по
лучим опять систему, удовлетворяющую условию 1).
Повторив такую конструкцию конечное число раз, мы придем к системе, удовлетворяющей в рассмотренном ша
ре обоим (1, 1)-условиям. Перейдя к шару с тем же цент
ром, но с радиусом т -f 1, мы повторим наши рассужде
ния. Поскольку такими шарами пространство Еп исчер
пывается, мы построим (1, 1)-систему уже во всем про
странстве.
ЛЕММА. Длина наименьшего ребра произвольного n-мерного симплекса, вложенного в n-мерный шар UR ра
диуса R не может быть больше чем У2(п + i)lnR. Та
кое значение достигается лишь на правильном симплексе, вписанном в этот шар.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего заметим, что для всякого симплекса S, вложенного в шар UR, найдется симплекс, вписанный в этот шар и имеющий ребра не мень
ше чем соответствующие ребра симплекса S. Действитель
но, пусть А — одна из тех вершин симплекса S, которая не лежит на поверхности шара UR, тогда, отодвигая ее вдоль продолжения высоты, опущенной на противоположную грань SA, от грани SA до поверхности шара, мы увели
чим все ребра, исходящие из вершины А. Мы можем производить такую операцию со всеми последовательно 449
получаемыми симплексами, пока не придем к вписанному симплексу, обладающему нужными нам свойствами.
^ Теперь предположим, что наша лемма верна для п — 1 и докажем ее для п. Итак, пусть S — симплекс, вписанный в шар UR и имеющий все ребра не меньше чем V2(n + \)lnR.
Возьмем произвольную вершину А симплекса S и опишем из нее шар радиуса У 2 (п + 1)1 п Л, все ос
тальные вершины симплекса S лежат в меньшей из тех двух шапочек шара UR, на которые он разбивается новым шаром. Но эта шапочка может быть вложена в шар радиу
са У (п2 — l)/n2R, а тем самым грань SA, противополож- ная вершине А, вложена в (п — 1)-мерный шар радиуса У (п2 — l)/n2R. Поскольку же все ребра симплекса SA
не меньше чем ]/~2 (п + 1)1 nR, он должен быть правиль- ным и вписанным в (п — 1)-мерный шар радиуса
У (п2 — l)/n2R. Так как вершина А была произвольна, то все грани нашего симплекса правильны, т. е. правилен и он сам. Таким образом, наша лемма полностью доказана.
ТЕОРЕМА 2. Число к (п) не может быть меньше чем отношение радиуса шара, описанного вокруг правильного n-мерного симплекса к его ребру, т. е.
x ( w ) > / w / 2 ( w + l).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем произвольную (г, .й)-систему <8 С Еп и покажем, что в ней обязательно найдется пара точек, удаленных друг от друга на рас
стояние не большее, чем У2(п + \)lnR, т. е. что г <
<С У2 (п + l)/nR. Действительно, выберем произвольное тело L из разбиения {L}, соответствующего системе <§
(см. [9], §1—4). Это тело L согласно определению вписано в пустой (от точек системы $) шар некоторого радиуса R\ но согласно определению (г, 7?)-системы имеем, что пустой шар не может иметь радиус больший, чем R, т. е. R' ^ R. Таким образом, наше тело L может быть вло
жено в шар радиуса R. Поскольку тело L — выпуклый конечный тг-мерный многогранник, найдется такой сим
плекс, вложенный в тело L, вершины которого находятся среди вершин тела L. Итак, мы нашли такой симплекс S, вложенный в шар радиуса R, вершины которого суть точки системы Ш. В силу предыдущей леммы симплекс S имеет по крайней мере одно ребро, длина которого не больше
450
чем у 2 (п + i)lnR. Тем самым мы нашли нужную нам пару точек и доказательство теоремы завершено.
Заметим, что теорема 2 является аналогом теоремы Роджерса (см. [1], гл. 7) в теории упаковок и теоремы Коксеттера, Фью и Роджерса (см. [1], гл. 8) в теории покрытий. Наша теорема может быть легко выведена из указанных теорем, но мы предпочли дать независимое ее доказательство, поскольку она самая простая из всех этих трех теорем.
С л е д с т в и е . Решетка, построенная на правиль
ном треугольнике, является единственной двумерной (г, Щ-системой, для которой достигается значение к (2) =
- /17з.
Это вытекает из теоремы 2 и единственности разбиения плоскости на правильные треугольники (с точностью до подобия) и взаимной однозначностью соответствия [9]
между разбиениями {L} и (г, /?)-системами.
4°. Общая точная теория плотности решетчатых (г, 1?)-еистем. Все дальнейшие рассуждения ведутся уже не в пространстве (г, Д)-системы, а в пространстве^, где N =
= п (тг + 1)/2, пространстве коэффициентов квадратич
ных форм от тг-переменных [9], [8], [6]. Положительным квадратичным формам в этом пространстве соответствуют точки некоторого выпуклого конического множества — конуса положительности, обозначаемого через К. Через
& обозначена группа (аффинных) преобразований кону
са К в себя, порожденная всеми целочисленными унимо- дулярными преобразованиями переменных в рассматри
ваемых квадратичных формах. Здесь также использу
ется теория типов решеток (параллелоэдров) [11], нуж
ные сведения из которой кратко изложены, например, в [3] и [5].
ТЕОРЕМА 3. Пусть через А обозначена некоторая зам
кнутая относительно конуса К область типа п-мерных решеток. Точки, которым соответствуют решетки с наименьшим возможным для данного типа значением чис
ла Д*/г*, заполняют выпуклый конус Q пространства EN
(с вершиной в начале координат).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим построенное в работе [9] ограниченное тело W (А) и построенный в ра
боте [6] полиэдр М (т) (см. также [7]). Оба эти тела вы
пуклы. При некотором значении параметра т они не пе
ресекаются, но поскольку на каждом луче, принадлежа-
щем области Л и исходящем из начала координат, найдутся точки как полиэдра М (т) при любом т, так и тела W (А), то существует такое значение параметра т, при котором пересечение W (A) f) M (т) непусто. Следо
вательно, как легко видеть, в силу замкнутости этих тел найдется и наименьшее такое т0. Согласно геометриче
скому смыслу поверхностей наших двух тел пересечение Q' = W (А) П М (т0) состоит из точек, соответствующих таким решеткам нашего типа, которые имеют радиус покрытия, равный единице, и наименьший возможный для таких решеток минимальный вектор (длины Ymo)- Подчеркнем, что множество Q' не имеет точек на поверх
ности конуса К, поскольку таковых нет в полиэдре М (т0).
Заметив, что множество Q' выпукло как пересечение вы
пуклых тел и что нужное нам множество Q есть конус с вершиной в начале координат, построенный над (?', мы полностью докажем нашу теорему, ибо отсутствие других (слабо) экстремальных точек в силу выпуклости тел W (А) и М (т0) очевидно.
Отметим, что теорема 3 является в нашей теории ана
логом теоремы Барнса и Диксона [3].
ТЕОРЕМА 4. Обозначим через @д подгруппу таких преобразований из группы ©, которые преобразуют область А в себя. Тогда среди точек множества Q найдутся точки, инвариантные относительно группы @д.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим произвольную точку / Е (? и ее образы з / ПРИ в с е х преобразованиях 9 из группы ©д. Рассмотрим также центр тяжести /' этой системы точек. Поскольку множество Q выпукло, точка / ' принадлежит множеству (?. Поскольку при каждом преобразовании $ ЕЕ @д точки $/ лишь меняются ме
стами, мы имеем д/' = / ' для любого преобразования 9 ЕЕ @д. Тем самым теорема полностью доказана.
Отметим, что и эта теорема является аналогом теоремы Барнса и Диксона [3] в теории покрытий.
5°. П р и м е р ы . Ч а с т н ы е р е з у л ь т а т ы . Пусть теперь область А не произвольная область типа, а главная область первого типа [11], [9]. Группа @д для этой области такова [И], [3], что имеется лишь одна абсолютно непод
вижная относительно ее преобразований прямая X/, где через / обозначена главная форма первого типа
HXi -у- ПХ% ~{~ • • • —\~ ПХл — LiX^X^ — иХуС^ — . . . — £iXfi-iXn.
452
Отсюда следует, что наименьшее для решеток первого типа отношение Л*/г* достигается на решетке Гх с метрической формой /; это отношение может быть легко вычислено и равно
V(n + 2)/12.
Сделаем из полученной формулы различные выводы.
а) Для д-мерной решетки имеем к г ( л ) < / ( * + 2)/12,
что при п > 10 хуже чем имеющаяся оценка для произ
вольной системы.
б) Для произвольной (г, Д)-системы, так как хг (я) >
> х (я), имеем
к Н < ] / ~ ( г с + 2)/12 при гс<10.
в) Для п = 2, 3 имеем хг (и) = V"(ra + 2)/12 и, так как при этих размерностях есть лишь один тип решеток, других локально экстремальных значений числа Я*/г*
в этих размерностях нет.
6°. Как легко видеть, при п = 2 конус Q вырождается в точку. Было бы интересно выяснить форму конусов Q при п > 2. Было бы также интересным найти все числа к (п) и хг (ft), что для числа Хг (4) представляется вполне возможным. Заметим, что при п = 4 решетка центриро
ванных кубов дает ту же оценку у 1/2 числа хг (4), что и решетка Г*.
Математический институт Поступило им. В. А. Стеклова АН СССР 29.111.1973
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА [1] Р о д ж е р с К., Укладки и покрытия, М., 1963.
[2] Б а р а н о в с к и й Е . П . , Упаковки, покрытия, разбиения и некоторые другие расположения в пространствах постоянной кривизны, Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия.
1967, М., 1969, 185-225.
[3] В а г n e s E. S., D i c k s o n T. J., Extreme coverings of space by spheres, J. Austr. Math. S o c , 7, № 1, (1967), 115-127.
[4] D i с k s о n T. J., A sufficient condition for an extreme covering on rc-space by spheres, J. Austr. Math. S o c , 8, № 1 (1968), 5 6 - 6 2 .
[5] Д е л о н е Б. Н., Д о л б и л и н Н. П., Р ы ш к о в С. С , Ш т о г р и н М . И . , Новое построение теории решетчатых покрытий «-мерного пространства равными шарами, Изв.
АН СССР, Сер. матем., 34, № 2 (1970), 289—298.
[6] Р ы ш к о в С. С , Полиэдр ц (т) и некоторые экстремальные задачи геометрии чисел, Докл. АН СССР, 194, № 3 (1970), 5 1 4 - 5 1 7 .
[7] Д е л о н е Б . Н., Р ы ш к о в С. С , Экстремальные задачи теории положительных квадратичных форм, Тр. Матем. ин-та АН СССР, 112 (1971), 2 0 3 - 2 2 3 .
[8] Д е л о н е Б. Н., Р ы ш к о в С. С , К теории экстремумов многомерной g-функции, Докл. АН СССР, 173, № 5 (1967), 9 9 1 - 9 9 4 .
[9] Д е л о н е Б . Н . , Геометрия положительных квадратичных форм, Успехи матем. наук, № 3 (1937), 482—484.
[10] В и т у ш к и н А. Г., Оценка сложности задачи табулирова
ния, М., 1969.
[11] В о р о н о й Г. Ф., Исследования о примитивных параллело- эдрах, Собр. соч., т. 2, Киев, 1952.
