(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал С

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. В. Полин, Семейства квазигрупповых операций, связан- ных обобщенным тождеством дистрибутивности, Дискрет.

матем., 2018, том 30, выпуск 2, 99–119 DOI: https://doi.org/10.4213/dm1519

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 22:57:38

ТОМ

30

2 ∗ 2018

УДК 519.548.74 DOI 10.4213/dm1519

Семейства квазигрупповых операций, связанных обобщенным тождеством

дистрибутивности

©

2018 г. С. В. Полин

В предыдущей работе автор‘ исследовал системы уравнений над некоторым семейством S квазигрупп. В ней предложен способ исключения из системы уравнений крайнего неизвестного и показано, что для исключения последу- ющих неизвестных необходимо, чтобы семейство S квазигрупп удовлетворяло обобщенному тождеству дистрибутивности (ОТД). В настоящей работе мы опи- шем семейства S, удовлетворяющие ОТД. Результаты будут применяться для построения классов просто решаемых систем уравнений.

Ключевые слова: системы уравнений, алгоритм Гаусса, квазигруппы, обобщенное тождество дистрибутивности

Процесс функционирования некоторых блочных узлов шифрования можно опи- сать с помощью следующей системы уравнений:











b₁=F₁(α₁(b₀), β₁(k₁)), b2=F2(α2(b1), β2(k2)),

...

b_n=F_n(α_n(b_n−1), β_n(k_n)) ;

где b_i — блок открытого текста,K= (k₁, k₂, . . . , k_n) — ключ. Результатом шифро- вания является блокbn. При этом ключXпри шифровании всех блоков одинаков¹. В ряде случаев удобно заменить систему уравнений одним уравнением. Так, если открытый блок известен, то, введя в рассмотрение операции⊛1,⊛2, . . .⊛n−1, для которых

y₁⊛1y₂=F₂(α₂(F₁(α₁(b₀), β₁(y₁))), β₂(y₂)), y1⊛^my2=Fm+1(αm+1(y1), β2(y2)) (m >1) , получаем равенство

(. . .((k1⊛¹k2)⊛²k3). . .)⊛n−1kn =bn.

1Возможен также случай, когда ключ меняется от блока к блоку, но таким образом, что суще- ствуют повторы ключа.

∗Место работы: Академия криптографии Российской Федерации, e-mail: SVPolin@rambler.ru

4*

Выписав такие равенства для всех тактов (для тактов с повторяющимся ключом), получаем систему уравнений для определения ключа. В связи с этим возникает задача изучения таких систем уравнений.

Это исследование начато в [4], где рассматривался класс Σn систем, состоящих из уравнений вида

(. . .((x1⊛¹x2)⊛²x3). . .)⊛n−1xn=a ,

где каждая из операций ⊛ⁱ выбирается из некоторого множества Si и является либо квазигрупповой, либо имеет вид

y₁⊛jy₂=y_εγ

для некоторой подстановки γ и номераε∈ {1,2}. Показано, что решение каждой такой системы сводится к решению системы уравнений, не зависящей от неизвест- ного x_n. Также показано, что если система множеств S₁, . . . ,S_n−1 удовлетворяет обобщенному тождеству дистрибутивности (ОТД, см. [2, гл.1])

∀⊗1,⊗2∈Si,⊕1∈Ti∃⊗3∈Si,⊕2∈T_i−1 (x⊗1z)⊕1(y⊗2z) = (x⊕2y)⊗3z , где Tj — множество операций, зависящее от множеств Sj+1, . . . ,Sn−1, то вновь построенная система принадлежит классуΣ_n−1 и, следовательно, возможен переход к системе уравнений, не зависящей отx_n−1, xn.

Таким образом, система множеств, удовлетворяющая ОТД, позволяет построить класс систем уравнений, для которого существует алгоритм решения методом по- следовательного исключения неизвестных, что приводит к задаче построения таких систем.

В [6] предложен способ построения группоидов, однородных над группой, кото- рый дает возможность строить примеры дистрибутивных квазигрупп. В настоящей работе мы обобщим этот метод, что даст нам возможность строить группоиды, од- нородные над полигонами. Используя ее, мы опишем системы множеств, удовле- творяющих тождеству

∀⊗1,⊗2∈S,⊕1∈T∃⊗3∈S⊕2∈ O2(A) (x⊗1z)⊕1(y⊗1z) = (x⊕2y)⊗2z .

В дальнейшей работе мы предполагаем применить полученные результаты для по- строения классов просто решаемых систем уравнений.

1. Основные определения и обозначения

ПустьA— произвольное множество и

On(A) — множество всехn-арных операций, действующих на множествеA(дру- гими словами,On(A) есть множество всех отображений видаω:Aⁿ →A).

S(A) — группа всех подстановок множества A.

Нейтральным элементом этой группы является тождественное отображениеid_A множестваAна себя. Так как каждая подстановка является отображением множе- ства Aна себя, тоS(A)⊆ O1(A).

Для произвольной операции ⊛∈ O2(A) и элементаa∈A правой трансляцией, соответствующей элементу a, называется отображение ρ^⊛_a : A → A, определен- ное следующим образом: bρ^⊛_a =b⊛a. Двойственным образом определяется левая трансляцияλ^⊛_a :A→A: bλ^⊛_a =a⊛b. Если все правые (левые) трансляции являют- ся подстановками множества A, то говорят, что операция⊛ регулярна по первому (второму)аргументу. Это эквивалентно тому, что каждое уравнение

x⊛a=b (a⊛y=b)

имеет единственное решение. Множество бинарных операций, регулярных по i-му аргументуi∈ {1,2}, обозначим черезRi(A). Если же все правые (левые) трансля- ции являются константами², то говорят, что операция⊛ не зависит существенно от первого (второго)аргумента. Соответствующий аргумент будем в этом случае называть несущественным.

Множество бинарных операций, регулярных по каждому существенному аргу- менту обозначим через Q^∗(A). Входящие в это множество операции можно клас- сифицировать в зависимости от регулярности или нерегулярности того или иного аргумента. Приходим к четырем подмножествам:

– Множество операций, регулярных по каждому аргументу. Ясно, что мно- жество бинарных операций, регулярных по каждому аргументу, совпадает с множествомQ(A) квазигрупповых операций, действующих на множествеA.

– Множества G1(A), G2(A), где Gi(A) состоит из операций, регулярных по i-му аргументу и не зависящих существенно от другого аргумента, т.е. ⊗ ∈ Gi(A) тогда и только тогда, когда

x1⊗x2=xiγ (1.1)

для некоторой подстановкиγ∈ S(A).

– Множество C(A) операций-констант, не зависящих от обоих аргументов.

МножествоC(A) состоит из всех операцийωa (a∈A), гдеxωa =a. Наряду с введенными множествами будем рассматривать подмножествоQ^∗_i(A) = Q(A)∪ Gi(A) операций, регулярных по i-му аргументу, и подмножество Gi(A) ∪ C(A) операций, не зависящих существенно от аргумента с номером3−i.

Для операции ⊛∈ O₂(A) также определим отображениеθ_⊛ : A→A, положив aθ_⊛ =a⊛a. Еслиθ_⊛ =idA, что эквивалентно выполнению тождества x⊛x=x, то эта операция называется идемпотентной. Множество операций ⊛ ∈ O2(A), для которых отображениеθ_⊛ является подстановкой (константой), обозначим через E(A) (B(A)).

Множество автотопий группоида ⟨A;⊕⟩, т.е. множество упорядоченных троек (α, β, γ)∈ S(A)³, для которых выполняется тождество

(xα⊕xβ) = (x⊕y)γ .

обозначим через Atp⟨A;⊕⟩. Это множество является подгруппой группыS(A)³.

2Отображениеh:A→A называетсяконстантой, если существует такой элементa∈A, что bh=a для всех элементовb∈A.

2. Полигоны и обобщенное тождество дистрибутивности

ПустьG— подгруппа группы S(A). Тогда каждый элемент g∈G можно рассмат- ривать как унарный оператор, а отображение x → xg как соответствующую ему операцию. Таким образом, получаем алгебру ⟨A;G⟩, операции которой связаны тождествами

x1_G=x , (xg)h=x(gh).

Различные авторы используют различные названия для этой алгебры (пара, пред- ставление, уноид и т.д.). Мы будем называть ее точным полигоном над группой

⟨G,·⟩ или, короче, точным G-полигоном. Так как мы не будем рассматривать неточные полигоны, то в дальнейшем слово "точный" будем опускать.

G-полигон ⟨A;G⟩ называется транзитивным, если для всех элементов a, b ∈ A найдется такой элементg∈G, чтоag=b.

Пусть⟨A;G⟩ — транзитивный полигон. Полагаем M (A;G) = D

⊗ ∈ R1(A)

∀a, b∈A ρ^⊗_a−1

ρ^⊗_b

∈GE .

Для любого нормального делителя K группы Gопределим на множествеM (A;G) отношение≡K следующим образом:

(⊗1≡K⊗2) ⇔

∀a, b∈A

ρ^⊗_b¹⁻¹

ρ^⊗_a¹ ρ^⊗_a²−1

ρ^⊗_b²

∈K .

Нетрудно видеть, что построенное отношение является отношением эквивалентно- сти на множестве M (A;G).

Полагаем

HK=

(g1, g2)∈G²

g₁⁻¹g2∈K

. (2.1)

Легко видеть, что множествоH_K является подгруппой группыG². Для произволь- ного отображенияζ:HK →G положим

Σ (A;G, K, ζ) = ⟨⊕ ∈ O2(A) | ∀(f, g)∈H_K (f, g,(f, g)ζ)∈Atp⟨A;⊕⟩ ⟩. Также положим

Σ (A;G, K) = [

ζ∈G^HK

Σ (A;G, K, ζ). (2.2)

Теорема 2.1. ПустьT⊆Σ (A;G, K),S⊆M (A;G),причем множество S содер- жится в одном из классов эквивалентности отношения ≡K. Тогда выполняется обобщенное тождество

∀⊗1,⊗2∈S,⊕1∈T∃⊗3∈M (A;G),⊕2∈ O2(A) : (x⊗1z)⊕1(y⊗2z) = (x⊕2y)⊗3z .

Доказательство. Пусть ⊗₁,⊗₂ ∈ S,⊕₁ ∈ T. Выберем произвольный элемент ε∈A и положим

a⊕2b=aρ^⊗_ε¹⊕1bρ^⊗_ε².

Так как операции ⊗1,⊗2 принадлежат одному классу эквивалентности отноше- ния≡K, то

ρ^⊗_ε¹−1

ρ^⊗_c¹−1

ρ^⊗_ε²−1

ρ^⊗_c²

= ρ^⊗_c¹−1

ρ^⊗_ε¹ ρ^⊗_ε²−1

ρ^⊗_c²∈K . Поэтому

ρ^⊗_ε¹−1

ρ^⊗_c¹, ρ^⊗_ε²−1

ρ^⊗_c²

∈HK

и определена подстановка ρ^⊗_c³ =

ρ^⊗_ε¹−1

ρ^⊗_c¹, ρ^⊗_ε²−1

ρ^⊗_c² ζ .

Более того, каждая такая подстановка принадлежит группе G, поэтому опера- ция⊗3, определенная следующим образом:

a⊗3c=aρ^⊗_c³,

принадлежит множествуM (A;G). Теперь, учитывая, что⊕1∈Σ (A;G, K, ζ), имеем (a⊗1c)⊕1(b⊗2c) =aρ^⊗_c¹⊕1bρ^⊗_c² =

=aρ^⊗_ε¹

ρ^⊗_ε¹−1

ρ^⊗_c¹

⊕₁bρ^⊗_ε²

ρ^⊗_ε²−1

ρ^⊗_c²

=

= aρ^⊗_ε¹⊕1bρ^⊗_ε²

ρ^⊗_ε¹−1

ρ^⊗_c¹, ρ^⊗_ε²−1

ρ^⊗_c² ζ

= (a⊕2b)⊗3c . Покажем, что теорема 2.1 допускает частичное обращение.

Для любого подмножества S ⊆ R1(A) через r(S) обозначим подгруппу груп- пы S(A) подстановок множества A, порожденную всеми подстановками δ_ab^⊗ = (ρ^⊗_a)⁻¹ρ^⊗_b (⊗ ∈S, a, b∈A). Введенная группа позволяет для любого множества S⊆ R1(A) рассматривать полигон⟨A;r(S)⟩.

Если полигон⟨A;r(S)⟩ транзитивен, то множество операций S также будем на- зывать транзитивным. Достаточное условие транзитивности дает следующее утвер- ждение.

Лемма 2.1. ПустьS⊆ R1(A) и множество S содержит хотя бы одну квазиг- рупповую операцию. Тогда множествоS транзитивно.

Доказательство. Пусть ⊗ — квазигрупповая операция из множества S, ε ∈ A. Для краткости подстановку (λ^⊗_ε)⁻¹ обозначим черезL. Для всех элементов c∈A имеем

ερ^⊗_cL=ε⊗cL= (cL)λ^⊗_ε =c .

Поэтому для любых элементовa, b∈A выполняются равенства an

ρ^⊗_aL−1

ρ^⊗_bLo

=ερ^⊗_bL=b .

По определению, элемент в фигурных скобках принадлежит группе r(S). Следо- вательно, эта группа транзитивна.

Наряду с группой r(S) будем рассматривать подгруппу r₂(S) группы r(S)², порожденную всеми парами δ_ab^⊗1, δ^⊗_ab²

(⊗1,⊗2∈S, a, b∈A). В частности, пары вида δ^⊗_ab, δ_ab^⊗

(⊗ ∈S, a, b∈A) содержатся в группе r(S)². Нетрудно видеть, что множество таких пар порождает подгруппу

∆_r(A)=⟨(g, g)|g∈r(A)⟩. Таким образом, имеем

r(A)²⊇r2(A)⊇∆r(A)=⟨(g, g)|g∈r(A)⟩. (2.3) Полагаем

k(S) =⟨h∈r(S) |(idA, h)∈r2(S)⟩.

Легко видеть, что k(S) является подгруппой группы r(S). Пусть q ∈ r(S), h∈k(S). Тогда из включений (2.3) следует, что(g, g)∈r₂(S). Поэтому пара

id_A, g⁻¹hg

= (g, g)⁻¹(id_A, h) (g, g)

принадлежит группеr₂(S) иk(S) является нормальным делителем группыr₂(S). Теорема 2.2. ПустьS⊆ R1(A), T⊆ O2(A),множество S содержит хотя бы одну квазигрупповую операцию и выполняется обобщенное тождество

∀⊗1,⊗2∈S,⊕1∈T∃⊗3∈S⊕2∈ O2(A)

(x⊗1z)⊕1(y⊗1z) = (x⊕2y)⊗2z . (2.4) Тогда существуют такая подгруппа G ⊆ S(A) и такой ее нормальный дели- тель K, что полигон ⟨A;G⟩ транзитивен,T⊆Σ (A;G, K),S⊆M (A;G) и мно- жествоS содержится в одном из классов эквивалентности отношения≡K. Доказательство. Полагаем G = r(S), K = k(S). Транзитивность полигона

⟨A;G⟩ вытекает из леммы 2.1. ВключениеS⊆M (A;G) вытекает непосредственно из построений.

Рассмотрим произвольные операции ⊗1,⊗2∈S и элементыa, b∈A. Имеем idA, κ^⊗_ab^1⊗2

= δ^⊗_ab¹, δ_ab^⊗1−1

δ^⊗_ab¹, δ^⊗_ab² .

Так как пары, входящие в правую часть равенства, принадлежат группе r2(S), то id_A, κ^⊗_ab^1⊗2

∈r₂(S) и

ρ^⊗_b¹−1

ρ^⊗_a¹ ρ^⊗_a²−1

ρ^⊗_b²=κ^⊗_ab^1⊗2 ∈k(S). (2.5) Таким образом, операции ⊗1,⊗2 находятся в отношении≡K. Так как они выбира- лись произвольно, то все множествоS содержится в одном классе эквивалентности отношения ≡K.

Рассмотрим произвольную операцию⊕ ∈T и положим H⊕=

(f, g)∈G²

∃q∈G (f, g, q)∈Atp⟨A;⊕⟩

.

Очевидно, что это множество является подгруппой группыG².

Пусть⊗1,⊗2 ∈S. При сделанных предположениях существуют такие операции

⊗3∈S,⊕2⊆ O2(A), что выполняется тождество

(x⊗1z)⊕(y⊗2z) = (x⊕2y)⊗3z . Это тождество можно записать в эквивалентном виде

xρ^⊗_z¹⊕yρ^⊗_z²

ρ^⊗_z³⁻¹

=x⊕2y .

Так как правая часть не зависит от термаz, то левая часть не должна существенно от него зависеть. Поэтому выполняется тождество

xρ^⊗_z¹⊕yρ^⊗_z²

ρ^⊗_z³⁻¹

= xρ^⊗_u¹⊕yρ^⊗_u²

ρ^⊗_u³⁻¹ .

Заменив термы z, u произвольными элементамиb, a∈A, получаем тождество xρ^⊗_b¹⊕yρ^⊗_b²

ρ^⊗_b³⁻¹

= xρ^⊗_a¹⊕yρ^⊗_a²

ρ^⊗_a³−1

, что эквивалентно тождеству

x ρ^⊗_a¹−1

ρ^⊗_b¹⊕y ρ^⊗_a²−1

ρ^⊗_b² = (x⊕y) ρ^⊗_a³−1

ρ^⊗_b³, которое показывает, что пара

(ρ^⊗_a¹)⁻¹ρ^⊗_b¹,(ρ^⊗_a²)⁻¹ρ^⊗_b²

принадлежит группе H⊕. Следовательно, группа r2(S), порожденная этими парами, содержится в груп- пеH⊕.

Рассмотрим группу H_K, определенную формулой (2.1), и ее произвольный эле- мент (g1, g2) ∈ HK. По определению, элемент g₁⁻¹g2 принадлежит нормальному делителю K = k(S) и idA, g₁⁻¹g2

∈ r2(S). Из включений (2.3) следует, что (g₁, g₁) ∈ r₂(S). Так как (g₁, g₂) = (g₁, g₁) id_A, g₁⁻¹g₂

, то (g₁, g₂) ∈ r₂(S) и HK ⊆r2(S)⊆H_⊕. Поэтому для каждой пары(f, g)∈HK множество

Z_⊕(f, g) =⟨q∈G| (f, g, q)∈Atp⟨A;⊕⟩ ⟩

не пусто. В каждом таком множестве произвольно выберем элемент(f, g)ζ. Ясно, что ⊕ ∈Σ (A;G, K, ζ) и T⊆Σ (A;G, K) из-за произвольности выбора операции⊕. Таким образом, наша задача во многом сводится к описанию множеств Σ (A;G, K),M (A;G) и отношения≡_K.

3. Множество M (A; G) и отношение ≡

В дальнейших рассмотрениях будет фиксирован G-полигон ⟨A;G⟩. Кроме того, выберем и фиксируем произвольный элементε∈A.

Для упрощения некоторых обозначений нам будет удобно считать, что группа G^A\{ε} содержится в группе G^A. При этом элемент (γa)_a∈A\{ε} ∈ G^A\{ε} будем отождествлять с таким элементом (τa)_a∈A∈G^A, что

τa=

γa, a̸=ε, 1_G, a=ε.

Для описания множестваM (A;G) и отношения≡K нам потребуется следующая конструкция

Пусть⊛∈ O₂(A),α∈ S(A), γ= (γ_a)_a∈A∈G^A\{ε}. Определим операцию⊛αγ, положив

x⊛^αγy= ((xα)⊛y)γy. Теорема 3.1. Пусть⊛∈M (A;G). Тогда:

1. Операция⊗ принадлежит множествуM (A;G) тогда и только тогда,ко- гда существуют такие элементыα∈ S(A),γ∈G^A\{ε},что

⊗=⊛^αγ. (3.1)

Для каждой операции⊗ ∈M (A;G) элементыα, γ,удовлетворяющие равен- ству (3.1),определяются единственным образом.

2. Классом эквивалентности отношения≡_K,содержащим операцию⊛αγ,яв- ляется множество

D⊛β(γκ)

β∈ S(A), κ∈K^G\{ε}E .

Доказательство. Допустим, что имеет место равенство (3.1). Тогда для любого элементаa∈A выполняется равенство

ρ^⊗_a =α ρ^⊛_aγ_a. (3.2)

Теперь для любых двух элементовa, b∈A имеем ρ^⊗_a−1

ρ^⊗_b =

γ_a⁻¹ ρ^⊛_a−1

α⁻¹

α ρ^⊛_b γ_b

=γ_a⁻¹ ρ^⊛_a−1

ρ^⊛_b

γ_b. (3.3) Так как⊛∈M (A;G), то(ρ^⊛_a)⁻¹ρ^⊛_b ∈G, то(ρ^⊗_a)⁻¹ρ^⊗_b ∈G и⊗ ∈M (A;G).

Из (3.2) вытекают равенства α=ρ^⊗_εγ_ε⁻¹ ρ^⊛_ε−1

, γ_a= ρ^⊛_a−1

ρ^⊛_εγ_ε ρ^⊗_ε−1

ρ^⊗_a (a∈A\ {ε}), (3.4) которые доказывают однозначность элементовα, γ

Теперь допустим, что⊗ ∈M (A;G). Определим элементыα, γравенствами (3.4).

Заметим, что второе из них выполняется и дляα=ε. Теперь имеем b⊛^αγa= ((bα)⊛a)γa =b

αρ^⊛_aγa =

=bn

ρ^⊗_εγ_ε⁻¹ ρ^⊛_ε−1

ρ^⊛_a ρ^⊛_a−1

ρ^⊛_εγε ρ^⊗_ε−1

ρ^⊗_ao

=bρ^⊗_a =b⊗a . Таким образом, равенство (3.1) выполняется, и утверждение 1 доказано.

Чтобы доказать утверждение 2, докажем вначале, что класс эквивалентности, содержащий операцию⊛, состоит из всех таких операций⊛^αγ, чтоγ∈K^G\{ε}.

Учитывая равенство (3.3), имеем ρ^⊛_ε−1

ρ^⊛_a⁻¹

ρ^⊛_ε^αγ−1

ρ^⊛_a^αγ = ρ^⊛_a−1

ρ^⊛_ε γ_ε⁻¹

ρ^⊛_ε−1

ρ^⊛_a

γ_a =γ_a.

Поэтому если⊛≡K⊛αγ, то каждый элементγ_a принадлежит нормальному делите- люK. Обратно. Пусть каждый элементγa принадлежит нормальному делителюK.

Опять учитывая равенство (3.3), получаем

ρ^⊛_a−1

ρ^⊛_b−1

ρ^⊛_a^αγ−1

ρ^⊛_b^αγ =

ρ^⊛_a−1

ρ^⊛_b−1

γ_a⁻¹ ρ^⊛_a−1

ρ^⊛_b γb.

Правая часть равенства принадлежит нормальному делителю K. Следовательно, ему же принадлежит и левая часть, ⊛≡K⊛^αγ, и описание класса эквивалентности получено.

В качестве ⊛ выбиралась произвольная операция. Поэтому доказанное утвер- ждение можно применить к любой операции⊛αγ. В результате получаем, что класс эквивалентности, содержащий операцию ⊛^αγ, состоит из всех операций вида

x(⊗_αγ)_βκy= ((xβ)⊛αγy)κ_y = ((xβα)⊛y)γ_yκ_y,

где β — произвольная подстановка, κ — произвольный элемент группы K^A\{ε}. Осталось заметить, что (⊗_αγ)_βκ=⊛(βα)(γκ).

Следствие 3.1. Множество M (A;G) состоит из всех операций ♢αγ

α∈ S(A), γ∈G^A\{ε}

,где x♢_αγy=xα(γ_y).

Доказательство. Рассмотрим операцию ♢, для которой x♢y =x. Для всех эле- ментов a, b∈ A имеем ρ^♢_a = ρ^♢_a−1

ρ^♢_b = 1_G ∈ G. Поэтому ♢ ∈M (A;G). Теперь наше утверждение вытекает из теоремы 3.1.

Теорема 3.1 позволяет, зная одну операцию⊛, описать все операции из множества M (A;G). В дальнейшем мы увидим, что эта же операция позволяет описать мно- жества Σ (A;G, K). При этом для упрощения описания желательно использовать операцию, обладающую двусторонней единицей. Следующее утверждение показы- вает, что такая операция всегда существует.

ЧерезMε(A;G) обозначим подмножество множестваM (A;G), состоящее из всех операций ⊛, для которых элементεявляется двусторонней единицей.

Лемма 3.1. Множество Mε(A;G) не пусто. Если множество M (A;G) содер- жит квазигрупповую операцию, то существует такая операция ⊛ ∈ Mε(A;G), что группоид⟨A;⊛⟩ является лупой.

Доказательство. Для каждого элемента a ∈ A\ {ε} полагаем G^(a) =

⟨g∈G|εg=a⟩. Так как полигон⟨A;G⟩ транзитивен, то каждое из этих множеств не пусто. Произвольно выберем в множестве G^(a) элементg_a. Тем самым опреде- лен элемент g ∈ G^A\{ε}. Положим⊛ =♢id_Ag, т.е. a⊛b =agb. Из следствия 3.1 вытекает, что⊛∈M (A;G). Далее. a⊛ε=agε=a1G=a , ε⊛a=εga=a. Таким образом, и ⊛∈M_ε(A;G).

Пусть⊗ — квазигрупповая операция, принадлежащая множествуM (A;G). При- меним стандартный метод построения лупы, изотопной квазигруппе ⟨A;⊗⟩. Для этого положимL= (λ^⊗_ε)⁻¹ и

x⊛y=x ρ^⊗_εL−1

⊗yL .

Имеем

x⊛ε=x ρ^⊗_εL⁻¹

⊗εL=x ρ^⊗_εL⁻¹

ρ^⊗_εL=x, ερ^⊗_εL=ε⊗εL=εLλ^⊗_ε =ε , ε ρ^⊗_εL−1

=ε , ε⊛y=ε ρ^⊗_εL⁻¹

⊗yL=ε⊗yL=ε⊗yL=yLλ^⊗_ε =y . Далее,

xρ^⊛_a =x⊛a=x ρ^⊗_εL⁻¹

⊗aL=x ρ^⊗_εL⁻¹ ρ^⊗_aL и ρ^⊛_a = ρ^⊗_εL−1

ρ^⊗_aL∈G.

4. Допустимые множества Σ (A; G, K, ζ)

Для нашей цели (построения алгоритма решения систем уравнений) необходимо, чтобы рассматриваемые множестваS,T операций содержали квазигрупповые опе- рации. Это серьезно ограничивает выбор отображения ζ и позволяет уточнить теорему 2.2.

Лемма 4.1. Пусть множествоΣ (A;G, K, ζ) содержит такую операцию ⊕,что отображение ⊕ : A×A → A сюръективно. Тогда отображение ζ : HK → G является гомоморфизмом групп.

Доказательство. Выберем произвольно элементы a ∈ A, (f₁, g₁),(f₂, g₂) ∈ H_K. Так как отображение ⊕ : A×A → A сюръективно, то найдутся такие элементы b, c∈A, чтоa=b⊕c. Имеем

a((f1f2, g1g2)ζ) = (b⊕c) ((f1f2, g1g2)ζ) = (b(f1f2)⊕c(g1g2)) =

= ((bf1)f2⊕(cg1)g2) = (bf1⊕cg1) ((f2, g2)ζ) =

= (b⊕c) ((f₁, g₁)ζ) ((f₂, g₂)ζ) =a((f₁, g₁)ζ) ((f₂, g₂)ζ).

Так как полигон⟨A;G⟩ точен, то(f₁f₂, g₁g₂)ζ = ((f₁, g₁)ζ) ((f₂, g₂)ζ), и утвержде- ние доказано.

Для полигона ⟨A;G⟩ и автоморфизмаτ группыGположим B(A;G) =⟨⊕ ∈ B(A)| ∀g∈G xg⊕yg=x⊕y⟩, E(A;G, τ) =

⊕ ∈ B(A)

∀g∈G xg⊕yg= (x⊕y)τ⁻¹gτ .

Для этого же полигона через N(G) обозначим нормализатор группы G в группе подстановокS(A)

Лемма 4.2. Пусть выполняются условия теоремы 2.2, G = r(S), K = k(S), S ⊆ G₁^∗(A) и множество S содержит хотя бы одну квазигрупповую опера- цию. Тогда любая операция ⊕ ∈ T принадлежит одному из множеств B(A;G), E(A;G, τ) τ∈N(G).

Доказательство. Пусть ⊕ ∈ T. Тогда в силу теоремы 2.2 для некоторого отоб- ражения ζ :HK →G (мы используем обозначения, введенные при доказательстве

теоремы 2.2) операция ⊕ принадлежит множеству Σ (A;G, K, ζ). Отсюда, в част- ности, следует, что для любого элемента g∈G выполняется тождество

xg⊕yg= (x⊕y) ((g, g)ζ). (4.1) Рассмотрим произвольную операцию ⊗1 ∈ S∩ Q(A). Тогда существуют такие операции ⊗2∈S, ⊕2∈ O2(A), что выполняется тождество

(x⊗1z)⊕1(y⊗1z) = (x⊕2y)⊗2z . (4.2) Допустим, что⊗₂∈ Q(A). Имеем

aλ^⊗_ε¹θ_⊕= (ε⊗₁a)θ_⊕= (ε⊗₁a)⊕(ε⊗₁a) = (ε⊕₂ε)⊗₂a=aλ^⊗_ε⊕²

2ε, θ⊕= λ^⊗_ε¹−1

λ^⊗_ε⊕²_2ε,

т.е. отображение θ⊕ является подстановкой и ⊕ ∈ E(A). Далее, из тождества (4.1) следует тождество

xgθ⊕=xg⊕xg= (x⊕x) ((g, g)ζ) =xθ⊕((g, g)ζ), что дает

θ_⊕⁻¹gθ_⊕ = (g, g)ζ (4.3)

Подставив это выражение в тождество (4.1), получаем, что⊕ ∈ E(A;G, θ⊕). Так как ζ отображает группуH_K вG, то правая часть равенства при любом элементеg∈G принадлежит группе G. Следовательно, и левая часть при любом элементе g∈G принадлежит группе G. Поэтому, θ⊕∈N(G).

Теперь допустим, что операция ⊗2 не является квазигрупповой. Так как

⊗2∈S⊆ G₁^∗(A), то ⊗2 ∈ G1(A), т.е. x⊗2y = xσ для некоторой подстановки σ∈ S(A). Получаем тождество

(x⊗1z)⊕(y⊗1z) = (x⊕2y)σ , (4.4) Для любого элементаa∈A имеем

ε⊗1a λ^⊗_ε¹−1

=a λ^⊗_ε¹−1

λ^⊗_ε¹ =a , aθ_⊕=a⊕a=

ε⊗1a λ^⊗_ε¹−1

⊕

ε⊗1a λ^⊗_ε¹−1

= (ε⊕2ε)σ .

Таким образом, ⊕ ∈ B(A). Так как правая часть тождества (4.4) не зависит су- щественно от аргумента z, то от него не зависит и левая часть, т.е. выполняется тождество

(x⊗₁z)⊕(y⊗₁z) = (x⊗₁u)⊕(y⊗₁u). (4.5) Так как операция⊗₁ выбиралась произвольно из множестваS∩Q(A), то тождество (4.5) выполняется для всех операций из указанного множества.

Теперь рассмотрим произвольную операцию ⊗1 ∈ G1(A). Тогда x⊗1z=xγ для какой-то подстановкиγ∈ S(A). Подставив эту операцию в формулу (4.5), получаем тавтологию

xγ⊕yγ=xγ⊕yγ ,

т.е. тождество (4.5) выполняется для всех операций⊗1∈ S. Пустьa, b∈A. Тогда, используя тождество (4.5), получаем

x⊕y=

x ρ^⊗_a¹−1

ρ^⊗_a¹

⊕

y ρ^⊗_a¹−1

ρ^⊗_a¹

=

=

x ρ^⊗_a¹−1

⊗1a

⊕

y ρ^⊗_a¹−1

⊗1a

=

=

x ρ^⊗_a¹−1

⊗₁b

⊕

y ρ^⊗_a¹−1

⊗₁b

=

x ρ^⊗_a¹−1

ρ^⊗_b¹

⊕

y ρ^⊗_a¹−1

ρ^⊗_b¹ . Таким образом,

ρ^⊗_a¹−1

ρ^⊗_b¹, ρ^⊗_a¹−1

ρ^⊗_b¹, id_A

∈Atp⟨A;⊕1⟩. (4.6) Поэтому группа Atp⟨A;⊕1⟩ содержит подгруппу группыS(A)³, порожденную все- ми левыми частями включений (4.6). Очевидно, что эта подгруппа равна подгруппе

⟨(g, g,id_A)|g∈G⟩. Таким образом, (g, g,id_A) ∈ Atp⟨A;⊕₁⟩, а это и означает, что

⊕ ∈ B(A;G).

Таким образом, нам нужно исследовать множестваΣ (A;G, K, ζ), в которых отоб- ражение ζ: H_K →G является гомоморфизмом групп и справедливо одно из двух следующих высказываний:

∃τ∈N(G) ∀g∈G (g, g)ζ=τ⁻¹gτ , (4.7)

∀g∈G (g, g)ζ= 1G. (4.8)

Более того, можно ограничиться случаемτ= 1G, при котором условие (4.7) приоб- ретает вид

∀g∈G (g, g)ζ=g . (4.9)

Это вытекает из следующей леммы.

Лемма 4.3. Пустьτ∈N(G),гомоморфизмζ:HK→G удовлетворяет высказы- ванию

∀g∈G (g, g)ζ=τ⁻¹gτ ,

ζ^τ :HK →G — гомоморфизм,для которого(g, h)ζ^τ =τ((g, h)ζ)τ⁻¹. Тогда:

1) гомоморфизм ζ^τ удовлетворяет высказыванию

∀g∈G (g, g)ζ^τ =g,

2) операция⊕ принадлежит множествуΣ (A;G, K, ζ) тогда и только тогда, когда операция ⊕^τ,для которойx⊕^τy= (x⊕y)τ⁻¹,принадлежит множе- ствуΣ (A;G, K, ζ^τ).

Доказательство. Утверждение 1) вытекает непосредственно из построений.

Пусть⊕ ∈Σ (A;G, K, ζ). Тогда для любой пары(g, h)∈HK имеем xg⊕^τyh= (xg⊕yh)τ⁻¹= (x⊕y) ((g, h)ζ)τ⁻¹= (x⊕^τy)τ((g, h)ζ)τ⁻¹. Следовательно, ⊕^τ ∈ Σ (A;G, K, ζ). Обратное утверждение доказывается аналогично.

Таким образом, для описания интересующих нас операций достаточно описать множества Σ (A;G, K, ζ), для которых гомоморфизм ζ удовлетворяет одному из двух условий (4.8) и (4.9). Чтобы избежать повторов в определениях и доказатель- ствах, рассмотрим и исследуем множество Σ⟨A;G, ξ⟩ операций, удовлетворяющих всем тождествам вида

xg⊕yg= (x⊕y) (gξ) (g∈G) где ξ — некоторый эндоморфизм группыG.

5. Описание множеств Σ (A; G, ξ)

Напомним, что в разделе 3 нами был выбран и фиксирован элемент ε∈A. Через Gε будем обозначать его стабилизатор, т.е. подгруппу, состоящую из всех таких элементовg∈G, чтоεg=ε.

Также выберем и фиксируем в дальнейших рассмотрениях операцию ⊛ ∈ M (A;G), для которой εявляется двусторонней единицей. Отметим, что

ρ^⊛_a = ρ^⊛_ε−1

ρ^⊛_a ∈G (5.1)

для любого элемента a∈A. Определим операцию⊛⁻¹, положив x⊛⁻¹y=x ρ^⊛_y⁻¹

. Для этой операции имеем

x⊛⁻¹y

⊛y=

x ρ^⊛_y−1

ρ^⊛_y =x ,

т.е. данная операция являетсялевой обратной операцией для операции⊛. Хосзу [6] называет группоид ⟨G;⊕⟩ однородным над группойG, если

b⊕a= ba⁻¹ λ

a

для некоторой подстановки λ. Близкие конструкции рассмотрены в работах [1, 2].

Обобщим эту конструкцию на рассматриваемый случай.

Черезz(Gε, ξ) обозначим множество всех таких отображенийψ:A→A, что для всех элементовa∈A, q∈G_ε выполняется равенство

(aq)ψ= (aψ) (qξ). (5.2)

Для каждого отображенияψ∈z(Gε, ξ) определим операции⊕ψξ, ⊕^#_ψξ следующим образом:

b⊕ψξa= b⊛⁻¹a

ψ ρ^⊛_a ξ

, b⊕^#_ψξa= a⊛⁻¹b

ψ ρ^⊛_b ξ

. (5.3)

Теорема 5.1. Пусть ⊕ ∈ O2(A), ξ : G → G — эндоморфизм группы G. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. ⊕ ∈Σ⟨A;G, ξ⟩.

2. Существует такое отображение ψ∈z(Gε, ξ),что операции ⊕ и ⊕ψξ сов- падают.

3. Существует такое отображение φ∈z(Gε, ξ),что операции ⊕ и ⊕^#_{φ ξ} сов- падают.

Доказательство. Пусть выполняется условие 1 иa∈A, q∈Gε. Тогда aqρ^ε_⊕=aq⊕ε=aq⊕εq= (a⊕ε) (qξ) =aρ^ε_⊕(qξ).

Таким образом,ρ^⊕_ε ∈z(Gε, ξ). Положимψ=ρ^⊕_ε . Тогда, учитывая включение (5.1), имеем

b⊕a= b⊛⁻¹a

⊛a

⊕(ε⊛a) = b⊛⁻¹a

ρ^⊛_a ⊕ερ^⊛_a =

= b⊛⁻¹a

⊕ε ρ^⊛_a

ξ

= b⊛⁻¹a

ψ ρ^⊛_a ξ

=b⊕ψξa . Таким образом, выполняется условие 2.

Пусть выполняется условие 2. Рассмотрим произвольные элементы a, b∈A, g ∈ G и положимh=ρ^⊛_agg⁻¹(ρ^⊛_a)⁻¹. Имеем

εh= ερ^⊛_ag

g⁻¹ ρ^⊛_a−1

= (ε⊛ag)g⁻¹ ρ^⊛_a−1

= (ag)g⁻¹ ρ^⊛_a−1

=

=a ρ^⊛_a−1

= (ε⊛a) ρ^⊛_a−1

= ερ^⊛_a ρ^⊛_a−1

=ε .

.

Таким образом, h∈G_ε. Далее имеемρ^⊛_ag = hρ^⊛_ag и bg⊕ψξag= bg⊛⁻¹ag

ψ ρ^⊛_ag ξ

=

bg ρ^⊛_ag⁻¹

ψ ρ^⊛_ag ξ

=

=

bg hρ^⊛_ag−1

ψ hρ^⊛_ag ξ

=

b ρ^⊛_a−1

h⁻¹

ψ hρ^⊛_ag ξ

=

= b⊛⁻¹a

h⁻¹ψ hρ^⊛_ag ξ

=

= b⊛⁻¹a

ψ h⁻¹ξ

hρ^⊛_ag ξ

= b⊛⁻¹a

ψ h⁻¹ hρ^⊛_ag ξ

=

= b⊛⁻¹a

ψ ρ^⊛_ag ξ

= b⊛⁻¹a

ψ ρ^⊛_a ξ

(gξ) = (b⊕ψξa) (gξ). Таким образом, выполняется условие 1 и условия 1, 2 эквивалентны.

Аналогично доказывается эквивалентность условий 1 и 3.

Из доказательства теоремы 5.1 вытекает, что для заданной операции ⊕ ∈ Σ⟨A;G, ξ⟩ в качестве таких отображенийψ, φ, что выполняется равенство

⊕=⊕ψξ=⊕^#_{φ ξ}, (5.4)

могут быть выбраны отображения ρ^⊕_ε иλ^⊕_ε соответственно. Следующее утвержде- ние показывает, что такой выбор является единственно возможным.

Лемма 5.1. Пустьξ:G→G — эндоморфизм группы G,ψ, φ∈z(Gε, ξ) и выпол- няются равенства (5.4). Тогда

ρ^⊕_ε =ψ , λ^⊕_ε =φ . (5.5)

Доказательство. Так как элемент ε является двусторонней единицей группоида

⟨A;⊛⟩, то трансляция ρ^⊛_ε является тождественной подстановкой, т.е. ρ^⊛_ε = 1_G. Поэтому

aρ^⊕_ε =aρ^⊕ε^ψξ = (a⊕ψξε) =a ρ^⊛_ε⁻¹

ψ ρ^⊛_εξ

=a(1G)⁻¹ψ(1Gξ) =aψ .

При выводе равенства мы воспользовались тем, что любой эндоморфизмξпереводит 1G в себя. Второе из равенств (5.5) доказывается аналогично.