Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Х. Д. Икрамов, Унитарные автоморфизмы пространства ганкелевых матриц. II. Случай четной размерности, Ма- тем. заметки , 2015, том 98, выпуск 1, 76–84
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm10639
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
5 ноября 2022 г., 17:48:32
Математические заметки
Том 98 выпуск 1 июль 2015
УДК 517.4
Унитарные автоморфизмы пространства
ганкелевых матриц. II. Случай четной размерности
Х. Д. Икрамов
Ранее для нечетных 𝑛 автором было дано описание унитарных 𝑛×𝑛-мат- риц 𝑈, обладающих следующим свойством: если 𝐻 – ганкелева матрица, то матрица𝑈*𝐻𝑈 также ганкелева. В данной статье показано, что это описание остается верным для четных𝑛, начиная с𝑛= 4.
Библиография: 1 название.
DOI: 10.4213/mzm10639
1. Введение. Пустьℋ𝑛 – это линейное пространство комплексных ганкелевых 𝑛×𝑛-матриц. Напомним, чтоганкелевой называется матрица вида
𝐻 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
ℎ𝑛−1 ℎ𝑛−2 ℎ𝑛−3 . . . ℎ0
ℎ𝑛−2 ℎ𝑛−3 ℎ𝑛−4 . . . ℎ−1 ℎ𝑛−3 ℎ𝑛−4 ℎ𝑛−5 . . . ℎ−2 . . . .
ℎ0 ℎ−1 ℎ−2 . . . ℎ−𝑛+1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠ .
Нас интересует следующий вопрос: каковы те унитарные 𝑛×𝑛-матрицы, которые отображают пространство ℋ𝑛 в себя посредством подобия. Если 𝑊 обладает этим свойством, то будем писать 𝑊 ∈UAut(ℋ𝑛). Таким образом, запись𝑊 ∈UAut(ℋ𝑛) означает импликацию
∀𝐴∈ ℋ𝑛→𝐵=𝑊*𝐴𝑊 ∈ ℋ𝑛.
Для нечетных 𝑛 ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема, дока- занная в [1].
Теорема 1. Пусть 𝑛>3 – нечетное число. Тогда множество 𝑊 ∈UAut(ℋ𝑛) есть группа,изоморфная прямому произведению унитарной группыU1 и четвер- ной группы Клейна. При этом образующими элементами последней являются диа- гональная матрица
𝒟𝑛= diag(1,−1,1,−1, . . .) и так называемая перъединичная матрица
𝒫𝑛=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 1 . .. 1 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠ .
○c Х. Д. Икрамов, 2015
76
УНИТАРНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ ПРОСТРАНСТВА ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 77
Случай четных порядков 𝑛 оказался значительно более сложным для анализа.
Так, при𝑛= 2группаUAut(ℋ𝑛)отличается от множества, описываемого теоремой1.
Теорема 2. ГруппаUAut(ℋ2)есть прямое произведение унитарной группыU1
и вещественной ортогональной группы O2.
Цель настоящей публикации – показать, что, с точностью до небольшого измене- ния формулировки, утверждение теоремы1остается верным для четных𝑛, начиная с 𝑛= 4. Необходимость изменения связана с тем, что при четных 𝑛 матрицы 𝒟𝑛
и 𝒫𝑛 не коммутируют и, следовательно, группа с такими образующими никак не может быть четверной. Итак, ниже мы доказываем следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть𝑛>4– четное число.Тогда множество𝑊∈UAut(ℋ𝑛)есть группа, изоморфная прямому произведению унитарной группы U1 и дискретной группы,образующими элементами которой являются диагональная матрица 𝒟𝑛
и перъединичная матрица 𝒫𝑛.
2. Вспомогательные утверждения. Отметим некоторые очевидные свойства группы UAut(ℋ𝑛), используемые в дальнейшем изложении.
Предложение 1. При любом𝑛матрица𝒟𝑛 и перъединичная матрица𝒫𝑛 при- надлежат группе UAut(ℋ𝑛).
Действительно, подобие с трансформирующей матрицей𝒫𝑛 есть отражение пре- образуемой матрицы относительно ее центра. Ясно, что такое отражение сохраняет ганкелевость матрицы. Подобие же с трансформирующей матрицей 𝒟𝑛 попросту изменяет знаки элементов преобразуемой матрицы, стоящих на диагоналях𝑖+𝑗= 𝑘 с нечетными индексами𝑘.
Предложение 2. Для любого числа𝛼с модулем единица и произвольной мат- рицы 𝑊 ∈UAut(ℋ𝑛)матрица 𝛼𝑊 также принадлежитUAut(ℋ𝑛).
Предложение 3. Если 𝑊 ∈UAut(ℋ𝑛), то 𝑊*, 𝑊𝑡, 𝑊, 𝒟𝑛𝑊, 𝑊𝒟𝑛, 𝒫𝑛𝑊 и 𝑊𝒫𝑛 также принадлежатUAut(ℋ𝑛).
Предложения2и 3суть простые следствия определения группыUAut(ℋ𝑛).
3. Ненулевые элементы на границе матрицы 𝑊. Пусть𝑛– четное число, большее двух, и пусть𝑊 – матрица изUAut(ℋ𝑛). Проведем вначале анализ случая, когда на границе этой матрицы (т.е. в ее первых и последних строках и столбцах) нет нулевых элементов. Запишем первую и последнюю строки в виде
(𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼𝑛), (1) (𝛽1, 𝛽2, . . . , 𝛽𝑛). (2) Пусть 𝐴 обозначает ганкелеву 𝑛×𝑛-матрицу, единственный ненулевой элемент которой находится в позиции (1,1) и равен единице. Положим
𝐵=𝑊*𝐴𝑊.
Нетрудно видеть, что
𝐵=
⎛
⎜
⎜
⎝
|𝛼1|2 𝛼1𝛼2 . . . 𝛼1𝛼𝑛
𝛼2𝛼1 |𝛼2|2 . . . 𝛼2𝛼𝑛
. . . . 𝛼𝑛𝛼1 𝛼𝑛𝛼2 . . . |𝛼𝑛|2
⎞
⎟
⎟
⎠
. (3)
Согласно предположению все элементы этой матрицы отличны от нуля, а из ее сим- метрии (вытекающей из ганкелевости) следует, что все попарные произведения𝛼𝑘𝛼𝑙
суть вещественные числа. Другими словами, все компоненты строки (1) отличаются друг от друга вещественными множителями. Положим
𝜇= 𝛼2
𝛼1
и запишем условия ганкелевости для позиций (𝑘, 𝑘)и(𝑘−1, 𝑘+ 1),26𝑘6𝑛−1:
|𝛼2|2=𝛼1𝛼3, |𝛼3|2=𝛼2𝛼4, . . . , |𝛼𝑛−1|2=𝛼𝑛−2𝛼𝑛. Отсюда выводим
𝛼3
𝛼2 =𝛼2
𝛼1 =𝛼2
𝛼1 =𝜇, 𝛼4
𝛼3 =𝛼3
𝛼2 = 𝛼3
𝛼2 =𝜇,
и т.д. Тем самым компоненты строки (1) образуют геометрическую прогрессию с начальным элементом 𝛼1 и знаменателем𝜇.
Совершенно таким же образом доказывается, что компоненты строки (2) состав- ляют геометрическую прогрессию с начальным элементом𝛽1и знаменателем
𝜈 =𝛽2
𝛽1.
Единственное изменение касается выбора матрицы𝐴для обоснования этого утвер- ждения: ее ненулевой элемент, по-прежнему равный единице, находится теперь в позиции(𝑛, 𝑛), а не(1,1).
Положим
𝑥=𝜇𝜈 ∈R. Скалярное произведение строк (1) и (2) равно
𝛼1𝛽1(1 +𝑥+𝑥2+· · ·+𝑥𝑛−1). (4) До сих пор наши рассуждения полностью повторяли доказательство, проведен- ное для случая нечетных𝑛в [1]. Однако именно в этом месте анализ обоих случаев начинает различаться. В самом деле, при нечетном𝑛выражение (4) не обращается в нуль ни при каком вещественном𝑥, что противоречит ортогональности строк мат- рицы𝑊. При четном𝑛обращение в нуль возможно и происходит для единственного значения𝑥, а именно𝑥=−1. Таким образом, должно быть
𝜈=−𝜇−1,
что и будет в дальнейшем предполагаться. В силу предложения 3 мы можем счи- тать, что𝜇– положительное число, не меньшее единицы.
Евклидовы нормы строк (1) и (2) равны единице. Полагая 𝑓(𝜇) = 1 +𝜇2+𝜇4+· · ·+𝜇2(𝑛−1), имеем
|𝛼1|2𝑓(𝜇) = 1,
|𝛽1|2(1 +𝜇−2+𝜇−4+· · ·+𝜇−2(𝑛−1)) =|𝛽1|2𝜇−2(𝑛−1)𝑓(𝜇) = 1.
УНИТАРНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ ПРОСТРАНСТВА ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 79
Отсюда выводим
|𝛽1|=|𝛼1|𝜇𝑛−1, |𝛽𝑛|=|𝛽1| · |𝜈𝑛−1|=|𝛼1|.
Анализ, изложенный выше для первой и последней строк матрицы𝑊, справедлив и для крайних столбцов этой матрицы. В частности, все элементы первого столбца имеют один и тот же аргумент (по модулю 𝜋), и аналогичное утверждение верно в отношении последнего столбца. Применяя к элементам 𝛼1 и 𝛽1 предложение 3, можем без ограничения общности считать, что
𝛽1=𝛼1𝜇𝑛−1, (5)
а тогда
𝛽𝑛=−𝛼1. (6)
Теперь, с учетом равенств (5) и (6), можно утверждать следующее:
а) элементы первого столбца образуют геометрическую прогрессию со знамена- телем𝜇; она начинается с числа𝛼1 и заканчивается числом𝛽1;
б) элементы последнего столбца образуют геометрическую прогрессию со зна- менателем −𝜇−1; она начинается с числа 𝛽1 и заканчивается числом 𝛽𝑛 =
−𝛼1.
В последующем анализе вместо матрицы 𝑊 можно, не меняя обозначений, рас- сматривать матрицу𝛼−11 𝑊. Это не повлияет на выводы, относящиеся к ортогональ- ности строк и столбцов и соотношению их норм. Таким образом, считаем впредь, что
𝑤11= 1.
Исследуем теперь вторую строку матрицы 𝑊. Запишем ее в виде (𝜇, 𝑥2, 𝑥3, . . . , 𝑥𝑛−1,−𝜇𝑛−2).
Прежнюю матрицу 𝐴заменим на ганкелеву матрицу с единицами в позициях(1,2) и (2,1)и нулями во всех прочих позициях. По-прежнему полагаем
𝐵=𝑊*𝐴𝑊.
Приравнивая элементы матрицы 𝐵, стоящие на одной и той же антидиагонали 𝑖+𝑗=𝑘, получаем
𝑥2+𝜇2=𝜇2+𝑥2,
𝑥3+𝜇3=𝜇𝑥2+𝜇𝑥2=𝜇3+𝑥3,
𝑥4+𝜇4=𝜇𝑥3+𝜇2𝑥2=𝜇2𝑥2+𝜇𝑥3=𝜇4+𝑥4, 𝑥5+𝜇5=𝜇5+𝑥5=𝜇𝑥4+𝜇3𝑥2,
и т.д. Из этих равенств последовательно выводим 𝑥2, 𝑥3∈R, 𝑥3= 2𝜇𝑥2−𝜇3,
𝑥4∈R, 𝑥4=𝜇𝑥3+𝜇2𝑥2−𝜇4= 3𝜇2𝑥2−2𝜇4, 𝑥5∈R, 𝑥5=𝜇𝑥4+𝜇3𝑥2−𝜇5= 4𝜇3𝑥2−3𝜇5.
Продолжая таким образом, придем в конечном счете к равенству
𝑥𝑛−1= (𝑛−2)𝜇𝑛−3𝑥2−(𝑛−3)𝜇𝑛−1. (7) До сих пор были использованы лишь элементы антидиагоналей𝑖+𝑗=𝑘для𝑘= 3,4, . . . , 𝑛. Привлекая теперь позиции(1, 𝑛)и(2, 𝑛−1), находим
−𝜇𝑛−2+𝜇𝑛=𝜇𝑥𝑛−1+𝜇𝑛−2𝑥2. Подставляя сюда выражение (7) для𝑥𝑛−1, получаем
𝑥2=(𝑛−2)𝜇2−1
𝑛−1 . (8)
Теперь с помощью приведенных выше формул для 𝑥3, . . . , 𝑥𝑛−1 можно вычислить остальные элементы второй строки.
Скалярное произведение первой и второй строк равно 𝑆(𝜇) =𝜇+𝜇𝑥2+𝜇2𝑥3+· · ·+𝜇𝑛−2𝑥𝑛−1−𝜇2𝑛−3
=𝜇+𝜇𝑥2+𝜇2(2𝜇𝑥2−𝜇3) +𝜇3(3𝜇2𝑥2−2𝜇4) +· · · +𝜇𝑛−2((𝑛−2)𝜇𝑛−3𝑥2−(𝑛−3)𝜇𝑛−1)−𝜇2𝑛−3
=𝜇𝑥2[1 + 2𝜇2+ 3𝜇4+· · ·+ (𝑛−2)𝜇2(𝑛−3)]
−𝜇5[1 + 2𝜇2+ 3𝜇4+· · ·+ (𝑛−3)𝜇2(𝑛−4)] +𝜇−𝜇2𝑛−3
=𝜇𝜑(𝜇)[𝑥2−𝜇4] +𝜇2𝑛−5(𝑛−2)𝑥2+𝜇−𝜇2𝑛−3, где
𝜑(𝜇) = 1 + 2𝜇2+ 3𝜇4+· · ·+ (𝑛−3)𝜇2(𝑛−4). Функция𝑆(𝜇)обращается в нуль при𝜇= 1, так как
𝜑(1) =(𝑛−3)(𝑛−2)
2 , 𝑥2= 𝑛−3 𝑛−1, 𝑥2−1 = −2
𝑛−1, (𝑛−2)𝑥2= (𝑛−2)(𝑛−3) 𝑛−1 .
Покажем, что𝜇= 1– это единственный корень функции𝑆(𝜇)на множестве𝜇>1.
Нетрудно проверить, что при 𝜇̸= 1справедливо равенство 𝜑(𝜇) =(𝑛−3)𝜇2(𝑛−2)−(𝑛−2)𝜇2(𝑛−3)+ 1
(𝜇2−1)2 . (9)
Подставляя выражения (8) и (9) в формулу для𝑆(𝜇), получим дробь со знаменате- лем
(𝑛−1)(𝜇2−1)2 и числителем
𝑎𝜇2𝑛+1+𝑏𝜇2𝑛−1+𝑐𝜇3+𝑑𝜇, где
𝑎=−(𝑛−2), 𝑏=𝑛, 𝑐=−𝑛, 𝑑=𝑛−2.
УНИТАРНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ ПРОСТРАНСТВА ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 81
Запишем числитель в виде−𝜇𝜓(𝜇), положив
𝜓(𝜇) = (𝑛−2)𝜇2𝑛−𝑛𝜇2𝑛−2+𝑛𝜇2−(𝑛−2).
Можно проверить, что
𝜓(1) =𝜓′(1) =𝜓′′(1) = 0 и
𝜓′′′(𝜇) = 4𝑛𝜇2𝑛−5[(2𝑛2−5𝑛+ 2)(𝑛−1)𝜇2−(2𝑛2−5𝑛+ 3)(𝑛−2)]
= 4𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)𝜇2𝑛−5[(2𝑛−1)(𝜇2−1) + 2].
Напомним, что𝑛>4. Таким образом, третья производная многочлена𝜓(𝜇)сохра- няет положительный знак на множестве 𝜇 >1, откуда выводим, что сам этот мно- гочлен, а вместе с ним и 𝑆(𝜇), не обращается в нуль на данном множестве.
Тем самым первые две строки матрицы 𝑊 ортогональны лишь при𝜇= 1. Для этого значения 𝜇имеем
𝑥3= 2𝑥2−1, 𝑥4= 3𝑥2−2, 𝑥5= 4𝑥2−3, . . . ,
т.е. элементы 1, 𝑥2, 𝑥3, . . . , 𝑥𝑛−1 второй строки образуют арифметическую прогрес- сию с разностью𝑑=𝑥2−1. Поскольку
𝑥2=𝑛−3
𝑛−1 = 1− 2
𝑛−1, 𝑥2−1 =− 2 𝑛−1,
−1−𝑥𝑛−1=−1−(𝑛−2)𝑥2+ (𝑛−3) =− 2 𝑛−1,
в действительности, арифметической прогрессией является вся вторая строка. При этом ее внутренние элементы, начиная с 𝑥2 и кончая 𝑥𝑛−1, меньше единицы по абсолютной величине. В то же время все элементы первой строки равны едини- це. Это означает, что первая и вторая строки имеют разные длины, тогда как, по предположению, матрица 𝑊 лишь скалярным множителем отличается от унитар- ной. Полученное противоречие доказывает, что на границе этой матрицы должны присутствовать нули.
4. Нули на границе матрицы 𝑊. В предыдущем разделе показано, что на границе матрицы𝑊 (т.е. в ее первых и последних строках и столбцах) содержится хотя бы один нуль. В силу предложения3можно считать без ограничения общности, что этот нуль стоит в первой строке, записанной в формуле (1) в виде
(𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼𝑛).
Пусть вначале𝛼1̸= 0. Покажем, что в этом случае все остальные элементы первой строки равны нулю. Предположим противное, и пусть𝛼𝑘,𝑘>2, – ненулевой элемент с наименьшим индексом, а 𝛼𝑙 – самый левый нуль. Если 𝑘= 2, то в матрице (3) элемент (1, 𝑙), т.е. 𝛼1𝛼𝑙, равен нулю, тогда как элемент 𝑏2,𝑙−1=𝛼2𝛼𝑙−1 отличен от нуля, что противоречит ганкелевому свойству матрицы𝐵. Если же𝑙= 2, то отличен от нуля элемент (1, 𝑘), равный 𝛼1𝛼𝑘. В то же время равен нулю элемент 𝑏2,𝑘−1 = 𝛼2𝛼𝑘−1 в противоречии с ганкелевостью матрицы (3).
Итак, в рассматриваемом случае𝛼1– единственный ненулевой элемент в первой строке унитарной матрицы 𝑊. Следовательно, |𝑤11| = 1 и все поддиагональные элементы в первом столбце 𝑊 нулевые. В частности, равен нулю элемент 𝑤𝑛1, обозначенный выше через 𝛽1.
Рассмотрим матрицу, полученную из (3) заменой чисел 𝛼 одноименными чис- лами 𝛽. Эту матрицу мы по-прежнему обозначаем через 𝐵. Пусть 𝛽𝑘, 𝑘 >2, – ненулевой элемент с наименьшим индексом. Если 𝑘 < 𝑛, то 𝑏𝑘𝑘=|𝛽𝑘|2̸= 0, тогда как элемент 𝑏𝑘−1,𝑘+1 =𝛽𝑘−1𝛽𝑘+1 равен нулю. Таким образом, ненулевой элемент в последней строке матрицы 𝑊 только один и стоит он в позиции(𝑛, 𝑛). Поэтому
|𝑤𝑛𝑛|= 1и все внедиагональные элементы в последнем столбце𝑊 нулевые.
Резюмируем проведенный анализ случая 𝛼1 ̸= 0. Матрица 𝑊, соответствующая этому случаю, должна иметь блочно диагональный вид:
𝑊 =𝑤11⊕𝑊𝑛−2⊕𝑤𝑛𝑛, (10)
где 𝑊𝑛−2 – унитарная матрица порядка𝑛−2.
Переходим к второму возможному случаю: 𝛼1= 0. Снова обозначим через𝛼𝑘, 𝑘>2, ненулевой элемент с наименьшим индексом и вернемся к матрице (3), состав- ленной из чисел 𝛼. Если 𝑘 < 𝑛, то 𝑏𝑘𝑘 =|𝛼𝑘|2 ̸= 0, тогда как элемент 𝑏𝑘−1,𝑘+1 = 𝛼𝑘−1𝛼𝑘+1 равен нулю в противоречии с ганкелевостью матрицы𝐵.
Итак,𝛼𝑛– единственный ненулевой элемент в первой строке матрицы𝑊. Отсюда выводим
а) |𝑤1𝑛|= 1;
б) все элементы, начиная со второго, в последнем столбце матрицы 𝑊 равны нулю.
Обозначим через𝛽𝑘 самый правый ненулевой элемент строки (2). Предположим, что𝑘 >1. В матрице (3), составленной из чисел𝛽, не равны элементы𝑏𝑘𝑘=|𝛽𝑘|2и 𝑏𝑘−1,𝑘+1=𝛽𝑘−1𝛽𝑘+1= 0, что противоречит ее ганкелевой природе. Таким образом, ненулевой элемент в последней строке матрицы𝑊 только один и стоит он в позиции (𝑛,1). Поэтому|𝑤𝑛1|= 1и все элементы в первом столбце𝑊, кроме последнего, рав- ны нулю. Сама матрица𝑊, соответствующая данному случаю, может быть описана так: это унитарная матрица𝑊𝑛−2 порядка𝑛−2, окаймленная сверху строкой
(︀0 . . . 0 𝑤1𝑛)︀
, снизу строкой
(︀𝑤𝑛1 0 . . . 0)︀
и двумя нулевыми столбцами с боков.
Что можно сказать о подматрицах 𝑊𝑛−2 обеих найденных форм? Ответим на этот вопрос сначала для матрицы (10).
Пусть𝐴∈ ℋ𝑛. Запишем𝐴в виде
𝐴=
⎛
⎝
𝑎11 𝑎1 𝑎1𝑛 𝑎𝑡1 𝐴𝑛−2 𝑎𝑡−1 𝑎𝑛1 𝑎−1 𝑎𝑛𝑛
⎞
⎠. (11)
Здесь 𝐴𝑛−2 – центральная главная подматрица порядка𝑛−2, а𝑎1 и𝑎−1 – строки, состоящие из 𝑛−2компонент.
УНИТАРНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ ПРОСТРАНСТВА ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 83
Записывая матрицу
𝐵 =𝑊*𝐴𝑊 в аналогичном виде, приходим к равенству
𝐵𝑛−2=𝑊𝑛−2* 𝐴𝑛−2𝑊𝑛−2. Поэтому из 𝑊 ∈UAut(ℋ𝑛)должно следовать
𝑊𝑛−2∈UAut(ℋ𝑛−2). (12)
К тому же выводу (12) мы придем и для матрицы𝑊, найденной во втором случае (𝛼1= 0).
5. Вид подматрицы𝑊𝑛−2. Импликация (12) позволяет нам применить к под- матрице 𝑊𝑛−2 индуктивное предположение. Однако оказывается, что с данной матрицей 𝑊 совместима не каждая из возможных форм этой подматрицы. Так, в случае матрицы (10) 𝑊𝑛−2обязана быть диагональной матрицей.
Действительно, предположим, что северо-восточный и юго-западный угловые элементы подматрицы 𝑊𝑛−2 (иначе говоря, элементы 𝑤2,𝑛−1 и 𝑤𝑛−1,2 самой мат- рицы𝑊) отличны от нуля. В этом случае𝑏22представляет собой линейную форму от элементов подматрицы 𝐴𝑛−2, в которую 𝑎𝑛−1,𝑛−1 входит с ненулевым коэффи- циентом |𝑤𝑛−1,2|2. В то же время при переходе от матрицы𝐴к𝐵 вектор-строка𝑎1
заменяется на 𝑤11𝑎1𝑊𝑛−2. В частности, 𝑏13 является линейной формой от элемен- тов𝑎12, 𝑎13, . . . , 𝑎1,𝑛−1. Поскольку𝑎𝑛−1,𝑛−1не зависит от этих элементов, ганкелеву матрицу 𝐴 можно выбрать так, чтобы 𝑏22 ̸=𝑏13. Полученная матрица 𝐵 не будет ганкелевой.
Последовательно применяя это рассуждение к центральным подматрицам𝑊𝑛−2, 𝑊𝑛−4, . . ., приходим к заключению, что вся матрица𝑊 должна быть диагональной.
Пусть теперь𝑊 – матрица для случая𝛼1= 0. Предположим, что крайние диаго- нальные элементы подматрицы𝑊𝑛−2(иначе говоря, элементы𝑤22и𝑤𝑛−1,𝑛−1самой матрицы𝑊) отличны от нуля. Снова𝑏22 является линейной формой от элементов подматрицы 𝐴𝑛−2, в которую с ненулевым коэффициентом |𝑤22|2 входит на этот раз элемент 𝑎22. Строка 𝑎1 матрицы𝐴 заменяется на 𝑤𝑛1𝑎−1𝑊𝑛−2. В частности, 𝑏13есть линейная форма от элементов𝑎𝑛−1,2, 𝑎𝑛−1,3, . . . , 𝑎𝑛−1,𝑛−1. Ничто не мешает выбрать ганкелеву матрицу𝐴так, чтобы𝑏22̸=𝑏13в противоречии с ганкелевостью матрицы𝐵.
Последовательно применяя это рассуждение к центральным подматрицам𝑊𝑛−2, 𝑊𝑛−4, . . ., приходим к выводу, что матрица𝑊 этого случая есть произведение перъ- единичной матрицы𝒫𝑛 и некоторой диагональной матрицы.
Нам осталось выяснить, каковы диагональные элементы матрицы (10) и элементы диагонали(1, 𝑛),(2, 𝑛−1), . . . ,(𝑛,1)в матрице𝑊, соответствующей случаю𝛼1= 0.
Пусть вначале
𝑊 = diag(𝛿1, 𝛿2, . . . , 𝛿𝑛), (13) где
𝛿𝑘=𝑒𝑖𝜓𝑘, 𝑘= 1,2, . . . , 𝑛.
Возьмем в качестве 𝐴 матрицу порядка 𝑛, все элементы которой равны единице.
Тогда
𝑏𝑘𝑙 =𝑒𝑖(𝜓𝑙−𝜓𝑘), 16𝑘, 𝑙6𝑛.
Если сумма 𝑘+𝑙 есть четное число 2𝑚, то из ганкелевого свойства матрицы 𝐵 вытекает𝑏𝑘𝑙=𝑏𝑚𝑚= 1, откуда выводим
𝜓𝑙=𝜓𝑘+ 2𝜋𝑗, 𝑗∈Z. (14)
Таким образом, для чисел 𝑘и𝑙 одинаковой четности имеем 𝑤𝑘𝑘=𝑤𝑙𝑙.
Если же 𝑘 и 𝑙 имеют разную четность, то можно лишь утверждать, что 𝑏𝑘𝑙 =𝑏𝑙𝑘, что приводит к более слабому по сравнению с (14) равенству
𝜓𝑙=𝜓𝑘+𝜋𝑗, 𝑗 ∈Z. В этом случае
𝑤𝑘𝑘 =±𝑤𝑙𝑙.
Итак, диагональная матрица 𝑊 может быть либо скалярной матрицей 𝑤11𝐼𝑛, либо матрицей вида𝑤11𝒟𝑛, где𝒟𝑛 – матрица, указанная в формулировке теоремы.
Переходим к матрице𝑊, соответствующей случаю𝛼1= 0. Представим𝑊 в виде 𝑊 =𝒫𝑛𝐷𝑛,
где
𝐷𝑛 = diag(𝛿1, 𝛿2, . . . , 𝛿𝑛).
Для произвольной ганкелевой 𝑛×𝑛-матрицы𝐴имеем 𝐵=𝑊*𝐴𝑊 =𝐷𝑛*(𝒫𝑛𝐴𝒫𝑛)𝐷𝑛=𝐷*𝑛𝐴𝐷̂︀ 𝑛.
Матрица𝐴, получаемая отражением матрицы̂︀ 𝐴относительно ее центра, пробегает вместе с𝐴 все множество ганкелевых матриц. Из проведенных выше рассуждений следует, что𝐷𝑛 должна быть матрицей𝒟𝑛, описанной в формулировке теоремы1, а 𝑊 есть произведение этой матрицы и перъединичной матрицы порядка𝑛. Этим выводом доказательство теоремы заканчивается.
В заключение хочу поблагодарить В. Н. Чугунова и А. К. Абдикалыкова за вни- мательное чтение этой статьи и ряд полезных замечаний.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Х. Д. Икрамов, “Унитарные автоморфизмы пространства ганкелевых матриц”,Ма- тем.заметки,96:5 (2014), 687–696.
Х. Д. Икрамов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
E-mail:ikramov@cs.msu.su
Поступило 07.05.2014
