Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
A. Б. Киселев, О критерии динамического разру- шения при ударном взаимодействии упругопла- стических тел, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Ма- тем., мех., 1986, номер 6, 46–51
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
5 ноября 2022 г., 22:33:55
крылка, их первых и вторых лроизводных с учетом введенной выше параметризации. Эта процедура была включена в программу расчета обтекания системы аэродинамических профилей, которая применялась в [1].
Проведен аэродинамический расчет системы профиль—предкры
лок (рис. 2 ) , которая типична для применяемой в практике механиза
ции крыла. По полученным в результате расчета распределениям дав-
У
Рис. 2. Система профиль — предкрылок
ления на профиле и предкрылке были вычислены коэффициенты подъ
емной силы как для каждого элемента, так и для системы в целом.
Результаты расчета приведены в таблице.
а°
су общ у проф Су предкр
1,4 —0,0721 0,898 —0,970
3 , 4 0,210 1,109 —0,899
5,4 0,490 1,324 —0,834
Здесь индексами «общ», «проф», «предкр» обозначены Су соответ
ственно для системы,'профиля и предкрылка. За характерную длину для всех Су принята хорда профиля С1 = 125,377 см (хорда предкрыл
ка С 2 = 18,292 см). Угол атаки а определен как угол между направ
лением Voo скорости набегающего потока и хордой профиля.
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. З а й ц е в А. А., К о м а р о в А. М. Метод расчета потенциального обтекания си»
стемы аэродинамических профилей в несжимаемой жидкости!// Вестн. Моск. ун-та.
Матем. механ. 1979. № 3. 65—69.
2. З а й ц е в А. А., К о м а р о в А. М. Применение .квадратурной формулы кубических сплайнов для расчета потенциального обтекания системы аэродинамических профи
л е й / / В е с т н . Моск. ун-та. Матем. механ. 1983. № 5. 69—74.
Поступила в редакцию - 01.07.85
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 1986. № 6
У Д К 539.3
А. Б. Киселев
О К Р И Т Е Р И И Д И Н А М И Ч Е С К О Г О Р А З Р У Ш Е Н И Я П Р И У Д А Р Н О М В З А И М О Д Е Й С Т В И И У П Р У Г О П Л А С Т И Ч Е С К И Х Т Е Л
При исследовании прикладных проблем механики часто приходит
ся решать динамические задачи, характерной особенностью которых является разрушение твердых тел с разделением их на части. Одним
46
из примеров такогр рода процессов является процесс пробития метал*
лическим ударником тонкой металлической преграды [ 1 ] , при котором наблюдается разрушение преграды различных типов (выбивание проб
ки или прокол, лепестковое разрушение и отрыв лепестков), а также разрушение самого ударника. Решение таких задач без явного выде
ления „поверхностей разрушения невозможно. Первые подходы к чис
ленному моделированию процесса разрушения с разделением тела на части разработаны (см. [ 1 — 2 ] , а также приведенную в [2] библиогра
фию). Поэтому с особой остротой встает вопрос о критериях динами
ческого разрушения в условиях сложного напряженно-деформирован
ного состояния.
В [ 1 ] предлагается использовать в задаче пробития критерий раз
рушения Губера—Мизеса—Гренки [ 3 ] . Для расчета по этой теории раз
рушения необходимо знать константу материала при высокоскоростном нагружении — предельную удельную энергию формоизменения £/ф*.
Для определения этой величины в настоящей работе предлагается ис
пользовать эксперименты по макроразделению пластин при плоском соударении, при которых происходит тыльный откол в пластине—ми
шени. Задаче плоского' соударения пластин посвящено большое число экспериментальных и теоретических работ (см., например, [ 4 — 9 ] ) . Идея данной работы состоит в том, чтобы, проведя единичный числен
ный расчет плоского соударения пластин при исходных данных, для которых имеется эксперимент по определению толщины откольной та
релочки и ее скорости, из сравнения результатов расчета и экспери
мента определить константу £/ф* для исследуемого материала. В каче
стве примера определяется величина t/ф* для стали Ст. 3 с использо
ванием экспериментальных данных А. П. Рыбакова [ 4 ] .
1. Далее будет решаться задача о плоском соударении пластин, по
этому запишем законы сохранения массы, импульса и энергии для од
номерного движения (одноосная деформация) в декартовой системе координат Охуг
р/ dt h 1 dt dx ' dt p? dt p/ 1 K }
Здесь индекс / = 1 соответствует пластине — ударнику, а индекс / =
= 2 — пластине—мишени и введены следующие обозначения: р — плотность; v — скорость; о = —p-f-S — компонента тензора напряже
ний {о=вхх, S = SXX — компонента девиатора тензора напряжений, р =
= —oW3, k = x, у, z)\ е = ехх = -^-\ U — удельная внутренняя энергия.
дх
При записи основных уравнений механики сплошной среды в фор
ме системы ( 1 ) движение рассматривается на лагранжевой разностной сетке (в качестве независимых переменных берутся лагранжевы коор
динаты), однако при этом используются эйлеровы зависимые перемен
ные (тензоры напряжений и скоростей деформаций). Такая форма записи уравнений удобна при исследовании задач, в которых поведение среды зависит от истории процесса деформирования, и была впервые использована, по-видимому, М. Л. Уилкинсом [ 1 0 ] .
Для описания пластического поведения среды используется модель упругопластического течения типа Прандтля—Рейса [ 1 0 ] , которая в случае одноосной деформации описывается уравнениями:
£ — Г * - | S | < - f S r - . i > - * ( £ - l ) . (2)
где ST — предел текучести при растяжении, р0 — начальная плотность пластин, G — модуль сдвига, /( — модуль объемного сжатия.
Начальные условия при t=0:
»i = vi> Pi = Ро/ Pi = Sx= О, Ux = 0 ( — \ < х < 0 ) ; 02 = 0, P2 = P0, p2 = S2=--0, U2 = 0 ( 0 < х < Л2) . Граничные условия:
аг = 0 (х= а2 = 0 (x = h2)\
vx = v2, ог^о2 при сгх = а2< 0 (х = 0 ) ; (3) а1 = а2 = 0 при ^ = 0 2^ 0 (А: = 0 ) .
о •
Здесь х — начальная лагранжева координата: x=x\t=o>
В качестве критерия откольного разрушения в пластине, которое наступает в результате взаимодействия волн разрежения, распростра
няющихся от тыльной и лицевой поверхностей, используется критерий предельной энергии формоизменения Губера—Мизеса—Генки [3]:
^Ф<^Ф*, где £/ф определяется в результате интегрирования уравнения
dt Se. ( 4 )
t
1 1
I 2 \E J
1 Ш 4 X
Граничное условие на поверхности разрушения х=х* ставится ана
логично граничному условию на контактной поверхности пластин х^-
= 0 (3).
2. Задача плоского соударения пластин решается в переменных Лагранжа по явной конечно-разностной схеме с введением в зонах ударного сжатия искусственной вязкости типа Неймана—Рихтмайера.
Для контроля точности расчета на каждом шаге по времени произво
дится расчет полной энергии систе
мы ударник — мишень. Конечно- разностная схема такого типа под
робно описана в работе [10], поэто
му остановимся только на вопросе построения поверхностей разруше
ния.
Пусть в момент времени tn =
= nkt (At — шаг разностной схемы по времени) в ячейке II (см. рис. 1:
а — разностная сетка до разруше
ния в ячейке II, б — после разру
шения) величина (£/ф)пп, рассчитанная по уравнению ( 4 ) , такова, что iU<b)iin^U<b*- Тогда считается, что через ячейку II проходит поверх
ность разрушения, для построения которой осуществляется перестройка сетки с последующим пересчетом параметров напряженно-деформиро
ванного состояния на новую сетку. Считается, что поверхность разру
шения проходит через середину ячейки II, поэтому перестройка сетки и пересчет параметров осуществляются следующим образом:
Х2 = *з = 0,5(х2 + хз),, б2 = 5з = 0,5(1>2+аз),
1
|J 2 U 4 Xж
Рис. 1
48
pii = 3ii = pii = mn== (С7ф)н= ( С 7 )и= 0 ,
mi = mi + 0,5mn, Ami = m i — mu mni = mni + 0,5mii, Amin = m i i i - m q i , pi = m i / ( * 2 — р ш = т ш / ( х4— * з ) ,
7 i = (fimi + fuAmi)/mu fiii = №ii^iii+firAmni)/mni ( / = 5 , . t / ф , I/)."
Здесь m — масса лагранжевой ячейки. Зная новое значение плотности р, по уравнению состояния (2) находим давление р.
3. Перейдем теперь к вопросу об определении величины предель
ной энергии формоизменения, используя экспериментальные данные по соударению пластин из стали Ст. 3 [ 4 ] . В работе [4] опубликованы ре
зультаты двух серий экспериментов.
В первой серии из шести экспери
ментов пластина — ударник имела толщину hi = 1,06-10_ 3 м и ско
рость Vi = 960 м/с, а пластина — мишень — толщины Й2 = 5-10~3 м, 2А 1 0 . Ю -3 м, 2 0 - Ю -3 м, 2 5 . 1 0 -3 м, 3 0 - 1 0 -3 м, 4 0 - Ю -3 м. Во второй се- 7,8 рии из четырех экспериментов ис
ходные данные следующие: h\ =
= 1,56-Ю-3 м, У! = 650 м/с, / 12= 7/2
= 2 0 - Ю -3 м; 2 5 - Ю -3 м; 3 0 - Ю -3 м, 40 -10~3 м. В численных 0,6
V1 =960м/с
h2 -20*W*M t =4,894мне
ОМ
расчетах для стали Ст. 3 было принято:
ро = 7800 кг/м3, iC= 170 ГПа, G =
= 80 ГПа, Sr= 0 , 9 ГПа.
В экспериментах [4] фиксирова
лась толщина откольной тарелоч
ки /гэотк и ее скорость Уэ 0тк- Из экспериментов следует, что при
увели
чении толщины мишени скорость откольной тарелочки уменьшается
0,2 0,4 0,6 0,8 xfh2 h
Рис. 2
(от Уэ( ; 6 2 0 м/с до Кэ О Тк » 2 0 0 м/с при VI = 9 6 0 ' M / C И ОТ
'320 м/с до Уэ От к « 2 0 0 м/с при Vi = 650 м/с), а толщина ее растет (от Лэо тК« 1,4-10~3 м до Лэ 0т к ~ 2 - 1 0 ~3 м при 1^ = 960 м/с и от / i9 0 Tk « s
« 1 , 6 - 1 0 "3 м до / *эо т к ^ 2 - 1 0 ~3 м при V i = 6 5 0 м/с). Причем среднеквад
ратичная ошибка измерений составляла для толщины откольной таре
лочки Ю- 4 м, а для скорости — 15 м/с.
Расчеты, проведенные без учета разрушения, выявили следующие закономерности. Во-первых, в пластине — ударнике при указанных выше исходных данных не наблюдается областей растягивающих де
формаций. Поэтому ударник не разрушается. Во-вторых, в мишени после выхода волн сжатия на тыльную поверхность x=h2 и отражения их в виде волн разрежения образуется область растягивающих дефор
маций с ярко выраженным максимумом, который не перемещается с течением времени по пластине (см. рис. 2 ) . Зависимость С/ф от х для такого интервала времени (рис. 2) имеет вид, аналогичный зависимо
сти е от х. Причем абсолютный максимум как удельной энергии фор
моизменения ( / ф , так и деформации е достигается в одной и той же ячейке с координатой х=х* во все моменты времени t>f>h2/ao
Поэтому в соответствии с принятым крите-
( * - / ( «
+T
0)*<>)
4 ВМУ, № 6, математика» механика
рием разрушения откол может произойти в некоторый момент времени t=t* только в сечении х=х*. Отметим, что расхождения эксперимен
тально зафиксированных толщин откольных тарелочек с расчетными, если (принять за координату рткрла х=х*, не превосходят 20%. Это об
стоятельство позволяет для определения момента разрушения посту
пить следующим образом.
С момента времени t=t\ когда абсолютные максимумы растяги
вающих деформаций е и удейьной энергий формоизменения (Уф дости
гаются в одной и той же ячейке с координатой х=х*, на каждом ша
ге по времени tn = nAt вычисляется скорость откольной тарелочки так, как если бы откол произошел в этот момент времени в сечении * = * * :
VSTK = J ^ I ^ ^ / ( Л2 —х*). (5) о
h^1,06W3M h2=20W*M
Зависимость от времени определенных таким образом возможных ско
ростей откольной тарелочки 9ротк представляет собой монотонно убы
вающую функцию (рис. 3 ) . И тот момент времени, когда рассчитан
ная пр формуле (5) скорость 9Р0ТК и экспериментально определенная скорость, Уэ 0 Тк совпадут, принимается за момент образования откола t=t*. Величина 1)ф в ячейке с координатой х=х* в момент t=t* при
нимается за f/ф* — предел прочно- vjjfi, м/с сти материала при высокоскорост
ном нагружении.
В качестве базового экспери
мента для определения величины
£/ф* был выбран эксперимент с ис
ходными данными 1^ = 960 м/с, /ii = l,06. Ю-3 м, / 12 = 20. Ю-3 м. Най
денная величина £ / ф * « 3 0 кДж/кг.
Расчеты с исходными данными ос
тальных девяти экспериментов и ве
личиной предела прочности =
= 30 кДж/кг дали скорость отколь
ной тарелочки Ур о т к, отличающуюся от экспериментальной не более чем на 25%. Качественно же расчетные зависимости толщины откольной та
релочки и ее скорости от толщины преграды Полностью совпадают с экспериментальными.
Таким образом, проведенные исследования позволяют сделать вы
вод, что для определения предела прочности материала £/ф* по теории Губера—Мизеса—Генки можно использовать эксперименты по отколь- ному разрушению при плоском соударении пластин, в которых фикси
руется толщина и скорость откольной тарелочки. Величина /Уф* опре
деляется в результате сравнения данных единичного расчета процесса соударения на ЭВМ с данными эксперимента. Найденная величина предельной энергии формоизменения £/ф* может быть затем использо
вана для расчета процесса разрушения при пространственном удар
ном взаимодействии упругопластических тел.
4,533 4,62В V / 7 4,805
Рис. 3
4,894 t,MKC
50
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. К и с е л е в А. Б., М а к с и м о в В. Ф. Исследование волновых процессов в тонких упругопластических преградах при наклонном пробитии жесткими у д а р н и к а м и / /
/ / Т е з . докл. II Всесоюз. конф. по нелинейной теории упругости. Фрунзе, 1985.
251.
2. Г у л и д о в А. И., Ф о м и н В. М., Ш а б а л и н И. И. Алгоритм перестройки р а з ностной сетки при численном решении задач соударения с образованием т р е щ и н / / //Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Мат-лы VII Всесоюз. конф. Новосибирск. 1982. 182—192.
3. К о л л и н з Д ж . Повреждение материалов в конструкциях. Анализ, предсказание, предотвращение. М., 1984.
4. Р ы б а к о в А. П. Отколы в стали при нагружении с помощью взрыва листового заряда ВВ и удара п л а с т и н о й / / Ж . прикл. механ. и техн, физ. 1977. № 1. 151—155.
5. Ф о м и н В. М., X а к и м о в Э. М. Откольное разрушение среды в плоских волнах разрежения. Препринт И Т П М СО АН СССР. № 1. Новосибирск, 1981.
6. К у к у д ж а н о в В. Н. О моделях и критериях динамического разрушения при распространении упругопластических в о л н / / Т е з . докл. конф. по распространению упругих и упругопластических волн. Ч. 2. Фрунзе. 1983. 42—43.
7. Д е р и б а с А. А., З а х а р е и к о И. Д., Ф о м и н В. М., Х а к и м о в Э. М., Я н е н - ко Н. Н. Откольные явления при плоском соударении металлических пластин р а в ной т о л щ и н ы / / Д о к л . АН С С С Р . 1983. 277, №> 6. 1331—1335.
8. Р у з а н о в А. И. Численное исследование откольной прочности с учетом микропо- в р е ж д е н л й / / И з в . АН С С С Р . Механ. тверд, тела. 1984 Mb 6. 109—115.
9. И в а н о в А. Г. Феноменология разрушения и откол // Физ. горения и взрыва.
1985. № 2. 97—104.
10. У и л к и н с М. Л . Расчет упругопластических течений//Вычислительные методы в гидродинамике. М., 1967. 212—263.
Поступила в редакцию 16.07.85
