Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
I. G. Nikolaev, Axioms of Riemannian geometry, Dokl.
Akad. Nauk SSSR , 1989, Volume 307, Number 4, 812–
814
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 178.128.90.69
November 2, 2022, 22:26:31
УДК 514.764 М А Т Е М А Т И К А
И.Г. НИКОЛАЕВ
ОБ АКСИОМАХ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
(Представлено академиком А.Д. Александровым 19 ХП1986)
Для выпуклой поверхности ^ в трехмерном евклидовом пространстве можно определить удельную кривизну в точке Р е $ как предел отношения избытка невы
рожденного треугольника Т на &к его площади, т.е. площади евклидова треугольни
ка Т0 с теми же длинами сторон, что и у Г, при условии, что треугольник Т стяги
вается к точке Р произвольным образом (см. [1, с. 334 и примечание 1] ) . А.Д. Алек
сандров доказал теорему, которая утверждает, что если f в каждой точке обладает удельной кривизной, то поверхность §• в смысле своей внутренней метрики является двумерным римановым многообразием, (удельная) кривизна ко
торого может быть вычислена с помощью возникающего на & метрическо
го тензора по обычным формулам (см. теорему 2 в [1, с. 337]). Если до
полнительно потребовать, чтобы удельная кривизна F обладала "хорошим"
модулем непрерьюности, например, удовлетворяла условию Гёльдера с по
казателем а, О < а < 1, то, комбинируя цитированную выше теорему А.Д. Александрова и результаты работ [2, 3] Ю.Г. Решетняка, можно доказать, что
§ является римановым многообразием с С2'"-гладким метрическим тензором.
При этом предположение о том, что внутренняя метрика ^реализовывалась на выпук
лой поверхности, оказывается несущественным. Таким образом, имеются условия чис
то геометрического характера, при выполнении которых данное метрическое прост
ранство оказывается двумерным римановым многообразием с С2-гладким метри
ческим тензором. Именно такая минимальная гладкость метрического тензора обычно требуется в римановой геометрии.
В этой связи Н.В. Ефимов ставил следующий вопрос: можно ли подобным образом охарактеризовать и многомерные римановы многообразия? Цель настоящей заметки состоит в том, чтобы дать положительный ответ на этот вопрос.
Приведем необходимые о п р е д е л е н и я . Пусть Л — метрическое прост
ранство. К р а т ч а й ш е й ъЛ называется кривая, длина которой равна расстоянию между ее концами. Т р е у г о л ь н и к о м в Л называется множество точек, обра
зованное тремя кратчайшими (сторонами треугольника), соединяющими попарно три фиксированные точки (вершинытреугольника). В Л определяется верхний угол между кратчайшими, исходящими из одной точки. И з б ы т к о м треугольни
к а Т С Л называется число 5 (Г), равное сумме верхних углов треугольника Г ми
нус 7Г.
Метрическое пространство Л с внутренней метрикой есть пространство кри
визны <гК и ~>К', если в Л любые две достаточно близкие точки соединимы крат
чайшей и если для произвольной точки Р ЕЛ и произвольной последовательности треугольников Тп, стягивающихся к точке Р, выполнено, что
6(т ) 5(Г„)
— а(Т„) а(Т„)
где а(Т„) равно площади евклидова треугольника Т0п с теми же длинами сторон, что и у Тп (при этом необходимо условиться, что в случае 5 (Г„) = о(Т„) = 0 нера
венство (1) также считается выполненным).
Л называется п р о с т р а н с т в о м с о г р а н и ч е н н о й к р и в и з н о й , если Л локально-компактно, й Л вьшолнено условие локальной продолжаемости 812
кратчайших (т.е. для каждой точки из M существует шар достаточно малого радиуса с центром в этой точке такой, что если две точки, лежащие в этом шаре, соединимы кратчайшей, то эта кратчайшая может быть продолжена так, что исходные точки станут внутренними точками продолженной кратчайшей) и JC есть пространство кривизны <^Г и ~Ж'. По поводу приведенных определений мы отсылаем читателя к [4] или обзорной статье [5].
Для того чтобы определить кривизну в точке произвольного Пространства^
с внутренней метрикой, необходимо ввести топологию в пространстве направлений к UK. Пространство £1Р(?М) направлений к Л £ в точке PEJ£ определялось в [4] (см.
также [5]). П р о с т р а н с т в о м н а п р а в л е н и й к JC назовем множество Çl(JC) = U £lp(J().
рем
Пусть £, f G £ЦЖ), причем % G Ü,P(M), f G ÇIQ(JC), РФО,. Рассмотрим кри
вые L иМ, задающие направления % и f [5] и точки X G L, ХФР, Y ЕМ, УФ Q. Че
рез hLM(X,Y) обозначим (XQ2 + YP2 - PQ2 - XY2)/(2PX • QY). В случае, когда L, M являются прямыми линиями в евклидовом пространстве, hLM(X, Y), очевид
но, равняется косинусу угла между этими прямыми. Определим теперь hLM как
( lim hLM(X,Y)\ Х-+Р, Г - ß .
\a<PX/QY<b / hLM = lim
IZV- ^"<PX/QY<
Можно доказать, что при P-Q величина hLM совпадает с косинусом верхнего угла между кривыми/, и M [5].
Наконец й(£, f) полагаем равной infhLM, где inf рассматривается по всем та
ким кривым L и М, что L задает направление %, a M задает направление f. Теперь расстояние между % и f мы определяем формулой
(2) d{%,t)=[PQ2+2\\^h{U)\]ln-
З а м е ч а н и е 1. d{%, f) не является метрикой даже в случае гладкихрима- новых многообразий (не выполняется неравенство треугольника).
З а м е ч а н и е 2. В римановом многообразии $1(Ж) совпадает со сферичес
ким расслоением над Л? и, значит, в Sl(Jt) имеется стандартная риманова метрика, определяемая по метрическому т е н з о р у ^ и связности Леви-Чивита на M [8, с. 92], называемая метрикой Сасаки.
Можно доказать, что если точки Р и Q риманова многообразия JC достаточно близки так, что они соединяются единственной кратчайшей, то величина й(£, f ) с точ
ностью до 0{PQ2) совпадает с косинусом угла между единичным вектором % и еди
ничным вектором f', являющимся результатом параллельного переноса вектора f вдоль кратчайшей QP. Таким образом, в случае риманова многообразия JC метрика Сасаки может быть построена исходя из функции й(£, f ) •
З а м е ч а н и е 3. Уже в пространстве Минковского й(£, f) может не только превышать единицу, но и даже равняться бесконечности (при сколь угодно близ
ких, но не равных Р и Q).
Пусть %, f G ÜP(JC), причем верхний угол между % и f больше нуля и мень
ше 7Г. К р и в и з н о й метрического пространства Ж в точке РЕЛъ направлении £, f G ПР (M ) , называется величина
К(Р;Ц,П= Hm Ô(Tn)la(Tn),
т„—>• p
если такой предел существует. Здесь предел рассматривается по произвольным после
довательностям невырожденных треугольников Тп, стягивающихся к точке Р, та-
813
ких, что фиксированные направления %п и f „ сторон треугольников Т„ сходятся к направлениям £, £ в смысле расстояния (2).
Т е о р е м а . Пусть Л есть метрическое пространство, в котором выполнены следующие аксиомы.
I. Локально Л есть пространство с ограниченной кривизной, метрика Л внутренняя.
II. В каждой точкеР &Лдля произвольных направлений £, f G SlP(Jf), £ Ф ? существует кривизна К(Р; £, £").
III. ДАЛ достаточно близких точек P,Q£Jtu произвольных направлений £, f GS2p(J?) и £', Ç' €.ÇIQ{JÙ) (%Ф$,%'Ф$') имеет место оценка
\K{P-,%,S)-K{Q-,%'X)\<iC№,%') + d($,ï)]a
при некотором а, О < а < 1 ; здесь С = const.
Тогда на Л можно задать структуру С4'"-гладкого дифференцируемого многообразия и метрику Л можно задать с помощью С2'"-гладкого метрическо
го тензора.
Доказательство сформулированной теоремы опирается на аналитическое опи
сание пространств с ограниченной кривизной [7, теорема 2] и анонсируемую здесь же теорему 1.
Т е о р е м а 1. Пусть Л есть пространство с ограниченной кривизной. Через п обозначим размерность Л (из аксиом пространства с ограниченной кривизной вы
текает, что Лесть многообразие [5]). Тогда для почти всех точек Р G.JC (в смысле n-мерной меры Хаусдорфа на Л) для произвольных £, f e и,р(Л) таких, что верх
ний угол между ними больше 0 и меньше п, существует кривизна К(Р; | , f) и вы
числяется через метрический тензор обычным образом [9].
З а м е ч а н и е . Из теоремы 2 в [7] вытекает, что в гармонической системе координат компоненты метрического тензора пространства с ограниченной кривиз
ной почти всюду обладают вторым дифференциалом. Однако этого недостаточно для доказательства утверждения теоремы 1. Существование кривизны устанавлива
ется на множестве точек Р, возможно отличающемся от множества точек, в которых метрический тензор обладает вторым дифференциалом, на множество меры ноль.
В двумерном случае утверждение теоремы 1 следует из теорем о дифференци- руемости мер. Многомерный случай существенно отличается, так как для многомер
ных римановых многообразий нет такой характеристики, как интегральная кри
визна, столь же полно характеризующей их геометрию, как в двумерном случае.
Институт математики Поступило Сибирского отделения Академии наук СССР 7 IV 1987
Новосибирск
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров АД. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 386 с. 2. Решетняк Ю.Г. - Сиб. матем. журн., 1960, т. 1,№ 1, с. 88-116. 3. Решет
няк Ю.Г. - Там же, 1960, т. 1, № 2, с. 248-276. 4. Alexandrow A.D. - Schriftenreihe der Institute für Mathematic, 1957, Hf. 1, S. 33-84. 5. Александров А.Д., Берестовский В.Н., Никола
ев И.Г. - Успехи мат. наук, 1986, т. 41, № 3, с. 3-44. 6. Николаев И.Г. - Сиб. матем. журн., 1983, т. 24, № 1, с. 130-145. 7. Николаев И.Г. - Там же, 1983, т. 24, № 2, с. 114-132. 8. Гро- мол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971. 343 с. 9. Эйзен- хартЛ.П. Риманова геометрия. М.: ИЛ, 1948. с. 316.
814
