Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
A. S. Galiullin, Inverse problems of dynamics and problems of control of the motions of material systems, Differ. Uravn., 1972, Volume 8, Number 9, 1535–1541
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 118.70.116.132
November 6, 2022, 02:00:25
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
С Е Н Т Я Б Р Ь 1972 г., Т О М V I I I , № 9
ОБЗОРНЫЕ СТАТЬИ
УДК 517.933:517.934
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ Д И Н А М И К И И ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ Д В И Ж Е Н И Я М И МАТЕРИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
А. С. Г А Л И У Л Л И Н
§ 1. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Понятие обратных задач динамики механических систем охватывает задачи по определению параметров системы, активных сил и различно
го рода связей, при которых движение с заданными свойствами относи
тельно геометрических и 'кинематических его показателей ('программа движения) является одним из возможных движений рассматриваемой механической системы.
Обратные задачи динамики механических систем всегда привлекали к себе внимание механиков и математиков прежде всего потому, что эти задачи заключали в себе широкие прикладные возможности и явля
лись проблематичными в смысле их окончательной разрешимости. В на
стоящее время эти задачи уже вышли из рамок одной лишь теоретиче
ской механики и превратились в задачи (построения таких систем раз
личной физической природы и конструкции, где происходят процессы, удовлетворяющие заранее поставленным требованиям, что составляет основную проблему современной теории управления движениями мате
риальных систем.
Приведем некоторые известные задачи, оказавшиеся фундаменталь
ными в становлении и развитии теории обратных задач.
1. Одной из первых обратных задач динамики, решенных в прошлом, явилась задача Ньютона об определении сил, под действием которых планеты совершают движения согласно законам Кеплера.
Задача Ньютона в дальнейшем вызвала постановку и других обрат
ных задач динамики точки. Так, например, Бертран [1] поставил задачу об определении структуры позиционных сил, под действием которых материальная точка движется по коническому сечению. Решением этой задачи в различных ее видоизменениях занимались многие известные математики и механики прошлого столетия. Окончательное решение этой задачи в довольно общей постановке дано В. Г. Имшенецким [ 2 ] .
Интересно отметить, что в курсах лекций по теоретической механике прошлого столетия было принято четко выделять два самостоятельных раздела динамики: раздел, где рассматривались задачи по определению свойств движения при данных связях и силах, и раздел, посвященный обратным задачам. Таким, например, является известный в прошлом курс лекций Г. И. Шебуева [3]. Там же, кстати заметим, содержатся решения, правда в простейшей постановке, вполне современных задач, задач управления преследующей точкой и точкой, движущейся по лок
содромии.
1536 А. С. Г А Л И У Л Л И Н
2. Следующей фундаментальной обратной задачей явилась задача Г. К. Суслова о построении силовой функции, допускающей данные частные интегралы. Эта задача является весьма общей постановкой об
ратных задач динамики механических систем в предположении, что поле сил является потенциальным. В [4] дана постановка этой задачи и из
ложен аналитический метод ее решения для системы с п степенями сво
боды, когда задано п—1 независимых интегралов. Н. Е. Жуковский с помощью геометризации толкования этой задачи построил силовую функцию в явном виде для механических систем с одной и с двумя сте
пенями свободы [5].
3. Глубоко содержательными в прикладном и теоретическом отно
шениях оказались обратные задачи динамики точки переменной массы, поставленные и решенные И. В. Мещерским [6], где отыскиваются за
кон изменения массы и скорость изменяющей массы по заданной траек
тории или по заданному закону движения точки. К этой же группе об
ратных задач относятся задачи отыскания условий, наложенных на геометрию масс (моменты инерции, положение центра масс) твердого тела с одной закрепленной точкой, когда соответствующие уравнения движения допускают алгебраические интегралы (работы Д. И. Горячева
< [7] и С. А. Чаплыгина [ 8 ] ) .
Если в задачах Бертрана и Суслова отыскивалась вся правая часть дифференциальных уравнений движения по заданным интегралам, то в рассматриваемой группе обратных задач структура правых частей уравнений предполагается известной и отыскиваются дополнительные силы, или параметры механической системы, при которых движение с заданной траекторией или с заданным законом, является одним из воз
можных движений механической системы.
4 . В 1952 г. была опубликована работа Н. П. Еругина [ 9 ] . Обратная задача теории дифференциальных уравнений, поставленная в этой ра
боте, как задача построения множества систем дифференциальных урав
нений по заданным частным интегралам, явилась наиболее общей математической постановкой обратных задач динамики и основополага
ющей в постановке многих задач теории управления движениями мате
риальных систем [10], в частности, в задачах аналитического построе
ния систем программного движения [23]. Метод решения обратных за
дач теории дифференциальных уравнений, установленный в работе [9], оказался действенным и универсальным методом для решения как об
ратных задач динамики, так и задач построения дифференциальных уравнений материальных систем, движения которых происходят с за
данными свойствами, записанными в виде частных интегралов строящих
ся уравнений.
Естественно, что общность постановки задачи Еругина и действен
ность метода ее решения позволяют с большей широтой толковать и ставить, а также и решать многие обратные задачи динамики и задачи управления движениями материальных систем.
Заметим, что задачу Еругина полезно ставить и решать в различных сочетаниях с требованиями устойчивости, оптимальности и инвариантно
сти заданных свойств движения. Такие сочетания, а также дополнитель
ные качественные и количественные требования к программе позволя
ют, используя неоднозначность решения самой задачи Еругина, доопре
делять правые части искомых дифференциальных уравнений движений, найти дополнительные условия для определения искомых функций управления, параметров и управляющих сил рассматриваемой мате
риальной системы.
О Б Р А Т Н Ы Е З А Д А Ч И Д И Н А М И К И 1537
§ 2. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
1. Рассмотрим следующую задачу [12, 14]: Построить дифферен
циальные уравнения
у, = Yv(y, / ) ( v = 1, . . . . п), (2.1) описывающие движения материальной системы со следующими задан
ными свойствами:
%(У> 0 = 0 ( | х = 1, m < / i ) , (2.2) где у[у\,...,уп] —вектор фазового состояния материальной системы.
Предполагается, что функции Yv (у, t)*\ соц (у, t) принадлежат к классу ограниченных, непрерывных и дифференцируемых функций в не
которой области фазового пространства G {у} и при всех ^ > 4 , причем функции CDJLI (у, t) являются независимыми.
Назовем заданные свойства (2.2) п р о г р а м м о й движения, каж
дое в отдельности из этих свойств — э л е м е н т а м и программы.
Поставленная задача является исходной задачей построения мате
риальных систем, совершающих заданное программное движение.
Заметим, что элементы программы представляют собой частные интегралы строящихся уравнений (2.1), а сама программа — интеграль
ное многообразие этих уравнений. Поэтому рассматриваемая задача построения уравнений движения систем программного движения явля
ется по существу задачей построения дифференциальных уравнений по заданному интегральному многообразию (обратная задача теории диф
ференциальных уравнений [ 9 ] ) .
Как известно, задачи такого рода имеют неоднозначное решение, и, следовательно, для окончательного определения правых частей уравне
ния (2.1) необходимо иметь дополнительные условия. Этими условиями должны быть прежде всего условия устойчивости заданной программы при наличии некоторых начальных 'возмущений (устойчивость в смысле Ляпунова). Необходимость наложения этих условий устойчивости в рассматриваемой задаче объясняется тем, что, если даже соответству
ющая система программного движения полностью построена в том смыс
ле, что заданное (программное движение является одним из возможных движений системы, то и тогда это программное движение осуществляется
;:ишь в том случае, когда отсутствуют начальные возмущения, точнее, когда начальные значения координат и скоростей системы совпадают с программными их значениями. В действительности, конечно, эти началь
ные возмущения всегда имеются.
Итак, поставленная задача должна быть уточнена следующим об
разом.
Построить дифференциальные уравнения движения (2.1) материаль
ной системы так, чтобы движение системы с заданными свойствами (2.2) было устойчивым в смысле Ляпунова по отношению к некоторым функ
циям сравнения
Fs(y, t, со) (s== 1 N), (2.3)
ограниченным, непрерывным и дифференцируемым в области G \у) и при всех t>t0.
Заметим, что в общем случае программа движения системы задается условно в виде совокупности некоторых неопределенных функций (2.2).
При решении поставленной задачи на эти функции также будут наложе
ны некоторые ограничения. Эти ограничения могут служить для выде-
*> Некоторые из функций Yv(y, t) ( v= l , . . . , п) могут быть заданными или содержать заранее известные составляющие.
1538 А . С . Г А Л И У Л Л И Н
ления множества возможных программных движений материальной системы. Поставленная задача является довольно общей задачей по
строения уравнений управляемых систем [14].
Задача определения параметров системы и управляющих сил, таким образом, чтобы движение по заданному закону было возможным и устой
чивым [11], является частным случаем рассматриваемой задачи. Эта частная задача может быть названа задачей программирования измене
нием параметров системы во времени. В этой частной задаче структура уравнений движения системы является известной и отыскиваются лишь функции управления по заданной устойчивой программе движения.
Задача построения уравнений управляющих органов, обеспечива
ющих возможность и устойчивость заданного движения [21], также является одной из возможных частных постановок рассматриваемой общей задачи. Эта частная задача может быть названа задачей про
граммирования замыканием системы. В этой задаче уравнения движения объекта управления являются известными и 'отыскиваются лишь урав
нения управляющих органов по заданным свойствам программного движения.
Задачи программирования движения материальной системы как из
менением параметров системы во времени, так и замыканием системы управляющими органами являются частными не только в смысле их по
становки, но и в том смысле, что решения этих задач могут быть получе
ны из решения поставленной общей задачи.
2. Предположим, что движения материальной системы описываются уравнениями вида (2.1). Тогда необходимые условия осуществимости программного движения, движения системы с заданными свойствами
(2.2), запишутся в виде [9]
У 8* =
dt + Фц(о), у, t) (ii= 1, т), (2.4) где У[Уг{у, t),
уравнений (2.1); Y-n {Уу 01 — вектор-функция искомых правых частей
= grades
дУг дуп
Ф"[Ф1((о, у, t), ФТ( < 0 , У, /)] —произвольная вектор-функция, обращаю
щаяся в нуль на интегральном многообразии (2.2), «[(о^у, f), <om(yrt)]
— вектор-функция, определяющая программу движения системы.
Заметим, что условия (2.4) являются и достаточными для того, что
бы многообразие (2.2) было интегральным для системы уравнений (2.1).
Поэтому если определить правые части дифференциальных уравне
ний (2.1) из этих условий (2.4), то соответствующая система уравнений (2.1) будет являться множеством систем дифференциальных уравнений, для которых заданное многообразие (2.2) является интегральным.
Искомое множество систем дифференциальных уравнений может быть представлено в виде [22, 23]
и-
т1=1
ILL
д
ф . .
где Д = det
и.
dt )
2U
As=m+l Y„ ( s - m : 1, . . . .
Y. ( / = 1 , m),
, «), (2-5) А и—алгебраическое дополнение (i, j)-vo эле-
О Б Р А Т Н Ы Е З А Д А Ч И Д И Н А М И К И
1539 мента определителя A, A's — определитель, полученный из определителя А заменой его /-го столба s-ым столбцом матрицы ' ^
ду
Уравнения (2.5) содержат п — т совершенно произвольных (в общем случае) функций Ym+1(y,t)f ... , Yn(yt i) и т также неопределенных функций Фх (со, у, 0 , . . , , Фт (со, у, f) (равных нулю на интегральном многообразии (2.2)).
Предположим, что эти функции удовлетворяют условиям существо
вания и единственности решения уравнений (2.5). Тогда движение ма
териальной системы происходит по заданной программе (2.2), если только в начальный момент времени t0 соответствующая изображающая точка М(уи...,уп) окажется на интегральном многообразии (2.2). В этом случае функции Ут+1 (у, /),..., Yn(y, t) могут быть доопределены, ис
пользуя дополнительные условия (например, условия оптимальности), наложенные на движение изображающей точки по интегральному мно
гообразию (2.2) [18, 23].
3- Предположим, что изображающая точка в начальный момент времени t0 оказалась вне интегрального многообразия (2.2), в сколь- угодно малой ее окрестности. Имея в виду такое более естественное
предположение, оставшуюся свободу в выборе указанных выше произ
вольных функций нужно 'использовать для обеспечения устойчивости про
граммного движения материальной системы.
Если, например, ставится требование устойчивости программного дви
жения по отношению к самим функциям соц (у, t) ( | А= 1 , т), определя
ющим программу движения (2.2) и выражающим вполне определенные свойства движения, то произвольные функции строятся так, чтобы три
виальное решение со = 0 системы уравнений
со = Ф (со, у, t) (2.6) было устойчивым [15].
Отметим, что решение поставленной задачи устойчивости заметно облегчается, если интегральное многообразие (2.2) д а н о в з а м к н у т о й
области G [у], а функции Ф^ ([л=1, т) строятся в в и д е с л е д у ю щ е й
суммы:
%= 2 Kl- -N n)( 1 ) < (2-7)
Nt-\ \-N>\
где Nly . . . , Nm — натуральные числа, Х^1"",Nm) (t)—ограниченные, непре
рывные при t > t0 функции.
В этом случае достаточные условия устойчивости будут наложены лишь на функции Ф^ ([i= l,...,m), причем удовлетворение этих условий
обеспечит устойчивость программного движения не только по отноше
нию к функциям Gv (у, t). (ju= l,...,m), но и по отношению к координатам материальной системы [18].
§ 3. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ И ПРИЛОЖЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
В настоящее время довольно четко определились следующие направ
ления исследований в области постановки и решения обратных задач динамики и задач теории управления движениями с их интерпретацией
как обратных задач теории дифференциальных уравнений:
1540 А . С . Г А Л И У Л Л И Н
1. О б щ и е в о п р о с ы т е о р и и а н а л и т и ч е с к о г о п о с т р о е н и я с и с т е м п р о г р а м (м н о г о д в и ж е н и я. Это направление охватывает установление новых возможностей в постановке задач управ
ления движениями 'материальных систем на основе обратных задач тео
рии дифференциальных уравнений, построение уравнений систем про
граммного движения, определение условий устойчивости, оптимальности и инвариантности программы, оценки отклонений от заданной програм
мы, аналитические методы в построении систем управления по заданным качественным показателям [ И — 2 3 ] .
2. Д и н а м и к а п р о г р а м м н о г о д в и ж е н и я м е х а н и ч е с к и х с и с т е м . К этому направлению относятся исследования про
граммного движения твердого тела, тела переменной массы и подобно- изменяемого тела в различных силовых полях, определение условий осуществимости, устойчивости и оптимальности программы, построение управляющих сигналов и уравнений управляющих устройств, решение различных задач преследования [11, 13, 19, 20, 23—29].
3. Р а з л и ч н ы е м а т е м а т и ч е с к и е и п р и к л а д н ы е з а д а ч и , р е ш е н и е к о т о р ы х о с н о в а н о н а п о с т р о е н и и д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й . В этом направлении про
водятся исследования по построению систем уравнений с заданными свойствами соответствующего фазового портрета на плоскости, а также с заданными предельными циклами [18, 30]; по сведению решения конеч
ных нелинейных уравнений к численному интегрированию дифферен
циальных уравнений, для которых конечные уравнения являются асимп
тотически устойчивыми частными интегралами [31]; по построению уравнений дифференциальных анализаторов в станках с программным управлением [ 1 8 , 2 3 ] .
Метод построения дифференциальных уравнений по заданным част
ным интегралам находит в настоящее время все новые и новые примене
ния. Так, например, построение динамических уравнений Эйлера по ки
нематическим уравнениям и первым интегралам позволяет поставить и решать довольно содержательные задачи по управлению движениями твердого тела [32].
Отметим также, что решение обратной задачи теории дифферен
циальных уравнений позволяет построить и множество интегральных функционалов, принимающих стационарное значение на решениях по
строенных уравнений (в том числе и на заданных частных интегралах) [33—35]. Естественно, что это обстоятельство может быть использовано в дальнейшем для установления алгоритма построения интегральных вариационных принципов в аналитической динамике, для решения об
ратных задач вариационного исчисления, а также для построения ин
тегральных оценок в теории управления движениями материальных систем.
В заключение заметим, что настоящий обзор новейших направлений исследований по обратным задачам сделан на основании работ участ
ников научных семинаров (1961—1971 гг.) при кафедре теоретической механики Университета дружбы народов им. П. Лумумбы. Исследования других авторов в соответствующих направлениях указаны в [23].
Литература
1. А п п е л ь П. А. Теоретическая механика, т. I. М., Физматгиз, 1960.
2. И м ш е н е ц к и й В. Г. Определение силы, движущей по коническому сечению материальную точку в функции ее координат. Сообщ. Харьк. матем. об-ва, вып. 1, il879.
3. Ш е б у е в Г. Н. Курс механики материальной точки. Казань, 1890.
О Б Р А Т Н Ы Е З А Д А Ч И Д И Н А М И К И 1541
4. С у с л о в Г. К. О силовой функции, допускающей данные частные интегралы.
Киев, 1890.
5. Ж у к о в с к и й Н. Е. Собр. соч., т. I. М.—Л., ГИТТЛ, 1948.
6. М е щ е р с к и й И. В. Работы по механике тел переменной массы. М.—Л., ГИТТЛ, 1949.
7. Г о р я ч е в Д. Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела. Варшава, 1910.
8. Ч а п л ы г и н С. А. Собр. соч., т. I. М — Л., ГИТТЛ, 1948.
9. Е р у г и н Н. П. ПММ, вып. 6, 1952.
10. Л е т о в А. М. Дифференц. уравнения, 6, № 4, 1970.
11. Г а л и у л л и н А. С. Некоторые вопросы устойчивости программного движения.
Казань, Таткнигоиздат, 1960.
12. Г а л и у л л и н А. С. Труды У Д Н им. П. Лумумбы, Теорет. механика, вып. 2, 1964.
13. Г а л и у л л и н А. С. Труды У Д Н им. П. Лумумбы, Теорет. механика, вып. 1, 1963.
14. G a l i u l l i n A. S. Symposia on Theoret. Physics and Mathematics, vol. 8, New York, 1968.
15. М у х а м е т з я н о в И. А. Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1963.
16. А л е к с а н д р о в А. Г. Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1965.
17. Д а с П. Ч. Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1965.
18. М у х а р л я м о в Р . Г. Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1965.
19. Ф у р а с о в В. Д. Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1968.
20. Ч е р в я к о в а Л. Д. Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1969.
21. М а м а е в Л . Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1970.
22. Г а л и у л л и н А. С., М у х а м е т з я н о в И. А., М у х а р л я м о в Р . Г., Ф у- р а с о в В. Д. Построение уравнений программного движения управляемых систем. М., Изд. У Д Н им. П. Лумумбы, 1969.
23. Г а л и у л л и н А. С , М у х а м е т з я н о в И. А., М у х а р л я м о в Р . Г., Ф у- р а с о в В. Д. Построение систем программного движения. М., «Наука», 1971.
24. Г а л и у л л и н А. С. Устойчивость движения. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1972.
25. К и р г и з б а е в Ж . Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1966.
26. Г а л и у л л и н А. С. Труды УДН им. П. Лумумбы, Теорет. механика, вып. 5, 1968.
27. Ф а т х у л л и н Э. Ф. Труды У Д Н им. П. Лумумбы, Теорет. механика, вып. 5, 1968.
28. В и ш н я к о в А. Ф. Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1970.
29. Н у р б а е в У. Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1970.
30. Б у л а т с к а я Т. Ф. Дифференц. уравнения, 8, № 8, 1972.
31. М у х а р л я м о в Р. Г. Ж у р н а л вычисл. матем. и матем. физики, Аг? 4, 1971.
32. Г а л и у л л и н А. С. Дифференц. уравнения, 8, № 8, 1972.
33. Г а л и у л л и н А. С. Автоматика и телемеханика, № 3, 1970.
34. Г а л и у л л и н А. С. Дифференц. уравнения, 6, № 8, 1970.
35. Л е х н и ц к и й Е. С. Автореф. канд. дисс. М., У Д Н им. П. Лумумбы, 1971.
Поступила в редакцию 4 апреля 1972 г.
Университет дружбы народов им. П. Лумумбы
