Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
I. V. Chirkov, M. A. Shevelin, Determination of endomorphisms of free metabelian Lie algebras, Sibirsk. Mat. Zh. , 2000, Volume 41, Number 6, 1457–1460
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 178.128.90.69
November 6, 2022, 23:28:39
УДК 517.55
ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ЭНДОМОРФИЗМОВ СВОБОДНЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ АЛГЕБР ЛИ
И. В. Чирков, М. А. Шевелин
Аннотация: Устанавливаются необходимые и достаточные условия на элементы свободной метабелевой алгебры Ли конечного ранга, при выполнении которых каж- дый эндоморфизм этой алгебры однозначно определяется своими значениями на них. Библиогр. 4.
Отвечая на вопрос В. Э. Шпильрайна [1, вопрос 13.66], Е. И. Тимошенко [2] нашел необходимые и достаточные условия на элементы свободной конечно- порожденной метабелевой группыGрангаn, при выполнении которых каждый эндоморфизм группы Gоднозначно определяется своим действием на эти эле- менты. ПустьMn— свободная метабелева алгебра Ли сnсвободными порожда- ющими. Цель этой работы состоит в том, чтобы выяснить, при каких необходи- мых и достаточных условиях на элементыb1, b2, . . . , bmалгебры ЛиMnкаждый эндоморфизм ϕэтой алгебры определяется однозначно своими значениями на них или, короче,элементыb1, b2, . . . , bm однозначно определяют каждый эндо- морфизм алгебрыMn.
ПустьK— произвольное поле,L— алгебра Ли надK. СимволомU Lобо- значается универсальная обертывающая алгебра для L. Хорошо известно, что U L— целостное кольцо. Обозначаем черезF свободную алгебру Ли над полем Kс множеством свободных порождающих{y1, . . . , yn}. Ее универсальная обер- тывающая является свободной ассоциативной алгеброй с тем же множеством свободных порождающих.
Идеал, порожденный F в U F, является свободным правым U F-модулем с базисом y1, . . . , yn. Поэтому для элемента f ∈ F U F имеется единственное разложение
f = X
1≤i≤n
yi∂if (∂if ∈U F).
Коэффициент приyiназываетсяпроизводной Фоксаэлементаf. Образ элемента
∂if при гомоморфизме колец U F →R называетсязначениемв R производной
∂if.
Пусть M — метабелева алгебра Ли, A — ее коммутант. Присоединенное представлениеM индуцирует представлениеM/AнаA. Таким образом,Aнаде- ляется структурой правогоU(M/A)-модуля (действие обозначаем нижней точ- кой). Eслиa∈A, ¯g1,¯g2, . . . ,g¯k ∈M/A, тоa.¯g1¯g2. . .g¯k = [[. . .[[a, g1], g2], . . .], gk].
Мы обозначаем верхней чертой образы элементов при гомоморфизме алгебр
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 98–01–00932).
c 2000 Чирков И. В., Шевелин М. А.
1458 И. В. Чирков, М. А. Шевелин
U M → U(M/A). Напомним, что алгебра U(M/A) изоморфна алгебре много- членов.
Пустьf ∈U F,bi∈Mn,ai∈Mn′. Как и в [2], нам понадобится формула f(b1+a1, b2+a2, . . . , bn+an) =f(b1, . . . , bn) + X
1≤i≤n
ai.∂if .
Ее достаточно проверить для одночлена f от букв {xi|1 ≤ i ≤ n} степени r.
Поскольку приr= 1формула очевидна, предположим, чтоf — лиев одночлен степени r >1. Тогда можем записатьf = [f1, f2],f1, f2 — одночлены степени, меньшей чем f. Теперь формула следует из предположения индукции, опре- деления действия U(Mn/Mn′)наMn′ и непосредственно проверяемого (в U Mn) равенства∂i[f1, f2] = (∂if1)f2−(∂if2)f1.
Теорема 1. Пусть Mn — свободная n-порожденная метабелева алгебра Ли над полем K. Тогда никакиеm < nэлементов этой алгебры не определяют однозначно ее эндоморфизмы, действующие тождественно по модулю комму- танта.
Доказательство. Пусть g1, . . . , gm — произвольные элементы алгебры Mn. Очевидно, существует нетривиальное решение λ1, . . . , λn системы линей-
ных уравнений X
1≤i≤n
λi ∂igj = 0 (1≤j≤m).
Пусть06=c∈Mn′. Эндоморфизмϕ, определенный правилом xi →xi+c.λi (1≤i≤n),
является тождественным по модулю коммутанта. Вычислимgjϕ:
gjϕ=gj(x1+c.λ1, . . . , xn+c.λn) =gj(x1, . . . , xn)+ X
1≤i≤n
c.λi ∂igj(x1, . . . , xn) =gj.
Значит,ϕтождественно действует на всехgj.
Теперь проверим, чтоϕ— не тождественный эндоморфизм. В [3] показано, как вложить Mn в свободный модуль E над U(Mn/Mn′) так, чтобы действие на E продолжало действие на Mn′. В частности, U(Mn/Mn′)-модуль Mn′ без кручения. Выберем теперь число l между 1 и n так, чтобы λl 6= 0. Тогда ϕ переводитxl вxl+c.λl. Так какc6= 0,λl6= 0и Mn′ — модуль без кручения, то xlϕ6=xl,ϕ6= 1, что и требовалось.
Лемма 1. Пустьc∈A,λ1, . . . , λn∈U(Mn/Mn′). Если X
1≤i≤n
λi∂ic= 0,
то эндоморфизмϕ, заданный правилом
xiϕ=xi+c.λi (1≤i≤n), является автоморфизмом алгебры Ли Mn.
Доказательство. Согласно следствию из теоремы 2 работы [4] эндомор- физмϕсвободной метабелевой алгебры ЛиMn является автоморфизмом тогда и только тогда, когда его матрица Якоби J(ϕ) = (∂i(xj+c.λj))обратима. До- казательство заканчивается дословно так же, как в [2].
Теорема 2. Никакиеn−1 элементов свободной метабелевой алгебры Ли Mn при n ≥ 3 не определяют однозначно автоморфизмы, тождественные по модулю коммутанта.
Доказательство. В [3] построено вложениеγ:Mn→Eв свободный мо- дуль E= L
1≤i≤n
eiU(Mn/Mn′)надU(Mn/Mn′). Это вложение в наших терминах выглядит следующим образом:
Mn∋f → X
1≤i≤n
ei∂if ∈E.
Согласно этой же работе элемент f ∈E принадлежит образуMn′γ коммутанта тогда и только тогда, когда
X
1≤i≤n
xi∂if = 0.
Пусть g1, . . . , gn−1 ∈ M. Рассмотрим нетривиальное решение λ1, . . . , λn ∈ U(Mn/Mn′)системы линейных уравнений:
X
1≤i≤n
λi∂igj= 0 (1≤j≤n−1).
Система X
1≤i≤n
λizi = 0, X
1≤i≤n
xizi= 0
двух линейных уравнений над U(Mn/Mn′)с неизвестнымиz1, . . . , zn имеет при n≥3нетривиальное решение. Из второго уравнения этой системы ввиду ска- занного выше следует, что найдетсяc∈Mn′ такой, что∂ic=zi, а из первого по лемме 1 — что эндоморфизмϕ:Mn →Mn, определенный правилом
xiϕ=xi+c.λi,
является автоморфизмом. Этот автоморфизм не тождественный, поскольку не всеλi нулевые, но на всеgj он действует тождественно. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть m≥n. Элементы g1, . . . , gm ∈M однозначно опреде- ляют эндоморфизмы алгебры Ли Mn тогда и только тогда, когда подалгебра, порожденная этими элементами, содержит подалгебру, изоморфнуюMn.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что найдет- ся такое числоk∈ {1, . . . , n}, для которого
gi=xi+ci (1≤i≤k), gi=ci (k+ 1≤i≤m).
Здесьc1, . . . , cm∈Mn′. Очевидно, чтоg1, . . . , gkпорождают свободно метабелеву подалгебру вMn.
Предположим сначала, чтоk < n.
Пустьa, b— различные элементы из коммутанта. Эндоморфизмϕопреде- лим правилом
x1ϕ=a, xiϕ=b (i= 1, . . . , n), а эндоморфизмψ—
x1ψ=a, xiψ=b(i= 1, . . . , n−1), xnψ=a.
1460 И. В. Чирков, М. А. Шевелин
Заметим, что giϕ = giψ (i = 1, . . . , k), а на элементах gk+1, . . . , gm оба эндо- морфизма действуют нулевым образом. Следовательно, элементы g1, . . . , gmне определяют однозначно эндоморфизмы алгебры Mn.
Допустим, что k≥n. Нам нужно доказать, что если эндоморфизмыϕиψ совпадают на элементахg1, . . . , gm, тоϕ=ψ.Из того, чтоgiϕ=giψ(1≤i≤k), легко выводится, что значения xiϕ и xiψ сравнимы по модулю коммутанта.
Пусть
xiϕ=li+ai, xiψ=li+bi (1≤i≤n).
Здесьai, bi∈Mn′, аli — линейные комбинации порождающих. Вычислимgiϕи giψ:
giϕ=gi(l1+a1, . . . , ln+an)
=gi(l1, . . . , ln) + X
1≤j≤n
aj.∂jgi=gi(l1, . . . , ln) + X
1≤i≤n
aj.(δij+∂jci).
Аналогично
giψ=gi(l1, . . . , ln) + X
1≤i≤n
bj.(δij+∂jci).
Здесьδij — символ Кронекера.
Элементыai−bi∈Mn′ удовлетворяют системе однородных линейных урав- нений с коэффициентами вU(Mn/Mn′):
X
1≤j≤n
zi(δij+∂jci) = 0 (1≤i≤n).
Гомоморфизм ассоциативно-коммутативных алгебр ε : U(Mn/Mn′) → K, определенный правилом xiε = 0, продолжается до гомоморфизма матричных алгебрε:M(n, U(Mn/Mn′))→M(n, K), перестановочного с отображениемdet.
Рассмотрим Mn как U(Mn/Mn′)-подмодуль в E = L
1≤i≤n
eiU(Mn/Mn′). Не- трудно понять, что этот подмодуль порожден множествомei.xj−ej.xi. Поэто- му для всехi справедливо включение∂jci =(i-я координата соответствующего вектора из E)∈ kerε. Это означает, что определитель предыдущей системы сравним с 1 по модулю kerε, т. е. эта система имеет только нулевое решение.
Поэтомуai=bi при всехi,ϕ=ψ. Теорема доказана.
Авторы признательны Е. И. Тимошенко за полезное замечание.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 13-е изд. Новосибирск: Изд-во НИИ математико-информационных основ обучения НГУ, 1995.
2. Тимошенко Е. И.Об определяемости эндоморфизмов свободной группы многообразия AMконечным множеством значений // Мат. заметки. 1997. Т. 62, № 6. С. 916–920.
3. Artamonov V. A.The categories of free metabelian groups and Lie algebras // Comment.
Math. Univ. Carolin.. 1977. V. 18, N 1. P. 143–159.
4. Умирбаев У. У.Частные производные и эндоморфизмы некоторых относительно свобод- ных алгебр Ли // Сиб. мат. журн.. 1993. Т. 34, № 6. С. 179–188.
Статья поступила 21 сентября 1999 г.
г. Омск
chirkov@math.omsu.omskreg.ru; shevelin@math.omsu.omskreg.ru