Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
A. V. Avdeev, E. V. Goruynov, V. I. Priimenko, An inverse problem of electromagnetoelasticity with unknown source of elastic oscillations, Matem. Mod. , 1997, Volume 9, Number 10, 50–62
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 178.128.90.69
November 6, 2022, 06:08:02
МОДЕЛИРОВАНИЕ
том У номер 10 юд 1997
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
УДК 518.550
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОМАГНИТО-УПРУГОСТИ С НЕИЗВЕСТНЫМ ИСТОЧНИКОМ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ
© А. В. Авдеев*, Э. В. Горюнов*, В. И. Прийменко*
""Вычислительный центр СО РАН
Россия, 630090 Новосибирск, пр-т Лаврентьева, д. 6 E-mail: avdeev@comcen.nsk.su
и н с т и т у т математики им. С.Л.Соболева СО РАН Россия, 630090 Новосибирск, Университетский пр-т, д. 4 Факс: (3832) 35-06-52; E-mail: priimenk@math.nsc.ru
fNorth Fluminense State University, Laboratory of Petroleum Engineering and Exploration — LENEP/UENF
Rodovia Amaral Peixoto, 164 km Imboacica 27.973-030 Macae, RJ, Brazil Факс: 55-0247-736565; E-mail: slava@lenep.uenf.br
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 96-05-66058, 96-01-01887, 95-05-15567)
Рассмотрена задача определения некоторых упругих и электромагнитных параме
тров слоистой среды и неизвестного источника упругих колебаний из слабо связан
ной линеаризованной системы уравнений электромагнитоупругости. Проведены численные эксперименты, показывающие возможность достаточно эффективного применения оптимизационного подхода к такого рода задачам.
AN INVERSE PROBLEM OF ELECTROMAGNETOELASTICITY
WITH UNKNOWN SOURCE OF ELASTIC OSCILLATIONS *
A. V.Avdeev*, E. V. Goruynov*, V. I. Priimenko*
* Computing Center of Siberian Branch of Russia Acad. Sei. (SB RAS) Russia, 630090 Novosibirsk, Lavrent'ev prosp. 6
E-mail: avdeev@comcen.nsk.su
tSobolev Institute of Mathematics, SB RAS Russia, 630090 Novosibirsk, Universitetskii prosp. 4 Fax: (3832) 35-06-52; E-mail: priimenk@math.nsc.ru
tNorth Fluminense State University, Laboratory of Petroleum Engineering and Exploration
— LENEP/UENF о © F Rodovia Amaral Peixoto, 164 km Imboacica 27.973-030 Macae, RJ, Brazil
Fax: 55-0247-736565; E-mail: slava@lenep.uenf.br
The problem of determining some elastic and electromagnetic parameters of a layered medium and unknown source of elastic oscillations from a weakly coupled linearized set of equations
Обратная задача электромагнито-упругости 51 of electromagnetoelasticity is considered. The results of numerical experiments are presented that show the possibility to apply effectively the optimizational approach to problems of this type.
Введение
Рассматривается одна из возможных постановок обратных задач, связанная с электродинамикой вибрирующих упругих сред. Чтобы ввести соответствующие уравнения, нам потребуются некоторые предварительные рассуждения.
Движение упругой проводящей среды в электромагнитном поле описывается двумя системами уравнений: упругости и электродинамики. Так же, как и в магнит
ной гидродинамике [1], эти уравнения взаимозависимы вследствие дополнитель
ных членов, учитывающих эффекты, связанные с движением упругой проводящей среды в электромагнитном поле. Волны, возникающие в результате этого взаимо
действия, обычно называют электромагнитоупругими. Первые попытки применить теорию электромагнитоупругости к исследованию процесса распространения волн в упругих проводящих средах были предприняты Л. Кноповым [2], П.Чедвиком [3], Дж. Данкином - А. Эрингеном [4], В. И. Кейлис-Бороком - А. С. Мониным [5], В.И.Калининым [6] и Г.Пария [7]. Л.Кнопов исследовал влияние электромагнит
ных полей на распространение упругих волн и пришел к заключению, что в классе геофизических задач влияние электромагнитных эффектов на процесс распростра
нения упругих волн пренебрежимо мало, по крайней мере, в случае не слишком больших электромагнитных возмущений.
1. Основные уравнения
Будем полагать, что рассматриваемая модель удовлетворяет основным ги
потезам механики сплошной среды: сплошности, эвклидовости и абсолютности времени. Первая означает, что рассматривается непрерывный континуум, вторая подразумевает возможность введения для всех точек декартовой системы коорди
нат, согласно третьей не учитываются эффекты теории относительности. Кроме того модель неприменима в случае сильных магнитных полей. Также будем пред
полагать, что электромагнитоупругие волны возникают под воздействием механи
ческих возмущений, и что можно пренебречь влиянием электромагнитных волн на процесс распространения упругих колебаний и токами смещения по сравнению с токами проводимости. И, наконец, будем рассматривать поля малых возмущений.
Теперь можно выписать уравнения. Предположение о малых возмущениях полей, позволяет рассматривать линеаризованную постановку задачи, когда вектор смещения U, вектор напряженности электрического поля £ и вектор напряженности магнитного поля H представимы в виде
(М,г,И) = (0,0,Я°) + (и,Я,Я),
где (О,О,Я0) — величина, относящаяся к невозмущенному состоянию среды (Н°
— постоянный вектор); вектор смещения точек среды от опорной конфигурации t» = (ui,u2,и3), вектор напряженности электрического поля Е = (ЕХ,Е2,Е3), вектор напряженности магнитного поля И = (НиН2,Н3) соответствуют малым возмуще
ниям упругого и электромагнитного полей. Кроме этого в силу наших предпо
ложений можно считать, что процесс распространения упругих волн управляется обычной системой дифференциальных уравнений теории упругости:
'-5гг = Е-йг> | = 1 ' 2 ' 3 ' (1)
где тензор напряжений Т^(и) определяется через компоненты щ вектора смещений и в случае изотропной магнитоупругой среды имеет вид
Tij{u) = к (!? + SO + ^ Adivl4 ' iJ = ! ' 2 ' 3 -
(2)Здесь р, А, к обозначают соответственно плотность среды и коэффициенты Ламе, a 6ij — символ Кронекера.
Процесс распространения электромагнитных волн через упругую проводя
щую среду будет описываться следующей системой уравнений:
rot Я = J, — = -rot Е, div В = О, (3) dB
at
где в силу наших предположений определяющие соотношения запишутся в виде
В = м(Я° + Я), J = er (Е- /i^J х Я0) . (4) Здесь fi — магнитная проницаемость, а — электропроводность среды. Таковы диф
ференциальные уравнения, описывающие процесс взаимодействия электромагнит
ных и упругих волн в нашем случае.
Теперь перейдем к постановке прямой задачи для дифференциальных уравне
ний (1)-(4)- Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат (хих2,х3) =
= х. Пусть плоскость х3 = 0 — граница раздела сред типа "воздух" {х3 < 0) —
"проводящая земля" (х3 > 0). Электромагнитные и упругие характеристики земли описываются кусочно-постоянными функциями с плоскостями разрыва, параллель
ными плоскости х3 = 0. Введем обозначение:
i>b = 'L-4-'
т. е. [/]г — скачок функции / на ориентированной поверхности Г в направлении от внутренней к внешней части Г. Будем считать, что упругие колебания возникают под воздействием силового источника, сосредоточенного в начале координат
Tk>3(u)\ = Sk,3f(t)6(xux2), * = 1,2,3, (5)
3=0
где S(-) — обобщенная функция Дирака.
Относительно силового источника и начальных данных предполагаем, что функция f(t) и электромагнитоупругое поле отсутствуют до момента времени t — 0,
(/,«,Я,Я)| = 0 . (6)
li<0
Для выделения единственного решения прямой задачи необходимо требовать выполнения условий излучения на бесконечности:
и т ( Я , Я ) = 0. (7)
М —оо
Помимо этого на плоскостях разрыва коэффициентов задачи потребуем выполне
ния стандартных условий согласования:
К ] = [Ек] = [Нк] = [Тто,з(«)] = 0, к = 1,2, m =1,2,3. (8)
Обратная задача электромагнито-у пру гости 53 Таким образом прямая задача будет заключаться в нахождении вектор-функций t*,
J5, ff, удовлетворяющих уравнениям (1)-(8) при условии, что известны упругие и электромагнитные характеристики среды и постоянный вектор 2Г°, характеризую
щий магнитное поле Земли.
Основная задача будет состоять в том, чтобы показать возможность при
менения оптимизационного подхода к одновременному определению электромаг
нитных и упругих характеристик среды, а также функции f(t) из системы урав
нений (1)-(8) по некоторой дополнительной информации относительно компонент вектор-функций ti, E. Изучим частный случай сформулированной проблемы, ко
торый, однако, будет отражать многие принципиальные моменты более общего случая.
Отметим, что задача определения упругих и электромагнитных характери
стик среды с учетом взаимодействия двух полей рассматривалась также в рабо
тах А.Лоренци - В.Г.Романова [8], М.М.Лаврентьева (мл.) - В.И.Прийменко [9], А.Лоренци - В.И.Прийменко [10], В.Г.Романова [11] и И.З.Меражова - В.Г.Ях- но [12]. Следует также отметить работу О. А. Клименко [13], в которой был предло
жен численный алгоритм определения коэффициента электромагнитоупругой свя
зи.
Что касается формы зондирующего сигнала (т.е. функции f(t)% в большин
стве случаев при проведении реальных геофизических исследований она либо неиз
вестна, либо задана только приближенно, в то время как ее аккуратная оценка не
обходима для практического решения многих обратных задач. Отметим, что в тео
ретическом плане задачи совместного восстановления строения среды и формы зон
дирующего сигнала исследовались A.C. Благовещенским [14] и К.Г. Резницкой [15].
Наиболее полная библиография по вопросам численного решения приведена в ра
боте П. Кэрриона и др. [16].
2. Постановка обратной задачи
Сформулируем обратную задачу. Обозначим переменную х3 через z и рас
смотрим функции V(z
ар,
(V(z), c(z) — скорости распространения продольных упругих волн, и диффузион
ного процесса электромагнитных волн соответственно).
О п р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что функции V(z), c(z) и f(t) принадле
жат классу М, если существует набор положительных постоянных Vm, ст, fm, zm, z'm, tm таких, что
V(z) = Vm, ze (z'ni_x,z'm)4 m = 1 Д - + 1,
1 m •> € ( zm_b*m) , m - l,?i + 1,
cn + l i Z Уn + 1 , Z, ^ Z, ^n + \ >
fit]
H
t e (tm-lJm), ™ = 1,/ + 1, где z0 = z'Q = t0 = 0; n, k, l e N.Всюду в дальнейшем будем предполагать, что функции V(z\ c(z), f(t) при
надлежат классу M.
Рассмотрим функции
ti(zj) = KeFXlX2(u3)\ , E(zJ) = R * Fr i r a( £ i ) |
где FI l X 2( ) обозначает обобщенное преобразование Фурье по переменным хих2, a {v\,vi) — двойственные к ним переменные. Исходя из уравнений (1)-(8) можно выписать систему соотношений, которым должны удовлетворять в области г > О функции и, E:
(9) (10)
(Н) (12)
(13) (И) (15) (16) д2а
•2( - - )
d2u
0?'
и\ н 0,
1<<0
ди\
~dl\ г = 0
M«-:. =
du~\ = o,0Е РЕ El S 0, lim E = DE
dz
[£],=-„, = \dE
[dz
1
= 0ч(t,z)eRx n',
m = l,fc+ 1,
д2и Л _
0,
7H. = 1 , 71 - f 1 ,
где ÇV = R+\{z = z'm, m = l,fc + 1}, П = R+ \ {z = *m, m = 1,7* + 1}, F(t) =
= (Л(0) -f 2 к ( 0 ) )_ 1/ ( 0 ' Н — постоянная, характеризующая магнитное поле Земли.
Теперь сформулируем обратную задачу.
О б р а т н а я з а д а ч а . Требуется определить функции V(z),c(z),f(t) E M (т. е. набор чисел ст, Vm, fm), если относительно решети задач (9)-(Г2) и (13)- -(16) известна дополнительная информация
и\ = u0(t).
EL o= Е п ( 0 , t e [o,+oo),
(17) (18) a также числа \.i, H.
З а м е ч а н и е . Не ограничивая общности будем считать, что /х = р,0, где /х0
— магнитная проницаемость вакуума.
3. Оптимизационный метод решения обратной задачи электромагнитоунругости Для численного решения поставленной выше обратной задачи использовал
ся оптимизационный подход, основанный на минимизации целевых функционалов невязки, наблюденных и рассчитанных при решении "пробных" прямых задач дан
ных. Была предложена следующая схема решения:
Обратная задача электромагнито-упругости 55 3.1. Первый этап. На первом этапе рассматривалась начально-краевая задача (9)—(12), описывающая распространение упругих волн в вертикально-неоднородной среде.
Следует отметить, что несмотря на свою простоту, вертикально-неоднородная модель среды не только позволяет изучить основные особенности процессов фор
мирования и распространения геофизических полей, но и в ряде случаев довольно хорошо описывает реальные геофизические условия (например, наличие слоистого осадочного чехла). В то же время, при ее использовании уже возникают основные математические проблемы, без решения которых невозможен переход к рассмотре
нию более реалистичных моделей (сред с поглощением, анизотропией, многомерно- неоднородных сред и т.д.).
В данной модели среда представляется пачкой однородных слоев, лежащих на однородном полупространстве. Полуаналитический метод, описанный в [17], позволяет получить в данном случае точное решение и, что особенно важно, по
зволяет организовать прецесс построения решения обратной задачи наиболее эф
фективным образом.
По отношению к системе уравнений (9)—(12) была рассмотрена обратная за
дача восстановления функций V(z),f(t) £ M по дополнительной информации (17).
Применяя преобразование Фурье по переменной U исходную постановку (9)- (12), (17) запишем в следующем виде:
j2
— u(z,u>) + v2u(z,u) = 0, z e ß ' , du(z,u>)
Az
[u(z,u;)]2=z,m =
= F(u>), du(z,u>)
<lz
] -••
7 71 — 1 , fc + 1,(19) (20) (21) где
= UJ2V'2(Z), F(u>) = f F(t)exp(-iu>t)dt.
Для выделения единственного решения предполагается, что выполнен прин
цип предельного поглощения, т.е.
u(z,uj) = lim uiz.uj - is),
v ' e—+o v '
(22) где, в свою очередь,
lim U(Z,LO — is) = 0.
г-^ + ои
Дополнительная информация (17) переписывается следующим образом:
(23)
w(z,u;) _ = щ(и>). (24)
Как было показано в [17], реализация процесса поиска точки минимума це
левого функционала в частотной области и; позволяет существенно сократить вы
числительные ресурсы, необходимые для многократного решения прямой задачи и, кроме этого, производить детальный анализ спектров волновых полей на каждом
этапе расчетов. В связи с этим решение обратной задачи будем искать как точку минимума следующего функционала:
Ф,[п(г)^(и;)] = | | u o M - ß,[n(*),F(u>)](u>)|2du;, (25)
где (u;bu;2) — диапазон временных частот, определяемый спектральным составом зондирующего сигнала F(u), a Bx[n(z),F{u>)] — нелинейный оператор, переводя
щий функции n(z) = V~2{z) и F(u>) в решение прямой задачи (19)—(23) при z = 0.
Можно доказать дифференцируемость по Фреше функционала (25) относи
тельно переменных n(z) и F (и) и затем получить следующие выражения для его градиентов:
V ^ ^ H ^ F H K O = - 2 Re r\u + ie)7F(u) [и0(ш) - ^[n(z),F(u;)](u;)J x
xG^t^du, (26) У^)Ф1[п(г),^(и;)](и;) = -2Re[u0(u) - Bx[n(z),F{u)](u>)] -êi(£,u;)-
- 2 Î I m [ t t o M - BM^Fiu;)]^)} .&(£,*), (27) где öi(£,u>) — решение задачи (19)—(23) при F(u;) = 1, а черта над функцией озна
чает комплексное сопряжение.
Пусть существует точка (na,Fs), в которой градиенты функционала обраща
ются в нуль. Тогда из (26), (27) легко получить следующее выражение:
Сх(0,и)ио(и)
\Ь\ (0,и^)|
где £i(0,u>) — решение задачи (19)—(23) при F(u>) = 1 и n(z) = n,(z), взятое в точке г = 0.
В работе В. А. Чеверды и Т. А. Ворониной [18] было предложено использовать формулу, аналогичную (28), для вычисления импульса F^(u) на k-й итерации при решении обратной задачи ВСП (вертикального сейсмического профилирования).
В работе А.В.Авдеева и Э.В.Горюнова [19] описано применение этого алгоритма для решения обратной динамической задачи сейсмики с неизвестным источником в случае регистрации полного волнового поля на свободной поверхности z = 0.
Используя выражения (26) и (28), можно применить оптимизационные мето
ды спуска первого порядка для поиска точки минимума функционала (25), т. е. для восстановления неизвестных функций V(z) и F(t). Если удастся восстановить эти функции, то можно, решив прямую задачу (19)—(23), определить спектр волново
го поля U(Z,LJ) во всем изучаемом полупространстве, т.е. найти правую часть в дифференциальном уравнении дл^ электрического поля задачи (13)-(16).
3.2. Второй этап. На втором этапе рассматривается начально-краевая задача (13)—(16), которая после применения преобразования Фурье по переменной / может быть записана в виде /
d2
—E{z,u) + if{z)E{z,u)= -iuJHoH7]2(z)u(z,uj), z G ft, (29)
Обратная задача электромагнито-упругости 57 dE(z,u)
dz
[Е(г,ы)]ЖВЖт =
= 0, (30)
г=0
АЕ(г,и))
dz = О, га = 1,п+ 1, (31)
где 7/2(2г) = -ги>с 2(z).
Дополнительная информация (18) перепишется в виде
Е{г',ш)\ = #0Н - (32)
Решение обратной задачи (29)-(32) будем искать как точку минимума следу
ющего целевого функционала:
Ф ,И*)] = J\EO(U) -B2[<r(z)](u>)\2 сЬ, (33) где B2[cr(z)] — нелинейный оператор, переводящий функцию <J(Z) ("пробное" зна
чение проводимости) в решение прямой задачи (29)—(31) при z = 0.
Выражение для градиента целевого функционала (33) по проводимости вы
писывается в следующем виде:
Я*2[Ф)Ю = МО + A3(t), (34)
где
Л , ( 0 = 2fi20H R e | u >2 [EO(W) - ВМ*)Ь>)\ utf,w)S(E,u;)du, (35)
U / 1
Л2(£) = 2/j.lH Imjuj3 [E0(U) - fla[<7(z)](w)] & ( £ , « ) X
U/i
+ 00
X / а(т)С2(т,и)й(т,и))ат du, (36)
о
a (?2(f ><*>) — функция Грина задачи (29>-(31).
Используя выражения (34)-(36), можно применить оптимизационные мето
ды спуска первого порядка для поиска точки минимума функционала (33), т.е.
востановления неизвестной функции проводимости a(z).
4. Вопросы единственности решения обратной задачи электромагнитоупругости Теорема единственности решения обратной задачи ( 19)—(24) при заданной функции источника доказана А. С. Алексеевым [20]. Эта теорема применима для решения обратной задачи (29)-(32), если известна правая часть дифференциально
го уравнения (29) для электрического поля.
Вопросы единственности решения задачи совместного восстановления неиз
вестного коэффициента и правой части дифференциального уравнения исследо
вались А.С.Благовещенским [14] и К.Г.Резницкой [15]. Полученные результаты могут быть адаптированы для рассматриваемой нами задачи.
При обосновании возможности применейия оптимизационного подхода к ре
шению обратной задачи принципиально важным является вопрос о наличии ло
кальных минимумов рассматриваемого целевого функционала.
В [21] доказана теорема единственности точки минимума целевого функцио
нала для постановки обратной задачи, аналогичной рассматриваемым в настоящей статье постановкам (19)-(24), (29)-(32) с заданной функцией источника и с извест
ной правой частью соответственно.
При неизвестной функции источника теорема единственности стационарной точки целевого функционала доказана в [18] для случая обратной задачи ВСП, т. е. для случая задания дополнительной информации в нескольких точках по глу
бине (как минимум в двух). Если дополнительная информация задана только на свободной поверхности, доказать соответствующую теорему не представляется воз
можным.
Однако, как показано в [21], теорема единственности точки минимума целе
вого функционала не гарантирует сходимости итерационного процесса к точному решению обратной задачи. Ключевую роль здесь играют "хорошее" начальное при
ближение, частотный диапазон, включающий низкие временные частоты, и прием
лемый уровень помех.
5. Численные эксперименты
Для проведения численных экспериментов был написан пакет программ на языке Watcom C++ с расширенным графическим интерфейсом, который позволял производить восстановление функций V(z), cr(z) и f(t) в интерактивном режиме на основе оптимизационного подхода.
Для организации итерационного процесса поиска точек минимума целевых функционалов использовался метод сопряженных градиентов в следующей интер
претации:
/j+i(*) = fj(z)-<*j • Pj{z), aj = а г £ 1 ш п ф к - ( г ) - а - Pj(z)]y
O f > 0 L J
P0(z) = 4*[fo(z)), Pj(z) = V/Ф [£(*)] - ßj • Ъ(г), ßj = (У,Ф [/,-(*)], V,*[fi-i(z)\ - ЦФ [/>(*)]), j > 1,
где f(z) = n(z) (или cr(z)\ a шаг Q; выбирается по м е т о ^ "золотого сечения".
Для проведения численных экспериментов была выбрана достаточно слож
ная модель вертикально-неоднородной среды, содержащая резкие изменения па
раметров. Восстановление среды производилось до глубины 1.75 км. Ниже этой отметки среда предполагалась однородной. Вся среда от поверхности до глубины
1.75 км была разбита на 9 равномощных слоев.
В качестве зондирующего сигнала был выбран импульс с "колокольной оги
бающей" (доминирующая частота / = 20 Гц):
F(u) = ехр
-(^г / )>-(-("-^) ! )]^- 1 ' 75 ^
Расчеты проводились для диапазона временных частот от 5 4- 40 Гц. Для рас
чета полного волнового поля U(Z,UJ) и напряженности электромагнитного поля
E(Z,LJ) использовался полуаналитический метод, описанный в [17]. Для вычисле
ния импульса Fj(u) на j-й итерации использовалось условие обращения в нуль
Обратная задача электромагнито-упругости 59 градиента функционала (25) по функции Fj на текущей скорости V,(z), т.е. выра
жение (27).
На рис. 1 показана скоростная модель среды (сплошная линия) и начальное приближение (штриховая линия). На рис.2 приведен спектр F(u>) импульса вход
ного сигнала F(t) (жирная линия) и первое приближение для него (тонкая линия), полученное из формулы (28). На рис. 3 показана функция F(t) (жирная линия) и на
чальное приближение для нее (тонкая линия). В результате 35 итераций по методу сопряженных градиентов удалось восстановить с хорошей точностью как скорост
ное распределение среды, так и функции F(u>), F(t). Результаты расчетов показаны на рис.4-6 (пунктирная линия на рис.4, тонкие линии на рис.5, 6; жирными лини
ями изображены точные функции).
v(«).
km/s
1J00
IJOOO
олоо
0400
0.400
0JO0
^ - - -
1 1
*
Velocity
2, km
30.000 55.000
Im [F (и))]
80.000 105.000 130.000 155.000 180000
ы
0.250 ОЛЮ 0.750 IJOOO 1.250 1300 1.750
Рис.1.
30.000 55.000 80.000 105.000 130.000 155.000 180.000
Рис.2.
к m/s
Velocity
0.250 0.500 0.750 1.000 1.250 1.500 1.750
РисЗ. Рис.4.
Здесь и ниже, указывая количество сделанных итераций, мы имеем в виду практически полную остановку итерационного процесса на рассматриваемом эта
пе. Качество полученных приближений оценивалось, исходя из близости значений соответствующего функционала к нулю.
На следующем этапе, с использованием восстановленных функций V(z) и F(t), был рассчитан спектр волнового поля u(z,w) во всем изучаемом полупро
странстве, т.е. определена правая часть в задаче (29)—(31).
Re [ F M ]
ЗОЛЮ » Я » MJOOO 105.000 1Э0Л00 155.000 1ЮЛ00
F(t)
^f
Рис.5. Рис.6.
Om km
C o n d u c t i v i t y
г, km
0.250 0J00 0.750 1.000 1.250 IJOO 1.750
C o n d u c t i v i t y
z, kml 0.250 0.500 0.750 1.000 1.250 1.500 1.750
Рис.7. Рис.8.
На рис.7 показан график "истинной" функции cr(z) (сплошная линия, также на рис. 8) и начальное приближение для нее (штриховая линия). Итоговое прибли
жение, рассчитанное по методу сопряженных градиентов за 68 итераций, приведено на рис. 8 (пунктирная линия). Как и следовало ожидать [22], заглубленные слои вос
становились существенно хуже, чем прилегающие к днев*ной поверхности.
Одним из выходов из этой ситуации представляется поиск хороших началь
ных приближений (т. е. содержащих низкочастотные составляющие параметров сре
ды) с помощью разномасштабного базиса, как это сделано в [18]. Другим возмож
ным подходом является рассмотрение совмещенных обратных задач [23, 24]. При этом решение ищется как точка минимума комплексного целевого функционала, учитывающего априорные связи между параметрами изучаемой среды.
6. Заключение
В последние годы оптимизационный подход, т. е. поиск точки минимума це
левого функционала невязки наблюденных и рассчитанных данных, стал одним из наиболее популярных методов численного решения различных постановок обрат
ных задач. Это объясняется его универсальностью, способностью учитывать на каждом этапе расчетов всю априорную информацию о решении и развитием вы-
Обратная задача электромагнито-упру гости 61
числительной техники, позволяющей многократно решать прямые задачи за при
емлемое время.
Целью настоящей работы была демонстрация возможности эффективного применения оптимизационного подхода к решению обратных задач электромаг
нитоупругости.
Рассматривалась достаточно простая (вертикально-неоднородная) модель среды. Однако исследование таких моделей дает возможность применить разра
ботанную технику к численному решению более сложных постановок обратных задач (совместное определение скоростей продольных и поперечных волн и прово
димости и др.). Авторы рассматривают решение этих задач как следующие этапы своей работы.
В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть, что предлагавшиеся до на
стоящего времени алгоритмы решения обратных задач электромагнитоупругости не реализовывались в виде работающих пакетов программ и не опробовались на численных эксперимента*.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. J.A. Shercliff. A Textbook of Magnetohydrodynamics. - Pergamon Press, 1965.
2. L. Knopoff. The interaction between elastic wave motion and a magnetic field in electrical conductors / J. Geophys. Res., 1955, v. 60, p. 441-456.
3. P. Chadwick. Elastic wave propagation in magnetic field / Proc. of the IXth Intern. Congr. Appl.
Mech. Brussels, 1956, p. 143-153.
4. J.W. Dunkin, A.C. Eringen. On the propagation of waves in an electromagnetic elastic solid / Intern. J. Eng. Sei., 1963, v. 1, p. 461-495.
5. В.И. Кейлис-Борок, A.C. Монин. Магнитоупругие волны и граница земной коры / Изв.
АН СССР, серия "Геофизика", 1959, с. 1529-1541.
6. В.И. Калинин. Влияние постоянного магнитного поля на распространение колебаний в проводящей среде. Дипломная работа. Московский акустический институт, 1954.
7. G.Paria. Magneto-elasticity and magneto-thermoelasticity / Adv. Appl. Mech., 1967, v. 10, p. 73-112.
8. A. Lorenzi, V.G.Romanov. Identification of the electromagnetic coefficient connected with deformation currents / Inverse Problems, 1993, v. 9, p. 301-319.
9. M.M. Lavrent'ev jr., V.l. Priimenko. Simultaneous determination of elastic and electromagnetic medium parameters / Computerized Tomography. Proc. of the Fourth Intern. Symp., Novosibirsk, August 10-14, 1993 / Ed. by M.M. Lavrent'ev. - Utrecht: VSP, 1995, p. 302-308.
10. A. Lorenzi, V.l. Priimenko. Identification problems related to electro-magneto-elastic interactions. / Препринт ИМ им. С.Л.Соболева СО РАН №28. 1996, 34 с; / J. of Inverse and Ill-Posed Problems, 1996, v.4, No.2, p. 115-143.
11. V.G.Romanov. On an inverse problem for a coupled system of equations of electrodynamics and elasticity / J. of Inverse and Ill-Posed Problems, 1995, v.3. No. 4, p. 321-332.
12. LZ. Merazhov, V.G. Yakhno. Direct and inverse problems for systems of electro magneto-elas
ticity equations / Computerized Tomography. Proc. of the Fourth Intern. Symp., Novosibirsk, August 10-14, 1993 / Ed. by M.M. Lavrent'ev. - Utrecht: VSP, 1995, p.332-335.
13. O.A. Klimenko. An algorithm for solving a problem in elasto-electrodynamics / Computerized Tomography. Proc. of the Fourth Intern. Symp., Novosibirsk, August 10-14, 1993 / Ed. by M.M. Lavrent'ev. - Utrecht: VSP, 1995, p.283-288.
14. AC. Благовещенский. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным источ
ником. / Проблемы математической физики. - Ленинград: Наука, 1970, с. 27-39.
15. М.М. Лаврентьев, К. Г. Резницкая, В. Г. Яхно. Одномерные обратные задачи математи
ческой физики. - Новосибирск: Наука, 1982.
16. P.M. Carrion, S. dos S. Sacramento, R. da C. Pestana. Source wavelet and its angular spectrum from plane-wave seismograms / Geophysics, 1990, v. 55, No. 8, p. 1026-1034.
17. А.Г. Фатьянов, Б.Г. Михайленко. Метод вычисления нестационарных волновых полей в неупругих слоистых неоднородных средах / ДАН СССР, 1988, т. 301, №4, с. 834-839.
18. V.A. Cheverda, T.A. Voronina. Optimizational approach to data processing in vertical seismic profiling / Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 1994, v. 2, No. 3, p. 211-226.
19. A.V.Avdeev, E.V. Goruynov. The inverse problem of acoustics: determination of source wavelet and velocity / Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 1996, v. 4, No. 6, p. 475-482.
20. A.C. Алексеев. Некоторые обратные задачи теории распространения волн / Изв. АН СССР, серия "Геофизика", 1962, т. 2, №11, с. 1514-1531.
21. A.S. Alekseev, A.V.Avdeev, V.V. Cheverda, A.G. Fatianov. Wave processes in vertically inhomogeneous media: a new strategy for a velocity inversion / Inverse Problems, 1993, v. 9, No. 3, p. 367-390.
22. A.F. Mastryukov. Solving inverse problem of electrical survey by the optimization method / Geology and Geophysics, 1992, No. 1, p. 138-143.
23. A.S. Alekseev. On combined inverse problems of geophysics for multidisciplinary earthquake prediction studies / Bulletin of Novosibirsk Computing Center, Ser. "Geophysics1, 1994, v. 1, p. 1-24.
24. A. V Avdeev, E. V. Goruynov, V V. Skazka. The combined inverse problem of acoustics and geoelectrics: numerical approach / Bulletin of Novosibirsk Computing Center, Ser.
"Geophysics", 1994, v. 1, p. 25-38.
Поступила в редакцию 16.08.96.
