Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
A. B. Borisov, V. V. Kiselev, Solitons in the modulated magnetic structure of MnOOH and of isomorphic compounds, Fizika Tverdogo Tela, 1990, Volume 32, Issue 1, 212–219
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 178.128.90.69
November 6, 2022, 21:59:16
1990 Ф ИЗИ К А ТВЕРДОГО ТЕЛА Том 32, j 1990 SOLID STATE PHYSICS Vol. 32,~дГ]
УДК 538.221 О 1090
СОЛИТОНЫ В МОДУЛИРОВАННОЙ МАГНИТНОЙ СТРУКТУРЕ МпООН И ИЗОМОРФНЫХ ЕМУ СОЕДИНЕНИЙ
А. Б. Борисов, В. В. Киселев
И с с л е д о в а н с п е к т р с п и н о в ы х в о л н и п р е д с к а з а н ы с о л и т о н о п о д о б н ы е возбуждения в м о д у л и р о в а н н о й м а г н и т н о й с т р у к т у р е м о н о к л и н н ы х а н т и ф е р р о м а г н е т и к о в (про
с т р а н с т в е н н а я г р у п п а Clk~P21/m). П о л у ч е н ы э ф ф е к т и в н ы е у р а в н е н и я нелинейной д и н а м и к и .
При феноменологическом описании модулированных магнитных струк
тур (ММС) в моноклинных антиферромагнетиках (пространственная группа Clh—P21/iri) в выражении для свободной энергии используются
I1] инварианты, линейные по пространственным производным от двух неприводимых магнитных векторов. Такой новый механизм образования ММС может быть реализован в соединениях типа МпООН, DyOOH [2] или их аналогах М п1 - яАяО О Н (А — немагнитный ион). Учитывая, что ММС соединения МпООН — одномерна, выражение для свободной энер
гии перепишем в виде I1]
F | d% {а (д^М)* + а!г (д.Ь)2 + + VL* + D (Md.L - LdtM)}. . (1)
Здесь М = М1+ М2, Ь = МХ— М2 — векторы ферро- и антиферромагнетизма соответственно (М. — намагниченности двух подрешеток системы, M'^Ml—const, j = l , 2); £ — координата вдоль направления простран
ственных градиентов; феноменологические постоянные а, а " , 8, Ь", D имеют обменное происхождение; а >> О, а " > 0. Очевидно, что обменное приближение (1) не фиксирует плоскость разворота векторов Mt. в равно
весном состоянии. В дальнейшем считаем, что в основном состоянии век
торы М. лежат в плоскости (х, у), и используем параметризацию
М ; = ( с о з О ; c o s (75 4 - 9 , ) , c o s O . s i n ( 7 ; 4-cpt.), s i n 0£) Mu (t = 1, 2 ) . (2)
Общий случай может быть получен умножением (2) на определенную орто
гональную матрицу, не зависящую от £, t
Свободная энергия в переменных 0t., cpt. имеет вид Щ г
F = ~ J dh {{а + а"] + + cos2 ° i (д{?1 + Т )а + cos2 б2 + Т)2] + 4- 2 (а — а") [д^гд%Ьг ( s i n Ьг s i n 02 c o s Ф 4- c o s 6Х c o s в2) 4- (d^i + т) ( ^ < ? 2 + т) X X c o s 6 ! c o s б2 c o s Ф — ^ ( ^ 2 + 7) s m 01c o s 02s n ^ 4 - < ^ 92( ^ ? i 4--у) cosOa s m 62s h ^ ] 4
4- 2 (5 — о") ( c o s ex c o s 02 c o s Ф + s i n Ьг s i n 62) 4- 2D [д£г ( — c o s 02 s i n 0Х c o s Ф + + s i n 02 c o s 0a) 4- д^2 ( c o s 0! s i n 02 c o s Ф — s i n 0a c o s 62) — (d^z + 7) c o s 6X c o s 02 s i n Ф -
— c o s 02 c o s 61 s i n Ф (d^2 4 - 7 ) ] } , (3)
Ф = <Pl — cp2.
Минимизация энергии (3) дает углы б{, Ф, описывающие ММС и волновой вектор спирали у
— v , w «6 2 — a ( I ) 2 + a ( o — о";; : '~~ > (4)
1 / Ф ф N - l
7 = у £ sin Ф (^z cos2 у + a" sin2 у J . (5)
ММС реализуется в области температур, определяемой условиями
ь > о, Г > О, Я > ( < r t " )7' + ( Л )7' . vx < c t g » у < v2,
vl f 2 = ( 2 Л 5 ) -1 {—(a"5 + a o " - D2) ± [(ab" + <x"5 - D2) - k a W ] ' ^ } , (6)
При 8 = 0 , 8 " > 0 ( 8 " = 0 , 8 > 0) в системе имеет место непрерывный фазовый переход в пространственно-однородное ферромагнитное (анти
ферромагнитное) состояние М ^ О , L = 0 (L=£0, М = 0 ) . Будем называть антиферромагнитной областью ММС область, где 8 " — 0, 8 > 0 и, сле
довательно, выполняются соотношения
L2^ M2, c t g i y ^ - g - ) , Т 2 Ц ^ ) • (7)
В ферромагнитной области 8 — 0, 8 " > 0 имеем
Ф / аЪ \Чг {ъъ* у/,
В настоящей работе мы исследуем спектр спиновых волн над ММС.
В ферро- и антиферромагнитных областях ММС из уравнений Ландау—
Лифшица для двух магнитных векторов мы получим более простое урав
нение для одного вектора, пригодное для корректного описания нелиней
ной динамики. Покажем, что во всей области существования ММС слабо
нелинейное взаимодействие акустических мод описывается уравнением Буссинеска, которое допускает полное теоретическое описание на основе метода обратной задачи решения. Мы предсказываем возможность воз
буждения солитонов на фоне ММС и, следовательно, «прозрачность»
ММС для нелинейных спиновых волн.
Заметим, что ранее солитоны ММС были исследованы лишь в одно- подрешеточном ферромагнетике без центра инверсии [3] и простом анти
ферромагнетике с инвариантом типа в разложении сво
бодной энергии [4] .
1. Э ф ф е к т и в н ы е у р а в н е н и я в ф е р р о - и а н т и ф е р р о м а г н и т н ы х о б л а с т я х ММС
Динамика квазиодномерных возбуждений ММС определяется уравнениями
*,М = - * { [ м , £ ] + [ ь . ( 9 а )
dtL - Щ " ] + [ м . 4 г ] } > ( 9 6 ) М2 + L2 = ( 2 М0)2, (ML) = 0 ,
где g — гиромагнитное отношение. Линеаризация (9) вблизи ММС дает следующий закон дисперсии для спиновых волн:
Ф \ - 1
+
(j^J = ± (Q ± [<?! + Л ]1/ . ) , р = (аГ sin2 - I + a cos2
/ ф \ 4 / Ф \2Г Ф / Ф Ф
Q = a£3 COS у J + р* Ш COS у J \2аа* + 2 а2 COS2 у + ^ s i n y cos у (а - а") + Р4
Ф Ф 1 2 а а * sin* у + ( а2 + ( a ' )2) cos2 у J ,
Я = —4oaV [a a" ( A3 sin Ф )2 + p2 (aa№ + ( s i n y
( D 3 sin у cos ~yJ — p2
cos • X
Здесь a), — частота и волновой вектор спиновых волн. Иными словами, имеем две акустические и две оптические моды. Для дальнейшего полезно разложение акустической ветви спектра по степеням р(р<^ч)
Ф Г / Ф Ф \2 Ф / Ф
6 = a"P sin* у I - 7 а а " + ^sin у COS у (а - a")J - 4?а" s m2 у (^2аа" + 2 а2 cos2 у +
+ (sin у COS у (а - а*))2 - 4Ва ( a " )2 sine . (11)-
В ферромагнитной (антиферромагнитной) области ММС наличие малого параметра L2/M2 < 1 (M2/L2 < 1) позволяет существенно упростить уравнения Ландау—Лифшица (9). Подобная процедура впервые исполь
зовалась в работе [5] при исследовании нелинейных волн в двухподреше- точном антиферромагнетике. В отличие от [5] в данном случае имеются два характерных пространственных масштаба. Первый масштаб у- 1 оп
ределяет шаг «невозмущенной» магнитной спирали, второй представляет размер d пространственных модуляций этой спирали, причем d ^> у1 ^> а (а — постоянная решетки). Наша задача состоит в нахождении эффектив
ных уравнений, определяющих динамику нелинейных возбуждений ММС на масштабах порядка d.
Рассмотрим сначала ферромагнитную область. При упрощении урав
нений мы учли, что обычно a — a " ~ 8 " a2, D ~- 8 " а , и использовали оценки
D2 - Ъпа^2 ( W V )v,= 0 ( ( Т ^ )2) . 5 [V')-1 = О ((7a)*), L_
M = 0 (Ta ) ,
2 ^ r | = ° ( ^ W ) (12)
которые следуют из формул (6), (8), (10). С учетом этих оценок из (96) выражаем вектор L через М с точностью до членов порядка (ad'1)3 М вклю
чительно
L = у ( Дм" м2 j + (dlM ~ м2 J • аз) После подстановки (13) в уравнение (9а) получаем замкнутое уравнение
для определения М
W + g^r-*")[М, д\М] + ^^[М, д«М] = 0. (14)
Ввиду малости коэффициента при членах с квадратами градиентов в урав
нениях (14) (см. (12)) мы удержали члены четвертой степени по градиен
там. При выводе (14) мы использовали оценку (МЭеМ)/М2==0 ((ya)2/d), которую нетрудно извлечь из (13) и соотношения L2+M2 = (2M0)2. Сущест
венно, что в рамках рассматриваемых приближений решение системы (14) достаточно найти при условии М2 = (2М0)2. Свободная энергия в ферро
магнитной области имеет вид
F = Т 5 ** { - [ " F - ~ а] ^ \ш'2 + а" ( * !м)2} • (15) Минимуму энергии (15) отвечает магнитная спираль с волновым вектором
Т2 = ( 2 )2— a 8 '/) 8/ // 2 Z )2a/ /^ ( S 8/' | a a " ),' = , что соответствует (8). Закон ди
сперсии, полученный из укороченных уравнений (14), согласуется с пре
делом (И) при 8 - > 0 .
В антиферромагнитной области имеем оценки
а ~ а " ~ 5 а2, D ~Ъа, П* - Ьап^2 ( S 5 ' W )V= = О ( (Та2о )2) , dtM
2MogM I
( L d , L ) / ( 2 M t f t f ) == О ( (Ta ) * b)
2MOGL = { 0 ( ( 7 < г ;2$ ) , 0 (Td - ia2 5 ) } ,
с учетом которых из (96) можно выразить М через L
- - о — + у - — - 3 — ) ) + L 4 • ( 1 6 )
Тогда для L получаем замкнутое уравнение
S [ L , d}L] /D* \ /D\2
(2M0gt)* +{— ~*")[h> д\Ч + Ьг) * tL' ^ 1 4 = 0 . (17)
которое корректно учитывает нелинейное взаимодействие акустических и оптических мод. При решении (17) можно считать L2 = (2Af0)2.
Свободная энергия в антиферромагнитной области
1 р Г 5 {dtL)z (D1 \ / D у
р = т \ * [ M s W -{—-a") (diL>-+{-)а (Ч1У
минимальна, если основное состояние представляет магнитную спираль с волповым вектором T = [(JD2 — а ',8 ) 8 / 2 02а ] ^ я « ( 8 8,7 а а, ,)х/ 4 /
На основе укороченных уравнений (14), (17) возможно эффективное описание существенно нелинейных волн намагниченности. Известно [в] , что в отсутствие членов с четвертой производной уравнения (14), (17) являются интегрируемыми и допускают солитонные решения с произ
вольной амплитудой на однородном фоне. Оказывается, что для таких уравнений с помощью задачи Римана нетрудно найти и солитоны на фоне ММС. В ферромагнитной области схема интегрирования остается той же, что и при наличии одноосной анизотропии [7] , но на матрицу решений задачи Римана не накладывается других ограничений, кроме условия унитарности. Односолитонное решение описывает (на фоне Mx+iMp=
=2MQ exp iy S) прецессионный солитон
Mz = 2 (). - л*) J 7 -f- у. I2 n [ s h ^ c o s 5 ( 1 — J 7 A |2) (X - / *) + + i c h у s i n s (1 + I 7^ I2) (X + П - T № ~ )*2)Ъ
Mx+ Шу = e x p ( i t f ) n (4 I к [2)~* [{(X + X*) [(1 + I (x |2) c h у - t (fx - fx * ) s i n s] + - f (/, — )*) [ ( 1 - I ;jl |2) s h у — (f* + Ю c o s s ] }2 — (X — л * )2 { s h у (?x + a*) +
+ c o s 5 ( 1 - I ix |2) + (1 + I jx |2) i s i n s + c h i/ (fX - u.*)}2], n = 2 A ^ [ c h y ( l + - | a |2) - i s i n s (fx - p . * ) ] "2, fx = ^ ( T + x ) ,
X==( T2 + у - f t = -ix{2MQg(X*)-4 - 8 ^ 2 а ^ т1 + e0, ( 1 8 )
который имеет характерную ширину порядка [Reix]*"1 (А, с0 — комплекс
ные параметры), движется со скоростью v=dtyld(y и в пределе у -> 0 совпадает с солитоном, найденным в [6] . Вдали от центра солитона вектор М совершает прецессионное движение около своего положения в ММС.
Ближе к центру на прецессионное движение накладываются нутационные колебания. При R e i x = 0 решение (18) описывает апериодическое воз
мущение ММС, которое затухает при | t | -> оо.
В антиферромагнитной области, используя результаты работы [8] , мы нашли односолитонное решение уравнения (17) в отсутствие слагае
мых с четвертыми производными, которое параметризуется вещественными постоянными е, р, s0, У о
Lz = 2 s i n £ c h р п [ s h у c o s s s i n e s h p — c h у s i n s c o s e c h p ] , Lx + iL1 = e x p ZTS!{COS 2e + n [ c o s2* s i n2 £ ( c h 2p + c o s 2 s ) —
— i c h p s i n *\s'm 29 sin £ s h p + s h 2 y c o s £ c h p ) ] } ,
п = 2М0 ( c h2 у c h2 p — c o s2 s s i n2 s ) -1,
/-i / о о s h p л ъ г ^ \
s = s0 + 2T c h p ( c h 2p + c o s 2 s ) -1 ^ ( / —Щ~ - — 2 Mo S o * c o s e j ,
у = yo - 2т s i n e ( c h 2p + c o s 2 c ) -1 [ J / ^ — $ + 2 Л /0£ o i s h P j . ( 1 9 |
В асимптотике 5 -> ± o o (sin 2e^=0) оно представляет простую спираль Le+ i Z , ==ехр (if £±2ie). Асимптотические значения разделены движу
щимся солитоном. В системе координат, связанной с солитоном, вектор L совершает периодические по времени колебания с выходом из плоскости (я, у). Колебания проекции L2 движутся по локализованной области, за
рождаясь у одного края солитона и исчезая у противоположного. Когда sin 2е 0, ширина солитона неограниченно увеличивается.
Подобный анализ для полных уравнений (14), (17), корректно учиты
вающий ММС, затруднен из-за отсутствия L—А -пары для этих уравнений.
Тем не менее оказывается возможным полный анализ малоамплитудных солитонов благодаря тому, что их описание обычно сводится к точно ре
шаемым моделям.
Покажем, что в случае слабой нелинейности, когда возбуждаются лишь акустические моды, уравнения (14), (17) еще более упрощаются и сводятся к точно интегрируемому уравнению Бусспнеска. Рассмотрим вначале ферромагнитную область и введем параметризацию для вектора М
М = 2МЬ ( c o s б c o s (7? + <р), c o s 9 s i n ( 7 ; + о ) , s i n 0 ) . (20)
Тогда из уравнений (14) можно выразить 8 через ср dfi Ю2г4 dft „ ( D x i
2M,g ^ D2a" {2M0g)2 - Ьа \ Ъ») V "
В результате в низшем порядке по нелинейности получаем уравнение Буссинеска для определения величины и = д^р
(dfr)/(2MQgy- = А )2» - Ьд*и + ад\и\ (21)
Здесь <г=4Т 6а, & = - 7 ТЧ a = 6 f y , a = ( D / & " )4 ( a ' ' )2« ( * a ' 7 & ' ' )2- В антиферромагнитной области, используя аналогичную (20) параметри
зацию вектора L, в приближении слабой нелинейности снова получаем уравнение (21) для и=д^. Теперь постоянные имеют вид с2= 4 у2з , Ь=з, Известно [9] , что уравнение Буссинеска (21) имеет «механическую»
аналогию. При Ъ < О (6 > 0 ) оно описывает продольные (поперечные) колебания нелинейной струны.
2. С л а б о н е л и н е й н о е в з а и м о д е й с т в и е а к у с т и ч е с к и х м о д , с о л и т о н ы в ММС В предыдущем разделе мы нашли, что в областях М2 ^> L2 и L2 > М- слабонелинейные возмущения над соответствующим основным состоя
нием описываются уравнением Буссинеска (21). В данном разделе мы уси
лим эти результаты и покажем, что уравнение (21) пригодно для описания взаимодействия акустических мод во всем температурном интервале су
ществования ММС, за исключение области, где Ь ^ О . Д л я этого необ
ходимо обратиться к полным уравнениям Ландау—Лифшпца, которые содержат четыре динамические переменные, имеют достаточно громоздкий вид и могут быть получены из лагранжиана
АГ„ Г
•g , = " T " \d=> (d#i sin ° i + ^?2 s i n 02) — F. (22)
Здесь и далее мы используем параметризацию (2) для намагниченности подрешеток. Для выделения из уравнений Ландау—Лифшпца одного
эффективного уравнения типа (21) необходима регулярная математическая процедура, которая позволила бы корректно оценить порядок величины различных слагаемых в исходных уравнениях. Подходящей процедурой является редуктивная теория возмущений, основанная на методе растя
жения координат [1 0] . Недостаток теории возмущений в том, что она при
водит к уравнению, определяющему распространение волны лишь в одном направлении. Уравнение Буссинеска (21) является более общим, так как учитывает движение в обоих направлениях.
Покажем, что редуктивная теория возмущений приводит к уравнению Кортевега—де Вриза (КдВ). Информация, полученная при выводе урав
нения КдВ, будет использована далее для реконструкции уравнения Бус
синеска. Будем искать решение уравнений Ландау—Лифшпца в виде разложения по степеням параметра е, характеризующим отклонения си
стемы от равновесного состояния
А-=1
i = 1, 2 . (23)
Здесь функции 9'/), ср^*> зависят от медленных переменных z=ep
т= е3^ . Масштабные преобразования вводятся так, чтобы согласовать с дисперсионным соотношением пространственно-временной отклик си
стемы на возмущение. Число р характеризует степень нелинейности и под
бирается эмпирически из условия компенсации в уравнениях эффектов дисперсии и нелинейности. В данном случае p=i. Функции 8Ф, ср<л) на
ходим из уравнений Ландау—Лифшица, приравнивая нулю коэффициенты при степенях е до членов порядка е5 включительно. Первые приближения дают
fi(2) — fl(2) S!L-( nq о;п2-^-Л
° i ~~ 2 — 2<x" V 1 2 J '
9( 2 ) _ ^ ( 2 ) = D-iu C0S2 _ a» sill2 f e[3> — 6£» = D-^a-ic^ C O S2 y) " X
Г Ф Ф / ф \ - 2 _
X д2и a cos2 - у - a" s i n 2 "2" + (P s i n* Т / ' ( 2 4 ) Здесь с2 определяется формулой ( И ) . С помощью (24) уравнения, воз
никающие при рассмотрении порядков е4 и в5, редукцируются к замкну
тому уравнению для определения величины и
где параметры Ъ и с имеют тот же вид, что в законе дисперсии (11)
3 Ф / Ф Ф \
a = 4 - D a ( a " )2 Р3 s i n 2Ф s i n4 у f a c o s2 у — оГ s i n2 у ) • (2^ )
В рамках теории возмущений (23) выбор направления распростра
нения волны соответствует выбору определенного знака у параметра с, что не влияет на оценку порядка величины различных слагаемых в урав
нениях Ландау—Лифшица. Отсюда заключаем, что уравнение Бусси
неска, по-видимому, может быть выведено из уравнений Ландау—Лиф
шица, если в них удержать лишь те слагаемые, разложения которых по степеням г привели к уравнению КдВ (25). Действительно, в указанном приближении из уравнений Ландау—Лифшица удается выразить функ
ции dt (вх—в2), df (Bx+Og), ср1—ср2 в терминах величины и=д^ (срх-Ьф«)- При этом для определения и получается замкнутое уравнение (21), где параметры а, Ь, с2 те же, что и в формулах (11), (26).
Для дальнейшего удобно в уравнении Буссинеска (21) перейти к без
размерным переменным
Тогда (21) примет вид
д | в = д | а + 7 ^ и + - у - д | ^ ( 2 7 )
где е = — signb. Как показано в [9] , для интегрирования (27) удобен метод
«одевания» Шабата. В I9] найдены солитонные решения лишь при е=1.
Однако схема интегрирования пригодна и для е = — 1. Отличие заключа
ется в редукциях, обеспечивающих вещественность решений. Согласно методу Шабата, каждое решение F (х, у) линейной системы
[d% + d*+*(ds+dy)]F[x, у) = 0, [dt + ^iV+Wvi-dlfiFix, у)^о (28)
после определения функции К (х, у) из уравнения
со
К (*, У) = F (*. У) + \ к s) F У) d* (29) X
порождает некоторое точное решение уравнений (27) по формуле
и = д^К(^ £). (30)
В частности, полагая
N
F = ^ с« О е хР (Х»ж + JW) (R e Х* < 0. Re р. < 0),
находим JV-солитонное решение (25)
в = д | I n d e t | | Л И, Апт = Ъят + \я + 1ь • (31>
Вещественность решения гарантирует следующий выбор параметров:
+ v„, ft, = Ъ - v„, т]я = i g , v„ = i ^1 + £) /2 [1 + e i g ] 4 с , = , ± 1 , ся = с<>ехр { 2 an7] n[ l + £732 ] V ^ } .
Односолитонное решение ( i V = l )
в = СП"' [ t f + (г (11* + ei]*)V« t + у In - g j - ] (32)
описывает локальное изменение начальной фазы магнитной спирали, отвечающей основному состоянию системы. Возвращаясь к исходным пе
ременным (азимутальному углу, времени и пространственной координате), видим, что ширина, скорость, амплитуда солитона нетривиальным образом зависят от параметров ММС. Сравнивая решения (18), (19), (32), заклю
чаем, что наличие слагаемого с четвертой производной в уравнениях (14), (17) существенно изменяет тип решений. Решения (18), (19) в пределе малых амплитуд не сводятся к (32). Более того, модель (27) в отсутствие слагаемых с четвертой производной вообще не имеет солитонов.
В заключение отметим, что в рамках обменного приближения для опи
сания взаимодействия акустических мод можно использовать подход, альтернативный по отношению к модели подрешеток, — метод феноме
нологического лагранжиана спиновых волн Г11» 1 2 ].
Этот метод позволяет резко сократить число динамических перемен
ных, необходимых для описания магнитных возбуждений. Лагранжиан спиновых волн определяется из общих теоретико-групповых соображений с точностью до небольшого числа констант. Д л я рассмотренного выше неколлинеарного ферримагнетика лагранжиан спиновых волн имеет вид
Здесь А, a2, cf., X — феноменологические постоянные; o>t. (cp, dcp) =
= — 25p (dgg+zk); *ck=i/2-J*k; ск — матрицы Паули. Лагранжиан (33) записан для указанной выше геометрии ММС, так что равновесному состоянию отвечают i o1= ( o2= 0 , а )3 (со, 5 ^ с р ) = Х /сз = Т - Спектр спиновых волн, полу
ченный из (33), o )2= c3/ 42- [ y c2p2+ ^ i P4] согласуется с (11).
В общем случае наличие инвариантов Лифшица в разложении свобод
ной энергии по степеням неприводимых магнитных векторов соответствует учету в феноменологическом лагранжиане спиновых волн слагаемых вида h/°i с ft). Замечательно, что в рамках обсуждаемого подхода имеется по крайней мере одна точно интегрируемая модель, пригодная для описа
ния квазиодномерных возбуждений ММС в неколлинеарных ферри- и антиферромагнетиках. Лагранжиан этой модели есть
з
2 = Y XI fа*ш5 ^ ~~ с*ш< ^, <Vf)] + Ь«з (<р, dt?) + Ла>8 (<р, dg), at = д2 а3,
*=i
c i = = c2^ c3. (34)
Солитонные решения соответствующих (34) динамических уравнений могут быть получены из решений g работы I1 3] посредством преобразования
£=ехр ( Х / с3- т3? ) | .
В данной работе мы ограничились рассмотрением локализованных воз
буждений, распространяющихся вдоль оси магнитной спирали. Энерге
тический спектр солитона лежит ниже спектра спиновых волн, и, следо
вательно, учет поперечных возмущений не разрушит солитон по крайней мере в случае слабой нелинейности, когда взаимодействие продольных и поперечных мод в длинноволновой области является малым.
С п и с о к л и т е р а т у р ы
[ 1 ] С т е ф а н о в с к п й Е . П . / / Ф Н Т . 1 9 8 7 . Т . 1 3 . № 7 . С . 7 4 0 — 7 4 6 . [2] D a c b s Н . / / J . P h y s . 1 9 6 4 . V . 2 5 . N 5 . Р . 5 6 3 — 5 6 4 .
( 3 ] Б о р и с о в А . Б . , И з ю м о в Ю . А . / / Д А Н С С С Р . 1 9 8 5 . Т . 2 8 3 . № 4 . С. 8 5 9 - 8 6 1 . [ 4 ] Б а р ь я х т а р В . Г . , С о б о л е в а Т . К . , С у к с т а н с к и й А . Л . / / Ф Т Т . 1 9 8 5 . Т . 2 7 . № 8 .
С. 2 4 2 S - 2 4 3 4 .
[5] Б а р ь я х т а р И . В . , И в а н о в Б . А . 7 Ф Н Т . 1 9 7 9 . Т . 5. № 7. С. 7 5 9 — 7 7 0 .
[ 6 ] Т а х т а д ж я н Л . А . , Ф а д д е е в Л . Д . Г а м и л ь т о н о в п о д х о д в т е о р и и с о л и т о н о в . М .т 1 9 8 6 . 5 2 7 С.
[7] Б о р и с о в А . Б . , К и с е л е в В . В . / / Ф М М . 1 9 8 4 . Т . 5 8 . № 2 . С. 2 3 8 - 2 5 1 . [8] B o r i s o v А . В . , K i s e l i e v V . V . / / P h y s . L e t t . А . 1 9 8 5 . V . 1 0 7 . N 4 . Р.^ 1 6 1 - 1 6 3 . [ 9 ] З а х а р о в В . Е . / / i V - с о л и т о н н ы е р е ш е н и я д л я у р а в н е н и я н е л и н е й н о й с т р у н ы /
П о д р е д . И . А . К у н и н а . М . , 1 9 7 5 . С. 2 5 4 — 2 5 6 .
[10] Д о д д Р . , Э й л б е к Д ж . , Г и б б о н Д ж . , М о р и с X . С о л и т о н ы и н е л и н е й н ы е в о л н о в ы е у р а в н е н и я : П е р . с а н г л . М . , 1 9 8 8 . 6 9 4 с .
[ И ] В о л к о в Д . В . , Ж е л т у х и н А . А . , Б л и о х 1 0 . П . / / Ф Т Т . 1 9 7 1 . Т . 1 3 . № 6. С. 1 6 6 8 - 112] А н д р е е в А . Ф . , М а р ч е н к о В . И . / / У Ф Н . 1 9 8 0 . Т . 1 3 0 . № 1 . С . 3 7 - 6 3 . [13] Б о р и с о в А . Б . , К и с е л е в В . В . / / Т Ф М . 1 9 8 3 . Т . 5 4 . № 2 . С. 2 4 6 - 2 5 7 .
Институт ф и з и к и м е т а л л о в П о с т у п и л о в Р е д а к ц и ю
У р О А Н С С С Р 30 д е к а б р я ^ 1 9 8 7 г .
С в е р д л о в с к в о к о н ч а т е л ь н о й р е д а к ц и и
15 а в г у с т а 1 9 8 9 г .