Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
I. S. Branovitskii, S. A. Kokhtev, Random-walk in a lattice with a disordered extended defect, Fizika Tverdogo Tela, 1990, Volume 32, Issue 1, 237–245
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 139.59.245.186
November 6, 2022, 21:59:33
1990 ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Том 32, в. 1 1990 SOLID STATE PHYSICS Vol. 82, N 1
УДК 539.21
© 1990
С Л У Ч А Й Н Ы Е Б Л У Ж Д А Н И Я Н А Р Е Ш Е Т К Е С Н Е У П О Р Я Д О Ч Е Н Н Ы М П Р О Т Я Ж Е Н Н Ы М Д Е Ф Е К Т О М
И. С. Брановщкий, С. А. Кохтев
И з у ч а ю т с я с л у ч а й н ы е б л у ж д а н и я ч а с т и ц ы п о у з л а м ^ - м е р н о й р е ш е т к и , с о д е р ж а щей н е у п о р я д о ч е н н ы й п р о т я ж е н н ы й д е ф е к т . П о д д е ф е к т о м п о д р а з у м е в а е т с я d'-мерная {df < d) р е ш е т к а , п о г р у ж е н н а я в d - м е р н у ю . В е р о я т н о с т ь п е р е с к о к а м е ж д у у з л а м и дефекта я в л я е т с я с л у ч а й н о й в е л и ч и н о й . Д л я в ы ч и с л е н и я о б о б щ е н н о г о к о э ф ф и ц и е н т а д и ф ф у з и и н а у з л а х д е ф е к т а и с п о л ь з у е т с я с а м о с о г л а с о в а н н о е п р и б л и ж е н и е э ф ф е к т и в н о й с р е д ы . П о д р о б н о р а с с м о т р е н ы б л у ж д а н и я п о у з л а м т р е х м е р н о й р е ш е т к и ( м а т р и ц ы ) , с о д е р ж а щ е й д в у м е р н ы й н е у п о р я д о ч е н н ы й д е ф е к т ( и н т е р ф е й с ) . П о к а з а н о , что э ф ф е к т и в н а я в е р о я т н о с т ь п е р е х о д а м е ж д у у з л а м и и н т е р ф е й с а WE (ш) а н а л и т и ч н а в точке
< о = 0 . В р е з у л ь т а т е н е у п о р я д о ч е н н о с т ь п р и в о д и т л и ш ь к п е р е н о р м и р о в к е к о э ф ф и ц и ента д и ф ф у з и и в о б л а с т и и н т е р ф е й с а , н о н е м е н я е т ф о р м у а с и м п т о т и к и с р е д н е к в а д р а т и ч н о г о с м е щ з я и я н а б о л ь ш и х в р е м е н а х .
Н е к о г е р з н т н а я м и г р а ц и я ч а с т и ц (квазичастиц) в н е у п о р я д о ч е н н ы х средах (НС) п р и в л е к а е т к себ е б о л ь ш о е внимание [1 _ 3] , т а к к а к процессы такого т и п а п р о и с х о д я т в р а з н о о б р а з н ы х фпзическпх системах, н а п р и м е р в н е с о б с т в е н н ы х п о л у п р о в о д н и к а х ( п р ы ж к о в о е движение носителей), пористых ф и л ь т р а х (просачива ние з а г р я з н е н н о й жидкости), м о л е к у л я р н ы х к р и с т а л л а х ( м и г р а ц и я эксито нов) и т. д.
Во всех и м е ю щ и х с я р а б о т а х р а с с м а т р и в а ю т с я Н С , занимающие все пространство р а з м е р н о с т и d. О д н а к о существует класс систем с н и з к о р а з мерной ( d ' - м е р н о й ) о б л а с т ь ю н е у п о р я д о ч е н н о с т и , п о г р у ж е н н о й в у п о р я д о ченную d - м е р я у ю с р е д у (df <[ d). Это, в частности, неупорядоченные г р а ницы р а з д е л а (интерфейсы) дв у х у п о р я д о ч е н н ы х сред, свободная п о в е р х ность с х а о т и ч е с к и р а с п о л о ж е н н ы м и адатомами, неупорядоченные д и с л о к а ц и и и т. д. Б е с п о р я д о к в о б л а с т и интерфейса может быть вызван х а о т и ческим р а с п о л о ж е н и е м с о л и т о н о в ( д и с л о к а ц и й несоответствия) и л и п р и м е сей, з а к р е п л е н н ы х в б л и з и г р а н и ц ы р а з д е л а . Неупорядоченность в я д р е д и с л о к а ц и и м о ж е т в о з н и к а т ь в р е з у л ь т а т е случайного р а с п о л о ж е н и я сту
пенек н а э к с т р а п л о с к о с т и к р а е в о й д и с л о к а ц и и и л и петель н а л и н и и в и н т о вой д и с л о к а ц и и . П р и м е с и т а к ж е н а р у ш а ю т упорядоченность в я д р е дисло
к а ц и и . К Н С этого к л а с с а о т н о с я т с я и неупорядоченные г р а н и ц ы з е р е н , не о т в е ч а ю щ и е с п е ц и а л ь н ы м о р и е н т а ц и о н н ы м соотношениям.
У к а з а н н ы е в ы ш е с и с т е м ы ( н е у п о р я д о ч е н н ы е интерфейсы, д и с л о к а ц и и и т. д . ) , а т а к ж е л ю б у ю д р у г у ю Н С , п о г р у ж е н н у ю в у п о р я д о ч е н н у ю среду более в ы с о к о й р а з м е р н о с т и , б у д е м н а з ы в а т ь неупорядоченным п р о т я ж е н ным дефектом ( Н П Д ) этой с р е д ы .
К а к будет п о к а з а н о н и ж е , о б о б щ е н н ы й коэффициент диффузии в об
ласти Н П Д о п р е д е л я е т с я не т о л ь к о с в о й с т в а м и самого дефекта, н о т а к ж е свойствами и р а з м е р н о с т ь ю с р е д ы , в к о т о р о й он н а х о д и т с я . Т а к и м о б р а з о м , Н П Д н е л ь з я р а с с м а т р и в а т ь к а к и з о л и р о в а н н у ю d'-мерную Н С и непосред
ственно и с п о л ь з о в а т ь и м е ю щ и й с я ф о р м а л и з м [1 _ 3] д л я расчетов.
Ц е л ь н а с т о я щ е й р а б о т ы — и з у ч е н и е диффузии н а d-мерной р е ш е т к е с d'-мерным Н П Д . Мы б у д е м р а с с м а т р и в а т ь д и а г о н а л ь н ы й б е с п о р я д о к , с о о т в е т с т в у ю щ и й з а д а ч е с л у ч а й н ы х с в я з е й в теории проводимости н е у п о р я д о ч е н н ы х с р е д . Н е д и а г о н а л ь н ы й б е с п о р я д о к в области дефекта пред
п о л а г а е т с я р а с с м о т р е т ь в отдельной р а б о т е .
1. У п р а в л я ю щ е е у р а в н е н и е д л я с л у ч а й н ы х б л у ж д а н и й н а р е ш е т к е с Н П Д
Б л у ж д а н и я ч а с т и ц ы н а решетке о п и с ы в а ю т с я у р а в н е н и е м баланса у п р а в л я ю щ и м у р а в н е н и е м [1 _ 3]
dPd i ^ = ^{^(rf^r)P(v\ t)-W(r-+r')P(r% t)), ( t ) r'
где P (r, t) — в е р о я т н о с т ь о б н а р у ж и т ь ч а с т п ц у н а у з л е г в момент вре
мени t, если в момент £ = 0 частипа н а х о д и л а с ь н а у з л е г0; W (г ->г') — в е р о я т н о с т ь перехода с у з л а г на у з е л г' в е д и н и ц у в р е м е н и .
Под п р о т я ж е н н ы м дефектом п о д р а з у м е в а е т с я d ' - м е р н а я решетка п о г р у ж е н н а я в d-мерную м а т р и ц у . П П Д х а р а к т е р и з у е т с я тем, что вероят
ность перехода м е ж д у п а р а м и его у з л о в я в л я е т с я с л у ч а й н о й функцией в то в р е м я к а к в е р о я т н о с т ь перехода м е ж д у л ю б ы м и д р у г и м и п а р а м и узлов детерминирована и не зависит от к о о р д и н а т . Д л я простоты будем считать, что м а т р и ц а и дефект о б р а з о в а н ы у з л а м и г и п е р к у б и ч е с к о й решетки еди
ничного периода. В частности, дефект может п р е д с т а в л я т ь собой линию у з л о в (d' = l ) , слой (d' = 2) и т. д. п р и более в ы с о к о й р а з м е р н о с т и .
З а п и ш е м г в виде г = (х, у ) , где х = ( я3, . . ., xd>) и у == . . ., xd).
П р и определенной ф и к с а ц и и у вектор х задает к о о р д и н а т ы у з л о в дефекта.
В д а л ь н е й ш е м будем ф и к с и р о в а т ь п о л о ж е н и е дефекта условием у = 0 . В соответствии с в ы ш е с к а з а н н ы м введем с л е д у ю щ и е о б о з н а ч е н и я :
( Т 1 м х - * х,) э е с л и у = . у ' = 0 . { Wy в п р о т и в н о м с л у ч а е ,
где W (х —>х') — в е р о я т н о с т ь п е р е х о д а м е ж д у у з л а м и д е ф е к т а , которая я в л я е т с я с л у ч а й н о й величиной; W\ — в е р о я т н о с т ь п е р е х о д а между лю
быми д р у г и м и у з л а м и . П о л а г а е м W (х -+x')~W (х' - > х ) , что соответ
ствует д и а г о н а л ь н о м у б е с п о р я д к у . Е с л и W (х -> х') = W0 (при этом WQ=^W?), будем н а з ы в а т ь дефект у п о р я д о ч е н н ы м . С у ч е т о м введенных обозначений перепишем у р а в н е н и е (1) в виде
jfP(x, У> t) = y%lWv + by0(W(x-+x')-Wv)][P(x', у , Л - Р ( х , у , *)] + х'
+ W^[P(x, у', t)-P(x, у, t)l (2) у'
И с п о л ь з у я п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а с п а р а м е т р о м со и у ч и т ы в а я перескоки т о л ь к о м е ж д у б л и ж а й ш и м и соседями, з а п и ш е м (2) с л е д у ю щ и м образом:
f » + 2 ^ + 2 P ^ + *y,o(Wp^x+*x)-Wv)])P(x9 у, « ) -
- W v^ P ( x , y + or w) — 2 VVv ~t" 5y> о (W ( x - » x + Зя) — v) ] P ( x -f- Ъх, у, «) =
В е к т о р ы 8Л и Зу соединяют соседние у з л ы в х- и у - п р о с т р а н с т в е соответ
ственно.
Д л я удобства д а л ь н е й ш и х в ы ч и с л е н и й в в е д е м систему ортонормирован- ных в е к т о р о в {| х, у » и перепишем (3) в в и д е м а т р и ч н о г о у р а в н е н и я
# | / > > = | / > , (4)
где
й
- 2 I*. у > { [ " + 2 ^ + 2 ( ^ ^ ^ ^
- (Wv + V о (W ( х х ' ) - Wv ) ) *у > у /Ах > х, _ WvbXf х, Ау § у j < х ' , у ' |, (5)
|/>> = 2
Р(*> У' у > , (6) (х, у)17> = 2 * х , х0 5У , У о >Х' у > , ( 7 ) (х, у)
д f 1» е с л и z и г' б л и ж а й ш и е с о с е д и ,
z'z' 1 0 в п р о т и в н о м с л у ч а е .
П о л н у ю и н ф о р м а ц и ю о процессе диффузии содержит ф у н к ц и я Г р и н а .(| Р » , где у г л о в ы е с к о б к и о з н а ч а ю т усреднение по р е а л и з а ц и я м с л у ч а й ных в е р о я т н о с т е й п е р е х о д а W (х - > х ' ) . И з у р а в н е н и я (4) н а х о д и м
< | Р » = < Я - 1 > | Г > , ( 8 )
где II'1 — м а т р и ц а , о б р а т н а я 11. Д л я в ы ч и с л е н и я матрицы < / /- 1> восполь
зуемся с а м о с о г л а с о в а н н ы м п р и б л и ж е н и е м эффективной среды (СПЭС).
Подобное п р и б л и ж е н и е ш и р о к о и с п о л ь з у е т с я п р и апализе случайных б л у жданий н а н е у п о р я д о ч е н н ы х р е ш е т к а х , занимающих все п р о с т р а н ство [4' 5] , и демонстрирует в ы с о к у ю работоспособность.
В соответствии с общей идеологией СПЭС [4~6] матрица Н записыва
ется в виде суммы д в у х с л а г а е м ы х , первое из к о т о р ы х описывает диффузию на р е ш е т к е с у п о р я д о ч е н н ы м дефектом (W (х - * х ' ) - * WE, — э ф фективная в е р о я т н о с т ь перехода м е ж д у у з л а м и дефекта), а второе содер
жит ф л у к т у а ц и и
Н = НЕ + ЬН.
Матрица НЕ — это в ы р а ж е н и е (5) с заменой W (х - * х ' ) -> WE. В н а ш е м случае у д а е т с я р е а л и з о в а т ь т у ж е схему вычислений [7] , что и д л я одно
родно н е у п о р я д о ч е н н ы х систем [4» 5] . В р е з у л ь т а т е в р а м к а х СПЭС
Эффективная в е р о я т н о с т ь п е р е х о д а WEl в общем случае з а в и с я щ а я от частоты, н е я в н о з а д а е т с я у с л о в и е м с а м о с о г л а с о в а н и я
<
W Е — W
i - «о.о
1- <а
ж, о |)
н-Е\| о, о> - 1 в., о» (w
s- W) /
(9)где < ( . . . ) > = J . . . p(W')dW\ p(Wf) — плотность распределения случайных вероятностей перехода в области дефекта.
Соотношение (9) будет и с п о л ь з о в а т ь с я д л я а н а л и з а к о н к р е т н ы х систем.
Точность п р и б л и ж е н и я о б с у ж д а е т с я в заключительном разделе (см.
т а к ж е [7] ) .
2. С р е д н е к в а д р а т и ч н о е с м е щ е н и е ч а с т и ц ы в п р о с т р а н с т в е д е ф е к т а
Д л я того чтобы о х а р а к т е р и з о в а т ь процесс диффузии на р е ш е т к е с Н П Д , в ы ч и с л и м моменты < х2> и < у2> . Двойные угловые с к о б к и означают у с р е д н е н и е по р а з л и ч н ы м т р а е к т о р и я м д в и ж е н и я и по р е а л и з а циям б е с п о р я д к а . В е л и ч и н а ^ х2^ > о п р е д е л я е т среднеквадратичное сме
щение ч а с т и ц ы п о л и н и и одномерного дефекта ( d ' = l ) , в плоскости д в у м е р ного дефекта ( d ' = 2 ) и т. д. Р а с п л ы в а н и е частицы в у-пространстве х а р а к т е р и з у е т с я с р е д н е к в а д р а т и ч н ы м смещением <^у2^>.
И с п о л ь з у я п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е н а решетке (переход от п е р е м е н н ы х (х, у) к п е р е м е н н ы м (k, q)), п о л у ч и м следующие соотношения [7] :
Wyzx [WE(»)-W7]zs
где zx и z — к о о р д и н а ц и о н н ы е числа в х - и у - п р о с т р а п с т в е . а
Л г - , , , ^ , У . , = 2^)d-(r \ q, u>^-*'«'»dqf
G0( k , q, u>) = Ju) + ^
3R
* * - 2 ' ' '
k 5 xг1- И н т е г р и р о в а н и е в (12) ведется по первой зоне Б р п л л ю э н а .
П е р в о е слагаемое в (10) отвечает диффузии н а d-мерной упорядоченной р е ш е т к е , а второе возникает б л а г о д а р я д е ф е к т у . З н а к второго слагаемого в (10) может быть п р о и з в о л ь н ы м в зависимости от свойств функции AWE {®)=WE(W)--WV9 т. е. дефект может к а к у с к о р я т ь , т а к и замедлять диффузию в х-пространстве. И з ( И ) следует, что среднеквадратичное сме
щение <Су2^> не р е а г и р у е т па присутствие дефекта.
Е с л и б л у ж д а н и я происходят н а решетке с у п о р я д о ч е н н ы м дефектом (W (х -+x')=W0), то в ы р а ж е н и е (10) с т а н о в и т с я точным. П р и этом средне
к в а д р а т и ч н о е смещение в х-прострапстве з а в и с и т л и ш ь от разности раз
мерностей матрицы и дефекта. Е с л и ж е d ' - м е р п ы и дефект неупорядочен, ф у н к ц и я WE (о)) о к а з ы в а е т с я р а з л и ч н о й п р и р а з н ы х d, т а к к а к от размер
ности решетки з а в и с я т матричные элементы о п е р а т о р а / / i1. Это означает, что н е у п о р я д о ч е н н ы е дефекты одной и той ж е р а з м е р н о с т и с одинаковыми статистическими х а р а к т е р и с т и к а м и будут и м е т ь р а з л и ч н ы е эффективные п а р а м е т р ы WE (со) п р и п о г р у ж е н и и в м а т р и ц ы р а з н о й размерности.
Обобщенный ( з а в и с я щ и й от со) коэффициент д и ф ф у з и и в области НПД о п р е д е л я е т с я к а к DE (Ш)=СГ1¥Е (СО) [3] , где а — период р е ш е т к и . Так как мы рассматриваем р е ш е т к у с единичным п е р и о д о м , то обобщенный коэф
фициент диффузии совпадает с эффективной в е р о я т н о с т ь ю перехода между у з л а м и дефекта.
В н а ч а л е рассмотрим б л у ж д а н и я н а р е ш е т к е с у п о р я д о ч е н н ы м дефек
том (AWE ( С О ) AW0=W0—WY), с ч п т а я , что частица стартует с узла дефекта ( у0= 0 ) . Обозначим с р е д н е к в а д р а т и ч н ы е с м е щ е н и я частицы в этой системе через <х2)>° и < ( у2)0. Ф у н к ц и и J d-d' (k, у0 = 0, со) в ы ч и с л я л и с ь в ряде работ [3> 8] (см. т а к ж е [7] ) . И с п о л ь з у я эти р е з у л ь т а т ы п п е р е х о д я в ^-пред
ставление, п о л у ч и м
' \Vvte~^Vvt [[0(2Wvt) + Il(2Wvt)l d - d ' = i , (13)
^ [ 1 п ( 1 Уу£ ) + С + 6 1 п 2 ]5 d - d ' = 2 , (14)
ma-d** ( * - < * ' > 2 , (15)
< > ' * > ? = (16)
где 70 (я), 1г (x) — модифицированные ф у н к ц и и Б е с с е л я ; С — постоянная Эйлера; т — к о н с т а н т а , з а в и с я щ а я от п а р а м е т р а d—d' (см. [7' 8] ) .
Ф о р м у л ы (13) и (16) точные, а (14) и (15) а с и м п т о т и ч е с к и точны при Wvt > 1. Н а б о л ь ш и х временах (t > Wy1) в ы р а ж е н и е (13) принимает вид
<*2>? 1*-*'-1 = W^zxt + ^jW^iJk ( l _ о ( 1 / И у ) ) . (17)
< х2> ? = - Wszxt - f w
Из (13)—(16) следует, что р а с т у щ и й в к л а д в в е л и ч и н у <х2>° дадут лишь те дефекты, д л я к о т о р ы х d—d' < ; 2. Этот факт тесно с в я з а н с тем, что случай
ные б л у ж д а н и я в о з в р а т н ы на у з л ы дефекта п р и d—d' < 2 п невозвратны п р и d—d! > 2 .
Е с л и дефект н е у п о р я д о ч е н , то д л я н а х о ж д е н и я < х2>ш в выражение (10) следует подставить функцию WE (со), в ы ч и с л е н н у ю с помощью условия с а м о с о г л а с о в а н и я (9). К о я к р е т п ы е расчеты в р а м к а х описанного выше ф о р м а л и з м а представлены в следующем р а з д е л е .
3 . Н е у п о р я д о ч е н н ы й и н т е р ф е й с в т р е х м е р п о й р е ш е т к е
Н и ж е мы р а с с м о т р и м с л у ч а й п ы е б л у ж д а н и я по у з л а м т р е х м е р н о й решетки, с о д е р ж а щ е й д в у м е р п ы й н е у п о р я д о ч е н н ы й дефект (интерфейс).
Узлы р е ш е т к и имеют к о о р д и н а т ы г = ( о :1, я2, х3), а дефект п р е д с т а в л я е т собой с л о й у з л о в с х3=0. В п р и н я т ы х выше обозначениях г = ( х , у ) , x s ( i i , я2)> У = я3е з - П о д о б н а я р е ш е т о ч н а я м о д е л ь , но не с о д е р ж а щ а я бес
п о р я д к а , и с п о л ь з о в а л а с ь в работе [9] д л я а н а л и з а диффузии по г р а н и ц а м зерен и свободной п о в е р х н о с т и . В н а ш е м с л у ч а е в е р о я т н о с т ь перехода между у з л а м и интерфейса W (х -> х') я в л я е т с я с л у ч а й н о й величиной.
В р а м к а х т а к о й м о д е л и м о ж н о исследовать диффузионные процессы в би- к р и с т а л л е с н е у п о р я д о ч е н н о й г р а н и ц е й р а з д е л а . П р и с п е ц и а л ь н ы х у г л а х р а з в о р о т а к р и с т а л л и т о в н е у п о р я д о ч е н н о с т ь может быть в ы з в а н а х а о т и ч е ским р а с п о л о ж е н и е м примесей, а д с о р б и р о в а н н ы х г р а н и ч н о й областью.
При о т к л о н е н и и от с п е ц и а л ь н ы х у г л о в р а з о р и е н т а ц и и беспорядок в о з н и кает к а к р е з у л ь т а т н е р е г у л я р н о г о р а с п о л о ж е н и я д и с л о к а ц и й несоответ
ствия (и п р и м е с е й ) . Модель т а к ж е п о з в о л я е т описывать диффузию ч а с т и ц по ш е р о х о в а т о й п о в е р х н о с т и .
У с л о в и е с а м о с о г л а с о в а н и я , задающее эффективную в е р о я т н о с т ь п е р е хода W м е ж д у у з л а м и н е у п о р я д о ч е н н о г о интерфейса, есть ч а с т н ы й с л у чай ебщего у с л о в и я (9), которое в б е з р а з м е р н ы х переменных имеет вид
/ а 4_ 1 _ Т ? ' \
( — — } : = 0 , (18)
где
Mdt9(a, S ) = j « Of 0 | - < 8я, 0\)HEl(a, ш ) ( \ 0 , 0> - | 8 „ 0 » . (19)
В н а ш е м с л у ч а е d — 3 , e = l .
Р а с с м о т р и м и п т е р ф е й с , в к о т о р о м и м е ю т с я два сорта с в я з е й , т. е. с л у чайные в е р о я т н о с т и перехода м е ж д у у з л а м и интерфейса распределены с п л о т н о с т ь ю
р ( И " ) = рЪ (W - Wy) + (1 - р) Ь (W - W2\ (20)
Г д е р _ д о л я с в я з е й с в е р о я т н о с т ь ю п е р е х о д а Wl9 а ( 1 — р) — с в е р о я т
ностью W2. И с п о л ь з у я (18) и (20), п о л у ч и м
i + a-PWl-(l--p)ffi2+2Msil(a, ш) [(1 + a) + fft) -
- # ^ 2 - ( 1 + а ) * ] = 0 , (21)
где W^WJWy. У р а в н е н и е (21) н е я в н о задает а к а к функцию р и й . М а т р и ч н ы й элемент п р и в о д и т с я к в и д у I7]
м
л, . ( « , а) = ^т. J j-y
( k f а ) +. ^ - 2 ^ ) '
( 2 2 )ЗБ
где
п (х) dx
1 + Га + « , - 2 »
1 Ы в"
L ъх
ЗБ
(23)
Д л я п р а к т и ч е с к и х расчетов удобно а п п р о к с и м и р о в а т ь плотность состоя
ний (23) в ы р а ж е н и е м
ПАЛ
1$ Физика твердого тела, вып. 1, 1990
которое обеспечивает н у ж н о е поведение н а к р а ю з о н ы и дает правильные с и н г у л я р н о с т и ф у н к ц и й /в ( к = 0 , со) п р и со - > 0 . В ы р а ж е н и е (24) исполь
зовалось в работе [8] п р и исследовании с л у ч а й н ы х б л у ж д а н и й н а трехмер
ной н е у п о р я д о ч е н н о й р е ш е т к е . С п о м о щ ь ю с о о т н о ш е н и й (22)—(24) за
пишем функцию M3t х ( а , со) в виде
О
И н т е г р а л в (25) м о ж н о в ы ч и с л и т ь т о ч н о , а з а т е м р а з л о ж и т ь в р я д по сте
п е н я м со п р и со - > 0 (большие времена) и л и по с т е п е н я м с о -1 п р и со - > оо (малые времена).
В н а ч а л е рассмотрим долговременное поведение ч а с т и ц ы н а решетке.
И з (25) получим
M3f г (а, 5 ) = M3f ! (а, ш = 0) + cpi (а) а> + <р2 (а) u>* ]д со + . . ( 2 6 )
где cpi, ср2 — трансцендентные ф у н к ц и и , к о н к р е т н ы й в п д к о т о р ы х в даль
нейшем несуществен. Статическое с л а г а е м о е в ы ч и с л я е т с я элементарно
1 ( а* + 1 \
ЛГв | ! (а, 5 = 0) = ±(a*-i) \а - — - а 2 _ . ! (Ф (D ~ Ф (а) ) J , (27) где
Ф (а) = tt* + i l n ( V 3 + a ^ ) >
Сначала вычислим статический п а р а м е т р a ( с о = 0 ) , а в о п р о с о поправ
к а х , з а в и с я щ и х от со, рассмотрим п о з д н е е . Ч т о б ы н а й т и a (б>=0), следует подставить функцию Af3> г ( а , ш = 0 ) в (21) и р а з р е ш и т ь п о л у ч е н н о е урав
н е н и е относительно а . П р о щ е всего п о с т р о и т ь г р а ф и к р—р ( а ) , а затем н а й т и обратную з а в и с и м о с т ь .
Рассмотрим два частных случая: а) W\ произвольна, W% = 0; б ) W[
произвольна, Wl=^l. В первом случае происходит разрыв связей (их доля составляет 1— р) в плоскости и н т е р ф е й с а . В о в т о р о м с л у ч а е некоторые с в я з и с единичной относительной в е р о я т н о с т ь ю п е р е х о д а заменены на с в я з и с п р о и з в о л ь н о й величиной W\ и д о л я т а к и х с в я з е й р а в н а р . Оче
видно, что в с л у ч а е 1 ^ = 1 и
Wf=0
в а р и а н т ы «а» и «б» совпадают с точностью до замены р 1—р. Н а р и с у н к а х п р и в е д е н ы г р а ф и к и зависимо
стей a = ос ( р , со = = 0, Wl = 0) (а) и a = a ( р , со = 0, W62 = 1) (б) при различных
W*>
б,
построенные с помощью с о о т н о ш е н и й (21) и (27). К р и в ы е 2 на рис у н к е , а, б описывают относительную э ф ф е к т и в н у ю в е р о я т н о с т ь перехода м е ж д у у з л а м и д в у м е р н о й п е р к о л я ц и о н н о й с е т к и (задача с в я з е й ) , помещен
н о й в т р е х м е р н у ю у п о р я д о ч е н н у ю м а т р и ц у . В отличие от свободной дву
м е р н о й сетки в н а ш е й системе н е н а б л ю д а е т с я п е р к о л я ц и о н н ы й переход, т а к к а к не могут о б р а з о в ы в а т ь с я п о л н о с т ь ю и з о л и р о в а н н ы е кластеры из у з л о в интерфейса. В том с л у ч а е , к о г д а к л а с т е р н е с в я з а н с д р у г и м и не
посредственно в п л о с к о с т и интерфейса, о с т а ю т с я н е р а з о р в а н н ы е пути б л у ж д а н и й , п р о х о д я щ и е по м а т р и ц е . Это п о з в о л я е т ч а с т и ц е осуществлять переходы м е ж д у к л а с т е р а м и интерфейса п р и л ю б ы х р £ ( 0 , 1 ] .
Е с л и построить г р а ф и к и в п е р е м е н н ы х ( а / $ \ , р ) , то л е г к о заметить, что в пределе Wx - * о о (Wy 0) п о л у ч а е т с я о б ы ч н а я д л я п р и б л и ж е н и я эффек
т и в н о й среды п е р к о л я ц и о н н а я з а в и с и м о с т ь a = a (р) с точным значением к р и т и ч е с к о й к о н ц е н т р а ц и и «хороших» с в я з е й рс= 1 / 2 .
З а в и с и м о с т и , п р и в е д е н н ы е н а р и с у н к а х , п о к а з ы в а ю т , что п р и малых р в л и я н и е «хороших» с в я з е й (с Wf 6 ; > 1) н а э ф ф е к т и в н у ю вероятность перехода н е з н а ч и т е л ь н о и в то ж е в р е м я а с у щ е с т в е н н о з а в и с и т от р при
р ~ > 1 . Это о з н а ч а е т , что интерфейс вносит з а м е т н ы й в к л а д в д и ф ф у з и о н ное смещение ч а с т и ц ы л и ш ь п р и р > ре1 т . е. к о г д а о б р а з о в а л с я бесконеч
ный к л а с т е р и з «хороших» с в я з е й .
Д о с и х п о р мы р а с с м а т р и в а л и с т а т и ч е с к и й с л у ч а й ( ш = 0 ) . Т е п е р ь п р о а н а л и з и р у е м поведение а п р и м а л ы х ш (большие в р е м е н а ) . И з (25) с л е дует, ч т о ф у н к ц и я М3 > х ( а , ш) а н а л и т и ч н а во всей области о п р е д е л е н и я (а ^ — 1 , со > 0 ) . Это* п о з в о л я е т р а з л о ж и т ь M3t г ( а , ш) в двойной р я д Тейлора в о к р е с т н о с т и точки ( а0, о ) = 0 ) . П о д с т а в л я я т а к о е р а з л о ж е н и е в условие с а м о с о г л а с о в а н и я (21), л е г к о п о к а з а т ь , что ф у н к ц и я а = а ( р , со)
О т н о с и т е л ь н а я э ф ф е к т и в н а я в е р о я т н о с т ь п е р е х о д а м е ж д у у з л а м и и н т е р ф е й с а в з а в и с и м о с т и о т д о л и с в я з е й с в е р о я т н о с т ь ю п е р е х о д а Т?^.
а н а л и т и ч н а п р и л ю б ы х к о н е ч н ы х з н а ч е н и я х а0 и з области о п р е д е л е н и я . Т а к и м о б р а з о м , п р и м а л ы х со
а ( р , со) = а ( р , 5 = 0) + Л ( р ) <Ь + ..
т. е.
А И ^ ( р , ш - > 0 ) = ( р , (й*=0) + А(р)ш + . . . , (28)
Вычислим с р е д н е к в а д р а т и ч н о е смещение ч а с т и ц ы в плоскости интерфейса
<^х2^>. Р а з л о ж е н и е (28) следует подставить в соответствующее в ы р а ж е н и е для « х2 Х (см. (Ю))
4WV 4ДРР» (со)
W G) у О) /(О - р 4rr y j
Из (28) и (29) с л е д у е т , что р а с т у щ и й в к л а д в в е л и ч и н у ^ х2^ Да с т л и ш ь Д И ^ ( р , ш = 0 )
« х * » , = 4PVP£ + 4AW^ ( р , ш » 0) г * "2*7' [ / о (2WV) + /х ( 2 ^yf ) ] +
+ 4 Л (р) <f ^ / о ( 2 И у ) + . . . = 4 И у + 4 А ^ ( р , <о « 0 ) X
X у « 7 « ^ г (1 - i / 1 6 W y ) + 2А ( р ) / ^ ^ у - о ( Г8' » ) . (30) Т а к и м о б р а з о м , п о п р а в к а А (р) со к статическому п а р а м е т р у AWS ( р ,
© = 0 ) и с л а г а е м ы е более в ы с о к о г о п о р я д к а по со, в х о д я щ и е в (28), н е в л и я ю т на д о л г о в р е м е н н у ю а с и м п т о т и к у момента < С *2^ .
И с с л е д у е м ф у н к ц и ю а ( р , со) п р и со —> о о (малые в р е м е н а ) . В этом с л у чае и з (21) и (25) п о л у ч и м
16* 243
где < ! ^r> = p ^ I + ( l — р) ffil Дл я бимодального р а с п р е д е л е н и я . Эффектив
н а я вероятность перехода "между у з л а м и интерфейса д а е т с я в ы р а ж е н и е м
WE(P, с о - > а > ) = < И / > - 4 [ < ^2> - ^ >2] + ° ^ ~ 2- (32)
Соотношение (32) отражает тот факт, что WE на м а л ы х в р е м е н а х определя
е т с я вероятностью первого п р ы ж к а .
Д л я < х2> - * о из (29) и (32) получаем следующий р е з у л ь т а т :
« хя> ^ о = 4< ^ > ^ - ° ^ ) - (33)
Соотношения (31)—(33) справедливы д л я п р о и з в о л ь н о г о р а с п р е д е л е н и я случайных вероятностей перехода м е ж д у у з л а м и д е ф е к т а .
4. О б с у ж д е н и е р е з у л ь т а т о в
Выше рассмотрены случайные б л у ж д а н и я частицы н а d-мерной решетке с d'-мерным диагонально неупорядоченным дефектом. С н а ч а л а проанали
зируем условие самосогласования (см. (9), (18)). Оно имеет т у ж е струк
т у р у , что и д л я однородно-неупорядоченных систем, однако матричный элемент, фигурирующий в (9) и (18), более с л о ж е н . В частности, он не определяется только л и ш ь диагональным матричным элементом, к а к это имеет место д л я неупорядоченных систем, з а н и м а ю щ и х все пространство.
Детальные вычисления, относящиеся к этому в о п р о с у , п р и в е д е н ы в [7] . Приведем некоторые у т в е р ж д е н и я , к а с а ю щ и е с я аналитических свойств функции WE (СО) п р и р а з л и ч н ы х частотах. К а к п о к а з а н о в раз
деле 3, д л я неупорядоченного интерфейса э ф ф е к т и в н а я в е р о я т н о с т ь пере
хода WE (СО) аналитична в точке со = 0 п р и п е р к о л я ц и о н н о м распределении р (W). В результате т о л ь к о статическое значение WE ( с о = 0 ) дает вклад в долговременную асимптотику среднеквадратичного с м е щ е н и я частицы в плоскости интерфейса (см. (30)). Утверждение о н е с у щ е с т в е н н о с т и частот
ных поправок (при со 0) к статической эффективной в е р о я т н о с т и пере
хода справедливо и при любом н е и е р к о л я ц и о н н о м р а с п р е д е л е н и и вероят
ностей р (W), т. е. исключающем н у л е в у ю в е р о я т н о с т ь п е р е х о д а между у з л а м и . В этом случае в области интерфейса заведомо не п р о и с х о д и т гео
метрический фазовый переход и не о б р а з у ю т с я и з о л и р о в а н н ы е кластеры, В итоге ф у н к ц и я WE (со) не имеет особенностей п р и и з м е н е н и и д о л и тех и л и иных связей.
Поведение частицы, стартующей с у з л а интерфейса, н а м а л ы х временах (со - > о о ) описывается в ы р а ж е н и е м (33), причем м о ж н о п о к а з а т ь , что WE ( С О -> c o ) = < W > + o ( с о-*1) не только д л я бимодального распределения, но и д л я всякого иного. Это следует из асимптотического представления
•frf.t (а> 6 5 ->с0) - ^ ( V * ) "1 [7] и у с л о в и я с а м о с о г л а с о в а н и я (18).
В настоящей работе подробно рассмотрено дискретное распределение случайных вероятностей перехода (20). О п р е д е л е н н ы й и н т е р е с предста
в л я ю т т а к ж е гладкие распределения, н а п р и м е р н е п р е р ы в н о е распределе
ние высот потенциальных барьеров м е ж д у соседними у з л а м и . В част
ности, д л я одномерного дефекта (дислокации) в т р е х м е р н о й р е ш е т к е не
с л о ж н о получить следующий результат I7] :
WE = WQ е х р [ _ - 1 ( < * > + " й г ) ] (4 ~ 0 (WvlW' «*»)), (34) если вероятность перехода м е ж д у соседними у з л а м и дефекта описывается а р р е н и у с о в с к о й зависимостью
И" = РГ0 ехр (—5/8),
а случайные высоты потенциальных барьеров р а с п р е д е л е н ы по Г а у с с у со средним значением < £ > и дисперсией о2. П р и этом п о л а г а е м < £ > > а, чтобы обрезать функцию р а с п р е д е л е н и я в области о т р и ц а т е л ь н ы х энер-
гий. И з (34) с л е д у е т , ч т о э ф ф е к т и в н а я э н е р г и я а к т и в а ц и и д и ф ф у з и и п о в ы шается с п о н и ж е н и е м т е м п е р а т у р ы . М о ж н о п о к а з а т ь , что а н а л о г и ч н ы м свойством о б л а д а е т и н е у п о р я д о ч е н н ы й интерфейс [7] . Д е л о в том, что при н и з к и х т е м п е р а т у р а х б о л ь ш у ю р о л ь и г р а ю т у ч а с т к и дефекта, о б л а дающие н и з к о й д и ф ф у з и о н н о й п р о н и ц а е м о с т ь ю ( в ы с о к а я э н е р г и я а к т и вации) и л и м и т и р у ю щ и е с к о р о с т ь р а с п л ы в а н и я ч а с т и ц ы . С ростом тем
пературы р о л ь н и з к о п р о в о д я щ п х с в я з е й с н и ж а е т с я , т а к к а к и х п р о н и ц а е мость с и л ь н е е з а в и с и т от 9 , н е ж е л и п р о н и ц а е м о с т ь «хороших» с в я з е й .
Е с л и д и ф ф у з и о н н а я п р о н и ц а е м о с т ь м а т р и ц ы с т р е м и т с я к н у л ю , то р а с с м а т р и в а е м а я в р а б о т е d - м е р н а я система в ы р о ж д а е т с я в d ' - м е р н у ю н е у п о р я д о ч е н н у ю р е ш е т к у . Л е г к о п о к а з а т ь , что в пределе Wv О (а - * оо) у с л о в и е с а м о с о г л а с о в а н и я (18) п р и н и м а е т вид, х а р а к т е р н ы й д л я tf'-мерной системы I7] .
В з а к л ю ч е н и е с д е л а е м н е к о т о р ы е з а м е ч а н и я по поводу точности п р и б л и ж е н и я э ф ф е к т и в н о й с р е д ы , и с п о л ь з о в а н н о г о в н а с т о я щ е й работе.
Напомним, что д л я в ы ч и с л е н и я д о л г о в р е м е н н о й а с и м п т о т и к и средне
квадратичного с м е щ е н и я ^ х2^ > (10) достаточно з н а т ь л и ш ь с т а т и ч е с к у ю эффективную в е р о я т н о с т ь п е р е х о д а м е ж д у у з л а м и интерфейса. В то ж е время в р а б о т е [3] п о к а з а н о , что п р и б л и ж е н и е эффективной среды д л я о д н о р о д н о - н е у п о р я д о ч е н н ы х систем п о з в о л я е т п о л у ч и т ь по к р а й н е й мере два т о ч н ы х с л а г а е м ы х в н и з к о ч а с т о т н о м р а з л о ж е н и и ф у н к ц и и WE (ш).
При этом у ч и т ы в а ю т с я все т р а е к т о р и и б л у ж д а н и й , кроме с а м о п е р е с е к а ю щихся н а к а ж д о м у з л е [1 0] . Вес т а к и х самопересекатощихся т р а е к т о р и й невелик, чем и о б ъ я с н я е т с я достаточно в ы с о к а я точность п р и б л и ж е ния Р ' 1 0] . В п а ш е м с л у ч а е о б л а с т ь н е у п о р я д о ч е н н о с т и (дефект) имеет низкую р а з м е р н о с т ь по с р а в н е н и ю с у п о р я д о ч е н н о й м а т р и ц е й , поэтому вклад всюду с а м о п е р е с е к а ю щ и х с я на дефекте т р а е к т о р и й будет еще м е н ь ш е . Следовательно, точность п р и б л и ж е н и я э ф ф е к т и в н о й среды в н а ш е м с л у ч а е должна быть не х у ж е ( с к о р е е , л у ч ш е ) , ч е м д л я о д н о р о д н о - н е у п о р я д о ч е н н ы х сред.
С п и с о к л и т е р а т у р ы
[1] A l e x a n d e r S . , B e r n a s c o r n J . , S c h n e i d e r W . R . , O r b a c h R . / / R e v . M o d . P h y s . 1 9 8 1 . V . 5 3 . N 2 . P . 1 7 5 — 1 9 8 .
[2] B o t t g e r H . , B r y k s i n V . V . / / P h y s . S t . S o l . ( b ) . 1 9 8 2 . V . 1 1 3 . N 1 . P . 9 - 4 9 . [3] H a a s J . W . , K e h r K . W . / / P h y s . R e p . 1 9 8 7 . V . 1 5 0 . N 5 / 6 . P . 2 6 3 - 4 1 6 . [4] O d a g a k i Т . , L a x M . // P h y s . R e \ . B . 1 9 8 1 . V . 2 4 . N 9 . P . 5 2 8 4 - 5 2 9 4 . [5] W e b m a n I . // P h y s . R e v . L e t t . 1 9 8 1 . V . 4 7 . N 2 1 . P . 1 4 9 6 - 1 4 9 9 . [6] K i r k p a t r i c k ' S . // R e v . M o d . P h y s . 1 9 7 3 . V . 4 5 . N 4 . P . 5 7 4 — 5 8 8 .
[ 7 ] Б р а н о в и ц к и й И . С , К о х т е в С. А . / / П р е п р и н т М И Ф И № 0 2 3 - 8 9 . М . , 1 9 8 9 . 2 4 с . [8] O d a g a k i Т . , L a x М . , P u r i A . / / P h y s . R e v . В . 1 9 8 3 . V . 2 8 . N 5 . Р . 2 7 5 5 - 2 7 6 5 . [ 9 ] B e n o i s t P . , M a r t i n G . / / T h i n S o l . F i l m s . 1 9 7 5 . V . 2 5 . N 2 . P . 1 8 1 - 1 9 7 . [10] О в ч и н н и к о в А . А . , П р о н и н К . A . / / Ж Э Т Ф . 1 9 8 5 . Т . 8 8 . № 3 . С. 9 2 1 — 9 3 6 . М о с к о в с к и й и н ж е н е р н о - ф и з и ч е с к и й и н с т и т у т П о с т у п и л о в Р е д а к ц и ю
М о с к в а 2 4 м а р т а 1 9 8 9 г.
В о к о н ч а т е л ь н о й р е д а к ц и и 2 3 а в г у с т а 1 9 8 9 г.