V. V. Bryksin, “Electric conduction in a multiradius bipolaron system at low temperatures: tunneling transport mechanism”, Fizika Tverdogo Tela, 32:2 (1990), 343–352

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

V. V. Bryksin, Electric conduction in a multiradius bipolaron system at low temperatures: tunneling transport mechanism, Fizika Tverdogo Tela, 1990, Volume 32, Issue 2, 343–352

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 139.59.245.186

November 6, 2022, 22:30:57

1990 ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Том 32, № 2 1990 SOLID STATE PHYSICS Vol. 32, N 2

УДК 537.521

С ^{1 0 9 0}

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ В СИСТЕМЕ ВИПОЛЯРОНОВ МАЛОГО РАДИУСА

ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ:

ТУННЕЛЬНЫЙ МЕХАНИЗМ ПЕРЕНОСА В. В. Брыксин

Предложена теория квантов омеханического межузельного туннелирования би- ноляронов малого радиуса, определяющего токоперенос в области низких и промежу­

точных температур. Подобно стандартным малым поляронам перенос биполяронов представляет собой сумму прыжкового и туннельного вкладов. С понижением темпе­

ратуры электропроводность билоляронной системы осуществляется последовательно посредством прыжков монополяронов диссоциированных биполяронов, туннелирова­

ния монополяронов, туннелирования биполяронов и, наконец, рассеянием зонных би­

поляронов. Температурная зависимость проводимости имеет минимум вблизи перехода от монополяронного туннелирования к биполяронному.

В последние годы растет интерес к электрофизическим свойствам си­

стем с локально спаренными носителями тока. Это связано, в частности, с открытием высокотемпературной сверхпроводимости. Многие иссле­

дователи предполагают наличие в этих веществах локально спаренных электронов (см., например, [¹"⁴1), в том числе биполяронов малого ра­

диуса I^{5 , б}1 . Биполяронное спаривание считается возможным и в системах с тяжелыми фермионами [^{7 > н}] . Наличие малых биполяронов обнаружено в T i⁴0⁷, FegO^, L i N b 0³, соединениях бора, окислах вольфрама, ВаТЮ³, в квазиодномерных органических веществах (ссылки см. в [⁹J), в N b 0^{2 ъ}_^х

1^{1 0}1.

Теоретические исследования токопереноса биполяронами к настоящему времени ограничивались рассмотрением прыжковой проводимости [⁹' ^{1 1}J , вероятностей диссоциации и перескоков [12> 1 31 , изучением биполяроиной зоны [^{1 3}~^{1 5}] , поглощения света [^{1 6} J. Оказалось, что в области перескокового режима биполяронный вклад в проводимость всегда мал по сравнению с монополяронным [^и] . С другой стороны, подобно тому, как это имеет место в стандартной теории малых поляронов [1 7 > 1 81 , следует ожидать, что по мере понижения температуры режим классических межузельных пере­

скоков в биполяронной модели должен смениться квантовомеханическим туннельным просачиванием, а при совсем низких температурах — и обыч­

ным зонным переносом. В настоящей работе показано, что биполяронный токоперенос состоит из двух аддитивных вкладов — перескокового и тун­

нельного, причем при низких температурах доминирует последний.

Более того, в низкотемпературной области туннельный биполяронный пе­

ренос оказывается более существенным, чем монополяронное тунпелиро- вание, что резко контрастирует со случаем высоких температур. Этот факт открывает возможность экспериментального изучения биполяронного переноса по статической электропроводности в низкотемпературной области. Туннельная биполяронная подвижность экспоненциально падает с ростом Т.

1. Э ф ф е к т и в н ы й б и п о л я р о н н ы й г а м и л ь т о н и а н а и с х о д н о е в ы р а ж е н и е д л я э л е к т р о п р о в о д н о с т и

В системе малых поляронов с внутриузельным притяжением имеются как монополяроны, так и биполяроны. Поэтому токоперенос осуществля­

ется посредством трех механизмов: за счет движения монополяронов, движения биполяронов и переноса с диссоциацией и образованием бипо- ляронной молекулы. В области высоких температур преобладают мошь поляронные межузельные перескоки [9 > 1 3' 1 3] . Однако с самого начала ясно, что по мере понижения температуры количество монополяронов в си­

стеме падает за счет роста числа биполяронов по параметру exp (~—U/2kT), где U — энергия связи биполярона, так что рано или поздно биполярон­

ный механизм переноса начнет преобладать. Поэтому при изучении низко­

температурного токопереноса можно ограничиться рассмотрением только биполяронов, не учитывая процессов их диссоциации. Конкретное значе­

ние температуры, ниже которой основной вклад в ток дает биполяронное движение, будет получено ниже. Учет только биполяронных состояний позволяет производить изучение тока с помощью эффективного биполя- ронного гамильтониана [^{1 3}J. Такой гамильтониап может быть получен посредством проектирования основного гамильтониана теории малых поляронов [1 7 , 1 81 на подпространство биполяронных состояний с исполь­

зованием теории возмущений по параметру IIU, где / — резонансный интеграл, определяющий ширину затравочной электронной зоны. После такой операции эффективный биполяронный гамильтониан Н имеет вид

trv, т' т, т'

где Н^ъ — гамильтониан фононного поля; В^т=а^т\а^т\ — оператор уничто­

жения биполярона на узле т; v^m=B+B^m — оператор числа биполяронов на узле т\ J и v — многофононные операторы

оо О i

^ mm' ~ 2h ^лвп' dt

-00 -J

exp [ s \ t \ + - ^ t } x

X [ < * W ( - 0 < * W + *тп>*шт>> ( * ) ] . ( 2 >

> 0

\dt— ^ dt

X [ < W ("Л S V m + *n»n>Q^m>m ( * ) ] • ( 3 )

Здесь I^mr^m — резонансный интеграл между узлами т! и т ,

l л

(4>

— обычный для малых поляронов многофононный оператор, возникаю­

щий при поляронном каноническом преобразовании над гамильтонианом Фрелиха [17* 1 8] ; 7q — безразмерная константа электрон-фононной связи;

b^q — оператор рождения фонона с импульсом q; R^m — радиус-вектор узла;

N — полное число узлов в системе, *

Ф (О = exp (j H,^ht) Ф exp ( - у Я^{р ь}* ) .

Отметим, что в [^{1 9}] был получен биполяронный гамильтониан тина (1) но усредненныйпо фононам, т. е. с заменой Jmm, -+<Jmmr>*umm, -+<итя,>[

При этом < /^{т п}' > играет роль эффективной биполяронной зоны, а <утт>У — биполярон-биполяронного взаимодействия. В [1 9J такой га-

344

мильтониан использовался для описания сверхпроводимости биполярон- ной системы. Однако при изучении токопереноса использование усреднен­

ного по фононам гамильтониана, разумеется, недопустимо.

В дальнейшем ограничимся случаем низкой концентрации биполяронов,

< vw) < l , когда 1— vw в (1) можно заменить на единицу и

= —

^{2»|Л,. yf»» =}

2w«

^{( 5 )}

т т'

Биполяронные операторы для различных узлов коммутируют, а на одно»*

узле — антикоммутируют и могут быть связаны с оператором спина.

Однако в исследуемом ниже однобиполяронном приближении существенна лишь антикоммутация на узле. Поэтому их можно считать обычными Ферми-операторами. С этой оговоркой проблема определения электропро­

водности в биполяронной системе становится очень похожей на задачу в модели малых поляронов [^{2 0}] . Отличие заключается лишь в двух пунк­

тах: во-первых, многофононные операторы Jmm> и vmmf имеют более слож­

ную структуру, чем оператор Фт 1 й' фигурирующий в теории монополяро­

нов, а во-вторых, оператор возмущения Н'+Н" состоит из двух вкладов, один из которых недиагонален по узлам (Я'), а второй ( # " ) диагона­

лей. В монополяронной же модели имеется только недиагональное по уз­

лам возмущение ((1.42) в [^{1 7}J).

Перейдем теперь к формуле для электропроводности. Ниже ограни­

чиваемся случаем узких биполяронных зон, когда < /m« i ' > <^ А7\т. е. би- полярон однородно распределен по зоне. Другой предельный случай сверх­

низких температур <7 тт'У ^> кТ сводится к решению кинетического урав­

нения в импульсном представлении и для монополяронной модели рас­

смотрен в [^{2 1 , 2 2}I .

В пределе узких зон <(./) <€ кТ, как показано в [2 31, с помощью фор­

мулы Кубо в представлении дипольных моментов электропроводность о может быть выражена через функцию условной вероятности Р в узельном представлении

m

где р = 1//сГ, — концентрация биполяронов, Хт — проекция HP ОСЬ.

вектора Rm,

со

П£*Л*)

= 5

^{d t e}

^{- "}

^s

^{P {}

^e

^"

^{p f f}

^'

^h

^<

⁰

^l

^B

^{« , (}

^e

^{i .}

^B

^{« . ) /}

^B

^{i . l}

⁰

^{» -}

^{( 7 )}

6

Шпур берется по фононным переменным, а матричный элемент — на би- поляронном вакууме | 0>. Диагональная компонента функции условной вероятности P%,'m(s) есть лапласов образ вероятности найти частицу в мо­

мент времени t на узле ттг, если при £ = 0 она помещена на узел т'. В (6) введен дополнительный множитель 4, возникающий вследствие двукрат­

ного спинового вырождения узельного состояния или, что то же самое, учтено, что заряд биполярона равен 2е.

Используя соотношение Эйнштейна между о и коэффициентом диффу­

зии D, о—Ае^щБ, имеем

т \

Дальнейшая задача сводится к нахождению функции условной вероят­

ности. Ряд теории возмущений для Р содержит расходящиеся вклады по степеням 1/s, лестничное суммирование которых приводит к системе урав­

нений, зацепляющих диагональные и недиагональные компоненты Р

[ 1 8 , 23J

mm' — ° m m ' \ £j v v ттх тхт' \ mmz т7т i

2 Физика твердого тела, вып. 2, 1 9 9 0 3 4 5 >

ro⁵ т^%фт^к

г д е — неприводимые, не содержащие расходимостей блоки (вероят­

ности). Процедура решения этой системы уравнений заключается в том, что недиагональные компоненты Р с помощью (10) выражаются через диа­

гональные (первый член правой части (10)). Затем полученный результат подставляют в последний член правой части (9).

Уравнение (10) можно разрешить тем же способом, что и в стандартной теории малых поляронов [^{1 7 , 2 3}L Дело в том, что среди недиагональных вероятностей W, входящих в последний член правой части (10), наиболь­

шими являются WZ[m] с m¹=m^z и m²=m^v Другие компоненты малы по сравнению с этими по параметру exp ( — u S t ) , где а — число порядка еди­

ницы, St ~~ I Tq I² ^ 1 — фактор поляронного сужения зон (см. ниже).

Как показывает анализ, такое же свойство недиагональных вероятностей сохраняется и в биполяронной модели. Пренебрегая такими экспонен­

циально малыми вероятностями, из (10) имеем

Подставляя теперь (11) в (9), получаем замкнутое уравнение для диаго­

нальной компоненты функции условной вероятности

sPmm' —°mm' ~Т 2 j mmf m^xm'i

где

wZZ^l = ^wmml + У wZZ'wi^n (^s -w"!^}'¹. ( 1 3 )

тлфт3

При учете, что в пространственно-однородной системе Р%£,' и W%£,' зави­

сят только от т—т', уравнение (12) легко разрешается переходом в им-

о7

-т3 т1 т³

т. тп,

Рис. 1 . Одноточечные диаграммы для «вероятностей» W™^*, описывающих биполя- ронную зону в низшем порядке теории возмущений.

Точка взаимодействия (1) соответствует гамильтониану Я ' , изменяющему узелышй индекс.

пульсное представление. Укажем здесь также, что имеют место правила сумм

«*' in '

Подставляя найденное решение в выражение для коэффициента диффузии (8), получаем

тп

Так как W (13) состоит из двух вкладов, то и электроперенос содержит два аддитивных слагаемых. Первый из них (связанный с W) описывает прыж­

ковый биполяронный перенос. Он был рассмотрен в [9 > 1 Ь 1 3J и дал малый вклад по сравнению с монополяронными прыжками. Второе слагаемое в (13) ответственно за межузельное туннельное просачивание биполяронов.

Соответствующий вклад в коэффициент диффузии D^t имеет вид

m т^фгп^

3 4 6

где t^{W l M s} = — l/WSjSj — время туннельного просачивания. Формула (15)^у аналогичная соответствующему выражению для туннельного механизма?

переноса в теории монополяронов, позволяет исследовать температурное поведение биполяронной проводимости в области низких температур.

2. Н и з к о т е м п е р а т у р н а я т у н н е л ь н а я б и п о л я р о н н а я п р о в о д и м о с т ь

Выражения для вероятностей, входящих в (15), можно найти с помощью теории возмущений по Н'-\-Н" в (1), т. е. по степеням резонансного интег­

рала / (точнее, для биполяронной модели по /2) . Для биполяронного га­

мильтониана в принципе можно построить диаграммную технику, подоб­

ную той, которая используется в стандартной теории малых поляронов [17, is j Однако вследствие того что многофононные операторы ^Jmmr (2) и vmm' (3) имеют значительно более сложную структуру, чем оператор Фт т' в монополяронной модели, эта задача весьма громоздкая и мы ниже огра­

ничимся низшими порядками теории возмущений.

Исследование начнем с величин и W™1^- В низшем порядке они могут быть изображены графиками с одной точкой взаимодействия (рис. 1).

В дальнейшем ограничимся приближением сильной связи, когда учиты­

ваются резонансные интегралы только между ближайшими соседями, 7 ^ , ==/

2 V

^{m'+ffi г}

Д

^е ё — вектор ближайшего соседа. Как видно из рис. 1,

9

интересующие нас вероятности имеют вид

i

( 1 6 )

где <(/)> — фононное среднее от оператора Jmm' (2) при m' = m+g, которое не зависит от w, а для кубической решетки — и от g. Подставляя (16) в (15), получаем

( 1 7 )

где а — постоянная решетки, z — число ближайших соседей в решетке,

&E^b—2z <(/)> — ширина биполяронной зоны. Д л я кубической решетки время релаксации т = — i / W $ = — l / W ™ также не зависит от g.

Ширина биполяронной зоны (эффективная масса биполярона) исследо­

валась в [^{1 3}"^{1 5}1 . В области низких температур [¹⁸» ^{1 4}1

ЬЕЪ = Ш*\/ j^jr e x p

j

^{То - J— Ы U~\ ' ( 1 8 )}

где со⁰ — частота оптического фонона, То — константа связи

то =

2

^{I T<i I2 С1 — c o s 4g)* (1 9 )}

q

Формула (18) справедлива при U < Й о )⁰Т о - Напомним, что ширина моно­

поляронной зоны [^{1 7}1

АЕр = 2zl exp ( ST) ^ 2zl exp ( — Г о / 2 ) , ( 2 0 )

где фактор поляронного сужения затравочной зоны

S t = -£n 2 IY* I2 (1 ~ C0S qg) Cth (П(° * 12кТ) - (21)

q

Второе равенство в цепочке (20) справедливо при йа>⁰ > 2 й Г .

2* 347

Перейдем теперь к наиболее сложному вопросу расчета времени релак­

сации %. Вклад в Wf% дают шесть диаграмм (рис. 2). Заметим, что вклад от двух диаграмм с одной точкой типа 1 (от Н") обращается в нуль, так как при переносе точки с верхней оси на нижнюю знак графика меняется.

Это сокращение связано с тем, что при замене оператора v^m в (3) на его среднее по фононам значение, не зависящее от т, гамильтониан Н" опи­

сывает несущественное смещение начала отсчета энергии. Подчеркнем, что в многобиполяронной задаче такой усредненный вклад от и ответствен за межбиполяронное притяжение и установление дальнего порядка; см.

(1).

Сумма четырех диаграмм а—г (рис. 2) дает следующий вклад в W$

h²

j

d U " 1 '¹ U<»o (t) »o> ~ < » o >²] - [ < * , ( # ) » o > - < * < > > • ] } .

Первая квадратная скобка проистекает от графиков а и б, а вторая — от в'ъ*г.¹Было принято во внимание, что в силу трансляционной симметрии

х 7 , о2 6

9 о е

~9

- о

Рис. 2 . Диаграммы, описывающие в низшем порядке теории возмущений, вероят­

ность туннелирования Wgg.

•в—г — в к л а д от Я " (без изменения узельного индекса в точке взаимодействия I); а , « — о т Н ' (с изменением узельного индекса в точке взаимодействия 2 ) . Волнистые линии означают фононное

усреднение.

<*,>=<^о> (*) »,>=<уо (0 *>о> и <v, (t) voy=<v0 (t) v-,>=(y0 (t) y#>. Послед­

нее равенство есть следствие отсутствия центра инверсии в решетке.

Вводя обозначение

с»

— СО

получаем, что вклад от диаграмм а—г W'jtf можно привести к виду

( 2 2 )

( 2 3 )

Подставляя в (22) оператор v^m (3), (5), после довольно громоздкого, но стандартного в теории малых поляронов [1 7 , 1 81 фононного усреднения

получаем следующее выражение для w (g):

9u 9i - c o L 0 —oo J L o — со

X e x p J - ^ - s l M +

x ^I7(*i

⁺

* i ) } x

X exp |2 T^q ( 1 - cos qgO [cos co^q (t^t - if$/2) + cosco^q (t² - *лр/2)]| X jexp ^2 ^ ?^q (cos q (g + ^{g l} + g²) -f cos qg - cos q (g + g^t) - cos q (g + g²)) X X

X cos *^qt sin ( u i ^ / 2 ) sin (u)^q£²/2) - 1 . ( 2 4 )

где Г^ЧН Та I V^ s h (A<oqp/2), <SV определено в (21).

Как будет видно ниже, основной вклад в интеграл по временам (24) дает область малых с о^ч^ , a>^qJ² ~~ | y^q | -² <^ 1. В силу этого показатель экспоненты в (24) можно разложить в ряд по t1 и t2

0 1 , л Lo'

"~ " UJ и со

— со J L 0

X e x p \ - s \ t \ + -r(U+AE^a)(tⁱ x X exp

2l ^{2Л ^}

⁵

^Д

( A a >^qB / 2 ) C 0 S

V

^{- 1}

где £a — энергия активации для однополяронного прыжка 1

V

¹

e * = T n 2j\4\2h%(i-™sqg).

( 2 5 )

(26)

\ {ggig*) = I T^q |2 [cos q (g + gl + g2) + cos qg - cos q (g + g,) - cos q (g2 + g)]. (27)

Из (25) видно, что основной вклад в интеграл дают *1 ? t2 -~ h/4Ea, что и утверждалось выше. По этой же причине экспонента под интегралом может быть разложена в ряд с точностью до квадратичного члена (первый член разложения, описывающий однофононный процесс, обращается в нуль после интегрирования по t). Выполняя интегрирование по t^x, t² и t, имеем

( H )

²

N sh² (Лш^чР/2) \ [gglgl) \f (gg\g2) ^Ь (^wq - »^q')' (²⁸^

Обратимся теперь к исследованию вклада в Wj$ от диаграмм д и е на рис. 2 (W"w). Вклад от этих диаграмм имеет вид

= - i Не

2 ^J

^{{ < V}

^О

V o > ~ < V /²} - (29) 9' ^О

Подставляя в (29) явный вид многофононных операторов / (2) и произ­

водя фононное усреднение, получаем

^"$=-S-* \

^{d t}

\

^{d h}

~ \

^{d t i}

\

^{d t}

* - \

^{d t}

*

X

— 00 Lo — с о J L 0 —00

X e x p | - 4 ^ ~ s j t | + ^ U(tj

+*

²

)}x

X exp

J2

^Tq (1 - cos qg) [cos «^q (t^x - i A p / 2 ) + cos »^q (t^t - <лр/2)]| X

X jexp J^4 ^ T^q ( 1 - cos qg) cos o>^qt cos (*>^qh/2) cos ( a >^q*²/ 2 )

J

^{- l j # ( 3 0 )}

Вероятность W " (30) с точностью до знака совпадает с вероятностью бипо- йяронного межузельного перескока W%9g, исследованной в [1 3] в области

высоких температур йо>^дР < 1. В этой области она экспоненциально мала,

—ехр [— (U+AEa)2/16EakT]. В интересующем нас здесь низкотемператур­

ном пределе, когда r^q <^ 1, из (30) после интегрирования по временам с учетом двухфононных процессов имеем

0 0— Л4

exp

( 4

^ d + '*)) X

со 0 "I Г°о 0

S

^{л » -}

S

^{< * ч}

5 - \

О — с о J L O — c c

X e x p j -

2

^{rq ( 1 c o s qg) tC O S *** 1 ? 1 ~th?,2) + C°S w« ('2 ~~ ' ^/ 2 )} X}

X Sk ^ ^rq^rq ' I¹ - ^C0S 48) t¹ - ^{C0S q}'^g) ^ К ~ V ) ^C°^S ( V^{1 / / 2}) ^C0S ( V²/²) -

q , q '

Учитывая, что ширина биполяронной зоны [^{1 3}J

со

- 2 r< i( l ~ c o s qg) cos w«{t ~~ i h^2 )) >

A£

^{J = =}

2z</>:

_о

имеем

w 0 0 • W 2

zft

^{2 4* 2 r4rq '(1 ~ c os qg ) [i ~ ~cos q'g) 8} ~ ~ V ) - (31}

q, Q'

Сравнивая W" (31) с W (28), видим, что W ' V W - ( A ^ / / )², т. e. W "

экспоненциально мала (см. (18)) п ее можно опустить. Тогда, согласно (23) и (28),

1 / 4 у у ( Н )⁴

Т = л 2^(Г7+4£:^а)в ^ ^7, лг² sh (йо)^чр/2) ⁰ (^wq ~ V ) X

q , q ' Л , fft

X { «^q( 0 , ft, ft)v(°» ft' ft) —*qte' ft' ft)V⁽^ *^b ^ i ' I*El

< ⁽c/ ^{+ 4 £g) °}

"КГ

^{e x}

P ( ~

^{Л ш}

^ ~ " Е Г

^{e x}P ( - ⁽³²⁾ где с — число, A a) — дисперсионная ширина фононной зоны. Интересно отметить, что вероятность биполяронного туннелирования (32) практи­

чески совпадает с вероятностью туннелирования монополяронов, рассчи­

танной по диаграммам четвертого порядка, которые в модели малых поля­

ронов оказываются больше вклада от графиков второго порядка для этой величины [^{1 7}' ^{2 0}' ^{2 4}1 (ср. (32) с (П. 33) в [^{1 7}J). Таким образом, согласно (32), (17) и в соответствии с соотношением Эйнштейна имеем, что при не зависящей от Т концентрации биполяронов п^ь туннельная электропровод­

ность растет с понижением температуры, о^{ ~~ {ИТ) exp (hu>⁰/kT). Подоб­

ным образом ведет себя туннельный вклад в электропроводность и для монополяронов. Однако эффективная масса биполяронов значительна больше, а поэтому подвижность их меньше, чем монополяронов.

Отпопкь

ние этих подвижностей порядка (AE^b/kE^p) <^ 1, &E^p=2zIe-^sT.'^

3. О б с у ж д е н и е р е з у л ь т а т о в

Теперь можно описать температурную зависимость электропроводности биполяронной системы в широком интервале температур. Эта зависимость в значительной мере регулируется таким параметром, как число электро­

нов проводимости на узел v . Принятое выше одноэлектронное приближе­

ние соответствует v < ^ 1 (или в условиях дырочной проводимости 2— v < ^ 1).

Относительная доля мополяронных и биполяронных состояний опреде­

ляется величиной X = ^{v 2} exp (U/kT) [⁹J. При А > 1 в системе преобладают биполяроны, так что и х концентрация n^b~ v/v^a (v^a — объем элементарной ячейки). Концентрация же монополяронов гс^р=2\/^ехр (— U/2kT)/v^

В случае

| X j < | l f n

^b

=

v² exp (U/kT)/4v^a, n^p-= v/v^a > n^p. В температурном интервале,I где|*при^заданном^ п^ь <^ п^р, температурная зависимость про­

водимости системы описывается стандартной теорией малых поляронов [17, is j Наибольший интерес д л я нас представляет область температур и

концентраций, когда л⁶= v/v^a > n^p=--2\Jv exp {—UI2kT)lv^a. Схематически температурная зависимость электропроводности для этого случая приве­

дена на рис. 3. Обе кривые зависимости а^р (Т) и o^b (Т) имеют две характер­

ные области, разделенные температурами Т^г и Т[ соответственно. Область Т > 7 \ характеризуется тем, что в ней монополяронная подвижность имеет прыжковый характер, р^р — exp (—EJkT). При этом проводимость еп^р\*.^р ~~ exp {—(E^a+U/2)/kT) [⁹J. Соответственно при Т > Т[ биполярон­

ный перенос осуществляется прыжками, и в этой области как подвижность а⁶, так и проводимость

о _ exp {-(Е^а + U/2 + -\-TPIlQEJIkT}. В области классических перескоков по­

этому а^ь всегда меньше о^р. По мере понижения тем­

пературы при Т < Т^г моно- поляронный перенос прини­

мает туннельный характер, и здесь — exp (fia>⁰/kT), при этом о^р ~ ехр {—(С//2-—

—%(й⁰)/кТ), т. е. продолжает падать с уменьшением Г. В этом отношении биполярон- пая система радикально отли­

чается от монополяронной, в которой концентрация п^р от

Т не зависит, а поэтому при

туннелировании а растет с понижением температуры по закону ехр (%щ/кТ).

Заметим, что &7\=сйа>⁰, где с —- число, порядка единицы [^{1 7}J. С по­

нижением температуры биполяронный прыжковый перенос сменяется туннельным при Т=Т[, так что при Т < Т[ p^b, Q^b — ехр (frw⁰/kT), как показано выше. В этой области биполяронная проводимость начинает расти с уменьшением температуры. При некоторой температуре Т^ь тун­

нельный вклад в проводимость от биполяронов начинает превышать тун­

нельный монополяронпый вклад. Температуру Т^ь можно определить из равенства а^р (T^b)= c^b (Т^ь) или п^р (T⁶)D^p (T^b) = n^b (T^b)D^p (T^b). Так как время релаксации -с для биполяронов и монополяронов одинаково, то, согласно (17), это равенство имеет вид 2 ехр (— UI2kT^b){LE„)²—V^v (Д^з)^{2 и л и}

Рис. 3 . Схематическое изображение температур­

ной зависимости проводимости в биполяронной модели.

1 — монополяронпый вклад ар ( Т ) , 2 — биполяронный в к л а д . Штрихи — результирующая кривая.

2кТь • = C//IU 2

• 7 In —fj— + III _{4 тсИ} ^{fmtU >} <33>

Учитывая, что у й а >⁰ ^ U, видим, что kTb меньше, чем fta>⁰.

Таким образом, в биполяронной модели зависимость а (Г) в широком температурном интервале имеет минимум вблизи Т—Т^ь, соответствующий переходу от монополяронного туннельного переноса к биполяронному туннелпрованию. Вторая характерная точка на зависимости о (Т) соот­

ветствует Т'-Т^ В ней происходит уменьшение энергии активации с по­

нижением Т от Е^а-\-11/2 до (7/2—йсо⁰. Эта точка соответствует переходу от монополяронного туннелирования к монополяронным межузельным пере­

скокам. Подчеркнем также, что в настоящей работе не рассмотрена об­

ласть сверхнизких температур кТ < LE^b, в которой перенос приобретает зонный характер. Следует ожидать, что в этой области биполяронная проводимость будет иметь степенную зависимость от температуры подобно монополяронной [^{2 2} J.

Описанное поведение а (Т) справедливо для случая, когда во всем температурном интервале концентрация биполяронов превышает концент­

рацию монополяронов. Если же при кТ > & 7^{Т 0}= [ U/ln v | монополярон-

ная концентрация превысит биполяронную, то в этой области температур v и перестает зависеть от Т. В этой области температур а принимает характер, обычный для стандартной теории малых поляронов. В частности, если Т⁰ > Г^{1 ?} то на рис. 3 в точке Т⁰ возникнет переход от активационнои зависимости с Е^а+ If/2 к зависимости с меньшей энергией активации Е^а>

Если Т^г > Т⁰ > Т^ь, то в области монополяронного туннельного проса­

чивания возникнет горб: при Т^г > Т > Т⁰ имеется активационное спа­

дание о ~ ехр (йо)⁰/АГ), а при Г⁰ > Г > Г⁶ активационный рост о ^

— ехр {—([7/2 —йсо⁰)//сГ}. Результирующая кривая о (Г) будет обладать двумя минимумами и одним максимумом.

Можно также заметить, что в окрестности перехода от монополяронной к биполяронной проводимости (т. е. вблизи Т^ъ) следует ожидать наличия существенного вклада в токоперенос от неучтенных в настоящей работе процессов с диссоциацией и образованием биполяронов в процессе тунне­

лирования. Отметим также, что, поскольку число монополяронов чувстви­

тельно при Т < Т⁰ к магнитному полю Н [⁹J (если параметр рвН/кТ не мал; ЦБ — магнетон Бора), биполяронный и монополяронный механизмы переноса можно отличать по магнетосопротивлению. В частности, в интер­

вале температур 0 < Т < Т^ь, где основной вклад дают биполяроны, магнетосопротивление мало. В области температур T^h < Т < Т⁰ должно наблюдаться отрицательное магнетосопротивление [⁹] , а при 7¹ > Д вследствие тепловой диссоциации биполяронных молекул' опять зависи­

мость проводимости от Н должна быть слабой.

[1 [2 [3 [4 [5 [6 [7 [8 [9 10 11 12 13 14 [15

"16 [17 [18 [19 [20 [21 [22 [23 [24

С п и с о к л и т е р а т у р ы

Emery V. J. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. N 26. P. 2 7 9 4 - 2 7 9 7 . Hirsch J. E. / / Phys. Rev. B. 1987. V . 35. N 16. P. 8 7 2 6 - 8 7 2 9 . Кулик И. О. / / ФНТ. 1987. Т. 13. № 8. С. 8 7 9 - 8 8 3 .

Пашицкий Э. А., Винецкий В. Л. / / Письма в ЖЭТФ. 1987. Т. 46. Приложение С. 1 2 4 - 1 2 7 .

Александров А. С. / / Ж Э Т Ф . 1989. Т. 95. № 1. С. 296—300.

Александров А. С. / / Письма в ЖЭТФ. 1987. Т. 46. Приложение. С. 128—130 Yan-Min L., Li-Yuan Zhang. / / Sol. St. Comm. 1985. V. 57. N 8. P. 553—557.

Ranninger J., Robaszkievicz S., Sulpice A . , Tournier B . / / J . Europhys. Lett

1987. V. 3 . N 3. P . 3 4 7 - 3 5 7 . У

Брыксин В . В . / / ФТТ. 1989. Т. 3 1 . № 7. С. 6—16.

Rtischer С , Salje Е . , Hussain А. / / J. Phys. С. 1988. V. 2 1 , N 20. Р . 3737—3749 Брыксин В. В . , Волошин В. С. / / ФТТ. 1984. Т. 26. № 8. С. 2357—2365 Kuroda Y . , Mills D . L. / / Phys. R e v . B. 1985. V . 3 1 . N 12. P. 7624—7635 Брыксин В . В . , Гольцев А. В. / / ФТТ. 1988. Т. 30. № 5. С. 1476—1486 Педан А. Г. / / ФНТ. 1986. Т. 12. № 7. С. 709—717.

Александров А. С , Кабанов В. В . / / Ф Т Т . 1986. Т. 2 8 . № 4. С. 1129—1135 Брыксин В. В . , Волошин В. С , Райцев А. В . / / ФТТ. 1983. Т. 25. № 5. С. 1427—

1434.

Сб. «Поляроны» / Под ред. Ю. А. Фирсова. М.: Наука, 1975. 423 с.

Bottger Н., Bryksin V. V. Hopping Conduction in Solids. Berlin, 1985. 398 c.

Alexandrov A., Ranninger J., Robaszkievicz S. / / P h y s . Rev. B. 1986. V. 3 3 . N 7.

P. 4526—4537.

Ланг И. Г., Фирсов Ю. А. / / ЖЭТФ. 1962. Т. 43. № 5. С. 1843—1860 Friedman L. // Phys. Rev. 1964. V . 135. N 1А. P . A233—A245 Gogolin A. A. / / Phys. St. Sol. (b). V . 103. N 2. P . 397—409.

Кудинов E . К . , Фирсов Ю. A. // ФТТ. 1966. T. 8. № 3 . C. 666—679 Брыксин В . В . , Фирсов Ю. А. // ФТТ. 1968. Т. 10. № 9. С. 2600—2607

Физижо-техническил^институт Поступило в Редакцию им. А. Ф Иоффе АН СССР 11 апреля 1 9 8 9 7 .

Ленинград