Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
V. M. Gasparyan, I. Kh. Zharekeshev, Transmittance of one-dimensional system with arbitrary disorder in an electric field, Fizika Tverdogo Tela, 1990, Volume 32, Issue 2, 456–464
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 139.59.245.186
November 7, 2022, 08:52:14
1990 ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Том 32, Л ? 2
1990 SOLID STATE PHYSICS Vol. 32, N2
УДК 539.2
© 1990
ПРОЗРАЧНОСТЬ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ
С ПРОИЗВОЛЬНЫМ БЕСПОРЯДКОМ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Исследовано влияние внешнего электрического поля на прохождение электрона через цепочку случайных рассеивателей с 5-образными потенциалами. При помощи
•численного моделирования получены зависимости среднего по ансамблю логарифма коэффициента прозрачности от длины цепочки, степени неупорядоченности, энергии электрона и величины электрического поля. Обсуждается отклонение этих зависимо, стей от аналитических соотношений, найденных в коротковолновом пределе. Проведено сравнение результатов расчета для «вертикального» и «горизонтального» типов беспо
рядка в расположении центров рассеяния. Рассмотрено распределение коэффициента прозрачности одномерной системы в присутствии электрического поля.
1. Вопрос о прохождении электрона через одномерную неупорядочен
ную систему изучался аналитически [1~ь] и численно [6~9] . Интерес к нему вызван, в частности, тем, что поведение коэффициента прозрачности позволяет проследить за изменением природы одноэлектронных состояний в зависимости от характерных параметров системы и внешних полей.
Для вычисления коэффициента прозрачности конечной цепочки участок
•со случайным статическим потенциалом помещается между двумя полу
бесконечными «идеально» проводящими контактами, в которых электрон движется свободно. Доля электронов, прошедших из одного контакта в другой через «неидеальную» область, и определяет пропускание системы.
В отсутствие внешнего электрического поля вследствие локализаций электронных состояний в одномерной системе [ь 2] коэффициент прозрач
ности экспоненциально убывает с увеличением длины цепочки L. ЕСЛИ рассматривать ансамбль неупорядоченных цепочек, то коэффициент про
зрачности Т флуктуирует от образца к образцу. При этом функция рас
пределения величин Т является логарифмически-нормальной (3 > 4] вблизи своего среднего геометрического значения
где I]— половина длины локализации волновой функции одноэлектронного состояния. В дальнейшем, говоря об усреднении по ансамблю цепочек, обозначаемого угловыми скобками, будем иметь в виду только In Т.
При наличии внешнего электрического поля изменение прозрачности с длиной системы зависит от вида случайного потенциала. Если концен
трация рассеивателей п мала, то можно считать, что электрон на каждом центре рассеивается независимо от других центров. В этом случае влияние электрического поля на прозрачность полностью определяется зависи
мостью сечения упругого рассеяния на одном центре J F ?1= 1 — ^ от энер
гии электрона Е, которая является функцией координаты центра х. В рам
ках коротковолнового приближения kl > 1 (где к — импульс электрона, Z=(/zi?1)*1 — длина свободного пробега) в работе [4] было показано, что
В, Мт Гаспарян, И. X. Жарекешее
О
Ранее Пригодин [5] , рассматривая цепочку 8-образных центров в од
нородном электрическом поле напряженностью F, получил в приближении потенциала типа белого шума следующее соотношение:
X < L N т> = 7Щ ^ф( — ) > (3)
где заряд электрона равен единице. Известно, что коэффициент прохожде- ния^через потенциал V (x)=Vl% (х) равен Т^^ + УЦЩ'1. Тогда фор
мулу (3) можно получить из (2) при условии слабости рассеяния, которое для 8-центров совпадает с условием применимости борновского приближе
ния Rxc*V{/4E < 1. Важной особенностью цепочки 8-центров является то, что вероятность прохождения зависит от L при сколь угодно длинной цепочке в отличие от потенциалов, у которых Rx стремится к нулю быстрее, чем Я "1 t4' 71
Представляет интерес вычисление коэффициента прозрачности не только без предположения о слабости рассеяния, но и за пределами ко
ротковолнового приближения, что можно сделать с помощью ЭВМ.
Обычно численный расчет Т проводился методом трансфер-матриц [6~9Ь При этом цепочка моделировалась двумя способами: в виде 8-образных потенциалов разных амплитуд, расположенных периодически (вертикаль
ный беспорядок) [6~8] , или же одинаковые 8-центры находились в случай
ных точках цепи (горизонтальный беспорядок) [9] . В работах [6 > 7] иссле
довалась и зависимость <1п Г > от электрического поля. Причем для об
ласти слабого рассеяния, которая рассмотрена в них, результаты моде
лирования хорошо согласуются с соотношением (3).
В настоящей работе представлены результаты численного исследова
ния задачи о прохождении электрона через одномерную неупорядоченную систему 8-образных потенциалов. В разделе 2 приводится методика вы
числения коэффициента прозрачности, развитая в работах [1 0 , 1 1 ] . Ре
зультаты расчетов, проведенных для произвольной степени беспорядка в отсутствие и при наличии постоянного электрического поля, обсуждаются в разделе 3. Там же рассмотрена функция распределения величины Т по реализациям случайного потенциала в присутствии внешнего электри
ческого поля.
2. Рассмотрим модель, в которой 8-потенциалы с произвольными ам
плитудами Vj находятся в произвольных точках цепочки Xj
к
v
к*) = 2
VJ1 (Х - */)• XJ > xj-i- (4)Предположим, что имеется регулярный потенциал U (х) (внешнее электри
ческое поле, периодический потенциал и т. д . ) . Запаздывающая функция Грина электрона G (х, х'), движущегося в суммарном потенциале, удов
летворяет уравнению Шредингера
[-d*/dx2+ U(x) + V(x) — k*]G(x, х ' ) = - Ь { х - * ' ) , ( 5 )
где k=\jE+ie (s - * 0 ) ; П^=2пь0=1; m0 — масса свободного электрона.
Как показано в работе [п] , функция Грина электрона уравнения (5) свя
зана с затравочной функцией Грина G0 (х, х') во внешнем поле U (х) со
отношением
где G0 (я, х') удовлетворяет уравнению
U (х)-к^]О0(х1 х') = - Ь ( х - х'), (7)
h — амплитудный коэффициент отражения. Тогда коэффициент прозрач
ности цепочки потенциалов (4) записывается в виде [1 0' 1 1 ]
9 Физика твердого тела, вып. 2, 1990 ^*>7
где DN — детерминант матрицы
Л Л = * Л + Г / М *У. *j)z}\. (9)
Здесь Zj — фаза, набираемая электроном при движении в поле V (Х) между рассеивателями j и q, равная
max (j, Я) zJg = ехр
dx } G0(xt х) min Uу Я.)
ДО Если потенциал U ( я ) = 0 , то G0=i/2k есть функция Грина свободного электрона и мы имеем Zjq=exj> (2ik \ Xj—zq I ) .
Детерминант DN матрицы (9) удовлетворяет рекуррентному соотно
шению где
DN = ANDN-l~BNDX-2, (И)
^УЧ
3*»
XN)
AN = i + BN + VNG0 (х^, xN) (1 - zNt „_г)9 N > 1,
- A1 == l + F j G o (я:,, a * ) ; A , = i , 0 - i = O, (12>
DN-UN-2) — определитель, в котором отсутствует iV-й (и (iV—1)-й) стол
бец и строка. Формула (9) с учетом рекуррентных соотношений (11), (12}
позволяет получить зависимость <1п Ту от длины цепочки и энергии на
летающего на нее электрона при любом вертикальном и горизонтальном беспорядке 8-потенциалов. При наличии внешнего поля в формулах (9), (10) в качестве GQ {х, х) будет фигурировать функция Грина электрона, движущегося в электрическом поле.
Метод расчета коэффициента прохождения, основанный на формулах (8)—(12), имеет, на наш взгляд, некоторые преимущества перед методом, использованным в работах [6"9] . Во-первыхг мы можем рассматривать влияние горизонтального беспорядка на поведение <(1п Ту как при / =0, так и при наличии поля (для однородного поля вместо импульса к в фор
мулах (9), (10) стоит \JE+FXj). Во-вторых, вычисления можно проводить при произвольной величине и координатной зависимости внешнего поля, нужно только знать функцию Грина электрона в этом поле. Кроме того, предлагаемый способ вычисления Т может быть обобщен, например, на случай потенциалов рассеивателей в виде прямоугольных барьеров.
3 . Для численного расчета коэффициента прозрачности была сначала выбрана цепочка с вертикальным беспорядком, причем амплитуды &- потенциалов V. распределены равномерно в интервале [W/2, W/2]. Про
зрачность каждой цепочки ансамбля вычислялась по рекуррентным со
отношениям (11), (12) при различных энергиях Е падающего электрона и степени беспорядка W. Длина цепочки с периодом а достигала N=L/a^
^ 2 0 ООО узлов. Усреднение проводилось по ~ 3000 реализациям случай
ного потенциала. Из формулы (1) видно, что пропорциональность <ln Т) длине цепочки L дает возможность найти длину локализации £. При усло
вии слабого рассеяния Яг - > 1 длина локализации равна [6> 7]
аЦ = < F } > / 4 £ = W*l'\ 8 £ \ (13)
если энергия не соответствует резонансным точкам ка=тпп (амплитуда рас
сеяния в этом случае невещественна iVJ2k, поэтому особенностей в центре зоны ка==гп'к/2 нет [1 2] ) . В другом предельном случае 6 < а сильного рас
сеяния в работе [1 0] было показано, что
Для равномерного распределения амплитуд V. легко можно вычислить средний логарифм и, следовательно, радиус локализации из (14)
" W2 sin2 ка 1 - J - 2 .
а
т
= ш
АЕ (15)На рис. ^приведена зависимость обратного радиуса локализации
д/£=<1п Т)/N от величины]№2/48£ для импульсов в первой зоне ка < п.
Видно, что расчетные значения аЦ в двух предельных случаях рассеяния юрошо совпадают с асимптотиками (13) и (14). Отметим, что для энергий
Рис. 1. Зависимость обратного радиуса локализации а/£=<1а Ty/N от величины ЩЬ&Е для задачи с вертикальным беспорядком при энергиях электрона £ = 5 (7),
7.13 (2), 8.21 ( * ) .
•Сплошная линия — асимптотика слабого рассеяния (13), штриховая — предел сильной локализа
ции (15).
первой зоны выход за рамки коротковолнового приближения kl=kaR~l —
~ R'1 ; > 1 эквивалентен нарушению условия слабости рассеяния. Кроме того, чем ближе энергия к краю зоны, тем бблыпий беспорядок необходим для применимости предела сильного рассеяния (15).
В присутствии внешнего электрического поля F > 0 среднее по ан
самблю <(1п Ту с ростом L возрастает медленнее, чем при F = 0 , что связано с переходом от экспоненциальной локализации к «степенной» (3). По
скольку постоянное поле входит в выражение для прозрачности (8) только в комбинации Fx.jE, то при расчете мы фиксировали величину поля F—
=2-10~3, изменяя только длину системы. Д л я удобства приняты атомные
•единицы измерения: длина измеряется в боровских радиусах — 5.29 х XlO~u м, энергия — в ридбергах Ry^=13.6 эВ, напряженность электри
ческого поля — в единицах Ry/<?aB=2.57-109 В/см.
На рис. 2 приведены кривые зависимостей отношения (£/Z,)<ln Ту от параметра FL/E при постоянной энергии Е = Ь для различных значений
9* 459
разброса амплитуд W. Видно, что в коротковолновой области W <^1±
(1/а > 15, к% > 33.5) величина коэффициента прозрачности <1п Г ) п ^ тически совпадает с формулой (3). Аналогичный результат был получен в работе [6] , где вместо линейного потенциала Fx к цепочке прикладывался
«ступенчатый» потенциал в виде суммы в-функций
V {*)=F
2
в (* •
•la).При дальнейшем увеличении степени беспорядка W=l, А:£ — 10 на
блюдается постепенное отклонение от зависимости (3), что является след
ствием выхода из коротковолнового предела. Причем наибольшее расхож-
Рис 2. Зависимость — (£/L)<ln Т> от параметра электрического поля FL/E для энер
гии Е=5 с различной степенью вертикального беспорядка.
W: 1 — 4, 2 — 7,3 — 14, 4 — 50, 5 — 80, 6 — 100. Штриховая линия — полевая зависимость в пределе слабого рассеяния (з).
дение происходит в окрестности FL/E ~ 1, что, по-видимому, связано с пе
риодичностью в расположении примесей. Однако в области больших FL/E ^ 5 асимптотика (3) продолжает выполняться, поскольку электрон на большом расстоянии набирает достаточную энергию, так что kl > 1.
В условиях сильного рассеяния W ^ 50 ^ 0.2), когда £ < ^ а, поведе
ние <(1п ТУ становится немонотонным и существенно отличается от коротко
волнового предела (3).
Для того чтобы найти причину немонотонности в зависимости коэффи
циента прозрачности от поля в случае вертикального беспорядка, нами был проведен расчет также и для цепочки с горизонтальным беспорядком 8- центров. В этом случае амплитуды потенциалов всех 8-центров равны постоянной величине V0 > 0. Кроме этого задаются число рассеивателей N и их концентрация п.
Расположение центров по координате проводится следующим образом.
Первая примесь помещается в начало координат хг ^ 0 . Положение сле
дующей за ней примеси х2 > хх выбирается согласно распределению
Пуассона Р ~ ехр [—-п (х2—хг)] и т. д. Эта процедура продолжается раз. В ансамбле таких цепочек длина системы не является фикси
рованной, а ее среднее значение равно <1,>=Лг/л.
Из рекуррентных соотношений ( И ) , (12) следует, что в отсутствие внешнего поля U (х)^0 параметрами задачи с горизонтальным беспоряд
ком являются среднее число примесей на длине волны электрона п/к иборновское сечение рассеяния одного 8-центра У~/4&2. В работе [4] по
казано, что в коротковолновом пределе радиус локализации £ для такой цепочки определяется соотношением
1/:п - <ln T)/N = In (1 + vyu*) - i / ; V (16)
Рис. 3. Зависимость параметра рассеяния к% от его величины в коротковолновом при
ближении к%* (формула (16)) для задачи с горизонтальным беспорядком при различ
ных концентрациях 5-центров.
п/А: J — 0.01, 2 — 0.45, 3 — 1, 4 — 2, 5 — 4. Н а вставке — зависимость обратного радиуса лока
лизации (\п)-х от параметра беспорядка VJ/ 4 / i2. Сплошная линия — коротковолновый предел (16).
Ясно, что при малых концентрациях п <^к коротковолновое приближе
ние применимо для любого рассеяния, kl — kl{nRy) р> 1 [9] . Если п ^ i, то выражение (16) справедливо до тех пор, пока рассеяние слабое.
При увеличении беспорядка расчетное значение (А:?)"1 превышает вели
чину (kt*)'1 из формулы (16) (рис. 3). Отметим, что из ( И ) , (12) можно найти асимптотическое выражение для обратного радиуса локализации при У ; > п ^> к, не зависящее от энергии (En)"1 оо In ( У2/ п2) .
При наличии внешнего постоянного электрического поля коэффи- цент прозрачности при малых концентрациях вычисляется интегрирова
нием выражения (2) после подстановки в него Тг= [1 + У2/4 (E+Fx))'1. На рис. 4 приведены зависимости — ( S / < L » < l n Г > от F(V}/E для горизон
тального беспорядка с концентрацией 8-центров п = 1 . 0 и энергией нале
тающего электрона Е=Ъ при различных значениях параметра беспорядка У0/4/с2. Видно, что отклонение от предела слабого рассеяния (3) растет с увеличением беспорядка. Поскольку в этом случае спектр не имеет осо
бых точек, изменение коэффициента прозрачности происходит монотонно в отличие от цепочки с вертикальным беспорядком 8-центров (рис. 2).
Представляет интерес рассмотреть функцию распределения коэф
фициента прозрачности одномерной системы 8-образных потенциалов [1 3] . Известно, что в условиях слабого рассеяния дисперсия о2 логарифма коэф- фицента прозрачности вдвое больше его среднего [3, 9]
о* = <(ln Т _ <1п Г » * > = - 2 <1л Ту = 2£/5, (17)
а в области сильного рассеяния их отношение уменьшается с увеличение*
беспорядка. Действительно, из (11), (12) легко можно найти, что при ^ а дисперсия для задачи с вертикальным беспорядком амплитуд о-потенциа- лов, равномерно распределенных в конечном интервале W , равна о2= 4 Д Г при j F = 0 и , следовательно,
2<1пГ> /W [sin ка\\
На рис. 5 приведены зависимости 2 < In Т > / о2 в отсутствие внешнего поля (1) и при F=2A0"S (2). Д л я F=0 хорошо наблюдается переход
I — I 1 1 L _ 9
I I 1 ' '
О 4 д
F<L>/E
Рис. 4. Зависимость (—?/<//»<1п Г> от параметра F(L}lE для цепочки с горизонталь
ным беспорядком при концентрации п1к=0ЛЪ и энергии Е=Ь для разных амплитуд.
Ув: i — 0.2, 2 — 1.2, з — 4.4, 4 — 8, 5 — 13, 6 — 20, 7 — 80. Штриховые линии — зависимость (3). Н а вставке — зависимость отношения ( — ?/Ф (8)) « l n T > / < L » от параметра беспорядка
У2/4Л* для одной точки FL/E—S.
между асимптотиками (17) и (18). Присутствие электрического поля при сильном рассеянии £ ^ а отклоняет о2 от зависимости (18).
Для проверки гауссовости распределения логарифмов вероятности прохождения Т исследовалось равенство нулю нечетных, начиная с треть
его, центральных моментов и выполнение для четного р-го момента соот
ношения
М , = < ( Ы Г ~ < 1 п Г > ) * > = : 1 . 3 . . . . . ( Р - 1 ) * * \ (19)
где р=2-^-10. На рис. 5 (вставка) показаны полевые зависимости таких характеристик функции распределения, как асимметрия / и эксцесс gt
f = M3/o\ g==M i / a * - 3 ( 2 0 )
для цепочки с вертикальным беспорядком; W2=12, F = 2 . 1 0 ~3. В режиме произвольного рассеяния вычисленные значения асимметрии / и эксцесса # сосредоточены в основном вокруг нуля, что говорит о сохранении в элек
трическом поле логарифмически-нормального закона в распределении Т в окрестности его типичного значения Т (1). Для сравнения эксцесс рав
номерного распределения равен — 1 , 2.
4. Итак, для одномерной неупорядоченной системы 8-образных по
тенциалов существует два режима: режим слабого рассеяния I р> а, когда применимо борновское приближение, и предел сильного рассеяния £ < а, переход между которыми можно изучать численно. В присутствии элек
трического поля прозрачность системы при сильном рассеянии п большой концентрации центров отличается от полевой зависимости, полученной в рамках коротковолнового приближения. Вблизи своего среднего значо-
ln(W2/WE)
Рис. 5. Зависимость отношения среднего к дисперсии 2<1п Г>/ о2 от параметра W2/48E.
Сплошная линия — (17) .штриховая — (18).
ния величина In Т распределена по Гауссу не только в отсутствие, но и при наличии внешнего поля. Отметим, что по такому же закону распределены времена релаксации электронной плотности в одномерном диэлектрике [1 4] , что также связано с нормальным распределением обратных радиусов л о кализации (а/£) (E/FL) In (l+FL/E). По-видимому, имеется прямое со
отношение между коэффициентом прозрачности и временем жизни волно
вого пакета в одномерном неупорядоченном образце конечной длины.
Авторы выражают глубокую признательность Б. Л . Альтшулеру, А. Г. Аронову, В. Н . Пригодину и Д. Г. Полякову за многочисленные полезные обсуждения.
С п и с о к л и т е р а т у р ы
[1] Mott N . F., Twose W . D. / / Adv. Phys. 1961. V . 10. N 38. P. 107-163. (Пер. с англ.:
Мотт Н., Туз у. / / У Ф Н . 1963. Т. 79. № 4. С. 691—740).
[2] Thouless D. J. / / Phys. Rev. Lett. 1977. V . 39. N 18. P. 1167—1169.
[3] Мельников В. И. / / Ф Т Т . 1981. Т. 23. № 3. С. 782—786; 1982. Т. 24. № 4. С. 1055—
1061.
[4] Перель В. И., Поляков Д. Г. / / ЖЭТФ. 1984. Т. 86. № 1. С. 352-366.
[5] Пригодин В. Н. / / Ж Э Т Ф . 1980. Т. 79. № 6. С. 2338-2355.
[6] SoukouJis С. М . , Jose J. V . , Economou Е. N . , Ping Sheng / / Phys. Rev. Lett. 1983.
r i V. 50. N 10. P. 764—767.
7] Cota E., Jose J. V . , Azbel M. Ja. / / Phys. Rev. B. 1985. V . 31. N 10. P. 6157-6165.
[8] Bentosela F., Grecchi Y . , Zironi F. / / Phys. Rev. B . 1985. V . 31. N 10. P. 6909—
6912.
46 3
[9] Sak J., Kramer B. / / Phys. R e v . B . 1981. V . 24. N 4. P . 1761 — 1770.
[10] Gasparian V . M . , Altshuler B. L . , Aronov A. G., Kasamanian Z . A. / / Phvq
A . 1988. V . 132. N 4. P . 201-205. У ЬЩ' [ И ] Гаспарян В. M. / / ФТТ. 1989. Т. 31. № 2. С. 162-171.
[12] Дмитриев А . П . / / Ж Э Т Ф . 1989. Т. 95. № 1. С. 234-246.
[13] Flores J. С , Jauslin Н. R., Enz С. P . 111. Phys.: Condons. Matter. 198Q v к
N 1. P . 123-133. V' 1
[14] Альтшулер Б. Л . , Иригодин В. Н. / / Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 47. Ж 1. с о6 ,п
Ф Т Т . 1989. Т. 31. № 2. С. 135—143. ' *и ;
Физико-технический институт Поступило в Peirawm^
им. А . Ф. Иоффе А Н СССР 8 августа 1989 г Ленинград