Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. Ш. Домненков, Асимптотическая полнота для системы частица – ферми-газ, ТМФ , 1987, том 71, номер 3, 451–456
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
2 ноября 2022 г., 22:44:27
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Ф И З И К А
Том 71, № 3 июнь, 1987
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПОЛНОТА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦА - ФЕРМИ-ГАЗ
Домненков А. Ш. '•
Рассматривается квантовая частица, локально взаимодействующая с ферми-газом на решетке Zv. Доказано существование и обратимость морфизмов Меллера. Как следствие получена унитарная эквивалент
ность свободной и возмущенной динамик.
ВВЕДЕНИЕ
Вопросам асимптотической полноты для бесконечночастичных систем посвящены работы [1—3]. Кроме того, ряд результатов для идеального ферми-газа, взаимодействующего с фермионом (спином), принадлежит
В. В. Айзенштадту и В. А. Малышеву.
В настоящей работе рассматривается система, состоящая из частицы, локально взаимодействующей с ферми-газом на решетке Zv. В разделе 1 доказывается асимптотическая полнота. При этом, как и в [ 1 ] , исполь
зуются алгебраические методы, основанные на коммутационных соотно
шениях для операторов рождения-уничтожения. В разделе 2 из алгебраи
ческой эквивалентности выводится унитарная эквивалентность свободной и возмущенной динамик.
1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПОЛНОТА
Пусть Zv — целочисленная решетка размерности v > 3 , K=l2(Zv) — гильбертово пространство квадратично суммируемых функций на Zv, Fa(K) — антисимметрическое пространство Фока над К [4, 5 ] .
Пусть °Ui — С*-алгебра операторов на Fa(K), порожденная оператора
ми рождения-уничтожения а * ^ ) , ty£K, °U2 — С*-алгебра операторов на К, порожденная компактными операторами и единичным оператором 1К, и °U==°U^°U2 - С*-алгебра операторов на F*(K) ®K.
Если А — решеточный лапласиан, h=—А+р, [}GR,— одночастичный га
мильтониан на К, dT(h) — вторично квантованный гамильтониан на Fa(K), то самосопряженный оператор H0=dT(h) ®/K+/F®(—А) определя
ет на °Ы свободную динамику xt\
Tt(A)=exv(itH0)A exp (-itH0), A^°U, ^R.
Динамика %t является однопараметрической группой *-автоморфизмов ал
гебры ? / и н а операторы вида а+(г|)) ®h£°U действует следующим образом:
rt (a*(^) ®b) =a*(exv(ith)^) ®exv(-itA)b exp(itA).
5* 451
Рассмотрим взаимодействие V=Vii)®V{2)£c2/, W= J T и {х, у) ах*ау*ауах,
х, у£Л
где Л <=ZV — ограниченное множество, v(x, у) —действительная функция, симметричная относительно х, y&Zv,
( 1, х = у,
ГП
где /тг<+оо и {фг? i^i^m} локальны, т.е. имеют ограниченные носители в Z\
Оператор H=H0+XV, X^R, самосопряжен на D(H0)aFa(K)®K и опре
деляет возмущенную динамику т*х на °Ы\
Ttx(A)=exv(itH)Aexv(-itH), A^<U, ^ R . Имеет место представление
i?(A) = rt(A) +
оо
+ £ ( & ) » J . . . J [Т,„ (F), [... [Т., (Г), Т, ( Л ) ] . . . ] & ! . . . & „
n = i o^st^:...^sn^
при t>0 и аналогично при ^ 0 с областями интегрирования £ < l sn^ . . . В дальнейшем будет часто использоваться следующая
Л е м м а 1 [ 1 ] . Пусть Ac=Zv — ограниченное множество, ty£K, (p^K и supp(i|))<=A, зирр(ф)с=Л. Тогда существует константа C=C(\f>, ф) такаят
что
| ( е х р ( й Л ) я | ) , ф ) | < С / ( 1 + | * | ) Л
\(exip(itA)^q))\<C/(l+\t\y/\
Т е о р е м а 1. Существуют морфизмы Шеллера \х±: V>± (А) = l i m xt%x-t (Л), У А б %.
t—±ao
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно показать, что для плотного в °U под
множества °UQ выполняется условие Кука [4]
(1) \\[V,xt(A)]\\tLu УАШо, т. е.
jj \\[V,4t(A))\\dt< + oo, VA£%.
—оо
Так как т*Ч_* — семейство *-автоморфизмов алгебры бИ1 то (1) достаточ
но установить для операторов А вида (2) 4 = а ( ф ) ® 6 , 6=(<Р, -)<Р, 452
if, ф локальны. Пусть аг®&(=т((а(а|))®&). Тогда
\\[V, T,(A)]\\=\\\V«\ at]®V^bt+atV^®[Vv\ bt]\\<
<||[^1),a.]||||V(1>b,||+||alF«1>||||[y<*>,6(]||.
Из коммутационных соотношений для операторов а#(г|?) и структуры опе
ратора V следует, что существует константа С такая, что
II [У™, а,) | | < С ] Г | (exp (ith) у, бж) |, || V^bt || < С,
т
II atW || < С, || [ Т™, bt] | | < С £ | (Фк, ехр ( - НА) <р) | .
Из этих оценок и леммы 1 следует выполнение условия Кука и существо
вание морфизмов Меллера.
Т е о р е м а 2. Существует положительное Х0 такое, что при \Х\<Х0мор- физмы Меллера обратимы.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из тех же соображений, что и в теореме 1, до
статочно доказать, что для операторов вида (2) выполняется условие Кука
(3) | | и , т Л ^ ) ] | | ^ 1 .
Используя представление для тД получаем
оо оо
(4) J || [А, V (V)] || dt < | X | {j || [А, т, (V)] || dt +
О О оо
+ ^ 1 Ч
П§ • • • § II [ ^ [• ^ т . ^ ( П *,„(Ю1 •••] II < V ••*>»-
Покажем, что при достаточно малом X ряд (4) сходится. Коммутатор [тв1(ТО, [... [tsn-i(^), Ts„(F)] •••] представляет собой сумму 2п слагаемых вида
Т /( 1 ) тД1) ^ Т /(2) Т /( 2 ) Iх л(1) • • • v 7i(n) (X) У я(1) • • • к Л(п)7
где я ££п — некоторая перестановка и Vh{i)=exip(iskdr(h))Vil)X Xexip(—iskdT(h)), Ffe(2)=exp( —ishA)V(2) exp(JsfeA). Следовательно,
(5) [a (ф) (X) 6, [TSI (7). . . [ TS^ (7), %Sn (V)] . . .] =
= ^ [a (Up), V% . . . V$n)] ® b ^ i ) • • • F $ o +
я
+ F#i> • • • ^л(п)« W ® [b, Fj?i). . . V(*(n)].
Рассмотрим член, соответствующий тождественной перестановке я. И&
коммутационных соотношений и леммы 1 следует:
1) || [а (г})), У<х). . . П1'] || = | £ Fi1*... [a ft), ?£>] . . .У£>
П
< 21! FW ||
n£ I ] I (
exP ( ^ *•
6*) I <
Jc=l x£A
<
<c
1iiFWir£;(i+i^i)-
v / 2,
?f=i
тде Сi зависит только от Л и i|);
7 1 — 1
2) || bVf . . . Vf !| < |i b\\mn П C2/(l + | sk - sk+11 )v/«, где С2 зависит только от набора ( ф , , . . . , фт) ;
3) | | 7 ^ . . 7 ^ ^ 1 К 1 1 ^
( 1 )! Г И ! 1 ;
п - 1
4) || [Ъ, V? . .. Fl2)] || < тп (С,/(1 + | sL | )v/2) П <У(1 + | % - * т | )v/», где С3 зависит только от набора (ф, ф1 ?. . . , фт) .
Так как для любого i, l ^ i < w ,
п - 1
С . . . С(1 + |
5i|)-v/a П (1 + | ^ ^ s
m| ) ^ d
5 l. . . Л
я= -
= ( S ( l + | r | ) - ^ * )
n= C
0n,
то, используя предыдущие оценки, получаем
|| [а (ф) <g> Ь, V? .. . V™ <g> F f . . . Fi2)] || <
< Скп || у П Л Г (п + 1) тХГ'Со71 = dn, || v || = sup | у (ж, у) |, где С зависит только от Л и (ф, ф, ф1 ?. . . , фт) . Эта же оценка верна и для остальных членов суммы (5). Так как число членов в сумме (5) равно 2П, то общий член ряда (4) не превосходит 2ndn и, следовательно, при \К\<
<(2]jy||C2C,o|A|2m)~1 ряд (4) сходится, о
Интеграл \ || [Л, xtK (V)] || ^оценивается аналогично. Следовательно, ус-
— оо
ловие Кука (3) выполняется и морфизмы \х± обратимы.
2. УНИТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
При выполнении условий предыдущего раздела, обеспечивающих су
ществование и обратимость морфизмов Меллера, унитарную эквивалент
ность операторов Н0 и Н можно установить, доказав существование и об
ратимость волновых операторов W±:
W± =s- lim exp (itH) exp (— itH0).
Пусть Q — вакуум в Fa(K). Покажем, что на плотном в Fa(K)®K под
множестве F0, состоящем из конечных линейных комбинаций векторов вида a*(i|)i) . . . а*(г|)п)£2®ф, г|?г, ф локальны, выполняется условие Кука
(6) \\Уехя(иНо)фЬи V^F0,
(7) \\Уех^(иН)фЬи V^F0.
Действительно, т.к. для всех у^К V(Q®(p)=0, то (8) exp (tt#)(Q®<p)=exp (itH0)Q®q>=*Q®q>u
454
и если А=а* (гЮ . . . а*(г|0 ® /к, ти
| | У е х р ( ; г Я0) ( а * ( ^ ) . . . а * ( г | )п) Й ® ф ) | | =
= | | 7 т(( Л ) ( Й ®ф () | | =
= | | [ У , T(U ) ] ( Q ® 9() + T(U ) F ( Q ®9 () N
<||[У,т,и)]||е^.
Далее,
| | 7 е х р ( « Я ) ( а * ( я | ) 1 ) . . . а * ( \ | ) „ ) 0 ® ф ) | | = (ч>,? *
< | | [ F , т Л Л ) » .
Следовательно, волновые операторы W± существуют, обратимы и из спле
тающих соотношений exp(itH)W±=W± exp(££#0) следует унитарная экви
валентность #о и Я.
Возможно и другое доказательство унитарной эквивалентности, не ис
пользующее прямо существование волновых операторов. Предварительна заметим, что алгебра °Ы действует на Fa(K)®K неприводимо. Действитель
но, если ограниченный оператор Т.: Fa(K)®K-+Fa(K)®K коммутирует со всеми A^U, то
(a(^)®I)T(Q®y)=T(a{q)®I)(Q®(p)=0
и, следовательно, существует ограниченный оператор В : К-*К такой, что T(Q®q) = й ® Я ф . Очевидно, В коммутирует с компактными операторами в ! и , следовательно, B=kl, k&£. Тогда
Т{а*(^) ...а*(^п)Я^) = (а*(^) ...a*(^n)^I)T{Q^) =
=fta*(i|5i) . . . а * ( - фп) Й ® ф .
Пусть JI=JLI+. Зафиксируем некоторый вектор г|?=й®ф и определим опе
ратор U, полагая U(Aty)=\i(A)ty, \A^°U. Из (8) получаем
\\U(A^)\\--=\im ||т4Ч_,(^)^|| = М ^ | | .
Следовательно, оператор U корректно определен на плотном в Fa(K)®K подмножестве и изометричен. Из обратимости \i следует, что замыкание U
(также обозначаемое через U) является унитарным оператором в Fa(K)^
®К. Далее, для всех А, В^°Ы
UAU*B^=UAix-i(B)^=ii(A)B^
и, следовательно, \i(A)=UAU* для всех А^°Ы. Из сплетающих соотно
шений %tx (\k(A))=\i(xt{A)), YA£°U, получаем
ехр (ПН) UА С/* exp (-itH) =U ex${itH0)A ехр(-ШУ0) U*.
Из неприводимости алгебры °Ы следует, что Tt=exv(-itH0)U*exv(itH)U=k(t)I.
Но для векторов вида й®ф имеем 7\(£2®ф)=£2®ф. Следовательно, k(t)^
= 1 и ехр(Ш7) = £/ехр(^Я0)£/*, что и завершает доказательство.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Отметим, что используемые методы позволяют распространить резуль
таты данной работы на возмущения, представляющие собой конечные сум
мы у Т^,где Vi=Vi(i)'®Vi{2\ Vi{l) — потенциал локального взаимодействия,
г
имеющий вид
У , v (xv . . . , хт, yv • . ., ут) aXl* . . . а%таУ1. . . aUm,
где т > 1 , а операторы F /2 ) — конечномерные проекторы на локальные век
торы в l2(Zv).
Автор благодарит В. А. Малышева за постоянное внимание к работе и полезные замечания.
Литература
'[11 Botvich D. D., Malyshtv К А. // Commun. Math. Phys. 1983. V. 91. P. 301-312.
[2] Presutti E., Synai Y. G., Soloveichik M. R. // Statistical Physics and Dynamical Systems/Fritz J., Jaffe A., Szasz D. N. Y.: Birkhaufer, 1985.
'[3] Malyshev V. A., Nicolaev I. N., Terlecky Yu. A. // J. Stat. Phys. 1985. V. 40. № 1.
P. 133-146.
[4] Bratteli O., Robinson D. W. Operator algebras and quantum statistical mechanics.
Berlin — Heidelberg — New York; Springer, 1981.
[5] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир, 1978.
Московский государственный Поступила в редакцию университет 27.VI.1986 г.
ASYMPTOTICAL COMPLETENESS FOR THE SYSTEM PARTICLE - FERMI GAS
Domnenkov A. Sh."
A quantum particle interacting locally with the Fermi gas on the lattice Zv is considered. Existence and invertibility of the Moller morphisms is proved. As a conse
quence, unitary equivalence of free and perturbed dynamics is obtained.
456
