V. A. Kosobukin, “Localization of electromagnetic excitations in a disordered layered insulator”, Fizika Tverdogo Tela, 32:1 (1990), 227–236

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

V. A. Kosobukin, Localization of electromagnetic excitations in a disordered layered insulator, Fizika Tverdogo Tela, 1990, Volume 32, Issue 1, 227–236

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 118.70.116.132

November 6, 2022, 21:59:25

1990 ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Том 32, е. I SOLID STATE PHYSICS

1990 Vol 32^x N 1

УДК S39.2 О 19M

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭЛЕКТГОМАГНИТНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ В НЕУПОРЯДОЧЕННОМ СЛОИСТОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ

В. А. Кособукик

Рассмотрена задача об одномерной андерсоновской локализации фотонов в среде с диэлектрическими рассеиватолями в виде одинаковых параллельных друг д р у г у пластин, расположенных хаотически. Коэффициент диффузии и длина экспоненциаль­

ной локализации световых волн выражены через концентрацию рассеивателей и коэф­

фициент отражения света отдельной пластиной. Показано, что длины свободного п р о ­ бега и л о к а л и з а ц и и световых волн в зависимости от частоты и толщины пластин рас­

ходятся в дискретных точках, соответствующих полному пропусканию света отдель­

ными пластинами.

Проблема локализации элементарных возбуждений — одна пз главных в теории конденсированного состояния. Основные результаты теории локализации относятся к неупорядоченным электронным системам, ко­

торым посвящена обширная литература I^{1 , 2}] . Особый интерес представ­

ляет зависимость эффектов локализации от размерности системы t^{1 , 2}] . Для одномерных электронных систем было показано [³] , что локализо­

ванные состояния существуют при сколь угодно малой величине пара­

метра, характеризующего неупорядоченность. Д л я таких систем возможны также эффекты резонансного туннелирования электронов [⁴] .

Локализации коллективных возбуждений (классических волн) в не­

упорядоченных системах посвящено неизмеримо меньше работ [⁵] . К этому классу возбуждений относятся электромагнитные волны в среде (поляри- тоны). Локализация поляритонов представляет интерес как с общефизи­

ческой точки зрения, так и в связи с той ролью, которую играют локали­

зованные электромагнитные возбуждения в усилении комбинационного рассеяния света и других оптических явлений в неоднородных системах I^е] . В связи с этими проблемами изучалась одно- [⁷] и и двумерная [⁸] локализация электромагнитных волн на шероховатой поверхности ме­

таллов. В трехмерных средах рассматривалась локализация света, обус­

ловленная наличием хаотически расположенных диэлектрических ча­

стиц [9] пли примесей [1 0] . Эффекты одномерной локализации в оптическом отражении и пропускании слоистых неупорядоченных [^п] и несоизмери­

мых [^{1 2}] систем моделировались численно.

В данной работе исследуется вопрос об одномерной андерсоновской локализации и резонансном прохождении электромагнитных волн в си­

стеме одинаковых параллельных друг другу диэлектрических пластин, расположенных хаотически. Задачей теории является вычисление коэф­

фициента диффузии и длины локализации, определяющих пространственно временную эволюцию плотности электромагнитной энергии, возбуждаемой в начальный момент времени в заданной плоскости. Постановка этой за­

дачи близка к работам [^{1 3 , 14}] по локализации электронов и звуковых волн соответственно. Вместе с тем содержание данной работы шире, чем [1 4] , в двух направлениях: в ней рассматривается зависимость эффектов локализации от угла падения света, а для диэлектрической проницае­

мости рассеивающих пластин могут быть учтены частотная дисперсия и наличие диссипации.

1. М о д е л ь и п о с т а н о в к а з а д а ч и

Рассмотрим распространение электромагнитной волны в среде с ди­

электрической проницаемостью е^г при наличии в ней рассеивателей в виде пластин с проницаемостью £^{2 и} толщиной 2а. Пластины перпендикулярны оси z, вдоль которой занимают области — a+z{ <^z <^z{+a; здесь z. ^ случайные величины. Электрическое поле световой волны поляризовано параллельно поверхностям пластин (^-поляризация) вдоль оси у. В пло­

скости ху зависимость поля ~ е х р (i*x) характеризуется волновым векто­

ром ъ=е^х v^{/ s}i^{c o s}^ⁿ который сохраняется в процессах многократного упругого рассеяния света на пластинах и далее явно не указывается.

Здесь ех — орт оси х\ со — частота; с — скорость света в вакууме; CD — угол падения света, являющийся параметром задачи.

Будем рассматривать функцию Грина G (г, г'; t) = exp [ix (я—^х')].

G (z, ъ'\ t), которая описывает */-компоненту напряженности электриче­

ского поля, возбуждаемого в момент времени £ = + 0 током поляризации

—ехр (Ых)Ь {z—z') в плоскости z=z'. После преобразования Фурье

со

Ga> (^z , ²' ) = \^{dt е}* Р V (*> + Я) t]C z, z'\ t) ⁽1) о

с учетом начальных условий

G U u = 0 , dG/dt\im„ = 0

из уравнений Максвелла для среды п ( л = 1 , 2) получаем

( d V ^ + r i ) ^ ^ , *') = - » ( * - * ' ) . (2) где

« S = « V 4 - *². cⁿ = dW7ⁿ, (3) 8 - * + 0 . На поверхностях пластин z—z^a удовлетворяются условия

непрерывности по координате z функций Gm (z, z') и dG^ (z, z')ldz, соответ­

ствующие непрерывности касательных составляющих векторов электри­

ческого поля и магнитной индукции.

Предметом анализа в теории локализации является величина

со ОС

W{,, z>; Q ) = j d f c ' ^ r t J ^ i = j • ^ • < Сш + в,2( * , z')GZ_Sh(z, « ' ) > , (4)

0 — с о

определяющая пространственно-временное распределение энергии воз­

буждения. Угловые скобки в (4) обозначают усреднение по ансамблк>

реализаций {z^{} случайных координат zⁱ пластин. Д л я определения асимп­

тотического поведения поля <(| G

(t)\

y

дение функции —iQW (Q) при Q 0 [^{1 5}] .

Для рассматриваемой системы, в среднем однородной, функция (4) зависит от разности координат z—z'. Далее мы будем исследовать пре­

образование Фурье по z — z' величины юш = <GW +G*_>, стоящей под зна­

ком интеграла по со в (4), т. е.

ос

— СО

(5)

Здесь

со

<?« (/>• / / - j ( с Ы3' « - ' *+" ' " Сш z, (б)

— 00

со^± --- а) ± Q/2, />^± = р ± 9/2, I⁷)

$ — размер образца. Заметим, что функции Грина, вводимые формулами (2)—(6), с точностью до коэффициентов совпадают с функциями Грина фотонов в среде [^{1 6}] .

Интегральное уравнение, определяющее одночастичную функцию Грина (6) для заданной реализации {z.) в теории многократного рас­

сеяния, может быть записано в виде

2*8 IP - Р'\ + ^ J Т» (P. P i ) е'*<Р'*Л** Сш ( рь р ' , (8)

Здесь матричный элемент Т^ш (р, р^ехр [—i (р—Pi)zJ характеризует вклад пластины i в рассеяние волны с изменением волнового вектора р р^г. Использование точных величин Т^ш (р, р^г), определяемых формулой (П. 2) из Приложения, означает, что из итерационного ряда, построенного на основе уравнения (8), исключаются члены, соответствующие последова­

тельным рассеяниям на одном и том же «узле» с номером i [^{1 7}] . В уравне­

нии (8)

С . ' . с Л Р ) - ^²- ^ ] -¹ ( 9 )

— функция Грина уравнения (2) для однородной среды с диэлектрической проницаемостью г^х. Используя указанные приближения, далее мы вычис­

лим на основе уравнения ( 8 ) усредненные функции, необходимые для расчета величины (4).

2. У с р е д н е н н а я о д н о ч а с т и ч н а я ф у н к ц и я Г р и н а и п а р а м е т р ы р а с п р о с т р а н е н и я с в е т а

в э ф ф е к т и в н о й с р е д е

Вначале усредним уравнение (8) по ансамблю положений пластин {z^{}. Считаем при этом, что координаты zⁱ распределены в среднем одно­

родно с плотностью / г = lim off\X{olf — число пластин на длине образца X) и некоррелированно. Тогда для функции (6) получаем

< GW (р, Р ' ) > = 2*5 (р - р ' ) ( р ) > , (10)

<О^ш (р)> - 1/[р² — « i — 2 „ (P)h (11)

величина q^x определяется формулой (3). Как для электронных задач [^{1 3 ,} в борновском приближении из уравнения (8) получаем

2в( Р ) = яЗРсо(Р. Р (12)

Преобразование Фурье функции (10), обратное (6), с учетом (11), (12) и формулы ( П . 5) из Приложения при n/q¹ -~ йс/ю 1 дает

(* - = 2{qi + t n \ l - t{qi) ] ) 6 ХР О Г* + (1 - * (Ш I * - « ' 1} • (13)

Здесь t (g²) — коэффициент пропускания света отдельной пластиной (фор­

мула ( П . 7)). Из уравнения (13) следуют выражения для длины I сбоя фазы волны в эффективной среде вдоль оси z

7 2 Z = [ l - R e f ( g¹) ] -¹~ /¹r t ) (14)

и относительного изменения фазовой скорости

- 1 = ^ - ^e - 2 n a ^lfntJ^qi) cos* с = -2nah № cos* ^ь (15)

где 7j=2g¹a=2coa cos у1с^г. Ha основе этих соотношений для волны, распро­

страняющейся вдоль оси z ( 9 = 0 ) , можно определить действительную

г'=Ч [ 1 + 4 й а /^а и мнимую е " = 4 й а е^х ( т ^ ( г , ) ) "¹ части диэлектрической проницаемости эффективной среды.

В длинноволновом приближении (к) <€ 1) выражения (14) и (15) ц^{р и}, нимают вид

п ь - ,Чт р{т - \ . \ (16)

{с — d ) / c i = (iV2 — 1) c o s2 9, ц7 )

где N=q²/q^v

Формулы (14)—(17) в отсутствие частотной дисперсии и при <р=о соответствуют результатам работы для звуковых волн. Однако фор.

мулы (14)—(17) применимы в общем случае, когда и N — комплекс­

ная величина. Тот факт, что они выражены через плотность пластин ft и

1t ZK Jrf 4tf

Рис. 1. Зависимость от параметра t)—2 v ^ u a c o s «р/с функций fx (а) и /а (5) (формулы (14), (15)) при R e е2/ е1= ( 3 / 2 )2.

З н а ч е н и я п а р а м е т р о в (N't N", <р): 1 — ( 1 . 5 , 0, 0 ) , 2 — ( 1 . 5 , 0 . 1 5 , 0 ) , 3 — (VC 0, тс/3). Здесь

iV'=Re N, N"=Im N, N=q2/ql.

коэффициент пропускания отдельной пластины t (qx), имеющий известные свойства [1 91 , делает их весьма удобными для анализа.

Результаты численного расчета функции /х (tq), входящей в (14), пред­

ставлены на рис. 1, а, а /² (т)) из (15) — на рис. 1, б. Немонотонность этих функций обусловлена осциллирующей зависимостью величин Re t и Im t от -q. Расходимость длины I веточках 7], где R e £ = l , обусловлена полным пропусканием света пластинами при этом условии без сбоя фазы волны.

При комплексных значениях N (Re е2 <^ 0 или/и Im е2¥=0)эт а расходи­

мость ослабляется вследствие отражения волны или/и диссипации ее энергии в пластинах. Как видно из выражения (15), фазовая скорость волны вдоль оси z увеличивается в условиях, когда Im t <С 0.

В следующем разделе усредненные функции Грина (10)—(13) исполь­

зуются для построения двухчастичных функций Грина, описывающих р аспр о стр анение энергии.

3. Л о к а л и з а ц и я с в е т о в ы х в о л н

Для анализа локализации вычислим усредненную двухчастичную (двухфотонную) функцию Грина K^pp,(w; Q, У) = <р^ш+(р⁺, p'+)GlAP~*

р1)У1£, входящую в выражение (5). Исследование диаграммного разложе­

ния, аналогичное [^{1 3}> ^{1 4}] , с учетом выражений (8), (10) и трансляционной симметрии усредненных величин дает для этой функции интегральное уравнение Бете—Солпитера в форме

К^РР> (<*) = < < ?^{ш +} (/>+)><<?;_ ( Р - ) > [ 2 * 8 (р - р') + j ^ U^ppttK^prty (аз)] (18)

(параметры Q, Q опускаем). Здесь U^ppr — неприводимая четырехточечная вершинная функция, полученная при усреднении по ансамблю {z^c}.

Определив входящее в (18) соотношение <G><G*> = — < G » « С ) "¹ —

—<G*>"¹)"¹ на основе функций (10)—(12), для величины Ф^р— ^dp'K^pprj2r.

в случае малых величин Q и Q получаем уравнение ф -=ЬС^м(р) Г dp'

(19\

Здесь

•^^ш(р)^1^ш+(Р⁺)-^иР-), (20)

^ №) < G «⁺ (/>+)> ~ U>-)> ^ Г° (Р ~ Я\) + О (Р + • (21)

Подчеркнем, что в уравнениях (19), (21) и далее пренебрегается малой (~nlq-j) перенормировкой скорости (15) и волнового вектора q¹ -> q^t, так как это не влияет на положение резонансов системы. Последние за­

висят от параметра Nr\=2q²a, определяющего нули функции г входя­

щей в формулы ( I I . 5)—(П. 10).

Построим теперь кинетические уравнения для функций

0^W <?, Q) « J | f р*"Ф^р ( • ; <?, Q ) , (22)

описывающих плотность (при т = 0 ) и поток (при /тг=1) энергии в (Q^y Q ) - представлении. Как следует из (19), величину Ф^р можно искать в виде

Ф^р - -tqi&G^a (р) ( 0^о + ^ в , ) (23)

c/iGu (р) из (21). Интегрирование уравнения (19) по р с учетом тождества Уорда j dp^G^(v(p^f) U ^р*^р\2ъ — А £^ш( £ ) , которое доказывается так же, как в электронной задаче [^{1 3}] , дает первое уравнение

Второе уравнение

2 ? 5 l « u - - ^ - ( ^ - -^r)^{( )}i = 0 (25) получается после умножения (19) н а р и интегрирования по этому аргу­

менту при малых Q и Я . В уравнении (25)

/ [U] = J - f j f

j

При выводе (25) использованы соотношения (12), (20) и (21). Заметим (при учете диссипации) использование обобщенного тождества Уорда [^{2 0}]

и учет второго слагаемого из (П. 9) дают поправки по параметру I ^{m е} / (Re е²—^£i sin² ф)> малому вдали от угла полного отражения.

Решение системы уравнений (24), (25) имеет вид

с? 1

° 0 = 2^дГ -Ш + DQ* ' (28)

где

7 [ ^ J - / (29)

— коэффициент диффузии электромагнитного возбуждения с частотой ш.

Рассмотрим вначале некогерентное рассеяние света в лестничном при­

ближении (больцмановское приближение). В этом случае в уравнении (19) вершинная функция есть

и

$Р> =

»

&+' P+

ljP-> (30)

Подставим (30) в (26) и используем при интегрировании выражения (21), (П. 5), (П. 6), (П. 10). Подставляя результат вместе с формулами (27) и (П. 7)—(П. 9) в (29), находим

DB М = ~ t l + | r | 2 - U | 2 * (31)

где г — коэффициент отражения света отдельной пластиной (формула (П. 8)). В отсутствие диссипации, когда | г |2+ | t |2= 1 , получаем Z)B=

=c\q¹l(2(£>n \г |²) . Эта величина и длина свободного пробега электромаг­

нитного возбуждения IB=DBIC^X обращаются в бесконечность в условиях полного пропускания света пластинами: | г (д^х) | = 0 .

Для учета последующих приближений уравнение (29) удобно предста­

вить как

+

где Ьирр,= ир, , — и*р,.

Локализация возбуждений связана с эффектами интерференции при рассеянии назад, которые описываются веерными диаграммами I1 , 2 >

1з, 14] Суммирование диаграмм этого типа для рассматриваемой модели при условиях Р=р-\-р' - > 0 и Q - > 0 дает для вершинной функции

Чр> Q ) =*п2 ^ ( 1 "Re * )г - m + DBP* • (33>

Входящая в (33) и последующие выражения величина 1—Re t определяется формулой (14) и графиками (рис. 1, а). При вычислении величины (33) использовано условие инвариантности системы относительно обращения времени (отсутствия диссипации).

Подставив выражение (33) в качестве величины Д Upp> в уравнение (32) и интегрируя с учетом (21), (26), получаем

1 1 f 4 й ( 1 - R e t ) "f dP U\

Здесь предел интегрирования но импульсу определен обратной гидро­

динамической длиной свободного пробега

Р

=с

/Ьв=И1в'

сованном приближении [^{1 3}] , соответствующем замене коэффициента диф­

фузии DB п о д знаком интеграла (34) на точную величину D, из (34) следует уравнение

D = DB

А 2/1 (1 - Re t) л I -ID 1 - Рп y/—i D/il

(35)

Его решение при Q О имеет вид

D (со, Q) —£<2Х² (со) + О

Подставим (36) в (28), результат — в (5), учитывая, что w (Q, Q) = до- После преобразования Фурье, обратного (4), (5), находим" функцию

w« ^{z ~ ^s' ^{; t ) а} 4 ^ 4 " ) 6 О ^{е х}Р Ы * - *' IA N ) , ⁽³⁷⁾ описывающую в координатно-временнбм представлении плотность энер- гии возбуждения с частотой с о ; здесь 9 (*) — единичная ступенчатая функ-

Рис. 2 . Зависимость без­

размерной длины л о к а л и з а ­ ции Ы из уравнения ( 3 8 ) о т

= 2 ^е¹ша ^COS ср/с при г^г1 s^x= ( 3 / 2 ) 2 .

К о м б и н а ц и и п а р а м е т р о в ( i V ' , i V " , с ) : а ( 1 . 5 , 0, 0 ) , б —

( \ / 6 , 0> *уз).

ция. Как следует из уравнения (35), входящая в выражение (37) длина локализации X ( с о ) определяется трансцендентным уравнением

п\ аг ctg ^ 2/ 2 2 л Х 1

С&1 4 1 - R e t = = 0 . (38)

Обсудим свойства функции X ( с о ) в отсутствие диссипации. Из (38) следует, что X со при | г |2 - » 0, чему соответствует щ -> r\k=nklN, где ifc — целое число. Если при этом Re t=^l, то X расходится как | • % I "1

(резонанс типа I ) . В случае, когда J V — рациональное число, из множества

\т\^к) выделяется подмножество { % > } , которое определяется условиями R e t = l и I m £ = 0 ; в точках %* величина X расходится как | т}-—%<> |"² (резо­

нанс типа I I ) . При иррациональных значениях N резонансы лежат квазипериодически, причем множества {у\^к} и {f^lkr} не пересекаются.

Эта ситуация является общей, так как она должна реализоваться при на­

клонном падении (<р^0), когда N~\s²/s^l — sin² cp/cos ср. Обоим типам резонансов соответствует полное пропускание света отдельными пласти­

нами ( | t | = 1) (резонансное прохождение), но в первом случае (Re ^ 1 , I m ^ O ) пропускание сопровождается сбоем фазы волны, а во втором (Re * = 1 , Im t=0) сбоя фазы нет.

Результаты численного решения уравнения (38) в зависимости от па- раметра Y J= 2 \]$^ги>а cos ср/с представлены на рис. 2. Их сравнение с ве­

личиной til, определяемой формулой (14) и кривыми (рис. 1, а), показывает что для рассмотренной модели X > I (строгое обсуждение аналогичного соотношения для электронной задачи дано в [2 1] ) . Выполнение условия X/Z оо вблизи резонансов типа I величины X связано с отсутствием таких резонансов для величины L Однако, как отмечалось в работе [^{1 4}] этот результат для I нефизичен. Он обусловлен тем, что наличие сбоя фазы при полном пропускании света в условиях резонанса типа I существенно проявляется при усреднении фазовых множителей функции Грина G по

ансамблю { z j , приводя к переоценке затухания волны. При усреднении двухчастичной функции Грина GG*> входящей в (5), фазовые соотношения не играют существенной роли. Рис. 2, б относится к случаю наклонного падения ( < р ^ 0 , N=\J^²^i —sin² cp/cos ср). Из него видно, что увеличение угла падения ср приводит к уменьшению расстояний между резонансами, при этом зависимость X от г^{ утрачивает строго периодический характер из-за иррациональности iV, однако основные особенности кривых сохра­

няются.

4^# О б с у ж д е н и е р е з у л ь т а т о в

Выше найден диффузионный полюс двухфотонной функции Грина, характеризующей распространение плотности энергии электромагнитного возбуждения, и указаны условия, при которых такой полюс описывает одномерную локализацию. Результаты относятся к волнам с s-поляриза- цией, однако они качественно верны и для волн, поляризованных в пло­

скости падения (р-поляризация); поляризационные эффекты обусловлены лишь различием коэффициентов пропускания света разных поляризаций.

Важной чертой представленной теории является то, что матрица рассея­

ния и характеристики распространения и локализации светового возбуж­

дения выражены через коэффициенты отражения света отдельной пласти­

ной. Тем самым в рассмотрение включены резонансные свойства пла­

стины, зависящие от ее толщины и частоты света, которые отсутствуют в модели точечных рассеивателей. Это же обстоятельство делает удобным обобщение этой теории для изучения локализации электронных состояний и коллективных мод в слоистых системах микроэлектроники (сверхрешет­

ках); в этих случаях учет конечной толщины потенциальных барьеров и дефектных областей имеет принципиальное значение [^{2 2}] .

Автор благодарен В. В. Брыксину, Е. Л . Ивченко, В . Н . Пригодину за полезное обсуждение результатов,

П Р И Л О Ж Е Н И Е

Т о ч н о е в ы р а ж е н и е

д л я э л е м е н т о в м а т р и ц ы Г (р, р')

Электродинамическая функция Грина при наличии одной пластины а) (Р> р') вычисляется точно в результате решения уравнения (2) с условиями непрерывности по координате z функций G^x (z, z') и dG^{1} ю} (z, z')!dz на поверхностях пластины z— ±а и преобразования Фурье результата по z, z\ С помощью функций G^{lf ш} (р, р') и G^{0t ш} (р) (формула (9)) элементы матрицы Т^ш (р, р'), входящие в (8), определяются формулой

г „ ( р . р Ч ^ е0- ;ю( р ) [ < ?1 | в( / 1 , Р Ч £0- Д о ( Р О - 2 * 5 ( Р ~Р' ) ] . (П . 1 ) Приведем найденное таким образом точное выражение

T*(P. P ) - 2 d l{p) ^ [pf ) - i j ^p _ p , ^ — ( — - . ^ J x 1

X (IV + l )2 e x p ( - W i j ) — (iV — l ) * e x p № ) ^ ~ * ) lN ( Й (P + P')sin (P + p') « +

+ tyi \РР' + 9т) cos (р + р ' ) в) — i^{q i} {(^PPf 4 N cos Ni, — t. [pp^r + g§) sin JVij) X X cos (p - p ' ) a] 4 - [TV (di (p) - d² ( p - ) (p - f p ' ) cos JVi) - i (d^x (p\(p + N*p') +

+ d« (P) ( i V V + ^p')) ^s- ,n att]] sin (p - p ' ) д } . ( П . 2 )

Здесь введены обозначения

N — 4*j4u т\^-2^Ч1а, ( П . З )

величины qⁿ определены формулой (3); согласно (9), G£^M (p)=^d^x (p).

В важных для изучения локализации случаях p—p'=q^x и pz=—p'=q^u

где ? i = < » > cos ср /с^х, элементы ( П . 2) существенно упрощаются

Т(Чъ g i ) = 2 /^{9 l} [ 1 - M 9 i ) l , ( П . 5) Г ( в ь — g i ) = — 2 ^ i r (дО- ( П . 6) В выражения ( П . 5) и ( П . 6) входят коэффициенты пропускания

2/7Уехр (—Щ)

(A^T2 ⁺ i )^si^ui V r ] + 2 t W c o s y V Y ] ( ^П - ⁷ ) и отражения

i № - 1

г Ы = у * Ы —дг— ^{s i n N}*i tⁿ- 8) световой волны отдельной пластиной. Величины (П.7) и (П. 8) определены асимптотическими выражениями электрического поля: Е (z)=tei^g при г - > оо и £ (z) = + ге"^^ при 2 - > 00 .

Из выражений ( П . 5) и ( П . 6) следует оптическая теорема в форме 1тТ(д^и qi)=^-{\T[q^u gO |* + | Г ( g^{l f} I²} + « i U - | г (<h) |² - 11 (^Ql) | « ) . ( П . 9)

В отсутствие диссипации второй член в формуле (П. 9) исчезает.

Отметим также получающиеся из ( П . 2) соотношения, которые исполь­

зуются в тексте

T(qi< g i ) = r i - g „ -<h), T(q^u -^д1) ^ Т ( - д ^{ъ 4l}\

U^B =U^{B Л}, tf* , = 6⁷*, ⁿ. ( I I . 10)

С п и с о к л и т е р а т у р ы

[1] A l t s l m l e r В . L . , A r o n o v A . G . , K h m e l n i t s k i i D . E . , Larkin A . I . / Quantum Theory of Solids / E d . I . M . Lifshits. M . , 1982. P . 131—237.

[2] L e e P . A . , Ramakrishnan Т . V . / / R e v . M o d . P h y s . 1985. V . 57. N 2. P . 2 8 7 - 3 3 7 . [3] M o t t N . F . , T w o s e W . D . / / A d v . P h y s . 1961. V . 10. N 38. P . 107—163; Borland

R . E . / / P r o c . R o y Soc. ( L o n d . ) . 1963. V . A274. N 1359. P . 529—545.

[4] Лифшиц И . M . , Кирпиченков В . Я . / / Ж Э Т Ф . 1979. Т . 77. № 3 ( 9 ) . С. 9 8 9 - 1 0 1 6 ; A z b e l М . Y a . / / P h y s . R e v . 1983. V . В28. N 8. P . 4 1 0 6 - 4 1 2 5 .

[5] Anderson P . W . / / P h i l o s . M a g . 1985. P t В . V . 52. N 3. P . 5 0 5 - 5 0 9 .

[6] К о с о б у к и н В . A . / / Поверхность. 1983. № 12. С. 5 - 2 1 . И з в . А Н СССР, сер. физ.

1985. Т . 49. № 6. С. 1111—1120.

[7] McGurn A . R . , Maradudin A . A . , Celli V . / / P h y s . R e v . 1985. V . В 3 1 . N 8. P . 4 8 6 6 - 4871.

[8] А г у а К . , Su Z . В . , Birman J. L . / / P h y s . R e v . L e t t . 1985. V . 54. N 14. P . 1 5 5 9 - 1562; McGurn A . R . , Maradudin A . A . / / J. Opt. Soc. A m . 1987. V . B 4 . N 6. P . 910—

926.

[9] Tsanp L . , Ishimaru A . / / J. Opt. Soc. A m . 19S4. V . A l . P . 8 3 6 - 8 3 9 ; Van Albada M . p'., Lajrendijk A . / / P h v s . R e v . L e t t . 1985. V . 55. N 24. P . 2692-2695; Wolf P . E . , Maret G . ' / ' I b i d . P . 2 6 9 6 - 2 6 9 9 .

[10] A g r a n o v i c h V . M . , K r a v t s o v V . E . , Lerner I . V . / / P h y s . L e t t . 1987. V . 125A.

N 8. P . 4 3 5 - 4 4 0 .

[11] Y o o К . M . , A l f a n o R . R . / / P h y s . R e v . 1989. V . B39. N 9. P . 5 8 0 6 - 5 8 0 9 . [12] K o h m o t o M . , Sutherland В . , Iguchi K . / / P h y s . R e v . L e t t . 1987. V . 58. N 23.

P 2436 ^438

[13] V o l l h a r d t ~ D . , * W o l i l e P . / / P h y s . R e v . 1980. V . B22. N 10. P . 4 6 6 6 - 4 6 7 9 , [14] Condat C. A . , K i r k p a t r i c k T . R . / / P h y s . R e v . 1986. V . B33. N 5. P . 3 1 0 2 - 3 1 1 4 . [15] Лаврентьев M . А . , Шабат Б . В . Методы теории функций комплексного пере­

менного. М . , 1987. 688 с.

[16] Лифшиц Е . М . , Питаевский Л . П . Статистическая физика. Ч . 2. М . , 1978 Ш [17] Goldberger М . L . , Watson К . М . Collision T h e o r y . N . Y . , 1964. 919 p . " °' [18] Абрикосов А . А . , Горьков Л . П . , Д з я л о ш п н с к и й И . Е . Методы квантовой теории-

п о л я в статистической физике. М . , 1962. 443 с. ^р

[19] Борн М . , Вольф Э. Основы оптики. М . , 1970. 855 с.

[20] Brown G . , Celli V . , Haller М . , Maradudin A . A . , M a r v i n А . / / P h y s . R e v 1Q^

V . В 3 1 . N 8. P . 4993—5005. ' °*

[21] Thouless D . J. / / J. P h y s . C. 1973. V . 6. N 3. P . L 4 9 - L 5 1 .

[22] Гашимзаде H . Ф . , Ивченко E . Л . , К о с о б у к и н В . A . / / Ф Т П . 1989. Т . 23. № s

С. 8 3 9 - 8 4 4 . °*

Физико-технический институт П о с т у п и л о в Редакцию им. А . Ф . Иоффе А Н СССР 15 августа 1989 г?

Ленинград