L. F. Kashirova, Design of monitorable automata. I, Avtomat. i Telemekh. , 1983, Issue 11, 141–146

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

L. F. Kashirova, Design of monitorable automata. I, Avtomat. i Telemekh. , 1983, Issue 11, 141–146

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 118.70.116.132

November 3, 2022, 17:03:50

У Д К 519.713

ПОСТРОЕНИЕ К О Н Т Р О Л И Р У Е М Ы Х А В Т О М А Т О В . I КАШИРОВА Л. Ф .

(Томск)

Рассматривается некоторый класс контролируемых автоматов. Пока­

зывается, что любой конечный автомат преобразуется в автомат, при­

надлежащий этому классу. Строятся верхние оценки на длину контроль­

ной последовательности в синтезируемых автоматах. Формулируются условия, при которых полученные оценки ниже известных.

Введение

В связи с широким использованием дискретных устройств в системах управления становится актуальной проблема повышения их надежности.

Один из аспектов этой проблемы — построение устройств с заранее задан­

ными свойствами, упрощающими решение задачи контроля [ 1 ] . В данной работе рассматривается конечный, возможно частичный, автомат А.

Предлагается метод преобразования автомата А в контролируемый авто­

мат А, реализующий А ж имеющий относительно короткую контрольную последовательность, построенную по методу Хенни [2]. Преобразование осуществляется путем расширения входного, выходного алфавитов и мно­

жества состояний автомата А и некоторым доопределением функций пе­

реходов и выходов в расширенной области. Предел расширения автомата определяется тройкой чисел (s, у, Z), где s, v — дополнительное число сим­

волов входного и выходного алфавитов, / — множества состояний. Строят­

ся верхние оценки на длину контрольной последовательности в преобра­

зованных автоматах, оценки оказываются ниже известных [3] при .*о<] ( ( 3 / 2 ) + т + ( 1 / 2 - т г ) ) ] l o g

²

r c [ - ( ( ™ / 2 ) + i ) [,

где t

⁰

— наибольшая по абсолютной величине разность между полусте­

пенью исхода и захода некоторого состояния графа переходов автомата А, т — мощность входного алфавита, п — мощность множества состояний ав­

томата А. Рассмотренные теоремы положены в основу алгоритмов синтеза контролируемых автоматов, используемых при построении системы СКА (синтеза контролируемых автоматов). Исходной информацией для систе­

мы служит описание автомата А в форме таблиц переходов и выходов и тройка чисел (s, v, Z), выходной — автомат Л, снабженный контрольной последовательностью.

1. Определения и обозначения

Пусть А=<Х, Q, У, if), ф> — конечный автомат, где X, Y — входной, вы­

ходной алфавиты, (^—множество состояний, г|), ф — функции переходов и выходов, определенные на парах (xq)^XXQ со значениями в Q и Y соот­

ветственно.

Обозначим через Ш{т,п,р) множество автоматов, имеющих |X\ =т,

| Q| =тг, | 7 | =р. Положим г==] logp п[, где ] к[ — наименьшее целое число, большее или равное к.

Автомат А является подавтоматом автомата А (обозначение А^*А), если Х^Х, У ^ Г , (?, функции г|), ф являются ограничениями функций

ф на множестве XXQ.

Здесь и в дальнейшем через s будем обозначать объект, множество, функцию, граф, полученные в результате преобразования исходного объ­

екта, множества, функции, графа, заданных S.

141

Если А^А, будем говорить, что автомат А реализует А.

Обозначим через X* множество слов в алфавите X, включая пустое слово Л.

Распространим функции я|>, ср на пары (aq)^XXQ индукцией по длине слова а : если а=$х и i|)([J, q) уже определено, то я|)(а, д ) = ф ( х , i|>([5

⁹

q))

^r

ф(а, д)=<ф(Р, q)<(){x, г|)(р, q)).

Положим i|)(A, q)=q, ф(Л, q) = Л . Через х

к

обозначим далее слово хх ... х из к букв х.

Последовательность а^Х* назовем контрольной последовательностью автомата А, если она с точностью до изоморфизма отличает автомат А от любого другого автомата с п состояниями.

Пусть

GA=<Q,

Г> — граф переходов автомата А, <я

г

-, Г

г

> — подграф графа

GA,

где

n ^ Q ,

IV={(g, q'):{q, д ' И

^г

Л { д ,

^q'}=7ii},

ш(я<) - суммар­

ное число дуг в графе <я*, Г

г

>.

Зададим разбиение п={п

и

я

2

, . . . , тс

8

} на Q, где

Я г= { д 1г,

g

2

\ ,

) яг| = / С г ,

г = 1 ,

2 , . . . , 5 .

В дальнейшем индекс сверху при букве q будет

обозначать номер блока разбиения, которому принадлежит д, индекс сни­

зу — номер состояния в блоке, а при отсутствии верхнего индекса — номер состояния в множестве Q. Иногда индексы при q будем вообще опускать.

Обозначим через

С ? А ( Я ) = < Я , ГЛ>

мультиграф, в котором пара (я

г

-, щ)^

е Г

я

, если

(1) Э д е я Д д

^,

е я , ( ( д д

^,

)

^е

Г ) ,

из вершины Яг в вершину щ проведено столько дуг, сколько существует пар со свойством ( 1 ) .

Обозначим через U

+

, U~ полустепени исхода и захода вершины g* гра­

фа G

^A

, £o=max \ t

^t

~\; £

^{г +}

( я ) , tc(n) — полустепени исхода и захода вер-

г

шины я* графа

< ? А ( Я ) .

Последовательность из к букв

T = T I T2. . . T&

некоторого алфавита назо­

вем циклической r-последовательностыо длины к, если в множестве слов;

Z (%) = { T( i - l) ( A ) + l T i ( f e ) + i . . . Т( г+ г_2) ( , & ) + 1 / £ = 1 , 2, . . . , к}

все слова попарно различны. Запись а (к) обозначает выражение a mod к..

Множество Т циклических г-последовательностей в алфавите 7 назо­

вем r-множеством, если

(2) V%,%'^T(z{%)(\Z(%

^r

)=<fi),

и r-множеством автомата А, если верно (2) и сумма \Z{%) | по те=Г рав­

на гг.

Определим классы автоматов % ( я ) , й ( я , Т): Ле=91(я), если на множе­

стве Q состояний автомата А существует разбиение я = { я 1 , я

²

, . . . , я

⁸

}

^?

, такое, что граф

GA(TC)

эйлеров.Автомат Ае=§{(я, Г ) , если А^Щп) и в ал­

фавите Y существует г-множество Г = { т

¹

, т

²

, , х

¹

} автомата А, связан­

ное с я взаимно-однозначным отображением / :

Я г= / г^ | я г | = | 2 ( г О | .

Каждому блоку я

г

- разбиения я можно сопоставить циклическую г-по- следовательность x

^j

, число слов в которой совпадает с числом состояний блока Яг. К а к покажем в дальнейшем, эти свойства позволяют легко пре­

образовать автомат А в контролируемый автомат А>А.

Некоторому А^%(п) сопоставим множество П разбиений множестваQ

^r

такое, что для любого я ^ П граф G

A

(я) эйлеров.

Рассмотрим алфавит 7 . Обозначим через f = { 7

^{l r}

7

²

, . . . , Y

^k

} множе­

ство подмножеств из 7 , такое, что

VY^Y((7-7) Д

I Y<| < m i n (р(г-1))).

Множеству Y^Y сопоставим множество слов Z^Z, где Z — множество слов длины г в алфавите 7 , Z

{

— множество слов, состоящих из букв мно­

жества 7

г

:

У а е ^ ( { а , / / < г } = 7 0 .

142

Пусть a=aia

2

...а

г

— некоторое слово из Z, Кг, тогда Р

г

(#) —a

i+i

.. „ .. .a

r

ai... a

t

. Для произвольных а, Ъ определим множество К

аЪ

:

Определим отношения .=>• на Z

2

: если а

2

... a

r

=bi... frr-i,

=^&, если существуют слова с \ с

2

, . . . , cY такие, что а - ^ с

1

- ^

2

- * - . . . ->-Ь. Пусть а —некоторое слово из Z, а

г

— слово с номером I, щ — б у к в а

г

занимающая 7-ю позицию в слове а, щ будем называть у-й компонентой слова а. Буквы, обозначающие слова множества Z, будем использовать как с верхними индексами, так и без них.

Аналогично верхний индекс при букве т, например х°, обозначает ц и ­ клическую г-последовательность множества Т, имеющую номер v. T j - ~ буква, занимающая /*-е место в последовательности т.

2. Построение автоматов, имеющих минимальную длину контрольной последовательности

Рассмотрим автомат Л ^ й ( т , п, р).

^Г

.

Теорема 1. Если А^'91 (я, Т), то автомат А преобразуется в контроли­

руемый автомат Л^ЗЦттг, тг, р ) , реализующий Л, длина L контрольной по­

следовательности которого удовлетворяет следующему неравенству:

(3) ^ < ^ + г ( | я | +

( т - 1 ) Я )

+

( ^ - 1 ) ^ | я г 1², i

ГДе 7 2 = 7 2 , 7 7 1 = 7 7 1+ 1 , Г = Г , Я = Я .

Доказательство теоремы дано в приложении.

Пусть А^%(п), построим контролируемый автомат Л ^ Л , где А<^$1{п

⁷ Т), длина контрольной последовательности которого, задаваемая выраже­

нием (3), минимальна.

Предложение 1. Автомат Л ^ Э ( я ) , если и только если на множестве состояний Q существует разбиение я такое, что граф G

^A

(n) — связный и (4) V r t

^iS

r t ( £ ( * } - * J ) = 0 ) ,

Доказательство дано в приложении.

Величина выражения (3) зависит от значения суммы | я

^г

|

²

по я * е я

^г

где я = я . Используя предложение, отыщем разбиение я е Ц , для которого величина (3) принимает минимальное значение.

Сопоставим А тройку объектов (Q, Р, РУ, где Q — множество состоя­

ний автомата А, Р — одноместный предикат, определенный на множестве всех подмножеств из Q; предикат принимает истинное значение на любом S^Q, таком, что сумма (tj

+

—tf) по q^S равна нулю; функция F сопо­

ставляет каждому разбиению я на Q число, равное сумме | я

^{г 2}

| по t==l,

2 , . . . , | я |. Требуется найти такое разбиение я множества Q на классы,

принадлежащие области истинности предиката Р , которое минимизирует функцию F. Сформулированная задача есть известная Т-задача, алгоритм, решения которой предложен в работе [4]. Пусть я — решение рассмотрен­

ной Г-задачи, тогда искомый автомат А>А, Л = < Х , Q, У, <р>, где Х =

==XU{a}, Q=Q, Y=YUY', алфавит У расширяется настолько, чтобы суще­

ствовало r-множество Т автомата, связанное с разбиением я отображени­

ем /, описанным выше. Функции <р на множестве {a}XQ определены следующим образом:--ф(а, д / ) = д < ж ) ( *

4

) , <р(а, д / ) = т / , i, l<z={l, 2 , . . . , , | я | } при условии, что Я г = / т Д очевидно, я = я , Л^31(я, Т ) .

Пусть^Л§£Щя, Т), построим контролируемый автомат Л, реализующий Л, Ле§1(я, Т), величина выражения (3) для которого минимальна.

14а

Рассмотрим произвольное разбиение jt={jti,

' Э Т 2 5. . . 9

я

⁸

} на множестве состояний Q, пусть G

^A

(n) — связный граф.

Предложение 2. Если Уп^к ^ ^ £ г ) < И л ;

^г

1 j , то существует ав- томат Л^§1(ттг+г;, тг, /?), реализующий Л, такой, что А^%(я).

Доказательство дано в приложении.

Теорема 2. Любому автомату A^%{тп, п, р) можно сопоставить контро­

лируемый автомат Л ^ Л , Л^31(я, Т), Ле§1(т?г, /г, /?), где m=m+t

⁰

+l, п=п, р = т а х (тг, /?), £

⁰

=niax | {U

⁺

—tc)\, длина контрольной последовательности

г

которого удовлетворяет следующему неравенству:

(5) L^2n+2(t

⁰

+m)n.

Доказательство дано в приложении.

В работе [5] аналогичная оценка приводится для полностью опреде­

ленного автомата Л.

Построим автомат А^Л, для которого величина выражения (3) мини­

мальна. Из теоремы 2 следует, что величина m<m+t

⁰

+l, где Z

⁰

=max \

г

—t{~\. Для г = 1 , 2 , . . . , t

⁰

сопоставим автомату Л тройку чисел Г

^г

==<(?, Р

^{

, F

^{

}, где Рг — одноместный предикат, определенный на множестве под­

множеств из Q, предикат Р

^г

принимает истинное значение на любом

^Q, таком, что сумма (t^—tf) по q^S меньше или равна г!*!?!. Функция Ft сопоставляет каждому разбиению я = { я 1 , я

²

, . . . , n

^s

} множества Q на классы, принадлежащие области истинности предиката Pi, число Ф

^г

, рав­

ное произведению (m+i) на сумму | я ^ |

²

по / = 1 , 2 , . . . , | я | . Требуется найти разбиение я на множестве Q на классы, принадлежащие области истинности предиката Pi, доставляющие минимум Ф

^г

функции Р

^{

. Поиск искомого разбиения сводится опять к решению Г-задачи [ 4 ] . Для каждого г = 1 , 2 , . . . , t

⁰

найдем Ф

^г

и соответствующее разбиение я

^{( г )}

. Пусть Ф

⁰

=

= т т Ф

^г

, ввиду теорем 1, 2 существует контролируемый автомат А,

г

длина контрольной последовательности которого не превышает величины:

(6) n+f(\n

^(o)

\ + (m-l)n)+0

^o

,

где п = п , 77г^77г+1+£⁰, Г < Г .

Рассмотренный метод синтеза контролируемого автомата Л ^ Л сво­

дится к построению автомата Л (я, ? ) = Л . Построение осуществляется путем расширения входного, выходного алфавитов автомата и некоторым доопределением функций переходов и выходов в расширенной области.

И з теорем 1, 2 следует, что контролируемый автомат Л ^ Л существует при s<t

⁰

+l, Z=0, y < m a x (р, п)—р.

ПРИЛОЖЕНИЕ Доказательство теоремы 1, Поскольку А^%(тс, Т), в алфавите Q существует раз­

биение я={зт1,

л

^{2 1}

. . . , л

⁸

} ,

порождающее эйлеров граф ^GA(TL). Каждому блоку я^г=

— { ^ Л #2*, Qk*} разбиения л можно сопоставить циклическую г-последовательность т*=хф²^..%¹*, где Ki=fx^v. Пусть 2 = (X, Q, 7, \ ф>, X = X U { а } , <?=<?, 7 = 7 , функ­

ции ф,

ф

совпадают с функциями ф,

ф

на парах (xq)^XXQ. На парах

{хд)^{а}п\

функции ф, ф определены следующим образом:

(7) ф ( а , qjⁱ)=qu+i)^{kⁱ)i

ф(а,

Яз*)=х.?,

* = l , 2 , . . . , s .

Из способа доопределения функций ф, ф следует, что Ае=$1(п, Г), где я = я , Т=Т.

Из выражения (7) нетрудно заметить, что в каждом подграфе (я*, Г^г> графа (л) существует простой контур, содержащий все вершины множества лг-, дуги которого помечены символом а, и верно следующее:

Vgz, qt^Q(l=£t-»q)(ar, qi)^(p(ar, qt)),

4 4

т. е. а^г является диагностической последовательностью [2] (так как г = г, здесь и далее используем символ г). А — сильносвязный, минимальный автомат, имеющий

144

диагностическую последовательность, следовательно, А — контролируемый автомат [2^ 6]. Пусть g0 ~ начальное состояние А , Р=ЖиПц... я<„ - эйлеров контур графа

( я )^у qo^itn. Положим Ро=ф, Р * '^в{ я \ - / / < * } , каждой дуге ( я *^я сопоставим вару (хзадающую переход из состояния блока я^- в состояние блока я ^^{+ 1}, где qj&Ki., ap(xj, qj)=n,ij+l. Построим контрольную последовательность р=Р±р2... Pv, удов­

летворяющую условиям, сформулированным в [ 2 ] . Обойдем контур Р. Пусть, прой­

дены вершины л^{г 1}, Л г², . . . , Л ц _¹ контура Р ж построены последовательности р⁴, Р г , . . . . . . , р*_!, рассмотрим следующую вершину яг> Сопоставим дуге: {лц, лц+1) переход

(xt, qt) ж построим последовательность р*. Если вершина лц еще не встречалась при обходе Р, то яг^ Рг и Р*=РПР*2Р*3, отрезок $ti==cikt+r проверяет множество переходов

{(а.» Q.Y- соответствующих циклической части графа (я*, I V , что легко дока­

зать с помощью леммы 3 из [ 7 ] . Длина р*¹ не превосходит величины (г+&*), где

%1=\лц\. Подпоследовательность р*2 состоит из w отрезков Р*Д Р * Д . . . , Р«ад2, которые проверяют множество переходов М={(х, q)\ x e l \ { a } , | M | = w , p^{f f 2}, i = l , 2 , . . . . . . , н ? - проверяет переход (я*., qti)s=M, pf.2= asZ i . ar [ 7 ] , as переводит автомат 4 в со­

стояние д^, длина a^s не более (k^t—l), длина р*² не превышает величины w(k^t+г).

Последовательность р*³ переводит автомат А в состояние блока я ^^{+ 1} и проверяет переход (я*, qt), соответствующий дуге (я^, я ^ ) графа G% ( я ) , pf 3= aM#far, где аи

устанавливает А в состояние qt, длина р*³ н е более ( k^t+ r ) . Если вершина лц встре­

чалась при обходе контура Р, то Лц^Рг ж множество переходов между состояниями

•блока Лц проверено одной из последовательностей, построенной на предыдущем шаге, поэтому р=р*³ проверяет один переход (xt, qt). Из построения следует, что последо­

вательность p=Pip2... Рг> проверяет множество переходов автомата Л и в силу тео­

ремы в работе [6] является контрольной последовательностью А . Подсчитаем сум­

марную длину р. Пусть, VjSXXjiij - множество переходов из состояний множества пц, |7з|==^+м7(Яг^л-) + * у⁺( я ) < ( 7 л — г д е к$=\лц\ совпадает с числом переходов в циклической части графа <я^., Г^>, м(лф - м о щ н о с т ь множества Mj—{(x, q):

х^Х\{а}, д^еЯ г Д , ^⁺( я ) - число переходов из состояний блока я^. в состояния дру­

гих блоков. Длина подпоследовательности, проверяющей переходы множества Fj, не превышает следующей величины:

( ^ + г ) + ю ( ^ ( Л^л+ г ) + ^ + ( я ) ( ^ + | 0 ,

просуммировав по /, получим следующее выражение:

« * •

+ + ^ w ( nⁱ³) (к⁵ + г)+ ^ * «л+ ( я ) (к, + Г)<П+8Г+'

+ у%(го-1)(£

^д

+г)^ kj\

j=i j=i Учитывая, что | я | = $ , \л^\=%з, получаем выражение (3). Теорема доказана.

Доказательство предлооюения 1. Пусть А^Щл), тогда УЯг^я(*г""(я:)=^⁺(я)), т. е. сумма 1³~) по д /^ея^г- , равная {и⁺(л) + ю(л^г)) — (гл(я) + н?(Яг))=0, следова­

тельно, верно (4). Пусть верно (4), тогда сумма (^⁺—tf) п о д /^ея^г- , равная ( ^⁺( я ) + +w (Л{)) —

(tc

(я) + w (Яг)), есть ноль, следовательно, t{+

(я)—tr

(я) и GA (я) - эйлеров граф, поскольку он связный граф. Предложение доказано.

Доказательство предложения 2. Определим А = (Х, Q, У, ф, ф), где Х=Х[)ХГ, Q=Q, У = У , \X'\=v, А>А. Вычислим равное сумме *Г) ^п<> Если $г<0, то функцию ф доопределим на (#(, д)€=Х'ХЯг так, что существует ровно Si переходов в состояния других блоков. Если 5г> 0 , то существует ровно Si переходов в состояния множества я* других блоков. Такое доопределение всегда возможно, поскольку сумма

\si\ по 5г<0 равна сумме SJ по S J > 0 и меньше или равна vQ. Из способа доопределе­

н и я следует, что для любого л^л сумма tf). по q^Лг равна нулю, в силу пред­

ложения 1 граф <7А(Я) эйлеров, Т . е. А<^$£(я) при я = я . Предложение доказано.

яб. Автоматика и телемеханика, № 11 145

Доказательство теоремы 2. Пусть Q, Y\ ф, ф>, где X=*X\)X'[}{a,},-Q==Q±

У = Т и Г , |Х'|=*о, У=тах(?г, р), А>А. Положим <?=><?W', V q^Q'{(ti+-tc)<ti)v

V g ^ C ? ' W - * r ) > 0 ) .

Определим частичные функции г|), ф на ларах (я, q) ^X'XQ таким образом, что из каждой вершины q^Q^r исходит \U⁺-t-\ дуг, в каждую вершину # г^е( ? " заходит

| £ j⁺- t / - | дуг, что возможно, поскольку сумма \ti⁺-t~\ по qi&Q' равна сумме

\tj+-tj-\ по q^Q" и меньше или равна U\Q\. Очевидно, что А^%(п) и л=С?, полагая Т={Уи У^--">Уп}л 'ФО*, qi)=qi, Ф(а, qi)=yu i = l , 2 , . . . , и, получаем контролируемый автомат А=51 (л, Г ) . Из теоремы 1 следует, что длина L контрольной последователь­

ности удовлетворяет неравенству (5). Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Основы технической диагностики / П о д ред. Пархоменко П. П. М.: Энергия, 1976.

2. Hennie F. С. Fault detecting experiments for sequential circuits.— In: Proc. 5th Annu.

Symp. Switching Circuit Theory and Logical Desing Princeton. N. Y., 1964, p. 95—100.

3. Fujiwara H., Nagao I., Sasoo Т., Kinoshita K. Easily testable sequential machines with extra i n p u t s . - IEEE Trans. Comput, 1975, v. C-24, p. 82:1-826.

4. Агибалов T, П., Беляев В. А . Метод сокращенного обхода дерева поиска и его при­

менение в синтезе интегральных схем.— Управляющие системы и машины, 1977,

№ 6, с. 9 9 - 1 0 3 .

5. Каширова Л. Ф. К синтезу контролируемых автоматов.— В кн.: IV Всес. совещ. п о технической диагностике. М.: Ин-т проблем управления, 1979, с. 149-151.

6. Богомолов А . М.^у Барашко А . С, Грунекий И. С, Эксперименты с автоматами. Киев:

Наукова думка, 1973.

7. Murakami S., Kinoshita К., Ozaki Н. Sequential machines capable of fault diagnosis.—

IEEE Trans. Comput., 1970, v. C-19, p. 1079^1085.

Поступила в редакцию- 4.III.1982, DESIGN OF MONITORABLE AUTOMATA. I

K A C H I R O V A L . F .

A class of monitorable automata is considered. A n y finite automaton is shown t o be transformable into one of this class. The upper bounds are obtained, the control f o r sequence of automata being designed. Conditions are formulated under which the resul­

tant estimates are below the conventional ones.

446