All Russian mathematical portal
E. V. Kurkina, V. V. Lyubimov, Estimation of the probability of capture into resonance and parametric analysis in the descent of an asymmetric spacecraft in an atmosphere, Sib. Zh. Ind. Mat. , 2018, Volume 21, Number 3, 74–83
DOI: https://doi.org/10.17377/sibjim.2018.21.307
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 139.59.245.186
November 5, 2022, 22:32:52
Сибирский журнал индустриальной математики Июль–сентябрь, 2018.ТомXXI,№3(75)
УДК681.51
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ЗАХВАТА В РЕЗОНАНС И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИ СПУСКЕ АСИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В АТМОСФЕРЕ
Е. В. Куркина, В. В. Любимов
Рассматривается нелинейная динамическая система,описывающая околорезонанс- ное движение космического аппарата с малой аэродинамической,массовой и инер- ционной асимметриями в атмосфере. Целью работы является получение выра- жения для оценки вероятности захвата в главный резонанс. Показывается,что выражение для оценки вероятности захвата в резонанс позволяет определить вели- чины асимметрий космического аппарата как при реализации захвата,так и при проходе через главный резонанс. Достоверность полученной оценки вероятности захвата в резонанс подтверждается результатами численного моделирования в за- даче спуска космического аппарата в атмосфере Марса.
Ключевые слова: космический аппарат,асимметрия,резонанс,оценка,вероят- ность,атмосфера,Марс.
DOI 10.17377/sibjim.2018.21.307
Введение. Как известно, спуск космического аппарата (КА) в атмосфе- ре является одним из наиболее аварийно-опасных этапов космического полета.
Для обеспечения штатного спуска в атмосфере планеты необходимо обеспе- читьзаданные ограничения на значения угловой скорости и угла атаки [1].
Нарушение этих ограничений может привести к аварийной ситуации. В рабо- те[2]на примере исследования углового движения спускаемого аппарата с на- дувным тормозным устройством в атмосфере Марса показано, что основным фактором,вызывающим изменение параметров углового движения спускаемо- го аппарата, является асимметрия внешней формы. Действительно, наличие возникающих при изготовлении и эксплуатации космических аппаратов кон- структивных асимметрий приводит к реализации резонансных явлений в задаче неуправляемого спуска космического аппарата в атмосфере[3–6]. В частности, причиной аварийных ситуаций может явиться захват космического аппарата в главный резонанс[7]. Исследованию резонансного движения КА в атмосфере посвящено множество работ (например, [8–11]). При этом для расчета вероят- ности захвата в резонанс динамической системы,описывающей относительное движение космического аппарата, может применяться известный метод [12].
Следует отметить,что при использовании данного метода для получения оце- нок вероятности захвата в резонанс при атмосферном спуске асимметричного космического аппарата традиционно применялисьлинейные уравнения движе- ния[10, 11].
В представленной статье методика расчета вероятности захвата в резонанс предполагает использование существенно нелинейной по углу атаки системы уравнений движения спускаемого космического аппарата. При этом,в отличие от работы[8],космический аппарат рассматривается как твердое тело,близкое по форме к телу вращения, содержащее малую аэродинамическую, массовую c 2018 Куркина Е. В.,Любимов В.В.
и инерционную асимметрии. Целью работы и основным теоретическим резуль- татом является получение новых оценок вероятности захвата и прохода через резонанс в нелинейной динамической системе. С практической точки зрения представляет интерес получение условий гарантированного захвата и гаран- тированного прохода через резонанс, которые позволяют построитьобласти величин асимметрии космических аппаратов с вероятностью захвата, равной единице и нулю соответственно.
1. Уравнения движения. Для получения оценки вероятности захвата в резонанс при спуске в атмосфере КА с малой аэродинамической, массово- инерционной асимметриями рассматриваласьнелинейная низкочастотная си- стема дифференциальных уравнений. Исходная нелинейная система уравнений движения КА с малой симметрией в атмосфере приведена в работе [13]. От- метим,что для получения оценки вероятности захвата в резонанс применяется низкочастотная система уравнений,которая описывает медленную составляю- щую движения КА. Низкочастотная система уравнений была получена из ис- ходной системы уравнений движения методом интегральных многообразий[13].
При этом,в отличие от исходной нелинейной системы,она имеет более низкий порядок и учитывает малостьвеличин асимметрии КА. Основным достоин- ством нелинейной низкочастотной системы является возможностьприменения традиционных асимптотических методов для анализа данной системы. В част- ности,она может применяться для получения оценки вероятности захвата в ре- зонанс. Следует отметить,что низкочастотная система может описыватьотно- сительное движение КА при углах атаки[0, π/2]. Это значительно расширяет возможности использования низкочастотной системы по сравнению с известной квазилинейной системой КА[14], имеющей более сильные ограничения по углу атаки: [0, π/10]. Запишем низкочастотную систему уравнений в виде
I¯xdωx
dt =−εm–Axω2sin(θ+θ2), Fa
4ω2a dα
dt =εtgα 2ω2a
ω 2q
dq
dt ±εm–Aω2
2ωa cos(θ+θ1), dθ
dt =ωx−ω1,2,
(1)
где ε — малый параметр, характеризующий величину параметров массовой, инерционной и аэродинамической асимметрий; ωx —угловая скорость KAот- носительно оси Ox; α — угол атаки; θ — быстрая фаза; θ = ϕ−π/2; ϕ — аэродинамический угол крена; mAx — функция, характеризующая величину массовой и инерционной асимметрий [14]; mA — функция, характеризующая величину массовой,инерционной и аэродинамической асимметрий;θ1 —функ- ция, которая определяет взаимное расположение массово-инерционной и аэро- динамической асимметрий [15]; θ2 — функция, которая определяет взаимное расположение массовой и инерционной асимметрий; Fα(ωx, α, q) — известная функция медленных переменных[15];
mA(ωx, α, q) = ,
(mA1)2+ (mA2)2, sinθ1=mA1/mA, cosθ1=−mA2/mA, mAx(ωx, α, q) =
,
(mAx1)2+ (mAx2)2, sinθ2=−mAx1/mAx, cosθ2 =mAx2/mAx; ω1,2 — частоты «прямой» и «обратной» прецессий [15]; ω1,2(ωx, α, q) = I¯xωx/2±ωa; ¯Ix =Ix/I; Ix, Iy =Iz =I — моменты инерции КА относительно осей координат системOxyz;ωa(ωx, α, q) =I¯x2ω2x/4 +ω2;ω—частота прецес- сии при угловой скоростиωx= 0;ω(α, q) =
−mznqSLctgα/I,q—скоростной
76 Е.В.Куркина,В. В.Любимов
напор;S —площадьмиделевого сечения; L—длинаKA;mzn—коэффициент восстанавливающего аэродинамического момента, Δ =ωx−ω1,2—резонансное соотношение частот. В системе уравнений (1) содержатся обозначения ±, ∓.
Здесьверхний знак выбирается приωx>0,нижний —при ωx <0. Применя- емые безразмерные функции асимметрии соответственно равны m–Ax =mAx/ω2; m–A=mA/ω2.
Первые два уравнения системы(1)описывают изменение медленных соста- вляющих движения КА относительно центра масс при спуске аппарата с малой асимметрией в атмосфере. Начальные значений переменных системы(1): угло- вая скорость ωx(0) может принимать произвольные действительные значения, угол атакиα(0)выбирается из интервала[0, π/2],быстрая фазаθ(0)может при- ниматьзначения из интервала[−2π,2π]. Система уравнений движения КА (1) решается численно совместно с тремя уравнениями,характеризующими движе- ние центра масс и учитывающими угол наклона траекторииϑ,скоростьцентра массV и высоту полета аппаратаH [16].
Система уравнений (1) представляет собой систему с одной быстрой фа- зой θ, частотой Δ = ωx−ω1,2 и двумя медленными переменными ωx и α.
Отметим, что для исследования системы (1) можно использовать, например, как в работе[6], метод нерезонансного усреднения по быстрой фазеθ. Однако целью данной работы является получение оценки вероятности захвата в резо- нанс. При этом система(1)зависит от скоростного напораq=ρV2/2,который также изменяется медленно. Здесьплотностьатмосферыρи скоростьцентра масс аппаратаV рассчитываются в данной момент времениt. Следовательно, функцияω(α, q)также является медленной. Скоростьцентра масс определяет- ся из численного решения уравнения. Следует отметить,что скоростной напор q(t)при атмосферном спуске КА описывается кривой с одним максимумом(со- держит интервал возрастания и интервал убывания).
Известно[15],что в системе(1)возможен главный резонанс,реализующий- ся при выполнении равенства dθ
dt =ωx−ω1,2= 0. Из решения этого уравнения находим резонансное значение угловой скорости ωrx=±ω/
1−I¯x.
2. Оценка вероятности захвата в главныйрезонанс. Известно [7], что для получения оценки вероятности захвата в главный резонанс линейная система уравнений асимметричного КА в атмосфере приводится к «маятнико- вой» форме. При этом вероятностьзахвата в главный резонанс по начальным условиям на сепаратрисе определяется по известной формуле[12]:
Pr= 1
c
−dH' dt dt 2π|a|+1
2 1
c
−dH' dt dt
. (2)
Здесьвыполняется условие 0 < 2
c
−dH'
dt dt < 2π|a|+ 1 2 2
c
−dH'
dt dt. При этом интеграл Q = 2
c
−dH'
dt dt вычисляется по замкнутому контуру сепаратрисы, разделяющей области резонансного и нерезонансного движений [12]. Данный интеграл представляет собой приращение энергии маятника, вычисленное на сепаратрисе. Обозначение a описывает величину вращающего момента, дей- ствующего на маятник. В соответствии с работой [7]получаем, что при вы- полнении неравенства 2
c
−dH'
dt dt≥ 4π|a| вероятностьзахвата в рассматривае-
мый резонанс равна единице. Отметим, что числительвыражения (2)опреде- ляет фазовый объем начальных условий на сепаратрисе,приводящих к захвату в резонанс. Знаменательвыражения (2) определяет фазовый объем началь- ных условий на сепаратрисе, которые приводят как к захвату в резонанс, так и к проходу через резонанс.
Покажем,что на основе низкочастотной системы уравнений (1)можно по- лучитьоценку вероятности захвата в главный резонанс,применяя формулу(2) и методику,описанную в работе[7]для линейной системы.
Для аналитического вычисления интеграла 2
c
−dH'
dt dt требуется записать выражение производной полной механической энергии dH'
dt ,отсчитываемой от сепаратрисы. Следует отметить,что авторам не удалосьвычислитьинтеграл Q=2
c
−dH'
dt dtв элементарных функциях аналитически без введения упрощаю- щих его предположений. По этой причине в дальнейшем для аналитического вычисления указанного интеграла в нелинейном случае вводится упрощающее предположение.
С целью аналитического вычисления интеграла Q система (1) представ- ляется в «маятниковой» форме[17, 18]. При этом выполняется замена перемен- ной ωx→ρ= Δ/√
ε, Δ =ωx−ω1,2,и вводится медленное время τ =√ εt, где μ=√
ε. Отметим, чтоτ —медленное время,ρ— расстояние до резонансной поверхности Δ =ωx−ω1,2= 0. После разложения правых частей системы (1) в ряд Маклорена по малому параметру μполучим
dσ
dτ =μE(σ, θ) +O(μ2), dρ
dτ =P(σ, θ) +μa+O(μ2), dθ
dτ =ρ, (3) где σ = (α, ω) — вектор медленных переменных, E = dσ
dτ, εP = ∂Δ
∂ωx
dωx dt +
∂Δ
∂σ dσ
dt. ЗдесьфункцииE, P являются периодичными по быстрой фазеθ с пе- риодом 2π. В системе (3) вводится упрощающее предположение о малости положительного моментаa(σ) =o(μ).
Приμ= 0получаем невозмущенную систему σ= const, dρ
dτ =P(σ, θ), dθ
dτ =ρ. (4)
ЗдесьP(σ, θ) =−b(σ) sin(θ+θ3).
Положительные функции a(σ),b(σ)могут бытьзаписаны в форме, анало- гичной выражениям работы [8]. Запишем уравнение невозмущенного движе- ния(4) в виде
d2θ¯
dτ2 =−b(σ) sin ¯θ, (5) гдеθ¯=θ+θ3. Следует отметить,что уравнение (5)представляет собой урав- нение движения маятника с моментом,периодическим по углуθ.¯
Как в случае,описанном в работе[8],фазовый портрет системы(2)состоит из двух областей вращательных нерезонансных движений и одной колебатель- ной области резонансного движения,отделенных сепаратрисой.
В невозмущенном случае при a(σ) = 0 получаем аналог потенциальной энергии системыΠ(σ,θ):¯
Π(σ,θ) =¯ −
P dθ¯=b(σ)
sin ¯θ dθ¯=−b(σ) cos ¯θ=b(σ)
1−2 cos2θ¯ 2
. (6)
78 Е.В.Куркина,В. В.Любимов
Из выражения (6) можно найти величину аналога потенциальной энергии на сепаратрисе. Действительно, в точках типа седло, расположенных на сепара- трисеθ¯∗1,θ¯∗2=−π, π,аналог потенциальной энергии принимает максимальное значение Π∗(σ,θ¯∗2,3) =−bcos ¯θ∗2,3 =b. В результате находим аналог полной механической энергии, отсчитываемой от сепаратрисы при условии малости моментаa(σ):
H' = ρ2
2 + Π(σ,θ)¯ −Π∗(σ,θ¯∗1,2) = ρ2
2 −2b(σ) cos2 θ¯
2. (7)
Условие равенства нулю функции (7) позволяет найти уравнение сепара- трисы ρc=ρc(¯θ):
ρ±c =±2√ bcosθ¯
2. (8)
Далее дифференцируем функциюH' с учетом уравнений(3). В результате получаем
dH'
dτ =μaρ−2μdb dτ cos2θ¯
2+O(μ2), (9)
где функция db dτ = ∂b
∂α dα dτ+∂b
∂ω dω
dτ. Здесьпроизводные dρ dτ и dθ¯
dτ заменены их зна- чениями согласно системе уравнений(3). Применяя выражение(9),вычисляем аналитически интеграл Q = 2
c
−dH'
dt dt по замкнутому контуру сепаратрисы в элементарных функциях. Для этого применяем выражение (8). При этом пределы интегрирования по углуθ¯∈[−π/2, π/2]. В результате получаем
Q=|24C1+ 8C2cosθ4| 3√
b , (10)
где уголθ4=θ1−θ3,функции C1= ∂b
∂α
−2ωtgα Fa
dω dt
+ ∂b
∂ω dω
dt, C2= ∂b
∂α
±2mAωa Fa
.
В результате применения формулы (2) для случая α ∈ [0, π/2] и малого момента a(σ) > 0 получаем оценку вероятности захвата в главный резонанс в виде
Pr= Q
2π|a(σ)|+Q/2, если Q <4π|a(σ)|;
Pr= 1, если Q≥4π|a(σ)|,
(11) где
a(σ) =−∂Δ
∂α
2ωtgα Fa
dω dt
+∂Δ
∂ω dω
dt, b(σ) = ,
mf12+mf22, mf1=−∂Δ
∂ωx
mAx2 I¯x
±∂Δ
∂α
2ωamA1 Fa
, mf2= ∂Δ
∂ωx
mAx1 I¯x
±∂Δ
∂α
2ωamA2 Fa
, cosθ3=mf1/b(σ), sinθ3=mf2/b(σ).
Здесьугол θ3 определяется взаимным расположением массовой, инерционной и аэродинамической асимметрий.
Следует отметить,что оценка (11)представляет собой обобщение резуль- татов работы [8]. Действительно, функции асимметрии mAx1, mAx2, mA1, mA2 содержат в выражениях (11) не только аэродинамическую и массовую, но и инерционную асимметрии. Вероятностьпрохода через главный резонанс равна(1−Pr),где вероятностьзахвата в резонансPrопределяется из выраже- ния(11).
3. Случайгарантированного прохода через резонанс. Остановимся подробнее на случае прохода через резонанс(при вероятности захватаPr= 0).
Величину асимметрии, при которой вероятностьзахвата в резонанс равна ну- лю, можно найти из необходимого условия существования устойчивого резо- нанса[8]:
P(σ, θ) =a(σ) +b(σ) sin(¯θ) = 0. (12) Здесьугол θ¯ = θ+θ3. Уравнение (12) выполнимо в том случае [13], когда
|sin(¯θ)| ≤1. В результате получаем неравенство a(σ)
b(σ)
≤1. (13) Подставляя выражения a(σ), b(σ) из выражений(11) в условие (13), получим оценку параметров асимметрии спускаемого КА при реализации гарантирован- ного прохода через главный резонанс:
−∂Δ
∂α
2ωtgα Fa
dω dt
+∂Δ
∂ω dω
dt 3
−∂Δ
∂ωx
mAx2 I¯x
±∂Δ
∂α
2ωamA1 Fa
2 +
∂Δ
∂ωx
mAx1 I¯x
±∂Δ
∂α
2ωamA2 Fa
2 ≤1.
Полученная оценка величин асимметрии(14)представлена в виде зависимости(14) массово-инерционной асимметрии от аэродинамической асимметрии.
Рассмотрим частный случай ортогонального сочетания асимметрий θ1−θ2=π. При этом условие(14)примет вид
−∂Δ
∂α
2ωtgα Fa
dω dt
+∂Δ
∂ω dω
dt 3∂Δ
∂ωx mAx2
I¯x 2
+ ∂Δ
∂α
2ωamA2 Fa
2 ≤1. (15)
4. Случайгарантированного захвата в резонанс. Рассмотрим слу- чай гарантированного захвата в резонанс, когда вероятностьзахвата в резо- нанс равна единице (Pr = 1) и выполняется условие Q ≥ 4π|a|. Учитывая выражения (11),получим
Q= 24∂b
∂ω dω
dt −48∂b
∂α
ωtgα Fa
dω dt
±16∂b
∂α
mAωa
Fa
cosθ4 3√
b .
Подставляя выражение для Q в условие Q ≥ 4π|a(σ)|, получим следующую оценку параметров асимметрии КА при реализации гарантированного захвата в главный резонанс в виде зависимости массово-инерционной асимметрии от аэродинамической асимметрии:
6∂b
∂ω dω
dt −12∂b
∂α
ωtgα Fa
dω dt
±4∂b
∂α
mAωa Fa
cosθ4
3π√
b|a(σ)| ≥1. (16)
Рассмотрим частный случай,когда наблюдается ортогональное сочетание асимметрий, а именно, θ1−θ2 = π. Здесьсправедливы равенства sinθ4 = 0, cosθ4=−1. При этом условие(16)примет вид
6∂b
∂ω dω
dt −12∂b
∂α
ωtgα Fa
dω dt
∓4∂b
∂α
mAωa Fa
3π√
b|a(σ)| ≥1. (17)
80 Е.В.Куркина,В. В.Любимов
Полученные оценки (16)и (17)позволяют найти величины аэродинамической асимметрии через известные величины массовой и инерционной асимметрий или наоборот. Кроме того,указанные оценки можно применятьдля исследова- ния влияния величин массово-инерционной и аэродинамической асимметрий на вероятностьзахвата и прохода через резонанс. В работе[10]приведены анало- гичные оценки функций асимметрии для случая малых углов атаки. Отметим, что полученные в данной работе оценки позволяют найти величины асимме- трии при численном решении соответствующих им неравенств (14)и(16).
5. Численные результаты. При численном моделировании предпола- галось, что спускаемый космический аппарат имеет массово-инерционные ха- рактеристики, аналогичные спускаемому космическому аппарату Mars Polar Lander [19]: наибольший радиус основания конуса r = 1,25 м, высота кону- са l = 2 м и масса m = 576 кг, осевые моменты инерции Ix = 270 кгм2, Iy = 443кгм2, Iz = 443кгм2. Рассматриваемый КА совершает спуск в атмо- сфере Марса(средний радиусR0= 3390км)при среднем ускорении свободного паденияg0= 3,86м/с2. Начальные условия входа КА в атмосферу имеют вид:
скоростьцентра масс V(0) = 3400 м/с, высота полета Н(0) = 120 км, угол наклона траектории ϑ(0) =−0,017рад.
На рис. 1 представлена зависимостьвеличины функции асимметрии m–Ax от величины функции асимметрии m–A. Начальные условия для уравнений системы (1) имели следующие величины: угловая скорость ωx(0) = 0,6 с−1, угол атаки α(0) = π/6 рад, угол θ(0) = π/6 рад. Угол θ1 −θ2 считался неизменным и равным π. Верхняя кривая на рис. 1 указывает нижнюю гра- ницу области гарантированного захвата в резонанс (Pr = 1), полученную из численного решения неравенства (16). Нижняя кривая на рис. 1 формирует верхнюю границу области гарантированного прохода через резонанс (Pr= 0), которая определяется из численного решения неравенства (14). Кроме того, в области значений функций асимметрииm–Ax, –mA, расположенной между кри- выми на рис. 1, вероятностьзахвата в резонанс рассчитывается по формуле Pr=Q/(2π|a|+Q/2). В области между кривыми вероятностьзахвата находит- ся в интервале 0< Pr<1. Следует отметить,что численное интегрирование системы (1)при идентичных начальных условиях и параметрах КА подтвер- дило корректностьпостроенных на рис. 1 трех областей значений функций асимметрииm–Ax, –mA.
Рис. 1. Величины параметров асимметрии КА при спуске в атмосфере Марса:
——проход; ——захват
На рис. 2 показано изменение угловой скорости ωx(t) (сплошная кривая) и изменение резонансных значений ωxr(t) (пунктирная кривая) при захвате в главный резонанс в случае неизменного угла ортогонального сочетания асим- метрийθ1−θ2=πи при неизменных величинахm–Ax = 0,05иm–A= 0,05.
Рис. 2построен посредством численного интегрирования системы уравне- ний(1). Начальные условия для системы уравнений(1)аналогичны начальным условиям,учитываемым при построении рис. 1. Из рис. 2следует,что в рассма- триваемом частном случае происходит захват в главный резонанс с последую- щей длительной реализацией данного резонанса. Следует также отметить,что в данном частном случае наблюдается выполнение условия гарантированного захвата (17).
Рис. 2. Изменение угловой скоростиωx(t)и резонансных значенийωrx(t) при захвате в резонанс в случае θ1−θ2=π
На рис. 3 также показано изменение угловой скорости ωx(t) и изменение резонансных значенийωxr(t)при проходе через главный резонанс в случае неиз- менного угла ортогонального сочетания асимметрий θ1−θ2 =π. Здесьфунк- ции асимметрии считалисьпостоянными и равными m–Ax = 0,005, –mA = 0,1.
Рис. 3 построен посредством численного интегрирования системы уравнений относительного движения (1). Начальные условия для системы уравнений (1) имели следующие величины: угловая скорость ωx(0) = 0,45 с−1, угол атаки α(0) = π/6 рад, угол θ(0) = π/6 рад. Из рис. 3 следует, что в рассматри- ваемом частном случае происходит проход через главный резонанс. При этом в данном частном случае наблюдается выполнение условия гарантированного прохода(15).
Заключение. Проведен анализ вероятности захвата и прохода динамиче- ской системы движения космического аппарата через резонанс при значениях угла атаки α∈[0, π/2]рад. В процессе анализа вероятности захвата и прохо- да через главный резонанс применялисьприближенные нелинейные уравнения движения космического аппарата с малой массово-инерционной и аэродинами- ческой асимметриями. Получены оценки параметров асимметрии спускаемого космического аппарата при реализации как гарантированного захвата в глав- ный резонанс,так и гарантированного прохода через главный резонанс. Оцен- ки величин асимметрии представлены в виде зависимости массово-инерционной асимметрии от аэродинамической асимметрии. Представленные оценки позво-
82 Е.В.Куркина,В. В.Любимов
Рис. 3. Изменение угловой скоростиωx(t)и резонансных значенийωrx(t) при проходе через резонанс в случаеθ1−θ2=π
ляют найти величины аэродинамической асимметрии через известные величи- ны массово-инерционной асимметрии или наоборот. Кроме того, полученные оценки следует применятьпри анализе влияния величин массово-инерционной и аэродинамической асимметрий на значение вероятности захвата или прохода через резонанс. Эти оценки являются практически значимыми результатами, так как они могут использоваться при проектировании и эксплуатации косми- ческих аппаратов,осуществляющих неуправляемый спуск в атмосфере планет земной группы. Отметим, что рассмотренный в данной работе подход мо- жет бытьиспользован для получения оценки вероятности захвата в резонанс в ряде других задач динамики, например в задаче о возмущенном движении асимметричного твердого тела относительно неподвижной точки или в задаче о вращательном движении спутника с постоянными магнитами на борту. При этом движение твердого тела или спутника требуется описыватьнелинейной низкочастотной системой уравнений,аналогичной системе(1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Lorenz R.Attitude and angular rates of planetary probes during atmospheric descent: Impli- cations for imaging // J. Planetary and Space Science. 2010. V. 58. P. 838–846.
2. Казаковцев В.П.,Корянов В.В.Метод исследования динамики углового движения кос- мического спускаемого аппарата с надувным тормозным устройством//Вестн.МГТУ им.Н.Э.Баумана.Сер.Машиностроение. 2012.№3.С. 39–46.
3. Lyubimov V. V., Lashin V. S.External stability of a resonance during the descent of a SC with a small variable asymmetry in the martian atmosphere // J. Adv. Space Research. 2017.
V. 59, N 6. P. 1607–1613.
4. Zabolotnov Yu. M., Lyubimov V. V. Application of the method of integral manifolds for construction of resonant curves for the problem of spacecraft entry into the atmosphere //
J. Cosmic Research. 2003. V. 41. P. 453–459.
5. Lyubimov V. V., , Kurkina E. V. Simulation of the dynamics of non-resonant motion in a controlled descent of an asymmetric spacecraft in the low-density atmosphere // CEUR Workshop Proceedings. 2016. N 1638. P. 610–621.
6. Lyubimov V. V.Asymptotic analysis of the secondary resonance effects in the rotation of a SC with small asymmetry in the atmosphere // J. Russian Aeronautics. 2014. V 3, N 57.
P. 245–252.
7. Белоконов В.М.,Заболотнов М.Ю.Оценка вероятности захвата в резонансный режим движения космического аппарата при спуске в атмосферу//Космические исследования. 2002.Т. 40,№5.С. 503–514.
8. Любимов В.В.,Куркина Е.В.Вероятность захвата в резонанс асимметричной капсулы при управляемом спуске в атмосфере Марса//Мехатроника.Автоматизация.Управле- ние. 2017.Т. 18,№8.С. 564–571.
9. Lyubimov V. V.Dynamics and control of angular acceleration of a re-entry spacecraft with a small asymmetry in the atmosphere in the presence of the secondary resonance effect //
Internat. Siberian Conf. on Control and Communications. Omsk, 2015. P. 1–4.
10. Бобылев А.В.,Ярошевский В.А.Оценка условий захвата в режим резонансного враще- ния неуправляемого тела при спуске в атмосферу//Космические исследования. 1999.
Т. 37,№5.С. 515–523.
11. Любимов В.В.Оценка вероятности захвата в резонанс при движении динамически не- симметричного твердого тела в атмосфере//Вестн.Самар.гос.техн.ун-та.Сер.Физ.- мат.науки. 2007.Т. 15,№2,С. 110–115.
12. Neishtadt A.Averaging, capture into resonances, and chaos in nonlinear system // CHAOS.
N. Y., 1990. P. 261–273.
13. Заболотнов Ю.М.Метод исследования резонансного движения одной нелинейной коле- бательной системы//Известия РАН.Механика твердого тела. 1999.№1.С. 33–45.
14. Заболотнов Ю.М.Асимптотический анализ квазилинейныхуравнений движения в ат- мосфере КА с малой асимметрией// Космические исследования. 1993. Т. 31, № 6.
С. 39–50.
15. Любимов В.В.Внешняя устойчивость резонансов в динамике полета космическихап- паратов с малой асимметрией.Самара:Изд-во СНЦ РАН, 2013.
16. Ярошевский В.А.Движение неуправляемого тела в атмосфере.М.: Машиностроение, 1978.
17. Арнольд В.И.,Козлов В.В., Нейштадт А.И.Математические аспекты классической и небесной механики//Динамические системы.М.: ВИНИТИ, 1985.Т. 3. (Итоги науки и тех ники).
18. Заболотнов Ю.М.Резонансные движения статически устойчивого волчка Лагранжа//
Прикладная математика и механика. 2016.Т. 80,вып. 4.С. 432–443.
19. Mars Polar Lander.URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Mars Polar Lander
Статья поступила19декабря2017г.
Куркина Екатерина Владимировна Любимов Владислав Васильевич
Самарский национальный исследовательский университет им. акад. С.П.Королева Московское шоссе, 34
443086г.Самара
E-mail: ekaterina.kurkina@mail.ru; vlubimov@mail.ru
