ODNOVREMENNOE PRIVEDENIE K BLOQNO{TREUGOL^NOMU VIDU

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Х. Д. Икрамов, Х. Фассбендер, Одновременное приведение к блочно- треугольному виду посредством унитарных конгруэнций, Зап. научн. сем. ПО- МИ, 2007, том 346, 49–62

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

4 ноября 2022 г., 21:22:10

seminarov POMI Tom 346, 2007 g.

H. D. Ikramov, H. Fassbender

ODNOVREMENNOE PRIVEDENIE K BLOQNO{TREUGOL^NOMU VIDU

POSREDSTVOM UNITARNYH KONGRUNCI 1. Vvedenie

Odna iz klassiqeskih teorem o perestanovoqnyh matricah utverdaet sleduwee (sm. 1, razdel

I

.4.21]).

Teorema 1. Perestanovoqnye matricy AB

^{2Cn n}

mogut byt~

privedeny k treugol~nomu vidu odnim i tem e unitarnym podo- biem, t.e. suwestvuet unitarna matrica U

^{2Cn n}

taka, qto obe matricy U

AU i U

BU treugol~nye.

Dl opredelennosti my budem v dal~nexem sqitat~, qto pri- vedennye matricy vlts verhnimi treugol~nymi.

Standartnoe dokazatel~stvo teoremy 1 osnovyvaets na sle- duwem utverdenii:

Teorema 2. Perestanovoqnye matricy AB

^{2 Cn n}

imet ob- wi sobstvenny vektor.

Osnovna cel~ to stat~i sostoit v dokazatel~stve dvuh utverdeni, analogiqnyh teoremam 1 i 2, no kasawihs uni- tarnyh kongrunci, a ne podobi. ti utverdeni formu- liruts i dokazyvats v razdele 3. Neobhodimye dl to- go opredeleni i fakty privedeny v razdele 2. Sledstvi na- xih osnovnyh teorem, otnoswies k klassu kompleksnyh sim- metriqnyh matric, a take k bolee obwemu klassu soprenno- normal~nyh matric, obsudats v razdele 5.

Teoremy 1 i 2 v destvitel~nosti spravedlivy v sleduwih bolee sil~nyh formulirovkah.

Teorema 3. Pust~

^f

A

i^gCn n

{ proizvol~noe (koneqnoe ili bes- koneqnoe) seme stvo perestanovoqnyh matric. Togda vse matri-

Rabota vtorogo avtora nad to stat~e byla podderana grantom Ne- meckogo nauqno-issledovatel~skogo obwestva

(DFG)

.

49

cy togo seme stva mogut byt~ privedeny k treugol~nomu vidu odnim i tem e unitarnym podobiem.

Teorema 4. Pust~

^f

A

i^gCn n

{ proizvol~noe (koneqnoe ili bes- koneqnoe) seme stvo perestanovoqnyh matric. Togda suwestvuet sobstvenny vektor, obwi dl vseh matric iz

^f

A

i^g

.

V razdele 4 my dokazyvaem analogi teorem 3 i 4 dl unitar- nyh kongrunci.

2. Predvaritel~nye svedeni

Pontie psevdoinvariantnogo podprostranstva (vpervye vve- dennoe v 2]) igraet vanu rol~ v to stat~e. Pust~ ^L { pro- izvol~noe podprostranstvo v^Cn. Opredelim podprostranstvo^L sootnoxeniem

L

=

^f

x

^j

x

^2Lg

:

Nazovem^L psevdoinvariantnym podprostranstvom matricy

A

²

Cn n_{, esli}

A

^LL

:

Esli

dim

^L

= 1

, to vski nenulevo vektor

x

^{2 L} nazyvaets psevdosobstvennym vektorom matricy

A

^.

Ne vska matrica iz^Cn nimeet psevdosobstvennye vektory bolee togo, u bol~xinstva matric takih vektorov net. Odnako spravedlivo sleduwee utverdenie.

Teorema 5. Vska matrica A

^{2Cn n}

imeet psevdoinvariant- noe podprostranstvo razmernosti

1

ili

2

.

Dokazatel~stvo togo utverdeni dano v 3].

Svem s matrice

A

^{2Cn n} matricy

A

L

= AA

ⁱ

A

R

= AA:

Kado matrice

A

^{2Cn n} my sopostavim

n

kompleksnyh qi- sel, nazyvaemyh ee psevdosobstvennymi znaqenimi. Naxe opre- delenie psevdosobstvennyh znaqeni otliqaets ot opredeleni, privedennogo v 4, razdel 4.6]. Ono opiraets na sleduwie za- meqatel~nye svostva spektra matricy

A

L

= AA

.

1. On simmetriqen po otnoxeni k vewestvenno osi. Krome to- go, sobstvennye znaqeni

ⁱ

imet odinakovu kratnost~.

2. Esli u

A

L est~ otricatel~nye sobstvennye znaqeni, to oni obzatel~no imet qetnu algebraiqesku kratnost~.

Dokazatel~stva tih utverdeni mono nati v 4, razdel 4.6, zadaqi 5{7].

Pust~

(A

L

) =

^f

¹

:::

n^gest~ spektr matricy

A

L^.

Opredelenie. Psevdosobstvennymi znaqenimi matricy A na- zyvats n qisel

¹

:::

n

, poluqaemyh sleduwim obrazom.

Esli

i ²

(A

L

) ne leit na vewestvenno otricatel~no poluosi, to sootvetstvuwee psevdosobstvennoe znaqenie

i

opredelets kak kvadratny koren~ iz

i

, imewi neotrica- tel~nu vewestvennu qast~:

i

=

_i¹²

Re

i

0:

Kratnost~ qisla

i

polagaets ravno kratnosti

i

.

S vewestvennym otricatel~nym qislom

i²

(A

L

) my svzy- vaem dva soprennyh qisto mnimyh psevdosobstvennyh zna-

qeni

i

=

_i¹²

:

Kratnost~ kadogo iz nih sqitaets ravno polovine kratno- sti sobstvennogo znaqeni

i

. Mnoestvo

c(A) =

^f

¹

:::

n^g

nazyvaets psevdospektrom matricy A .

V qastnosti, psevdosobstvennye znaqeni kompleksno simme- triqno matricy

A

sut~ vewestvennye neotricatel~nye qisla, ravnye singulrnym qislam to matricy.

Sleduwa teorema igraet v teorii unitarnyh kongrunci tu e rol~, kaku v teorii unitarnogo podobi vypolnet teo- rema Xura o privedenii k treugol~nomu vidu (sm. 4]).

Teorema 6

(Teorema la)

. Vska matrica A

^{2 Cn n}

moet

byt~ privedena posredstvom unitarno kongruncii k bloqno-

treugol~nomu vidu s diagonal~nymi blokami pordkov

1

i

2

. Bloki

razmera 1

1 sootvetstvut vewestvennym neotricatel~nym

psevdosobstvennym znaqenim matricy A kady 2

2 blok so-

otvetstvuet pare soprennyh kompleksnyh psevdosobstvennyh

znaqeni .

ta bloqno-treugol~na matrica nazyvaets normal~no for- mo la matricy

A:

Ona moet byt~ verhne ili nine bloqno-treugol~no.

Matrica

A

^{2Cn n} nazyvaets soprenno-normal~no, esli

AA

= A

A:

(1)

Normal~na forma la soprenno-normal~no matricy { to bloqno-diagonal~na matrica s diagonal~nymi blokami pord- kov 1 i 2. Snova bloki razmera

1

1

sootvetstvut vewestvennym neotricatel~nym psevdosobstvennym znaqenim matricy

A

ka- dy

2

2

blok sootvetstvuet pare soprennyh kompleksnyh psevdosobstvennyh znaqeni.

Kompleksnye simmetriqnye matricy vlts soprenno- normal~nymi, a ih formy la sut~ neotricatel~nye diago- nal~nye matricy. V tom sostoit soderanie sleduwe klas- siqesko teoremy Takagi (sm. 4, razdel 4.4]).

Teorema 7

(Razloenie Takagi)

. Dl vsko simmetriqno ma- tricy S

^{2Cn n}

na duts unitarna matrica U i neotricatel~- na diagonal~na matrica

= diag(

¹

:::

_n

) takie, qto

S = UU

^T

:

Diagonal~nye lementy

¹

:::

n

sut~ singulrnye qisla, ili (qto to e) psevdosobstvennye znaqeni matricy S: Matrica U moet byt~ vybrana tak, qtoby psevdosobstvennye znaqeni stoli na diagonali matricy v lbom zadannom pordke.

3. Osnovnye rezul~taty

Naqnem so sleduwe lemmy.

Lemma 1. Pust~ AB

^{2Cn n}

{ psevdoperestanovoqnye matricy,

t.e. AB = BA:

⁽²⁾

Togda matricy seme stva

^f

AABBAB

^g

poparno perestanovoqny.

Dokazatel~stvo.

Ispol~zu (2), vyvodim

(AA)(BB) = A(AB)B = A(BA)B = (AB)(AB) = (BA)(BA)

= B(AB)A = B(BA)A = (BB)(AA)

(AA)(AB) = (AA)(BA) = A(AB)A = A(BA)A = (AB)(AA) (BB)(AB) = B(BA)B = B(AB)B = (BA)(BB) = (AB)(BB):

Teper~ my dokaem analog teoremy 2.

Teorema 8. Psevdoperestanovoqnye matricy AB

^{2Cn n}

imet obwee psevdoinvariantnoe podprostranstvo razmernosti

1

ili

2

. Dokazatel~stvo.

Lemma 1 daet predstavlenie o tom, kak sle- duet dokazyvat~ teoremu. Soglasno teoreme 4, kommutiruwee semestvo^f

AABBAB

^g imeet obwi sobstvenny vektor. Obo- znaqim ego qerez

x:

Togda

AAx = x

⁽³⁾

BBx = x

(4)

ABx = x

(5)

gde

^,

ⁱ

{ nekotorye qisla. Opredelim vektory

y

ⁱ

z

^soot-

noxenimi

y = Ax

(6)

i

z = Bx:

⁽⁷⁾

Teper~, ispol~zu ravenstva (3){(5), poluqim:

Ay = A(Ax) = AAx = x

⁽⁸⁾

Az = A(Bx) = ABx = x

(9)

By = B(Ax) = BAx = ABx = x

(10)

Bz = B(Bx) = BBx = x:

⁽¹¹⁾

Sootnoxeni (6){(11) mono obedinit~ sleduwim obrazom:

A x y z] = x y z]

A

⁽¹²⁾

B x y z] = x y z]

B

:

⁽¹³⁾

Zdes~

A

=

2

4

0 1 0 0 0 0 0

3

5 (14)

i

B

=

2

4

0 0 0 0 1 0 0

3

5 (15)

Uravneni (12) i (13) pokazyvat, qto ^L

= span

^f

xyz

^g est~

obwee psevdoinvariantnoe podprostranstvo matric

A

i

B

. Esli

dim

^L

2

, to dokazyvat~ neqego. Potomu my predpoloim, qto vektory

xy

i

z

lineno nezavisimy.

Iz (12) i (13) sledut sootnoxeni

AB x y z] = x y z]

A

B i

BA x y z] = x y z]

B

A

:

Poskol~ku

AB = BA

i

rank(x y z) = 3

, imeem

_A

_B

=

_B

_A

:

(16)

Odnako,

A

B

=

2

4

0 0 0 0 0 0

3

5 i

B

A

=

2

4

0 0 0 0 0 0

3

5

:

Takim obrazom, ravenstvo (16) vozmono togda i tol~ko togda, kogda

= = = 0:

to oznaqaet, qto

Ay = 0 Az = 0

i

By = 0 Bz = 0:

Tem samym kady iz vektorov

y

ⁱ

z

opredelet odnomer- noe psevdoinvariantnoe podprostranstvo, obwee dl

A

i

B

, a

span

^f

yz

^g est~ obwee dvumernoe psevdoinvariantnoe podpro- stranstvo. Teorema dokazana.

Teper~ my sformuliruem analog teoremy 1.

Teorema 9. Dl psevdoperestanovoqnyh matric AB

^{2 Cn n}

na dets unitarna matrica U

^{2 Cn n}

taka, qto U

^T

AU i U

^T

BU imet odinakovu bloqno-treugol~nu formu s diagonal~- nymi blokami pordkov

1

i

2

.

Dokazatel~stvo.

Budem rassudat~ tak e, kak v standartnom dokazatel~stve teoremy 1, t.e. postroim v vnom vide unitarnu matricu, kotora privodit k elaemomu vidu i

A

, i

B

. Pust~^L { obwee psevdoinvariantnoe podprostranstvo razmernosti 1 ili 2 dl

A

ⁱ

B

. Suwestvovanie takogo podprostranstva garantiru- ets teoremo 8. Vyberem v ^L kako-libo ortonormirovanny bazis. On sostoit iz edinstvennogo vektora

u

^{1, esli}

dim

^L

= 1

(sluqa 1), ili pary ortonormirovannyh vektorov

u

¹

u

^{2, esli}

dim

^L

= 2

(sluqa 2). Postroim unitarnu matricu

U

¹, dl koto- ro

u

¹vlets pervym stolbcom (sluqa 1) ili

u

¹

u

² vlts pervymi dvum stolbcami (sluqa 2). Zatem vypolnim unitar- nu kongrunci

A

^!

A

¹

= U

^1T

AU

¹

B

^!

B

¹

= U

^1T

BU

¹

:

(17) Poskol~ku

Au

¹

=

A

u

¹

Bu

¹

=

B

u

¹

(sluqa 1) i

A u

¹

u

²

] = u

¹

u

²

]M

A

B u

¹

u

²

] = u

¹

u

²

]M

B

(sluqa 2), matricy

A

¹ i

B

¹ v sootnoxenih (17) dolny byt~

bloqno-treugol~nymi:

A

¹

=

A

¹¹

A

¹²

0 A

²²

B

¹

=

B

¹¹

B

¹²

0 B

²²

:

⁽¹⁸⁾

Perehod ot matric

A

ⁱ

B

k matricam (18) est~ pervy xag v naxem processe privedeni.

Zametim, qto svostvo psevdoperestanovoqnosti (2) sohran- ets unitarnymi kongruncimi. Otsda sleduet, qto diago- nal~nye bloki matric (18) udovletvort sootnoxeni

A

²²

B

²²

= B

²²

A

²²

:

Na vtorom xage privedeni

A

²² i

B

²² obrabatyvats takim e obrazom, kakim

A

ⁱ

B

byli obrabotany na pervom. Pust~

V

{ poluqenna v rezul~tate unitarna matrica pordka

n

^;

1

(sluqa 1) ili

n

^;

2

(sluqa 2). Poloim

U

²

= 1

V

(sluqa 1) ili

U

²

= I

²

V

(sluqa 2), gde

I

² est~ ediniqna matrica pordka 2. Togda

A

²

= U

^2T

A

¹

U

²

= (U

¹

U

²

)

^T

A(U

¹

U

²

)

i

B

²

= U

^2T

B

¹

U

²

= (U

¹

U

²

)

^T

B(U

¹

U

²

)

sut~ bloqno-treugol~nye matricy odinakovo bloqno struktu- ry:

A

²

=

2

4

A

¹¹

A

^e12

A

^e13

0 A

^e22

A

^e23

0 0 A

^e33

3

5

B

²

=

2

4

B

¹¹

B

^e12

B

^e13

0 B

^e22

B

^e23

0 0 B

^e33

3

5

:

Pordok (1 ili 2) blokov

A

^e22 i

B

^e22 zavisit ot razmernosti obwego psevdoinvariantnogo podprostranstva, vybrannogo dl psevdoperestanovoqnyh matric

A

²² i

B

²².

Prodola takim obrazom, my v koneqnom sqete privedem

A

ⁱ

B

k bloqno-treugol~no forme s diagonal~nymi blokami pord- kov 1 i 2. Proizvedenie unitarnyh matric

U

i, ispol~zovannyh na otdel~nyh xagah, daet trebuemu unitarnu matricu

U

^.

4. Odnovremennoe privedenie treh i bolee matric

V tom razdele my obobwim teoremy 8 i 9 s tem, qtoby po- luqit~ analogi teorem 3 i 4, otnoswies k unitarnym kongru- ncim.

Naqnem s oqevidnogo obobweni lemmy 1.

Lemma 2. Pust~ matriqnoe seme stvo

^A

=

^f

A

_i^{gCn n}

takovo,

qto A

_i

A

_j

= A

_j

A

_i (19)

dl lbyh dvuh matric A

i

i A

j

iz

^A

. Togda matricy seme stva

f

A

_i

A

_j^g

poparno perestanovoqny.

Teper~ my obobwim teoremu 8.

Teorema 10. Pust~ v seme stve

^A

=

^f

A

i^gCn n

lbye dve ma- tricy A

i

A

j ^{2 A}

psevdoperestanovoqny. Togda na dets psevdo- invariantnoe podprostranstvo razmernosti

1

ili

2

, obwee dl vseh matric iz

^A

.

Dokazatel~stvo.

Zametim, qto my moem ograniqit~s rassmo- treniem tol~ko koneqnyh semestv ^A. V samom dele, predpolo- im, qto ishodnoe semestvo ^A beskoneqno i

A

_i¹

::: A

_im est~

ego maksimal~noe lineno nezavisimoe podmnoestvo. Togda vskoe psevdoinvariantnoe podprostranstvo, obwee dl matric

A

_i¹

::: A

_im, v destvitel~nosti vlets obwim psevdoinvari- antnym podprostranstvom vsego semestva^A. to zameqanie po- kazyvaet take, qto matricy koneqnogo semestva ^A

=

^f

A

i^g (

i = 1::: m

) mono sqitat~ lineno nezavisimymi.

Po lemme 2, matricy semestva^f

A

_i

A

_j^g(

ij = 1::: m

) popar- no perestanovoqny. Pust~

x

{ obwi sobstvenny vektor togo semestva (sm. teoremu 4), t.e.

A

i

A

j

x =

ij

x ij = 1::: m:

(20) Zametim, qto, vsledstvie sootnoxeni psevdoperestanovoqno- sti,

ij

=

ji. Opredelim vektory

y

¹

::: y

m sootnoxenimi

y

_i

= A

i

x i = 1::: m:

(21) Togda

A

i

y

j

= A

i

A

j

x = A

i

A

j

x =

ij

x ij = 1::: m:

⁽²²⁾

Obedin sootnoxeni (21){(22), poluqim

A

_i

x y

¹

y

_m

] = x y

¹

y

_m

]

_i

i = 1::: m

(23) gde

¹

=

2

6

6

6

6

4

0

¹¹

¹²

¹m

1 0 0

0

0 0 0

0

... ... ... ...

0 0 0

0

3

7

7

7

7

5

(24)

²

=

2

6

6

6

6

6

6

4

0

²¹

²²

²m

0 0 0

0

1 0 0

0

0 0 0

0

... ... ... ...

0 0 0

0

3

7

7

7

7

7

7

5

(25)

i t.d.

Ravenstva (23) oznaqat, qto ^L

= span

^f

xy

¹

::: y

m^{g est~}

obwee psevdoinvariantnoe podprostranstvo vsego semestva^A. Esli

dim

^L

2

, to nuny rezul~tat poluqen. Potomu my pred- poloim, qto

d = dim

^L

= rank(x y

¹

::: y

m

)

3:

(26) Rassmotrim dva vozmonyh sluqa.

Sluqa 1: x

est~ linena kombinaci vektorov

y

¹

::: y

m^, t.e.

x =

¹

y

¹

+ ::: +

_m

y

_m (27) dl nekotoryh qisel ¹

:::

m. Togda, primen matricu

A

i⁽

i = 1::: m

) k obeim qastm ravenstva (27), poluqim (sm. (22))

A

_i

x =

^Xm

j⁼¹ j

_ij

x i = 1::: m:

Takim obrazom,

x

vlets psevdosobstvennym vektorom dl ka- do matricy

A

i^{, a}

span

^f

x

^gest~ obwee odnomernoe psevdoinva- riantnoe podprostranstvo semestva^A.

Sluqa 2: x

ne vlets lineno kombinacie vektorov

y

¹

::: y

m^.

Pust~

r

{ maksimal~noe qislo lineno nezavisimyh vektorov sredi

y

¹

::: y

m. Qtoby uprostit~ oboznaqeni, predpoloim, qto vektory

y

¹

::: y

r lineno nezavisimy. Vvidu (26),

r = d

^;

1

2:

Vska troka

xy

i

y

j

gde

1

ij

r

ⁱ

i

⁶

= j

lineno nezavisima, i k ne mono primenit~ rassudenie, is- pol~zovannoe v teoreme 8. Naprimer, dl

i = 1j = 2

imeem

A

¹

x y

¹

y

²

] = x y

¹

y

²

]M

¹

A

²

x y

¹

y

²

] = x y

¹

y

²

]M

²

gde

M

¹

=

2

4

0

¹¹

¹²

1 0 0

0 0 0

3

5 i

M

²

=

2

4

0

²¹

²²

0 0 0

1 0 0

3

5

:

Sootnoxenie psevdoperestanovoqnosti

A

¹

A

²

= A

²

A

¹ vleqet za sobo ravenstvo

M

¹

M

²

= M

²

M

¹

otkuda

¹¹

=

¹²

=

²¹

=

²²

= 0:

Analogiqnym obrazom pokazyvaem, qto

ij

= 0 ij = 1::: r:

Itak (sm. (22)),

A

i

y

j

= 0 ij = 1::: r:

(28) Esli

r = m

, to nuny rezul~tat poluqen. V samom dele, kady vektor

y

i ⁽

i = 1::: m

) opredelet obwee odnomernoe psevdoin- variantnoe podprostranstvo semestva ^A, a

span

^f

y

i

y

j^{g (}

i

⁶

= j

⁾

est~ obwee dvumernoe psevdoinvariantnoe podprostranstvo.

Pust~

r < m

i

r < j

m:

Poskol~ku

y

_j est~ linena kombinaci vektorov

y

¹

::: y

_r, my zaklqaem iz (28), qto

A

i

y

j

= 0 i = 1::: r j = r + 1::: m:

Odnako

A

j

y

i

= A

j

A

i

x = A

i

A

j

x = A

i

y

j

= 0

dl

i = 1::: rj = r+1::: m:

to oznaqaet, qto kady iz vek- torov

y

i ⁽

i = 1::: r

) prinadleit obwemu dru vsego semestva

A. Teorema dokazana.

Iz teoremy 10 nemedlenno vytekaet sleduwi analog teo- remy 3.

Teorema 11. Pust~ v seme stve

^A

=

^f

A

i^{g C}n n

lbye dve

matricy A

i

A

j ^{2 A}

psevdoperestanovoqny. Togda na dets uni-

tarna matrica U

^{2 Cn n}

taka, qto vse matricy U

^T

A

i

U ,

A

i^2A

imet odinakovu bloqno-treugol~nu formu s diagonal~- nymi blokami pordkov

1

i

2

.

Dokazatel~stvo teoremy 11 vlets poqti doslovnym povto- reniem dokazatel~stva teoremy 9. Otliqi sostot lix~ v sle- duwem: na kadom xage^Lvybiraets kak obwee psevdoinvari- antnoe podprostranstvo vsego tekuwego psevdoperestanovoqnogo semestva (a ne prosto pary matric, kak v teoreme 9), a vmesto teoremy 8 ispol~zuets teorema 10.

5. Odnovremennoe privedenie sopr enno-normal~nyh matric

Pust~

A

{ soprenno-normal~na matrica. Priravniva diagonal~nye lementy matric v opredelenii (1), zaklqaem, qto 2-norma

i

- stroki matricy

A

ravna 2-norme ee

i

^{-go stolb-}

ca (

1

i

n

). Iz togo nabldeni legko sleduet, qto esli soprenno-normal~na matrica

A

imeet bloqno-treugol~nu formu, to v destvitel~nosti

A

bloqno-diagonal~na i imeet te e diagonal~nye bloki. to privodit k takomu sledstvi teo- remy 9.

Teorema 12. Esli soprenno-normal~nye matricy AB

^{2Cn n}

psevdoperestanovoqny, to na dets unitarna matrica U

²

Cn n

taka, qto U

^T

AU i U

^T

BU imet odinakovu bloqno- diagonal~nu formu s diagonal~nymi blokami pordkov

1

i

2

.

Analogiqnoe sledstvie mono sformulirovat~ dl teore- my 11.

Teorema 12, razumeets, verna dl simmetriqnyh matric

A

ⁱ

B

. Odnako, v tom sluqae mono poluqit~ bolee sil~noe utver- denie.

Teorema 13. Pust~ AB

^{2Cn n}

{ psevdoperestanovoqnye simme- triqnye matricy. Togda na dets unitarna matrica V

^{2Cn n}

taka, qto matricy U

^T

AU i U

^T

BU vewestvennye i diagonal~- nye.

Dokazatel~stvo.

Poskol~ku

A = A

^{T i}

B = B

^T, to iz (2) vyte- kaet, qto

AB = BA = B

^T

A

^T

= (B)

A

= (AB)

:

Takim obrazom, matrica

AB

^rmitova.

V 4, sledstvie 4.5.18(b)] pokazano, qto simmetriqnye matri- cy

A

ⁱ

B

mogut byt~ privedeny k diagonal~nomu vidu odno i to e unitarno kongruncie, esli i tol~ko esli matrica

AB

vlets normal~no. Pust~

W

{ unitarna matrica, osu- westvlwa takoe privedenie dl naxih matric

A

ⁱ

B

^{. Togda}

matricy

= W

^T

AW = diag(

¹

:::

_n

)

i

M = W

^T

BW = diag(

¹

:::

n

)

diagonal~ny. Esli i

, i

M

vewestvenny, to teorema dokazana potomu my predpoloim, qto oni ne vlts vewestvennymi.

Svostvo psevdoperestanovoqnosti sohranets unitarnymi kongruncimi, otkuda sleduet, qto

M = M

ili

i

_i^2R

i = 1::: n:

Teper~ posredstvom kongruncii s podhodwe diagonal~no unitarno matrice

D

¹ my moem sdelat~ vse qisla

i ^vewe- stvennymi. Voobwe govor, to preobrazovanie izmenet matri- cu

, odnako matrica

= D

e ¹

D

^{1 (29)}

ostaets diagonal~no. K tomu e, novye qisla

^ei ⁱ

^ei ^udovle- tvort sootnoxenim

e

i

^ei^2R

i = 1::: n

otkuda sleduet, qto matrica (29) vewestvenna vo vseh pozicih, gde

i⁶

= 0

. Esli v matrice

^e ostats nevewestvennye lementy

f

j, to my moem sdelat~ ih vewestvennymi, vypoln ewe odnu kongrunci s podhodwe diagonal~no unitarno matrice

D

². ta matrica soderit edinicy v diagonal~nyh pozicih, dl kotoryh qisla ^e

i ue vewestvenny, potomu matrica

M =

^f

D

¹

MD

¹ ne izmenits. Otsda my zaklqaem, qto

= D

b ²

D

^{e 2 i}

M = D

^{c 2}

MD

^{f 2}

vlts nunymi vewestvennymi diagonal~nymi matricami, togda kak

V = WD

¹

D

²

est~ trebuema unitarna matrica.

Legko proverit~, qto spravedlivo sleduwee obrawenie te- oremy 13.

Teorema 14. Esli simmetriqnye matricy AB

^{2 Cn n}

mogut byt~ preobrazovany v vewestvennye diagonal~nye matricy po- sredstvom odno i to e kongruncii, to A i B psevdoperesta- novoqny.

Literatura

1. M. Markus, H. Mink,Obzor po teorii matric i matriqnyh neravenstv.

Nauka, M., 1972.

2.

Y. P. Hong, R. A. Horn,

On simultaneous reduction of families of matrices to triangular or diagonal form by unitary congruences

. | Linear Multilinear Algebra

17

(1985), 271{288.

3.

H. Fassbender, Kh. D. Ikramov,

Some observations on the Youla form and conjugate-normal matrices

. | Linear Algebra Appl.

⁴²²

(2007), 29{38.

4. R. Horn, Q. Donson,Matriqny analiz. Mir, M., 1990.

5.

D. C. Youla,

A normal form for a matrix under the unitary congruence group

. | Canad. J. Math.

¹³

(1961), 694{704.

Ikramov Kh. D., Fassbender H., Simultaneous reduction to block tri- angular form by a unitary congruence transformation.

Analogs of some classical theorems on commuting matrices are proved.

The new theorems deal with unitary congruences rather than unitary similarities commutation is replaced by concommutation, dened in the paper, whereas normaland Hermitian matrices are replaced by conjugate- normal and symmetric matrices, respectively.

Postupilo 18 nvar 2007 g.

Moskovski

gosudarstvenny universitet E-mail

: ikramov@cs.msu.su

Institute of Computational Mathematics TU Braunschweig, Germany

E-mail

: h.fassbender@tu-bs.de