V. G. Uˇsakov, A queueing system with Erlang incoming flow with relative priority, Teor. Veroyatnost. i Primenen., 1977, Volume 22, Issue 4, 860–866

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

V. G. Uˇsakov, A queueing system with Erlang incoming flow with relative priority, Teor. Veroyatnost. i Primenen., 1977, Volume 22, Issue 4, 860–866

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 118.70.116.132

November 6, 2022, 10:11:31

В заключение отметим, что в недавней работе [6] приведена переходная асимпто­

тика для H (if) в случае г = 1.

Автор благодарит Б . А. Севастьянова за внимание к работе, а также И. И. Ци- товича за полезные обсуждения.

Поступило, в редакцию 24.2:77 ЛИТЕРАТУРА

[1] Б . А. Севастьянов, Ветвящиеся процессы, М., изд-во «Наука», 1971.

[2] В. П. Чистяков, О переходных явлениях в ветвящихся процессах, Теория вероят.

и ее примен., XVII, 4 (1974), 669—678.

[3] О. В. Вьюгин, Асимптотика моментов ветвящихся процессов, близких к критиче­

ским, Теория вероят. и ее примен., XXI, 4 (1976), 843—853.

[4] В. М. Шуренков, Две предельные теоремы для критических ветвящихся процессов, Теория вероят. и ее примен., XXI, 3 (1976), 548—558.

[5] С. В. Нагаев, Переходные явления для зависящих от возраста ветвящихся процес­

сов с дискретным временем. I, II, Сиб. матем. ж., XV, 2 (1974), 368—394; XV»

3 (1974), 5 7 0 - 5 7 9 .

[6] Д. С. (лльвестров, Про одне узагальнення теореми в!дновления, Допов1д1 АН УССР, 11 (1976), 978—981.

[7] Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, М., Гостехиздат, 1953.

[8] D. Widder, The Laplace transform, Princeton, 1946.

ON TRANSITION PHENOMENA

IN BELLMAN — HARRIS BRANCHING PROCESSES O. V. VUYGIJSr (MOSCOW)

(Summary)

Let ц. (t) = (jij (t), . . ., \xr (t)) be a vector of number of particles in Bellman — Harris branching process with several types of particles. In this article the asymptotic behaviour of the probability

P {а'1 ® u. (t) > x I \i (0) = ei), x > 0,

when * - > o o , i ? - ^ l i n a compact processes class Ж, is investigated.

СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С ЭРЛАНГОВСКИМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ И ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ПРИОРИТЕТОМ

В. Г . УШАКОВ

К настоящему времени в теории приоритетных систем обслуживания наиболее пол­

но изучен случай, когда вызовы в систему поступают по закону Пуассона. В [1] — [3]

описаны основные методы исследования таких систем и приведена обширная библио­

графия. Определенный интерес представляет перенесение результатов [1] — [3] на системы с более общими входящими потоками. В настоящей заметке предлагаются мето­

ды получения распределения длины очереди (в нестационарном режиме) и периода занятости в r-приоритетной системе обслуживания с эрланговским входящим потоком-

1. Описание системы. Рассматривается следующая модель однолинейной системы массового обслуживания с приоритетом. Поступающие вызовы разделяются на г при­

оритетных классов, занумерованных числами 1, . . ., г. Вызовы i-го класса имеют отно­

сительный приоритет перед вызовами /-го класса при i < /. Длительности обслужива­

ния — независимые в совокупности случайные величины с функцией распределения Bi (t) и плотностью bt (t) для вызовов £~го класса, i = 1 -~ г. Интервалы времени меяеду поступлениями вызовов независимы в совокупности и представимы в виде

îi+ — - К ь

где Sj — независимые случайные величины, экспоненциально распределенные с пара­

метрами ai, i = 1 -v- к. Для дальнейшего изложения нам будет удобна следующая ин­

терпретация поступления вызовов. Введем вспомогательный марковский процесс с со­

стояниями 1, . . ., г следующим образом: пусть в некоторый момент времени t процесс находится в состоянии i (i = 1 -ь к), тогда через случайное время с плотностью распре­

деления at ехр {—atf} процесс переходит в состояние i + 1 при i =f= к и в состояние 1 при i = к. Будем считать, что вызовы в систему поступают в момент перехода вспомо­

гательного процесса из состояния к в состояние 1. С вероятностью р\ поступивший вызов направляется в £-й приоритетный класс. Мы предполагаем, что в начальный момент времени t = О система свободна от вызовов, а вспомогательный процесс нахо­

дится в состоянии 1.

2. Основные обозначения. Вспомогательные результаты. Пусть заданы векторы и = (иъ . . ., щ) и v = (vx, . . ., vr)\ при i ^ г положим

щ = (иъ . . ., щ), и1 = (щ+1, . . ., иг), щ vl = (мь . . ., щ, vi+1, . . ., vr).

Кроме того, пусть 0 = (О, . . ., 0), 1 = (1, . . ., 1),

оо оо оо т

"Г*="Г • • • < ¹ > а = 2 • • • 2 . («. v) = a ^и -?г-

п^=0 ni=o гц=о г=1 Положим n (t) = (пх (£), . . ., nr (t)), где щ (t) — число вызовов i-ro приоритетного клас­

са в системе (с учетом обслуяшваемого вызова) в момент времени t, / (t) — состояние вспомогательного процесса в момент t,

оо °°

P(ïï,t) = F{n(t) = n), p(z,s)= 2 ъП\ e-stP(ntt)dtt оо

P0j (t) = P {« (0 = 0. / С) = Л . Poj W = $ * ' % • W <"•

0

oo oo

о о П (i) — функция распределения длительности периода занятости системы,

оо оо

je (s) = С е"Лш (0, • яу = Д # Щ (*), о о

tt>i (*) — виртуальное время ожидания в момент t для вызовов i-ro класса при условии, что после t вызовы в систему не поступают,

оо оо

W

(*, y) = Р {и;, (t) < у

/ (*) = /}, ©у (5, ^) = 5 S

~~

"" ^ ^ У

*

^

0 0

В дальнейшем нам потребуются следующие леммы.

Лемма 2.1 Пусть Яг- (z), i = 1 -~ к,— непрерывные решения уравнения

К

П

тогда: а) одна и только одна из функций Ki (z), i = 1 -г- к, обращается в нуль в точке z = i ;

б) При ЛЮбыХ Zj, | Zj I ^ 1 , / = 1 -~ Г,

Re (kj (z)) < О, j = 1 -s- Ä;

в) функции Xi (z) м A<j (z) при i =fs f могут совпадать лишь на конечном числе гипер­

плоскостей вида (р, z) = с.

Выберем нумерацию функций Xt (z) таким образом, чтобы %г (1) = 0.

Лемма 2.2. При каждом m, m = 1 ~ к, система функциональных уравнений

zj = ßj. (s __ Хт (z))5 f = i _j. ^

имеет единственное решение z^ = Z]m' (гг, 5), аналитическое в области \ z^+i | <^ 1, ...

. . ., | zr | < 1, R e s > 0 .

Положим ami (s) = Хт (z^ (l\ s) 1*).

3. Формулировки основных результатов. Основное содержание работы составляют приводимые ниже три теоремы.

Теорема 1. Функция р (z, s) определяется по формуле fc

р (z, s) = *-i h - ( - 1)* П av r (*) [s - avr (s)]-A +

m = l i = l

sde ß^mYz, s) определяются из рекуррентных соотношений ß ^ ( z ,S) = | ] o W ( z ,S) ß ^ ( .i v,S) ,

г

= i L 11

^

+ V J 11 »-<x,

(0 '

p=^v

£ которых

a n a a <\ / 1 / \

P-7^ Р т ^ jr^^

а запись ( °г-т) означает z^v (z*"1, s) z*-1.

Теорема 2. a) Функция я (s) определяется по формуле

К

Л(*) = 1 - ( - 1 ) * Ц a 7 4 r W »

i = l

r

- г

б) если Pr l= S «i1 S fyßjl^1» m o k

% = ( - I)*"1 Pf l К (1 - Pr l)]-X П <h\r (°)f

•ß противном случае n i = oo.

Теорема 3. Функции со^у (s, £) определяются из рекуррентных соотношений г

m—г-j-l

fr—i £ r г—i

«i* <*• о = П

i f

- 2 \

oi «) + S (i - ß™ w) ^

«Л II « - * +

i) «7

}

;-= 1 l Z = l L m=i-fl • J j==1 J

X

г$£ функции pQj (£) и jt?wj (§) удовлетворяют системе линейных уравнений k i—i r

Ц П

i

'{(g-«

i(5))Po

(g)+ S [1-р

(?-а

ШР

(5)} = 1,

i =: J -д. r, V = 1 -b /c.

4. В этом п у н к т е будут приведены к р а т к и е д о к а з а т е л ь с т в а теорем, с ф о р м у л и р о в а н ­ ных в предыдущем п у н к т е , а т а к ж е с ф о р м у л и р о в а н ы некоторые следствия.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. П у с т ь i (t) — номер к л а с с а , вызов к о ­ торого о б с л у ж и в а е т с я в момент времени t, и z (t)— в р е м я , которое п р о ш л о с н а ч а л а его обслуживания (если в момент t система свободна, п о л а г а е м i (t) ж z (t) равными нулю) Положим

Pij(n,x,t) = 1^P{a(t) = n,j(t) = j , *(*) = *, * ( * ) < * } .

P}j (z, *, s) = 2 z11 \ e-stP..(n, *, *)dt, T]. (x) = &. (*) [1 - fi. (s)]""1.

Из определения ф у н к ц и й ptj (z, x, s), p0j- (s) и р (z, s) вытекает соотношение К г °°

p (z,,) = 2 i^oi w + S \ Pij (

> *. 4 . (

>

Далее, можно п о к а з а т ь , что ф у н к ц и и ptj (z, a?, s) удовлетворяют системе дифференци­

альных у р а в н е н и й др^{- (z, x, s)

fa = — [s + a.+ ц. (x)] p.- (z, x, s) + (1 — ô^ г) aHpi H (z, ж, 5) +

+ ^ôi , i V i f c (^{z , ; K}'^s) ( P '^z) ' (⁴-²^ 2 1 / ^ (z, 0, s) = 2 h¹ \ Pij (^z> я, 5) TJ. (a) cte + Ô. ^1l-(s + df) p^oj (s) +

i = i i = i ' J

+ ^{( 1} ~~ ^èj, i) ^йИ^ро н (*) + ^ôi , l V o f e (*) (P' ^z) ' (⁴-³>

где ôb J- — символ К р о н е к е р а , а рц (z, 0, 5) есть ptj (z, 0 + , s).

Р е ш е н и е системы (4.2) записывается в виде

Pi} (z, . , «) = [1 - Bi (x)] Yi П g'+ 1 a " ' ? f ° (*. s) exp { - (« - km (z)) x}, (4.4)

где у[т%) (z, s) произвольные функции. Подставляя полученное представление дЛ я

PU (z, x, s) в (4.3), получаем

К fc-i

ЕВ

г

где ôm( M ) = ^ [ l - zriß. (S - Xm (z))l v^m) (z, *),

i = l

/ . (Zs *) = ôu ! - ( « . + *,.) po j (5) + (1 - ôif x) a^Po^i (*) + àit xakpok (s) (p, z).

Решение (4.5) с учетом того, что ^ (z) являются корнями многочлена

П

д .

(4.5)

У=1

записывается в виде к fc

*m (

> *) = 23 П <

т (

) !+ «,) } S /; (

> *> П <V П (*m (

) +

l>- (4.6)

.Используя лемму 2.2, получаем

k ft fc

u= i z=i J i=i

Ô (z, s) = p (4.7)

/=^v

Сравнивая два представления для ôm (z, s) ((4.6) и (4.7)), получаем систему линейных уравнений для определения p0j (s):

ft fe-i

3 H j - A j - i (*) " (

+

j) Poj W П <V S

ii • * • V i - i

+

W 2 % • • • %

= ( - *)*"' Po» (*) X

X 2 a.

(

)...a

(

), / = 0 + * - i , (4.8)

l<ii<...<2?i;^<ft

где положено a0Poo (s) ^ 1. Из системы (4.8) находим

ft

fc^ofcW = n

; l * -

i r W l "

j = i

ft ft

2 p

j w = «-

fi - (-1)* П

vr (*) <* - «vr w r

7 = 1 L v=i

Из соотношения (4.4) вытекает, что

ft t.

P,-j (Z,

м-Еп^т^Гм

(4.9)

(4.10)

(4.11) отсюда находим, что

k ft—i j — 1

У\

(Z, ') = f S П <4i W + «v )}" S Pii <

' °. *) П V I I <\n <*> +

v)" <

Дисциплина относительного приоритета характеризуется тем, что pjj (z, 0, s) не з а ­ висит от щ_г следовательно, используя (4.12), получаем

К ft:—1 j — i

У, Pij (*. 0, *) П <V П (A,m (z) + av) =

- !><•»••>[£ п счы+v] п хЧо-!гУ) •

(Обозначение (-iv) введено в формулировке теоремы 1.) Подставляя полученное выра­

жение в (4.12), получаем соотношение

ï^ ⁾ (*.«)=is* ⁽ vni(».«)^ ^v) (-iv.«).

где функции ô ^ (z, s) были введены в формулировке теоремы 1. Для доказательства теоремы достаточно подставить (4.4) и (4.10) в (4.1) и (4.9) в (4.7), воспользоваться леммой 2.2 и положить в полученных соотношениях ß ^ (z, s) = а^у^ (z, 5).

Следствие 4.1. Пусть рг 1 <^ 1; тогда существует

оо

lim 2 z

P(n, t) = p(z),

t-*°° n=0

причем p (z) определяется соотношениями

К г

P (z) = 1 - p

+ [î - (P, z)] s S a - ßi ( - *

« » ^ (z) ß|

w,

m=i i = l

ß ^ ( z ) = | ] o W ( z , 0 ) ^ > (

) , i j [ l - * J

P i < -

m < 4 m ) ) ] P r

< - i

) =

ffc * , _ ! k R

= (1 - Prl) { 2 П <Xm (Чш) + a* )} П ai <Xm ('im) ~ «;> «>)) П <~ «*r (0))"1.

4=1 v = 1 J 3 = = 1 v=2

v^l

a запись ( чт) означает здесь %\^{ (z2-*1, 0) z1"1»

Так как методы получения я (s) аналогичны методам получения /?0J- (5), доказатель­

ство теоремы 2 мы опускаем.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3. Положим со* (*,*) = J e ^ T F ^ ^ . y ) .

Можно показать, что (ùf- (s, t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

= (* - а.) о* (,, t) + (1 - 0У),) а ^ с о * ^ (*, t) +

d i

г т •

m=i+l m=i-f-i

(4.13)

7 Теоржя вероятностей ж ее применения, № 4

где Pmj (t) dt — вероятность того, что в интервале времени (£, t + dt) началось обслу­

живание вызова т-то приоритетного класса и вспомогательный процесс находился в состоянии /. Положим

со

О

Переходя в (4.13) к преобразованиям Лапласа по t ж воспользовавшись леммой 2,2, получаем утверждение теоремы 3.

З а м е ч а н и е . 4.1. Результаты теоремы 1 и следствия 4.1 справедливы только при таких значениях z, при которых

h (z) ф hj (z) при i ф f. (4.14) Заметим, что в силу леммы 2.1 условие (4.14) выполняется во всем множестве измене­

ния z за исключением конечного числа гиперплоскостей вида (р, ъ) = с. В тех точках z, в которых условие (4.14) нарушается, производящая функция числа вызовов в си­

стеме как в стационарном, так и в нестационарном случаях может быть доопределена по непрерывности.

Автор выражает глубокую благодарность Э. А. Даниеляну и В. Ф. Матвееву за внимание к работе и полезные обсуждения результатов статьи.

Поступила в редакцию 4.5.76 ЛИТЕРАТУРА

[1] Г. П. Климов, Стохастические системы обслуживания, М., изд-во «Наука», 1966.

[2] Б . В. Гнеденко и др. Приоритетные системы обслуживания, М., изд-во МГУ, 1973«, [3] Н. К. Джейсуол, Очереди с приоритетами, М., изд-во «Мир», 1973.

A QUEUEIN6 SYSTEM WITH ERLANG INCOMING FLOW WITH RELATIVE PRIORITY

V. G. USAKOV (MOSCOW)

(Summary)

A one-channel queueing system with waiting delay and relative priority is consi­

dered. Incoming claims are separated into r classes, numbered by 1, . . ., r, each claim getting to the i-th class with probability pi (i = 1, . . ., r), ^pi = 1. Claims of the i-th

г

class have priority with respect to those of the /-th class for / > i. Claims arrive at the input of the system according to the Erlang law. Service times are jointly independent absolutely continuous random variables. To each priority class, there corresponds a distribution function of the service time.

The behaviour of the queue size (in non-stationary regime) and busy period is stu­

died.