Top PDF Funções quadráticas: estudo e aplicações

Funções quadráticas: estudo e aplicações

Funções quadráticas: estudo e aplicações

O presente trabalho tem por objetivo, complementar estudos a respeito da função quadrática e aplicação da mesma. O conteúdo de funções tem importância nos estudos em Matemática, pois aparece em todos os níveis de ensino da educação básica, tanto no segundo segmento do ensino fundamental, quanto no ensino médio. Para desenvolver o trabalho, foi realizado uma pesquisa bibliográfica, levantando sobre a origem da definição, desde os conjuntos e relações, os diversos tipos de funções, até chegar na função quadrática, que é foco desse trabalho. A Função Quadrática é uma função polinomial definida por um trinômio de grau 2. Neste trabalho, foram utilizados softwares matemáticos como Winplot e o Geogebra para facilitar a compreensão de representações gráficas das funções. Considerando a importância do entendimento de funções para a matemática e para a compreensão de fenômenos relacionados a diversas áreas do conhecimento, as aplicações que compõem esse trabalho estão fundamentadas na contextualização dos conteúdos e na interdisciplinaridade que colaboram para um melhor entendimento das funções matemáticas.
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Uma Proposta de Estudo de Funções Quadráticas  mediada pela Tecnologia

Uma Proposta de Estudo de Funções Quadráticas mediada pela Tecnologia

A parábola foi interesse de estudo de muitos matemáticos, como Meneacmus e Apolônio que estudaram suas propriedades, porem foi Arquimedes de Siracusa, matemá- tico grego (287 - 2012 a. C.) que encontrou as primeiras aplicações práticas para a curva, tendo recorrido a ela para defender Siracusa quando foi cercada pelos romanos. Arqui- medes construiu um espelho parabólico com os quais os defensores de Siracusa teriam queimado à distância, pela concentração dos raios solares, os navios romanos.

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Um estudo sobre a aprendizagem das funções quadráticas com a mediação do Software Geogebra

Um estudo sobre a aprendizagem das funções quadráticas com a mediação do Software Geogebra

Para o atendimento deste objetivo geral, elencamos para tanto dois objetivos específicos sendo que o primeiro versa sobre a identificação das ferramentas e aplicações do software geogebra voltadas para a aprendizagem das funções quadráticas. A busca por alcançar este objetivo específico se deu através de investigações realizadas no próprio aplicativo. Estas investigações estão presentes no Apêndice A desta pesquisa, onde exploramos as ferramentas software para a identificação dos pontos notáveis da função quadrática e dos estudos do comportamento do seu gráfico com a variação dos coeficientes “a”, “b”, “c” e do discriminante “∆”.
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FUNÇÕES QUADRÁTICAS E SUAS APLICAÇÕES NO PRIMEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO

FUNÇÕES QUADRÁTICAS E SUAS APLICAÇÕES NO PRIMEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO

Este trabalho visa contribuir para a construção do conhecimento sobre funções quadráticas a nível de ensino médio: um assunto muito conhecido, muitas vezes não trabalhado de forma contextualizada, situação provavelmente causada essa, pelo pouco tempo dedicado ao estudo de matemática em muitas escolas, horário esse pré determinado pelos sistemas de educação, também causado pela falta do profissional ou pelos problemas relativos causados pela alfabetização falha, ou seja: não interpretam o que leem, além de muitos outros motivos prováveis, como a falta de interesse pelo estudo, etc., os quais não pertencem ao foco desse trabalho. Devido sua grande importância no desenvolvimento do conhecimento matemático do indivíduo, da capacidade investigativa, da consciência, crítica, o que favorece seu desenvolvimento como cidadão, para que fosse feita mais uma contribuição nesse sentido, o tema função quadrática foi escolhido, pois ainda segundo os P.C.N. Ensino Médio (p.44)[4]:
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ESTUDO DAS FUNÇÕES – APLICAÇÕES NO ENSINO MÉDIO

ESTUDO DAS FUNÇÕES – APLICAÇÕES NO ENSINO MÉDIO

O presente trabalho tem como objetivo estudar as funções sob um olhar prático, usando como suporte problemas baseados em situações do cotidiano e científicos. Essa abordagem ajuda o aluno a compreender a importância do estudo de funções através de uma lista de problemas apoiados na Matemática observada em situações do cotidiano como: análise de contas de luz e água, custo de uma corrida de táxi, análise gráfica do crescimento exponencial de uma bactéria num estudo de laboratório ou no decaimento radioativo de elementos químicos. Os problemas permitem aos alunos das turmas do primeiro ano do ensino médio analisar, com auxílio do software GRAPHMATICA, o comportamento linear de funções afins e das curvas de funções exponenciais. Também permitem analisar porque essas funções, em muitas aplicações, tem domínio positivo.
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UMA PROPOSTA LÚDICA COM UTILIZAÇÃO DO GEOGEBRA PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS E PROBABILIDADE GEOMÉTRICA

UMA PROPOSTA LÚDICA COM UTILIZAÇÃO DO GEOGEBRA PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS E PROBABILIDADE GEOMÉTRICA

Esta dissertação relata a idealização, o planejamento, a construção e a aplicação de atividades para o estudo de funções quadráticas e probabilidade geométrica para turmas de 9.º ano do ensino fundamental. Também apresenta as análises das atividades realizadas pelos alunos e as conclusões acerca dos objetivos propostos e dos objetivos alcançados. O objetivo principal das atividades elaboradas é proporcionar aos alunos uma melhor aprendizagem dos conteúdos e temas abordados através de uma abordagem lúdica, interativa e motivadora. Os objetivos específicos são desenvolver a capacidade de traduzir um problema matemático na linguagem matemática, manipular expressões algébricas, fazer estimativas e comparações, desenvolver conhecimentos matemáticos como saber expressar e calcular a área e o perímetro de figuras planas, calcular probabilidades de ocorrência de eventos aleatórios, resolver equações quadráticas, traçar gráficos de funções quadráticas e manipular o software ou o aplicativo GeoGebra. Para isto criamos um jogo de dardos adaptado e fichas de atividades contendo instruções, questões, tabelas, gráficos, exercícios de cálculos, problemas de otimização e roteiros de construções gráficas aplicadas ao GeoGebra.
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UM ESTUDO SOBRE FUNÇÕES: APLICAÇÕES NO ENSINO MÉDIO

UM ESTUDO SOBRE FUNÇÕES: APLICAÇÕES NO ENSINO MÉDIO

Paralelamente, Newton e Leibniz, trabalhavam na invenção do hoje chamado Cálculo. O primeiro tinha motivações mecânicas, tanto que sua maior contribuição para a Matemá- tica foi obtida em estudos de Física; a Física precisava de ferramentas matemáticas para resolução de determinados problemas. O segundo tinha motivações algébricas. Nessa época ainda não se falava em funções, mas em curvas. Leibniz, alemão do continente europeu, foi quem primeiro publicou sua descoberta em 1684 e Newton, inglês das ilhas européias faz sua publicação apenas em 1687. Newton para evitar intrigas e discussões, relutava em publicar suas descobertas justamente devido a uma certa ŞrivalidadeŤ quanto a quem descobriu o que, tendo sido inclusive acusado de plágio sobre os trabalhos de Leibniz com relação ao Cálculo, o que foi comprovado não ser procedente.
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Open Estudo e aplicações das funções hiperbólicas

Open Estudo e aplicações das funções hiperbólicas

Estudo e aplicação das funções hiperbólicas / Jonas José Cruz dos Santos.- João Pessoa, 2015.. Velocidade da onda do mar.[r]

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O estudo das funções quadráticas e sua relação com o cotidiano

O estudo das funções quadráticas e sua relação com o cotidiano

A necessidade de se trabalhar tal conte´ udo relacionado ao cotidiano do aluno re- quer um estudo mais aprofundado sobre o tema, buscando Metodologias e did´aticas que possam ser colocadas em pr´atica, auxiliando o desenvolvimento da Matem´atica. No entanto, os Parˆametros Curriculares Nacionais [5], leva a compreens˜ao de que somente rever a forma ou metodologia de ensino n˜ao ´e suficiente. Manter o conhecimento ma- tem´atico restrito `a informa¸c˜ao, com as defini¸c˜oes e exemplos n˜ao garante que o aluno estabele¸ca alguma significa¸c˜ao para as ideias isoladas e desconectadas uma das outras. Acredita-se que o aluno sozinho seja capaz de construir as m´ ultiplas rela¸c˜oes entre os conceitos e formas de racioc´ınio envolvidas nos diversos conte´ udos; no entanto, o fracasso escolar e as dificuldades dos alunos frente `a Matem´atica, mostram claramente que isso n˜ao ´e verdade.
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UM ESTUDO APROFUNDADO SOBRE AS FUNÇÕES QUADRÁTICAS APLICADO AO ENSINO MÉDIO

UM ESTUDO APROFUNDADO SOBRE AS FUNÇÕES QUADRÁTICAS APLICADO AO ENSINO MÉDIO

Procurou-se com este trabalho oferecer um material aprofundado e complementar no estudo da fun¸c˜ao quadr´atica no Ensino M´edio. Conceitos como os de crescimento, decresci- mento, simetria e ra´ızes da referida fun¸c˜ao foram demonstrados com ferramentas desse n´ıvel de ensino, al´em da concavidade do seu respectivo gr´afico, na medida do poss´ıvel. Alguns t´opicos de geometria euclidiana e geometria anal´ıtica foram utilizados, indicando que a or- dem com que os conte´ udos matem´aticos s˜ao apresentados no Ensino M´edio poderia sofrer altera¸c˜oes.

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INTERPOLAÇÃO DE FUNÇÕES E SUAS APLICAÇÕES

INTERPOLAÇÃO DE FUNÇÕES E SUAS APLICAÇÕES

x f f x x f f x x f f x x f f x               Como queremos interpolar f (0,5) , escolhemos três pontos próximos de 0,5. Neste caso, 0 , 1 x x e x . Assim, temos que, e o polinômio de interpolação na forma de Newton é dado por: 2              2 0 0 0 , 1 0 1 0 , , 1 2 P x  f x  x  x f x x  x  x x  x f x x x Em primeiro lugar, construímos a tabela de diferenças divididas. Assim: x   i f x f x x   i , j   f x x x   i , j , k   f x x x x   i , j , k , l   -2 0 1 -1 1 -2/3 -1 1/3 1 -1 2/3 1 2 0 Portanto: 2   0  2    2  + 1  2 1 3 P x  x x x            . Agrupando os termos semelhantes obtemos:   2 2 2 2 . 3 3 x P x     x O valor é aproximado de f   0,5 é dado por P 2   0,5 =0 . Assim, temos:   0,5 2   0,5 = 0 f P . 2.3 – Estudo do erro de Interpolação de Newton Uma observação neste caso é que para o cálculo do erro de truncamento na forma de Newton usamos o mesmo da forma de Lagrange dado em (16), ou seja:    0  1   . . .   0 , , . . . , , 1  . . . ,.  
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Funções mistura generalizada e aplicações

Funções mistura generalizada e aplicações

mas. Entretanto, outros tipos de funções, que não necessitam da condição de monotonicidade obrigatória para as funções de agregação, também podem ser utilizadas, como por exemplo, as “Pré-agregações” (Pre-aggregations), as funções “Mistura (Mixture) e “Mistura Generalizada” (Generalized Mixture - GM). Neste trabalho, apresenta-se um estudo detalhado sobre as funções mistura generalizada, que são uma ampliação do conceito de função OWA e diferentemente das OWAs, possuem pesos capazes de se adaptar a cada vetor de entradas dessa função. Além disso, propõe-se uma extensão para as funções mistura generalizada denominadas funções “Mistura Generalizada Limitada” (Bounded Generalized Mixture - BGM).Em continuidade, introduz-se algumas classes de funções de média ponderada com pesos dinâmicos e domínios de reticu- lados: as funções “OWA dinâmicas” (Dynamic Ordered Weighted Averaging - DYOWA), as funções OWA e OWA fundamentadas por ordens admissíveis e as funções “Reticulares de Mis- tura” - LGM. Por fim, apresenta-se duas aplicações para as funções mistura generalizada: um método de redução de imagens e uma estratégia de combinação de múltiplos algoritmos de comitês classificadores.
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Esboço de gráficos nos ambientes papel e lápis e GeoGebra: funções afins e funções quadráticas

Esboço de gráficos nos ambientes papel e lápis e GeoGebra: funções afins e funções quadráticas

Dornelas (2007) discorreu sob o tema “Análise de uma Seqüência Didática para a Aprendizagem do Conceito de Função Afim”. Seu trabalho apresentou os resultados obtidos da aplicação de uma seqüência didática composta por dois conjuntos de atividades, elaborados com ênfase na compreensão da noção entre grandezas lineares, privilegiando a articulação entre as linguagens natural, gráfica, algébrica e tabular da função afim. Para tanto, a autora contou com o apoio de sua turma do 1º ano do Ensino Médio, que funciona em uma escola pública do Recife- PE. Teve como fundamentação teórica a teoria das situações didáticas, de Guy Brousseau (1982), cujo estudo estabelece que a aprendizagem de um objeto matemático está diretamente ligada ao envolvimento do aluno na busca da solução de um problema, por intermédio de uma situação didática, formulada pelo professor.
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Funções e geometria: o uso de ambiente de geometria dinâmica como subsídio para a caracterização das funções quadráticas

Funções e geometria: o uso de ambiente de geometria dinâmica como subsídio para a caracterização das funções quadráticas

Corroborando com essa ideia, os ambientes de geometria dinˆamica tˆem-se populari- zado muito no ensino de matem´atica. Em especial, quanto ao estudo das func¸˜oes quadr´aticas, ´e poss´ıvel desenvolver atividades que permitam investigar relac¸˜oes de dependˆencia funcional entre grandezas geom´etricas, sem a mediac¸˜ao de representac¸˜oes alg´ebricas e gr´aficas e, por conseguinte, `a luz da an´alise da variac¸˜ao dos valores, identificar as premissas de caracterizac¸˜ao daquele tipo de func¸˜ao. Destarte, procede-se uma abordagem diferente para o estudo de func¸˜oes quadr´aticas: a aprendizagem do novo conceito dar-se-´a pela percepc¸˜ao intuitiva da variac¸˜ao dos valores associados aos objetos geom´etricos, ficando a formalizac¸˜ao por meio de representac¸˜oes alg´ebricas e gr´aficas como a ´ultima etapa do processo. Com efeito. Nos livros did´aticos, em geral, a abordagem do estudo de func¸˜oes quadr´aticas tem in´ıcio com a apresentac¸˜ao de uma situac¸˜ao-problema na qual a modelagem alg´ebrica nos remete a uma func¸˜ao polinomial ex- pressa por um polinˆomio de grau dois e, em seguida, recorrendo ao uso da linguagem formal, define-se a func¸˜ao quadr´atica como uma relac¸˜ao abstrata entre dois conjuntos quaisquer (IEZZI et al., 2010; SMOLE; DINIZ, 2010).
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Funções quadráticas no 10º ano usando a calculadora gráfica

Funções quadráticas no 10º ano usando a calculadora gráfica

As preocupações de natureza educacional que se prendem com a tomada de consciência das dificuldades dos estudantes na construção dos conceitos matemáticos, conduziram ao desenvolvimento desta perspectiva. Segundo Sfard, durante as últimas décadas foram investidos muitos recursos para a melhoria do ensino da Matemática, mas os resultados estão, ainda, longe do satisfatório devido às dificuldades por vezes insuperáveis dos estudantes e à constante falta de sucesso no ensino. Refere também que a Matemática, pela sua inacessibilidade, parece ultrapassar todas as outras disciplinas científicas, pelo que tem que haver algo realmente especial e único no tipo de pensamento envolvido na construção do universo matemático. De modo a compreender esta situação, a autora considera que há uma questão que deve ser colocada: “Como é que a abstracção matemática difere de outros tipos de abstracções na sua natureza, do modo de desenvolvimento e nas suas funções e aplicações?” (Sfard, 1991, p. 2). Para responder a esta questão, aponta a necessidade de uma teoria unificada que envolva simultaneamente a Filosofia e Psicologia da Matemática, e que dê a mesma atenção à mathematical thinking, como processo, e ao mathematical thought, como produto. Para isso, procura “um insight filosófico sobre a natureza dos conceitos matemáticos, para compreender os processos psicológicos no seio dos quais tais conceitos emergem”(Sfard, 1991, p. 2).
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Funções hiperbólicas e aplicações

Funções hiperbólicas e aplicações

O trabalho est´ a organizado da seguinte maneira: No cap´ıtulo 1, temos a defini¸c˜ ao de hip´ erbole, seguido de um breve estudo sobre o ˆ angulo hiperb´ olico. No capitulo 2, temos as defini¸c˜ oes de fun¸c˜ oes hiperb´ olicas com algumas aplica¸c˜ oes em ˆ angulos especiais. No cap´ıtulo 3, analise das derivadas com um estudo nas integrais, an´ alise de gr´ aficos e apresenta¸c˜ ao da caten´ aria. Por fim, no cap´ıtulo 4, apresentaremos as fun¸c˜ oes hiperb´ olicas inversas.

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Tecnologias na formação de licenciandos em Matemática: o ensino de funções quadráticas

Tecnologias na formação de licenciandos em Matemática: o ensino de funções quadráticas

Nesse contexto, encontramos, na literatura, diversas pesquisas que remetem aos cursos de formação inicial ou continuada de professores, com relação ao estudo de como utilizar pedagogicamente as tecnologias ou que destacam a realidade de como são tratadas essas ferramentas nesses cursos. Nesse cenário, Bairral (2013) remete ao currículo dos cursos superiores de formação inicial para que eles, em suas disciplinas, não coloquem a essência nas tecnologias e sim na natureza do pensamento matemático intermediado pela tecnologia, proporcionando reflexões sobre o significado de ensinar e aprender por meio da tecnologia. O autor indica que as tecnologias devem ser utilizadas para propiciar descobertas distintas das que seriam possíveis por meios convencionais. Maltempi, Javaroni e Borba (2011) indicam a carência desses cursos superiores de formação inicial quanto a atividades curriculares de motivação dos licenciandos relativas à aquisição de competências para incorporar as tecnologias em suas futuras práticas pedagógicas. Também Ponte, Oliveira e Varandas (2003) advertem para o fato de que os cursos de formação inicial devem prover aos futuros professores de Matemática a capacidade de utilizar as TIC para o ensino.
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Resolução de problemas envolvendo funções quadráticas por alunos do ensino secundário

Resolução de problemas envolvendo funções quadráticas por alunos do ensino secundário

De acordo com uma das autoras do novo programa (Oliveira, 2009), o pensamento algébrico pode iniciar-se mais cedo, mesmo ao nível do primeiro ciclo. Por exemplo na compreensão e aplicação das propriedades operações aritméticas, e na investigação e identificação de regularidades em sequências numéricas. Depois, há uma ênfase na capacidade de generalização que é promovida, segundo a autora, pela continuidade do trabalho com sequências numéricas regulares. No entanto, esta capacidade é também promovida com a resolução e formulação de problemas envolvendo equações e inequações, com as equações literais e com as relações simples de proporcionalidade directa e inversa (funções) que o programa também contempla. Em terceiro lugar, o simbolismo e o sentido de símbolo são introduzidos progressivamente, no contexto de problemas mais ou menos reais e com o recurso a várias representações. Por exemplo, na investigação de sequências regulares, a tradução entre uma expressão algébrica e a sua representação numérica ou tabelar, e/ou geométrica (se houver uma sequência de figuras), deve ser constantemente promovida. Existe, neste ponto uma sobreposição entre pensamento algébrico e representações matemáticas. É claro que não é possível utilizar com à vontade expressões algébricas e símbolos, sem uma compreensão de representações alternativas, por exemplo no estudo de funções (incluindo funções de variável natural). Assim, os alunos devem ser capazes de representar com uma tabela uma função afim, e devem também ser capazes de reconhecer progressivamente, nessa representação tabelar, que f(x)-f(x-Δx)=f(x+Δx)-f(x)=f(x+2Δx)-f(x+Δx), etc – ou seja, devem compreender e utilizar as diferentes representações de funções, e reconhecer e compreender os padrões respectivos, nomeadamente quanto à sua variação. Tratarei, no próximo sub-capítulo, o tema das representações de forma mais individualizada e pormenorizada. Queria, por agora, sobretudo identificar a sobreposição entre o pensamento algébrico e o domínio de várias representações, nomeadamente no novo programa. Finalmente, ainda quanto ao novo programa, Oliveira (Oliveira, 2009) salienta a articulação exigida entre os diferentes tópicos da álgebra.
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MODELAGEM, CÁLCULO E GEOGEBRA: UMA NOVA PROPOSTA DE ENSINO PARA AS FUNÇÕES QUADRÁTICAS

MODELAGEM, CÁLCULO E GEOGEBRA: UMA NOVA PROPOSTA DE ENSINO PARA AS FUNÇÕES QUADRÁTICAS

Há alguns autores que incluem limites e derivadas entre os tópicos tratados no ensino médio, mas na verdade elas são pouco ensinado, muitas vezes sob o pretexto de que são muito difíceis. Uma possível inserção desse tema seria junto com o estudo das funções, desde a primeira série do ensino médio, fazendo um aprofundamento com a geometria analítica e apresentando a derivada com exemplos simples e que ajudariam em várias situações problema. Vale ressaltar que tudo tem seu preço. Enquanto a resolução pelo uso da derivada, por exemplo, pode ser mais rápida, pode por outro lado demandar um conhecimento prévio mais difícil de se justificar, Ávila [2], mais é um instrumento muito poderoso.”
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UMA PROPOSTA AO USO DO WINPLOT NO ENSINO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS NAS TURMAS DO PROEJA

UMA PROPOSTA AO USO DO WINPLOT NO ENSINO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS NAS TURMAS DO PROEJA

O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a lin- guagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo vá- rias conexões dentro e fora da própria matemática. Assim, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades em rela- ção às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções. (BRASIL, 2000, p. 121)

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