Ax = b sistemi için yinelemeli(iteratif) yöntemler

(1)

Ax = b sistemi için yinelemeli(iteratif) yöntemler

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Eylül 2020

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 7 Eylül 2020 1 / 39

(2)

Yinelemeli yöntemler

Bu bölümde

herhangi bir ba¸slang¬ç de¼ger ile önceden bilinmeyen say¬da yinelemeli i¸slem sonucunda yakla¸s¬k çözümü elde eden veyinelemeli(iteratif) yöntemler olarak bilinen yöntemlerden

Gauss-Jacobi ve

Gauss-Seidel yöntemlerini inceliyoruz.

(3)

Yinelemeli yöntemler

Bu bölümde

Gauss-Jacobi ve

(4)

Yinelemeli yöntemler

Bu bölümde

Gauss-Jacobi ve

(5)

Yinelemeli yöntemler

Yinelemeli yöntemler, Ax=bdenklem sisteminin çözümünü belirleme probleminif(x) =Ax bolarak tan¬mlanan f fonksiyonunun s¬f¬ryerini belirleme problemine dönü¸stürürler.

f fonksiyonunun s¬f¬ryerini belirlemek için ise önceki bölümde inceledi¼gimiz sabit nokta iterasyon yöntemi uygulan¬r.

Bu amaçla akla gelen klasik iki yöntem Gauss-Jacobi ve Gauss-Seidel yöntemleridir. Öncelikle Gauss-Jacobi yöntemini inceleyelim:

(6)

Yinelemeli yöntemler

(7)

Yinelemeli yöntemler

(8)

Gauss-Jacobi yöntemi

Yöntemi 3 3 lük bir sistem üzerinde inceleyelim.

A= 2 4

a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

3 5

ve

b= 2 4

b1

b₂ b₃

3 5, x=

2 4

x y z

3 5 olmak üzere Ax=bdenklem sistemini gözönüne alal¬m.

(9)

Gauss-Jacobi yöntemi

Matrisin kö¸segen üzerindeki elemanlar¬n¬n s¬f¬rdan farkl¬oldu¼gunu kabul edelim. Daha aç¬k olarak sistemi

a₁₁x+a₁₂y+a₁₃z = b₁ a₂₁x+a₂₂y+a₂₃z = b₂ a31x+a32y+a33z = b3

olarak yazal¬m. Birinci denklemde x de¼gi¸skenini, ikincideny yi ve üçüncüden de z yi yanl¬z b¬rakarakx=g(x)biçiminde

x = ¹

a₁₁(b₁ a₁₂y a₁₃z)

y = ¹

a22

(b₂ a₂₁x a₂₃z)

z = ¹

a₃₃(b3 a31x a32y) sabit nokta belirleme problemini elde ederiz.

x⁽^k⁾= 2 4

x_k yk

z_k 3 5 olmak üzere

x⁽^k⁺¹⁾=g(x⁽^k⁾),k =1,2,

ile tan¬mlan iterasyon, Gauss-Jacobi iterasyonu olarak bilinir.

(10)

Gauss-Jacobi yöntemi

Buradax⁽¹⁾ sitemin çözümü için tahmindir. Bile¸sen baz¬nda yazmak gerekirse

x⁽¹⁾ = [x1,y1,z1]^T ba¸slang¬ç noktas¬ile

x_k+1 = ¹

a₁₁(b1 a12y_k a13z_k) (1) y_k₊₁ = ¹

a₂₂(b₂ a₂₁x_k a₂₃z_k) zk+1 = ¹

a33

(b3 a31xk a32y_k₎ k =1,2, elde edilir.

(11)

Gauss-Jacobi yöntemi

Örnek 1.

3x y z = 2

x+4y+z = 1 x y+3z = 8 denklem sistemi versilsin. Sistemin çözümü için

x⁽¹⁾= [x₁,y₁,z₁] = [1 1 1]^T

alarak Gauss-Jacobi yöntemiyle x⁽²⁾,x⁽³⁾ yakla¸s¬mlar¬n¬belirleyiniz.

(12)

Gauss-Jacobi yöntemi

Yukar¬da belirtilen prosedürü takip ederek,

x = ¹

3(2+y+z)

y = ¹

4( 1 x z)

z = ¹

3(8 x+y) elde ederiz. O halde Gauss-Jacobi iterasyonlar¬n¬

xk+1 = ¹

3(2+yk +zk) yk+1 = ¹

4( 1 xk zk) zk+1 = ¹

3(8 xk +yk)

(13)

Gauss-Jacobi yöntemi

Ba¸slang¬ç tahminini kullanmak suretiyle x₂ = ¹

3(2+y₁+z₁) = ⁴ 3 y₂ = ¹

4( 1 x₁ z₁) = ³ 4 z₂ = ¹

3(8 x₁+y₁) = ⁸ 3 elde ederiz.

O halde x⁽²⁾ = [4/3 3/4 8/3]^T olarak elde edilir. Virgülden sonra dört basama¼ga kadar yuvarlat¬larak sunulan yakla¸s¬mlar a¸sa¼g¬daki gibidir.

(14)

Gauss-Jacobi yöntemi

Sonuçland¬rma kriteri olarak

jj^x⁽ⁿ⁺¹⁾ ^x⁽ⁿ⁾jj² <10 ⁴ kriterini kullan¬yoruz.

x⁽¹⁾ x⁽²⁾ x⁽³⁾ x⁽¹⁷⁾

2 4

1 1 1

3 5,

2 4

1.3333 0.7500 2.6667

3 5,

2 4

1.3056 1.2500 1.9722

3

5 , , 2 4

1 1 2

3 5

(15)

Gauss-Jacobi yöntemi

Yukar¬da elde edilen yakla¸s¬mlar¬n [1 1 2]^T gerçek çözümüne yak¬nsad¬¼g¬na dikkat edelim.

Örnek 2.

Yukar¬daki sistemin iki sat¬r¬n¬yerde¼gi¸stirerek elde edilen x+4y+z = 1

3x y z = 2

x y+3z = 8

sistem için yine ayn¬ba¸slang¬ç de¼geri ile x⁽²⁾,x⁽³⁾,x⁽⁴⁾ yakla¸s¬mlar¬n¬

Gauss-Jacobi yöntemi yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

(16)

Gauss-Jacobi yöntemi

Verilen sistemi

x = 1 4y z

y = 2+3x z

z = ¹

3(8 x+y) olarak yazmak suretiyle,

xk+1 = 1 4yk zk

y_k₊₁ = 2+3x_k z_k z_k+1 = ¹

3(8 x_k+y_k)

(17)

Gauss-Jacobi yöntemi

Bu durumda Gauss-Jacobi yöntemi ile

x⁽¹⁾ x⁽²⁾ x⁽³⁾ x⁽⁴⁾ 2

4 1 1 1

3 5,

2 4

6 0 2.6667

3 5,

2 4

3.6667 22.6667 4.6667

3 5,

2 4

85 17.6667

3.6667 3 5,

¬raksayan iterasyon yakla¸s¬mlar¬n¬elde ederiz.

(18)

Gauss-Jacobi yöntemi

Örnek 1 için uygulanan yöntem yak¬nsak sonuç verirken ayn¬denklem sisteminin sat¬rlar¬n¬n yerde¼gi¸stirilmesi ile elde edilen Örnek 2 için

¬raksak bir yakla¸s¬m elde edilmi¸stir. O halde akla gelen soru A matrisi üzerindeki hangi k¬s¬tlama alt¬nda Gauss-Jacobi iterasyonlar¬

key… ba¸slang¬ç noktas¬için yak¬nsar?

Bunun için a¸sa¼g¬da verilecek olan Teoremde ifade ve ispat edildi¼gi üzere yeter ¸sart, Amatrisinin kö¸segen bask¬n olmas¬yani her bir kö¸segen üzerindeki eleman¬n mutlak de¼gerce ayn¬sat¬rdaki di¼ger elemanlar¬n mutlak de¼gerlerinin toplam¬ndan büyük olmas¬d¬r. E¼gerA matrisi kö¸segen bask¬n bir matris ise, Gauss-Jocobi

iterasyonlar¬key… ba¸slang¬ç noktas¬için yak¬nsar. Örnek 1 deki katsay¬ matrisi kö¸segen bask¬nd¬r:

(19)

Gauss-Jacobi yöntemi

Bunun için a¸sa¼g¬da verilecek olan Teoremde ifade ve ispat edildi¼gi üzere yeter ¸sart, Amatrisinin kö¸segen bask¬n olmas¬yani her bir kö¸segen üzerindeki eleman¬n mutlak de¼gerce ayn¬sat¬rdaki di¼ger elemanlar¬n mutlak de¼gerlerinin toplam¬ndan büyük olmas¬d¬r.

E¼gerA matrisi kö¸segen bask¬n bir matris ise, Gauss-Jocobi

iterasyonlar¬key… ba¸slang¬ç noktas¬için yak¬nsar. Örnek 1 deki katsay¬ matrisi kö¸segen bask¬nd¬r:

(20)

Gauss-Jacobi yöntemi

Bunun için a¸sa¼g¬da verilecek olan Teoremde ifade ve ispat edildi¼gi üzere yeter ¸sart, Amatrisinin kö¸segen bask¬n olmas¬yani her bir kö¸segen üzerindeki eleman¬n mutlak de¼gerce ayn¬sat¬rdaki di¼ger elemanlar¬n mutlak de¼gerlerinin toplam¬ndan büyük olmas¬d¬r.

E¼gerA matrisi kö¸segen bask¬n bir matris ise, Gauss-Jocobi

iterasyonlar¬key… ba¸slang¬ç noktas¬için yak¬nsar. Örnek 1 deki katsay¬

matrisi kö¸segen bask¬nd¬r:

(21)

Gauss-Jacobi yöntemi

3>j ¹j+j ¹j^,⁴>1+1,3>1+j ¹j dir. Fakat Örnek?? daki matris kö¸sen bask¬n de¼gildir.

Gauss-Jacobi yöntemini vektör-matris notasyonuyla da ifade edebiliriz:

A matrisi alt üçgensel, kö¸segen ve üst üçgensel olmak üzere üç matrisin toplam¬olarak yaz¬lmak suretiyle

A =

2 4

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a21 a22 a23

a₃₁ a₃₂ a₃₃ 3 5

= 2 4

0 0 0

a21 0 0 a₃₁ a₃₂ 0

3 5+

2 4

a₁₁ 0 0 0 a22 0 0 0 a₃₃

3 5+

2 4

0 a₁₂ a₁₃ 0 0 a23

0 0 0

3 5

= L+D+U yaz¬lmak suretiyle

Ax=b denklem sistemi

Dx=b (L+U)x

(22)

Gauss-Jacobi yöntemi

veya

x=g(x) =D ¹(b (L+U)x)

olarak ifade edilenx sabit noktas¬n¬belirleme problemine dönü¸stürülebilir.

Böylece Gauss-Jacobi yöntemig nin sabit noktas¬n¬belirlemek amac¬yla olu¸sturulan

x⁽^k⁺¹⁾ =g(x⁽^k⁾) =D ¹ b (L+U)x⁽^k⁾ ,k =1,2, (2) iterasyondan olu¸sur.

(2) ile tan¬mlanan vektör tabanl¬Gauss-Jacobi yöntemine ait Algoritma a¸sa¼g¬da verilmektedir.

(23)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

2 fark =1,sayac =0, eps =1e 4, döngü de¼gi¸skenleri ba¸slang¬ç de¼gerleri

3 max_sayac =50, maksimum iterasyon say¬s¬,

4 D: An¬n kö¸segen elemanlar¬n¬içeren kö¸segen matris

5 LaU: A n¬n kö¸segen d¬¸s¬ndaki elemanlar¬n¬içeren alt matris

6 Td =D nin tersi

7 fark >eps vesayac <max_n oldu¼gu sürece

1 X1=TD (b LaU X0)

2 fark=norm((X1 X0),inf);maksimum hata

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

8 e¼ger sayac =max_sayac ise iterasyonun yak¬nsamad¬¼g¬mesaj¬n¬ilet

9 ç¬kt¬:X1

(24)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(25)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(26)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(27)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(28)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(29)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(30)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(31)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(32)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(33)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(34)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(35)

Gauss-Jacobi yöntemi

1 Girdi: A,b,X0

6 Td =D nin tersi

1 X1=TD (b LaU X0)

3 X0=X1;

4 sayac=sayac+1;

9 ç¬kt¬:X1

(36)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

1 function X1=gaussjacobi(A,b,X0)

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

9 while fark >eps&sayac <maxsayac

10 X1=TD (b LaU X0)

11 fark =norm(X1 X0,inf);X0=X1;

12 sayac =sayac+1;

13 end

14 if sayac ==maxsayac error(⁰iterasyon yakinsamadi⁰);

15 end

(37)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(38)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(39)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(40)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(41)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(42)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(43)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(44)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(45)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(46)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(47)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(48)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(49)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

15 end

(50)

Gauss-Jacobi yöntemi kodu

2 fark =1;

3 maxsayac =50;

4 sayac =0;

5 eps =1e 4;

6 D =diag(diag(A));

7 LaU =A D;

8 TD =inv(D);

10 X1=TD (b LaU X0)

12 sayac =sayac+1;

13 end

if sayac ==maxsayac error(⁰iterasyon yakinsamadi⁰);

(51)

Gauss-Seidel yöntemi

Gauss-Seidel yöntemi, iterasyonlar¬n yak¬nsayaca¼g¬varsay¬m¬ilex_k₊₁ yakla¸s¬m¬n¬n gerçek de¼gere x_k dan daha yak¬n oldu¼gunu ve benzer biçimde y_k+1 yakla¸s¬m¬n¬n gerçek de¼gere y_k dan daha yak¬n oldu¼gunu kabul ederek ilgili iterasyonlarda bu güncel de¼gerlerin kullan¬lmas¬

esas¬na day¬n¬r.

Örnek 1 daki Gauss-Jacobi yerine

x_k₊₁ = ¹

3(2+y_k+z_k) y_k₊₁ = ¹

4( 1 x_k₊₁ z_k) z_k₊₁ = ¹

3(8 x_k₊₁+y_k₊₁) iterasyonu kullan¬l¬r.

(52)

Gauss-Seidel yöntemi

Gauss-Seidel yöntemi, iterasyonlar¬n yak¬nsayaca¼g¬varsay¬m¬ilex_k₊₁ yakla¸s¬m¬n¬n gerçek de¼gere x_k dan daha yak¬n oldu¼gunu ve benzer biçimde y_k+1 yakla¸s¬m¬n¬n gerçek de¼gere y_k dan daha yak¬n oldu¼gunu kabul ederek ilgili iterasyonlarda bu güncel de¼gerlerin kullan¬lmas¬

esas¬na day¬n¬r.

Örnek 1 daki Gauss-Jacobi yerine

x_k₊₁ = ¹

3(2+y_k+z_k) y_k₊₁ = ¹

4( 1 x_k₊₁ z_k) z_k₊₁ = ¹

3(8 x_k₊₁+y_k₊₁)

(53)

Gauss-Seidel yöntemi

Buna göre Örnek 1 deki ayn¬ba¸slang¬ç de¼geri ve ayn¬sonuçland¬rma kriteri için

x⁽¹⁾ x⁽²⁾ x⁽³⁾ x⁽¹⁰⁾ 2

4 1 1 1

3 5,

2 4

1.3333 0.8333 1.9444

3 5,

2 4

1.0370 0.9954 1.9892

3

5 , , 2 4

1 1 2

3 5 elde ederiz.

(54)

Gauss-Seidel yöntemi

Örne¼gimiz için Gauss-Seidel iterasyonlar¬10 ad¬mda yak¬nsarken, Gauss-Jacobi 17 ad¬mda yak¬nsam¬¸st¬r.

Gauss-Jacobi yöntemine benzer, ancak Ax=bsistemi (L+D)x=b Ux

biçiminde yaz¬lmak suretiyle

x=g(x) = (L+D) ¹(b Ux) olarak ifade edilenx sabit noktas¬n¬belirleme problemine dönü¸stürülebilir.

Böylece Gauss-Seidel yöntemi g nin sabit noktas¬n¬belirlemek amac¬yla

x⁽^k⁺¹⁾ =g(x⁽^k⁾) = (L+D) ¹ b Ux⁽^k⁾ ,k =1,2, (3) biçiminde olu¸sturulan iterasyondur.

(55)

Gauss-Seidel yöntemi

Gauss-Jacobi yöntemine benzer, ancak Ax=b sistemi

(L+D)x=b Ux biçiminde yaz¬lmak suretiyle

x⁽^k⁺¹⁾ =g(x⁽^k⁾) = (L+D) ¹ b Ux⁽^k⁾ ,k =1,2, (3) biçiminde olu¸sturulan iterasyondur.

(56)

Gauss-Seidel yöntemi

Gauss-Jacobi yöntemine benzer, ancak Ax=b sistemi (L+D)x=b Ux

biçiminde yaz¬lmak suretiyle

x⁽^k⁺¹⁾ =g(x⁽^k⁾) = (L+D) ¹ b Ux⁽^k⁾ ,k =1,2, (3)

(57)

Yinelemeli Yöntemlerin Yak¬nsakl¬¼ g¬

Vektör tabanl¬Gauss-Seidel yöntemine ait algoritma ve ilgili program Gauss-Jacobi yöntemine benzer biçimde geli¸stirilebilir(Al¬¸st¬rma 8 ).

Teorem 1.

E¼ger A matrisi sat¬rca kö¸segen bask¬n, yani j^aⁱⁱj>

∑

n j=1,j6=i

j^a^ijj^,ⁱ =1,2, ,m ise veya sütunca kö¸segen bask¬n, yani

j^aⁱⁱj>

∑

m j=1,j6=i

j^a^jij^,ⁱ =1,2, ,n

ise bu durumda hem Gauss-Jacobi ve hem de Gauss-Seidel yöntemleri ile olu¸sturulan iterasyon dizileri ilgili denklem sisteminin çözümüne yak¬nsarlar.

(58)

Yinelemeli Yöntemlerin Yak¬nsakl¬¼ g¬

Ispat· A matrisinin sat¬rca kö¸segen bask¬n oldu¼gunu ve Gauss-Jacobi yönteminin yak¬nsak oldu¼gunu gösterelim. (2) iterasyonunu

x⁽^k⁺¹⁾ =Cx⁽^k⁾+F (4) biçiminde yazal¬m. Burada

C = D ¹(L+U),F =D ¹b dir.

(59)

Yinelemeli Yöntemlerin Yak¬nsakl¬¼ g¬

x,verilen denklem sisteminin çözümü olsun. Bu taktirde Ax= (L+D+U)x=b den

Dx=b (L+U)x veya

x=D ¹b D ¹(L+U)x veya

x=Cx+F (5)

elde ederiz.

(60)

Yinelemeli Yöntemlerin Yak¬nsakl¬¼ g¬

E⁽^k⁾=x⁽^k⁾ x

ile k ¬nc¬ad¬mdaki iterasyon yakla¸s¬m hatas¬n¬gösterelim. (4) ve (5) nin taraf tarafa fark¬n¬alarak, k ¬nc¬ad¬mdaki hata vektörü için

E⁽^k⁺¹⁾ = CE⁽^k⁾

= C²E⁽^k ¹⁾ ...

= C^kE

elde ederiz. Akö¸segen bask¬n bir matris oldu¼gu içinjj^Cjj∞ <1 dir(Al¬¸st¬rma 4 ). O halde

jjÊ⁽^k⁺¹⁾jj∞ =jj^C^kÊjj∞ jj^C^kjj∞jjÊjj∞ jj^Cjj^k∞jjÊjj∞

ve

(k+1) (k)

(61)

Yinelemeli Yöntemlerin Yak¬nsakl¬¼ g¬

Uyar¬1.

Gauss-Jacobi veya Gauss-Seidel iterasyonun yak¬nsamas¬için kö¸segen bask¬nl¬k kriteri sadece yeter ¸sartt¬r, fakat gerek ¸sart de¼gildir.

(62)

Yinelemeli Yöntemlerin Yak¬nsakl¬¼ g¬

Örnek 3.

A= 2 4

4 1 3.2

2 5 2

1 2 3

3 5,b=

2 4

3 2 1

3

5,x⁽¹⁾= 2 4

1 1 1

3 5

için Gauss-Jacobi yöntemi 100ad¬mda

x= [0.7042,0.1112,0.0301]^T yakla¸s¬k çözümüne yak¬nsar.

Yak¬nsama oran¬olarak a¸sa¼g¬da tan¬mlanan hata oran¬

jj^Ax⁽^k⁺¹⁾ ^bjj²

jj^Ax⁽^k⁾ ^bjj² ^0.9456

1

(63)

Yinelemeli Yöntemlerin Yak¬nsakl¬¼ g¬

Örnek 4.

Gauss-Seidel yöntemi ise 10 ad¬mda jj^Ax⁽^k⁺¹⁾ ^bjj²

jj^Ax⁽^k⁾ ^bjj² ^0.3138 oran¬ile

x= [0.7011,0.1087,0.0272]^T

çözümüne yak¬nsar. Buna ra¼gmen A matrisi sat¬rca veya sütunca kö¸segen bask¬n de¼gildir.

(64)

Yinelemeli Yöntemlerin Yak¬nsakl¬¼ g¬

Örnek 5.

Bazen Gauss-Seidel yak¬nsak iterasyon üretti¼gi halde, Gauss-Jacobi

¬raksayabilir:

A= 2 4

4 1 4 2 5 2 1 2 3

3 5

matrisi ve Örnek 3 deki b ve x⁽¹⁾ vektörleri için Gauss-Seidel yöntemi11 ad¬mda

x= [0.6944,0.1111,0.0278]^T

çözümüne 0.3333hata oran¬ile yak¬nsar. Ancak Gauss-Jacobi yöntemi yak¬nsamaz.

(65)

Al¬st¬rmalar

A= 2 4

3 1 1

1 3 1

1 1 5

3

5 matrisi veb = 2 4

3 1 7

3 5

vektörü verilsin.

1 x⁽¹⁾ = [1 0 0]^T ba¸slang¬ç tahmini için x⁽²⁾,x⁽³⁾ ve x⁽⁴⁾ yakla¸s¬mlar¬n¬

Gauss-Jacobi yöntemiyle hesaplay¬n¬z.

(66)

Al¬st¬rmalar

2 Soru 1 i Gauss-Seidel yöntemi ile tekrarlay¬n¬z.

3 Herhangi A_{3 3}matrisi ve b_{3 1} vektörü için (1) iterasyonu ve (??) iterasyonunun denk oldu¼gunu gözlemleyiniz.

4 A=L+D+U kö¸segen bask¬n bir matris ve C = D ¹(L+U) ise jj^Cjj∞ <1 oldu¼gunu gösteriniz.

(67)

Al¬st¬rmalar

5 (Bilgisayar Uygulamalar¬) Soru 1 de elde etti¼giniz yakla¸s¬mlar¬

Gauss_Jacobi program¬yard¬m¬yla da elde ediniz.

6 Örnek 1,2 ve ??de elde edilen sonuçlar¬Gauss_Jacobi program¬

yard¬m¬yla da kontrol ediniz.

7 ·Iteratif yöntemlerdeAx=b sistemi, uygun bir tersinir B matrisi için Bx+ (A B)x=b

olarak yaz¬l¬r ve

BX⁽^k⁺¹⁾= (B A)X⁽^k⁾+b iterasyonu tan¬mlan¬r. Özel olarak

A=L+D+U olmak üzere

B=D olmas¬durumunda elde edilen yöntemin Gauss-Jacobi yöntemi ve

B=L+D olmas¬durumunda elde edilen yöntemin ise Gauss-Seidel yöntemi oldu¼gunu gözlemleyiniz.

(68)

Al¬st¬rmalar

8 Gauss_Jacobi program¬n¬düzenleyerek Gauss_Seidel program¬n¬

geli¸stiriniz. Elde etti¼giniz program yard¬m¬yla Örnek 3 deki yakla¸s¬mlar¬

elde ediniz. Ayr¬ca Gauss-Seidel yöntemi için teorem1 i ispat ediniz.

9 Verilen bir üç kö¸segenli simetrik A_{n n} matrisi için [L,U] =lumat(A) komutuyla A=LU ayr¬¸s¬m¬n¬, ayr¬¸s¬m elemanlar¬n¬A n¬n elemanlar¬

cinsinden aç¬kça belirlemek suretiyle hesaplayacak uygun bir algoritma ve MATLAB/Octave program¬haz¬rlay¬n¬z.

(69)

Al¬st¬rmalar

10 (Proje) Thomas Algoritmas¬: A¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlanan A matrisi ve d vektörü verilsin

A= 2 66 66 64

b₁ c₁ 0 0

a₂ b₂ c₂ 0

... . .. ... . .. ... 0 0 a_n ₁ b_n ₁ c_n ₁

0 0 a_n b_n

3 77 77 75

,d= 2 66 64

d₁ d2

... d_n

3 77 75

[Aj^d]ekli matrisini elemanter sat¬r i¸slemleri yard¬m¬yla [A⁰j^d⁰]ekli sistemine dönü¸stürünüz. Burada a1 =0,cn =0 olmak üzere ,

(70)

Al¬st¬rmalar

A⁰ = 2 66 66 64

b₁⁰ c₁ 0 0

0 b₂⁰ c₂ 0

... . .. ... . .. ... 0 0 0 b_n⁰ ₁ c_n ₁

0 0 0 b_n⁰

3 77 77 75

,d⁰ = 2 66 64

d₁⁰ d₂⁰ ... d_n⁰

3 77 75

n¬n bile¸senleri

b₁⁰ = b₁ d₁⁰ = d₁

b⁰_i = b_i a_i b⁰_i ₁c_i ₁, d_i⁰ = d_i a_i

b⁰_i ₁d_i⁰ ₁,i =2,3, ,n

(71)

Al¬st¬rmalar

A⁰x=d⁰ sistemini çözerek xn = d_n⁰/b_n⁰,

xi = (d_n⁰ cnxn+1)/b⁰_n,i =n 1,n 2, ,1 oldu¼gunu gösteriniz.

Yukar¬da elde etti¼giniz algoritmay¬ X =thomas(a,b,c,d) komutu ile ayn¬say¬da bile¸sene sahipa,b,c,d vektörleri için çal¬¸st¬ran

MATLAB/Octave program¬haz¬rlay¬n¬z.

(72)

Al¬st¬rmalar

A⁰x=d⁰ sistemini çözerek xn = d_n⁰/b_n⁰,

xi = (d_n⁰ cnxn+1)/b⁰_n,i =n 1,n 2, ,1 oldu¼gunu gösteriniz.

Yukar¬da elde etti¼giniz algoritmay¬ X =thomas(a,b,c,d) komutu ile ayn¬say¬da bile¸sene sahipa,b,c,d vektörleri için çal¬¸st¬ran

MATLAB/Octave program¬haz¬rlay¬n¬z.

(73)

Al¬st¬rmalar

11 (Proje: Modi…ye Thomas)A matrisini

A=Ls+TD+Us=Ls+ 2 66 66 64

b₁ c₁ 0 0

a2 b2 c2 0

... . .. ... . .. ... 0 0 a_n ₁ b_n ₁ c_n ₁

0 0 an bn

3 77 77 75

+Us

olarak yaz¬n¬z.BuradaLs üç kö¸senli k¬sm¬n a¸sa¼g¬s¬nda yer alan elemanlar¬içeren alt üçgensel matris veUs ise üç kö¸segenli k¬sm¬n yukar¬s¬nda kalan k¬sm¬içeren üst üçgensel matristir. Ax=b sistemini

TDx+ (Ls+Us)x=b olarak yazarak

TDX⁽^k⁺¹⁾ =b (Ls+Us)X⁽^k⁾,k =0,1, iterasyonunu tan¬mlayal¬m.

(74)

Al¬st¬rmalar

Yöntemin her ad¬mda Thomas algoritmas¬n¬kullanmak suretiyle üç kögenli lineer sistemi çözmesi gerekti¼gine dikkat edelim.

Yukar¬da tan¬mlanan algoritmay¬X =mthomas(A,b,X0) komutuyla uygulayan bir MATLAB/Octave program¬haz¬rlay¬n¬z.

Yöntemin yak¬nsama h¬z¬n¬Gauss-Jacobi ve Gauss-Seidel ile kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

(75)

Al¬st¬rmalar

(76)

Al¬st¬rmalar

(77)

Kaynaklar

Atkinson, K. An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley &

Sons, 1988.

Co¸skun, E. MATLAB/Octave ile Say¬sal Hesaplama ve Kodlama(URL:erhancoskun.com.tr).

Kincaid, D., Cheney, W., Numerical Analysis, Brooks/Cole, 1991.

LAPACK, Linear Algebra Package,(URL:netlib.org)

OCTAVE, GNU özgür yaz¬l¬m(URL:OCTAVE.sourceforge.net).

Press, H. W. ve ark., Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 1988.

Stoer, J., Bulirsh, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag, 1976.

Strang, G., Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge, 1986.