Am n matrisinin sütun uzayı, A n sütunlarının doğrusal birleşiminden oluşan vektör uzayıdır ve bu uzay, Rm'nin bir alt uzayıdır. Ax = b denklem sisteminin sütunlarına baktığımızda doğrusal cebiri, satırlarına baktığımızda ise geometriyi görüyoruz. A matrisinin sütun uzayında bir b vektörü varsa, o zaman b vektörü, A matrisinin sütunlarının doğrusal bir birleşimi olarak yazılabilir, yani x vektörü, Ax = b olacak şekilde mevcuttur, başka bir deyişle, Ax =b denklem sisteminin çözümleri vardır.
Dolayısıyla, herhangi bir b2R2, A n¬n sütunlarının doğrusal birleşimi, yani Ax biçiminde ifade edilebilir: Sonuç olarak, herhangi bir b2R2 için Ax=b denklem sisteminin bir çözümü vardır. Eğer b vektörü, A matrisinin sütun uzayında yer alıyorsa ve A'nın sütunları n¬n doğrusal bağımsızsa, bu durumda Ax = b denklem sisteminin yalnızca bir çözümü vardır. Kanıt b, n¬n sütun uzayındaki A vektörü olduğundan, Ax = b denklemini karşılayan en az bir özel x = xo• çözümü vardır.
E¼ger vektörü b, A matrisinin sütun uzayındaysa çözüm vardır, aksi durumda çözüm yoktur. Öte yandan daha spesifik A matrisleri için Ax=b denklem sisteminin çözümünü elde edecek yöntemler geliştirilmiştir.
Do¼ grudan çözüm yöntemleri
Doğrudan çözüm yöntemleri, sonlu sayıda işlem yardımıyla belirli bir yuvarlama hatasıyla çözüm elde eden yöntemlerdir. Bu amaçla x(0) 2 Rn başlangıç noktasını ve g ile gösterilen yineleme fonksiyonunu kullanan yinelemeli yöntemler uygundur. Yöntemi temel satır veya sütun işlemleri kullanılarak belirtilen, Ux=c biçimindeki üst üçgen veya basamak(sayılar).
Üst üçgen sistemini Gauss eliminasyonu uygulandıktan sonra Algoritma 7.2 kullanarak çözen Gaussb isimli Program 7.2 aşağıda verilmiştir. Daha sonra 1'den n'ye kadar sayıların karelerinin toplamı formülü kullanılarak çarpma işlemlerinin sayısı uygulanır ve ayrıca bölme işlemi sayısı gerekiyorsa, yok etme işlemi için gereken faktör sayısı da uygulanır. Ax=b denklem sistemini P A=LU ayrıştırması ile birlikte döndürülmüş Gauss yok etme yöntemiyle çözmek için Algoritma 7.3 aşağıda verilmiştir.
Anna'nın sütunları, dik (ortonormalleştirilmiş) bir diziyi sütun olarak kabul eden Gram-Schmidt kullanılarak ortogonize edilmiştir. Dolayısıyla sistemin çözümü (7:12), üst üçgen sistemin (7.15) çözümüne indirgenir. 7.13'teki Q matrisi), Gram-Schmidt yöntemi kullanılarak A n-n doğrusal bağımsız sütunların dikleştirilmesiyle elde edilen vektörleri sütun olarak kabul eden bir matristir. Yukarıda özetlendiği gibi bu ayırma Gram-Schmidt yöntemi kullanılarak gerçekleştirilebilir.
Aşağıda verilen kısmi Gauss pivot eleme yönteminin Program 7.3'ünü çalıştırarak Örnek 7.14'te elde edilen sonuçları kontrol edin. a) A'nın dikleştirilmesiyle oluşan Qmatrix ve QTQ'yu gs fonksiyon programı yardımıyla hesaplayın. Gram-Schmidt yöntemiyle am nmatrisinin QRa bölümü için gereken çarpma işlemi sayısını belirleyin ve elde ettiğiniz sonuç, LU ayrıştırması için gereken çarpma işlemi sayısıdır. Karşılaştırmak. Proje) Ev sahiplerinin dönüşümlerini arayarak, bu dönüşümler yardımıyla A matrisinin tam QR ayrıştırmasının nasıl elde edildiğini inceleyin.
Yinelemeli(· Iteratif ) yöntemler
Yukarıda özetlenen prosedür takip edildiğinde, x = 1. Başlangıç tahmini x2 = 1 kullanılarak. Ondalık noktadan sonra dört haneye yuvarlandığında sunulan yaklaşık değerler aşağıdaki gibidir. Yukarıdaki sistemin iki satırının yerde çaprazlanmasıyla elde edilen x+ 4y+z = 1 ıraksak iterasyon yaklaşımlarını elde ederiz. Örnek 7.18 için kullanılan yöntem yakınsak sonuçlar verirken, Örnek 7.19 için denklem sistemindeki satırların serpiştirilmesiyle elde edilen ıraksak bir yaklaşım elde edilir.
O zaman akla gelen soru Gauss-Jacobi yineleme anahtarının A matrisinde hangi kısıtlama altında olduğudur. başlangıç noktasına yaklaşır. Bunun için aşağıda verilecek teoremde belirtildiği ve kanıtlandığı gibi Amatrix'in köşegen baskınlığının, yani elemanın her köşegendeki mutlak değerinin, aynı satırdaki diğer elemanların, mutlak olmalıdır. değerlerinin toplamından büyüktür. A¼gerA matrisi köşegen baskın bir matris ise, Gauss-Jocobi yineleme anahtarı başlangıç noktasına yaklaşır. A matrisini alt üçgen, köşegen ve üst üçgen olmak üzere üç matrisin toplamı olarak yazarak. Şu şekilde ifade edilen sabit x noktasının belirlenmesi problemine dönülebilir:
Böylece Gauss-Jacobi yönteminin sabit noktasını belirlemek için oluşturulmuştur. 7.18'de anlatılan vektör Gauss-Jacobi yönteminin 7.6 numaralı algoritması aşağıda verilmiştir. Gauss-Seidel yöntemi, yinelemelerin yakınsadığını varsayarak, xk+1 yaklaşımının gerçek değere xk'den daha yakın olduğunu ve benzer şekilde yk+1 yaklaşımının da daha yakın olduğunu gösterir. m-n'nin gerçek değere daha yakın olduğu varsayılarak bu mevcut değerlerin uygun yinelemelere uygulanması esasına dayanır. Buna göre örnek 7.18'dekiyle aynı başlangıç değeri ve aynı kapanış kriterleri için.
Örneğimiz için Gauss-Seidel yinelemeleri 10 adımda yakınsar, Gauss-Jacobi ise 17 adımda yakınsar. Vektör tabanlı Gauss-Seidel yönteminin algoritması ve ilgili programı Gauss-Jacobi yöntemine benzer şekilde geliştirilebilir (Alıştırma 8. Amatrix'in çizgi ve Gauss-Jacobi yönüne göre çapraz olarak baskın olduğunun kanıtı - Gösterelim ki arz yakınsaktır.
Çapraz baskınlık kriteri Gauss-Jacobi veya Gauss-Seidel yinelemesinin yakınsaması için yalnızca yeterlidir, ancak gerekli değildir. Herhangi bir A3 3 matrisi ve b3 1 vektörü için yineleme (7.17) ve yinelemenin (??) eşdeğer olduğuna dikkat edin. Bilgisayar Uygulamaları¬) Soru 1'de elde edilen yaklaşıklıkları Gauss_Jacobi programını kullanarak elde edin. İteratif yöntemlerde, uygun bir tersinir B matrisi için Ax=b Bx+ (A B)x=b sistemi. a) B= durumunda elde edilen yöntemin Gauss-Jacobi yöntemi doldurulur.
