Yüksek basamaktan iteratif yakla¸s¬mlar

Say¬sal integrasyon için yüksek basamaktan iteratif yakla¸s¬mlar

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Eylül 2020

Yüksek basamaktan iteratif yakla¸s¬mlar

Bu bölümde

bilinen dü¸sük mertebeli yöntemlerden iterasyon yöntemi ile yüksek mertebeli yöntemlerin nas¬l elde edildi¼gini inceliyor ve

isimli çal¬¸smam¬z¬n sekizinci bölümüne ait "yüksek mertebeden iteratif yöntemler" isimli ba¸sl¬¼g¬ndan olu¸sturmaktad¬r. Konuyla ilgili ileri düzey ara¸st¬rma için bölüm sonunda sundu¼gumuz de¼gerli kaynaklar¬ öneririz.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 2 / 57

Yüksek basamaktan iteratif yakla¸s¬mlar

Bu bölümde

bilinen dü¸sük mertebeli yöntemlerden iterasyon yöntemi ile yüksek mertebeli yöntemlerin nas¬l elde edildi¼gini inceliyor ve

e¸sit aral¬kl¬olmayan a¼g üretimi ve bu tür a¼glar üzerinde say¬sal integrasyonu inceliyoruz.

Bu çal¬¸sma "MATLAB/Octave Uygulamalar¬yla Say¬sal Analize Giri¸s"

isimli çal¬¸smam¬z¬n sekizinci bölümüne ait "yüksek mertebeden iteratif yöntemler" isimli ba¸sl¬¼g¬ndan olu¸sturmaktad¬r. Konuyla ilgili ileri düzey ara¸st¬rma için bölüm sonunda sundu¼gumuz de¼gerli kaynaklar¬

öneririz.

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Sol Dikdörtgen veya Yamuk gibi dü¸sük basamakl¬yöntemlerden farkl¬

ad¬m uzunluklar¬ile olu¸sturulan uygun lineer kombinasyonlar yard¬m¬yla daha yüksek basamaktan yöntemler elde edebiliriz:

Örne¼gin Sol Dikdörtgen yönteminin farkl¬ad¬m uzunluklar¬ile olu¸sturulan a¸sa¼g¬daki lineer kombinasyon Orta Nokta yöntemine e¸sittir:

I_sol(f,h) =h(f(x₁) +f(x₂) +...+f(x_N)) ve

I_sol(f,2h) =2h(f(x₁) +f(x₃) +...+f(x_{N 1})) yakla¸s¬mlar¬ndan

2Isol(f,h) Isol(f,2h) =2h(f(x2) +f(x4) +...+f(xN)) elde edilir ki bu yöntem I_ort(f,2h)d¬r.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 3 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Sol Dikdörtgen veya Yamuk gibi dü¸sük basamakl¬yöntemlerden farkl¬

ad¬m uzunluklar¬ile olu¸sturulan uygun lineer kombinasyonlar yard¬m¬yla daha yüksek basamaktan yöntemler elde edebiliriz:

Örne¼gin Sol Dikdörtgen yönteminin farkl¬ad¬m uzunluklar¬ile olu¸sturulan a¸sa¼g¬daki lineer kombinasyon Orta Nokta yöntemine e¸sittir:

I_ort(f,2h) =2I_sol(f,h) I_sol(f,2h)

Gerçekten de

I_sol(f,h) =h(f(x₁) +f(x₂) +...+f(x_N)) ve

I_sol(f,2h) =2h(f(x₁) +f(x₃) +...+f(x_{N 1})) yakla¸s¬mlar¬ndan

2Isol(f,h) Isol(f,2h) =2h(f(x2) +f(x4) +...+f(xN)) elde edilir ki bu yöntem I_ort(f,2h)d¬r.

ad¬m uzunluklar¬ile olu¸sturulan uygun lineer kombinasyonlar yard¬m¬yla daha yüksek basamaktan yöntemler elde edebiliriz:

Örne¼gin Sol Dikdörtgen yönteminin farkl¬ad¬m uzunluklar¬ile olu¸sturulan a¸sa¼g¬daki lineer kombinasyon Orta Nokta yöntemine e¸sittir:

I_ort(f,2h) =2I_sol(f,h) I_sol(f,2h) Gerçekten de

I_sol(f,h) =h(f(x₁) +f(x₂) +...+f(x_N)) ve

I_sol(f,2h) =2h(f(x₁) +f(x₃) +...+f(x_{N 1})) yakla¸s¬mlar¬ndan

2Isol(f,h) Isol(f,2h) =2h(f(x2) +f(x4) +...+f(xN)) elde edilir ki bu yöntem I_ort(f,2h)d¬r.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 3 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Bu sonucu daha somut bir örnek üzerinde gözlemlemeye çal¬¸sal¬m:

[a,b] = [0,1],h=1/10 olsun. Bu durumda alt aral¬klar¬n uç noktalar¬

x = [0,1/10,2/10, ...,9/10,1] olup

I_sol(f,2h) =I_sol(f,1/5) =1/5(f(0) +f(1/5) +...+f(4/5)) (1) dir.

Bu sonucu daha somut bir örnek üzerinde gözlemlemeye çal¬¸sal¬m:

[a,b] = [0,1],h=1/10 olsun. Bu durumda alt aral¬klar¬n uç noktalar¬

x = [0,1/10,2/10, ...,9/10,1] olup

I_sol(f,2h) =I_sol(f,1/5) =1/5(f(0) +f(1/5) +...+f(4/5)) (1) dir.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 4 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Öte yandan

I_sol(f,h) = I_sol(f,1/10) (2)

= 1/10(f(0) +f(1/10) +...+f(9/10)) dir. O halde (2) i iki ile çarp¬p, (1) ile toplamak suretiyle

2I_sol(f,h) I_sol(f,2h) =1/5(f(1/10) +f(3/10) +...+f(9/10)) elde ederiz ki bu yöntem 2h=1/5 ad¬m uzunlu¼gu ile Orta Nokta yöntemi, yani Iort(f,2h)dir.

Orta Nokta yönteminin yerel hatas¬

E_ort(f,h) = ^h

3

24f⁰⁰(c),ce(a,b) (3) ve kümülatif hatas¬ise

E_ort(f,h) = (b a)³

24n² f⁰⁰(c),ce(a,b) (4)

= (b a)

24 h²f⁰⁰(c),ce(a,b)

= O(h²) oldu¼gu kolayca gösterilebilir.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 6 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Teorem 1.

Rb

a f(x)dx integralini gözönüne alal¬m.

S(i,1),i =1,2, ....

ile [a,b] aral¬¼g¬n¬n2^{i 1} ,i =1,2, .... alt aral¬¼ga bölünmesi suretiyle uygulanan sol dikdörtgen kural¬yakla¸s¬mlar¬n¬gösterelim:

S(i,1):=Isol(f,b a

2^{i 1} ),i =1,2, ...

Bu taktirde a¸sa¼g¬daki ifadeler do¼grudur:

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

S(i,2):=I_ort(f,b a

2^{i 2} ) =2S(i,1) S(i 1,1),i =2,3, ...

yakla¸s¬mlar¬kümülatif hatas¬O(h²) olan yakla¸s¬mlard¬r.

yakla¸s¬mlar¬ise, kümülatif hatalar¬O(h^{2(j 1)}) olan

yakla¸s¬mlard¬r.Yukar¬da tan¬mlanan dizinin ba¸slang¬ç elemanlar¬ a¸sa¼g¬daki tabloda sunulmaktad¬r.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 8 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

S(i,2):=I_ort(f,b a

2^{i 2} ) =2S(i,1) S(i 1,1),i =2,3, ...

yakla¸s¬mlar¬kümülatif hatas¬O(h²) olan yakla¸s¬mlard¬r.

S(i,j):= ⁴

j 2S(i,j 1) S(i 1,j 1)

4^{j 2} 1 ,i =3,4, ...;j =i,i+1, ...

yakla¸s¬mlar¬ise, kümülatif hatalar¬O(h^{2(j 1)}) olan

yakla¸s¬mlard¬r.Yukar¬da tan¬mlanan dizinin ba¸slang¬ç elemanlar¬

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Sol dikdörtgen yöntemi esasl¬yüksek basamaktan iteratif yakla¸s¬mlar tablosu

Sol D. Orta Nokta O(h⁴) O(h⁶)

S(1,1)

S(2,1) S(2,2) =2S(2,1) S(1,1) S(3,1) S(3,2) =2S(3,1) S(2,1) A

S(4,1) S(4,2) =2S(4,1) S(3,1) B C

B =S(4,3) = (4S(4,2) S(3,2)/3 C =S(4,4) =(16S(4,3) S(3,3))/15

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 9 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Sol dikdörtgen yöntemi esasl¬yüksek basamaktan iteratif yakla¸s¬mlar tablosu

Sol D. Orta Nokta O(h⁴) O(h⁶)

S(1,1)

S(2,1) S(2,2) =2S(2,1) S(1,1) S(3,1) S(3,2) =2S(3,1) S(2,1) A

S(4,1) S(4,2) =2S(4,1) S(3,1) B C burada

A=S(3,3) = (4S(3,2) S(2,2)/3 B =S(4,3) = (4S(4,2) S(3,2)/3 C =S(4,4) =(16S(4,3) S(3,3))/15

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Sol dikdörtgen yöntemi esasl¬yüksek basamaktan iteratif yakla¸s¬mlar tablosu

Sol D. Orta Nokta O(h⁴) O(h⁶)

S(1,1)

S(2,1) S(2,2) =2S(2,1) S(1,1) S(3,1) S(3,2) =2S(3,1) S(2,1) A

S(4,1) S(4,2) =2S(4,1) S(3,1) B C burada

A=S(3,3) = (4S(3,2) S(2,2)/3

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 9 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Sol dikdörtgen yöntemi esasl¬yüksek basamaktan iteratif yakla¸s¬mlar tablosu

Sol D. Orta Nokta O(h⁴) O(h⁶)

S(1,1)

S(2,1) S(2,2) =2S(2,1) S(1,1) S(3,1) S(3,2) =2S(3,1) S(2,1) A

S(4,1) S(4,2) =2S(4,1) S(3,1) B C burada

A=S(3,3) = (4S(3,2) S(2,2)/3 B =S(4,3) = (4S(4,2) S(3,2)/3

C =S(4,4) =(16S(4,3) S(3,3))/15

Sol dikdörtgen yöntemi esasl¬yüksek basamaktan iteratif yakla¸s¬mlar tablosu

Sol D. Orta Nokta O(h⁴) O(h⁶)

S(1,1)

S(2,1) S(2,2) =2S(2,1) S(1,1) S(3,1) S(3,2) =2S(3,1) S(2,1) A

S(4,1) S(4,2) =2S(4,1) S(3,1) B C burada

A=S(3,3) = (4S(3,2) S(2,2)/3 B =S(4,3) = (4S(4,2) S(3,2)/3 C =S(4,4) =(16S(4,3) S(3,3))/15

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 9 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

·Ispat:

S(i,2),i =2,3, ...yakla¸s¬mlar¬n¬n kümülatif hatalar¬O(h²)olan orta nokta yakla¸s¬mlar¬olduklar¬n¬yukar¬da gözlemlemi¸stik. ·Ilk olarak S(i,3)yakla¸s¬mlar¬n¬n kümülatif hatalar¬n¬nO(h⁴)oldu¼gunu gösterece¼giz.

Öncelikle S(3,3)yakla¸s¬m¬n¬dikkate alarak, yöntemin yerel hatas¬n¬ elde etmeye çal¬¸sal¬m. Aç¬k olarak ifade edecek olursak,

h = (b a)/2 olmak üzere S(3,3) = ^4S(3,2) S(2,2)

3

= ^4h(f(a+h/2) +f(a+3h/2)) 2hf(a+h) 3

= ²(b a)

3 (f(a+h/2) 1/2f(a+h) +f(a+3h/2)) elde ederiz.

S(i,2),i =2,3, ...yakla¸s¬mlar¬n¬n kümülatif hatalar¬O(h²)olan orta nokta yakla¸s¬mlar¬olduklar¬n¬yukar¬da gözlemlemi¸stik. ·Ilk olarak S(i,3)yakla¸s¬mlar¬n¬n kümülatif hatalar¬n¬nO(h⁴)oldu¼gunu gösterece¼giz.

Öncelikle S(3,3)yakla¸s¬m¬n¬dikkate alarak, yöntemin yerel hatas¬n¬

elde etmeye çal¬¸sal¬m. Aç¬k olarak ifade edecek olursak, h = (b a)/2 olmak üzere

S(3,3) = ^4S(3,2) S(2,2) 3

= ^4h(f(a+h/2) +f(a+3h/2)) 2hf(a+h) 3

= ²(b a)

3 (f(a+h/2) 1/2f(a+h) +f(a+3h/2)) elde ederiz.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 10 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Yeteri düzeyde türevlenebilir oldu¼gunu kabul ederek, f

fonksiyonunun öncex =a noktas¬kom¸sulu¼gunda Taylor aç¬l¬m¬n¬

gerçekle¸stirip, ard¬ndan da integral almak suretiyle

Z b

a

f(x)dx (5)

= 2hf(a) +2h²f⁰(a) +4/3h³f⁰⁰(a) +2/3h⁴f⁰⁰⁰(a) +4/15h⁵f^(iv)(a) +... elde ederiz.

Benzer biçimde yine x=a noktas¬kom¸sulu¼gundaki Taylor aç¬l¬m¬ yard¬m¬yla

(f(a+h/2) 1/2f(a+h) +f(a+3h/2))

= 3/2f(a) + (3/2h)f⁰(a) +h²f⁰⁰(a) +h³/2f⁰⁰⁰(a) +74/384h⁴f^(iv)(a) +... elde ederiz.

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Yeteri düzeyde türevlenebilir oldu¼gunu kabul ederek, f

fonksiyonunun öncex =a noktas¬kom¸sulu¼gunda Taylor aç¬l¬m¬n¬

gerçekle¸stirip, ard¬ndan da integral almak suretiyle Z b

a

f(x)dx (5)

= 2hf(a) +2h²f⁰(a) +4/3h³f⁰⁰(a) +2/3h⁴f⁰⁰⁰(a) +4/15h⁵f^(iv)(a) +...

elde ederiz.

(f(a+h/2) 1/2f(a+h) +f(a+3h/2))

= 3/2f(a) + (3/2h)f⁰(a) +h²f⁰⁰(a) +h³/2f⁰⁰⁰(a) +74/384h⁴f^(iv)(a) +... elde ederiz.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 11 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Yeteri düzeyde türevlenebilir oldu¼gunu kabul ederek, f

fonksiyonunun öncex =a noktas¬kom¸sulu¼gunda Taylor aç¬l¬m¬n¬

gerçekle¸stirip, ard¬ndan da integral almak suretiyle Z b

a

f(x)dx (5)

= 2hf(a) +2h²f⁰(a) +4/3h³f⁰⁰(a) +2/3h⁴f⁰⁰⁰(a) +4/15h⁵f^(iv)(a) +...

elde ederiz.

Benzer biçimde yinex =a noktas¬kom¸sulu¼gundaki Taylor aç¬l¬m¬

yard¬m¬yla

(f(a+h/2) 1/2f(a+h) +f(a+3h/2))

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

O halde

S(3,3)

= ²(b a)

3 (f(a+h/2) 1/2f(a+h) +f(a+3h/2))

= 2hf(a) +2h²f⁰(a) +4/3h³f⁰⁰(a) +2/3h⁴f⁰⁰⁰(a) +37/144h⁵f^(iv)(a) +...

elde ederiz.

= ch⁵f^(iv)(ξ),ξ 2(a,b) (6) elde ederiz.

(6) Dördüncü türevi sabit olan, örne¼ginf(x) =x⁴ fonksiyonunun [0,1]aral¬¼g¬üzerindeki integrali yard¬m¬yla (6) deki hata sabitini belirleyebiliriz:

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 12 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

O halde

S(3,3)

= ²(b a)

3 (f(a+h/2) 1/2f(a+h) +f(a+3h/2))

= 2hf(a) +2h²f⁰(a) +4/3h³f⁰⁰(a) +2/3h⁴f⁰⁰⁰(a) +37/144h⁵f^(iv)(a) +...

elde ederiz.

Buradan Z _b

a

f(x)dx S(3,3) = (4/15 37/144)h⁵f^(iv)(a) +...

5 (iv)

(6) Dördüncü türevi sabit olan, örne¼ginf(x) =x⁴ fonksiyonunun [0,1]aral¬¼g¬üzerindeki integrali yard¬m¬yla (6) deki hata sabitini belirleyebiliriz:

S(3,3)

= ²(b a)

3 (f(a+h/2) 1/2f(a+h) +f(a+3h/2))

= 2hf(a) +2h²f⁰(a) +4/3h³f⁰⁰(a) +2/3h⁴f⁰⁰⁰(a) +37/144h⁵f^(iv)(a) +...

elde ederiz.

Buradan Z _b

a

f(x)dx S(3,3) = (4/15 37/144)h⁵f^(iv)(a) +...

= ch⁵f^(iv)(ξ),ξ 2(a,b) (6) elde ederiz.

(6) Dördüncü türevi sabit olan, örne¼ginf(x) =x⁴ fonksiyonunun [0,1]aral¬¼g¬üzerindeki integrali yard¬m¬yla (6) deki hata sabitini belirleyebiliriz:

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 12 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

EY(f) = I(f) S(3,3)

=

Z ₁

0

x⁴dx 2/3(f(1/4) 1/2f(1/2) +f(0+3/4))

= 1/5 2/3 (1/256 1/2 1/16+81/256)

= 7/960=c 1 32 24

ba¼g¬nt¬s¬ndan, c = _{24 960}^{32 7} =7/720 olup, yöntemin yerel hatas¬n¬

E_S(3,3)(f,h = (b a)/2) =7/720h⁵f^(iv)(ξ),ξ 2(a,b) olarak elde ederiz.

BuradanS(i,3),i =4,5, ...yöntemlerinin kümülatif hatas¬n¬ise, n/2 adet yerel hatan¬n toplam¬olarak

E_S(i,3)(f,(b a)/n) = 7/1440(b a)⁵/n⁴f^(iv)(ξ),ξ 2(a,b)

= O(h⁴) elde ederiz.

EY(f) = I(f) S(3,3)

=

Z ₁

0

x⁴dx 2/3(f(1/4) 1/2f(1/2) +f(0+3/4))

= 1/5 2/3 (1/256 1/2 1/16+81/256)

= 7/960=c 1 32 24

ba¼g¬nt¬s¬ndan, c = _{24 960}^{32 7} =7/720 olup, yöntemin yerel hatas¬n¬

E_S(3,3)(f,h = (b a)/2) =7/720h⁵f^(iv)(ξ),ξ 2(a,b) olarak elde ederiz.

BuradanS(i,3),i =4,5, ...yöntemlerinin kümülatif hatas¬n¬ise, n/2 adet yerel hatan¬n toplam¬olarak

E_S(i,3)(f,(b a)/n) = 7/1440(b a)⁵/n⁴f^(iv)(ξ),ξ 2(a,b)

= O(h⁴) elde ederiz.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 13 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Benzer biçimde E_S(4,4)(f,h) =O(h⁷)oldu¼gu ve bile¸sik yöntemler için ise E_S(i,4)(f,h) =O(h⁶),i =5,6, ...;n=4,6, ...

gösterilebilir.(Al¬¸st¬rma 11)

O halde E_S(i,2) =O(h²),E_S(i,3) =O(h⁴),E_S(i,4)=O(h⁶)

gözlemlerinde hareketle, tümevar¬m gere¼gi kümülatif hatan¬nh n¬nçift kuvvetleri cinsinden

I(f) S(i,j) = E_S(i,j) (7)

= c1h^{2(j 1)}f^{(2(j 1))}(a) +c2h^2jf^(2j)(a) +...,j =2,3, ... olarak ifade edildi¼gini kabul edelim. Bu taktirde i >i+1(veya h >h/2) için

Benzer biçimde E_S(4,4)(f,h) =O(h⁷)oldu¼gu ve bile¸sik yöntemler için ise E_S(i,4)(f,h) =O(h⁶),i =5,6, ...;n=4,6, ...

gösterilebilir.(Al¬¸st¬rma 11)

O halde E_S(i,2) =O(h²),E_S(i,3) =O(h⁴),E_S(i,4)=O(h⁶)

gözlemlerinde hareketle, tümevar¬m gere¼gi kümülatif hatan¬nh n¬nçift kuvvetleri cinsinden

I(f) S(i,j) = E_S(i,j) (7)

= c₁h^{2(j 1)}f^{(2(j 1))}(a) +c₂h^2jf^(2j)(a) +...,j =2,3, ...

olarak ifade edildi¼gini kabul edelim. Bu taktirde i >i+1(veya h >h/2) için

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 14 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

I(f) S(i+1,j) (8)

= E_S(i+1,j)=c₁h^{2(j 1)}

2^{2(j 1)}f^{(2(j 1))}(a) +c₂h^2jf^(2j)(a) +...

elde ederiz.

8 ifadesini 2^{2(j 1)}=4^{j 1} ile çarp¬p, 7 den fark¬n¬almak suretiyle

4^{j 1}E_S(i+1,j) E_S(i,j) = (4^{j 1}(c2h^2jf^(2j)(a) +...) (c2h^2jf^(2j)(a) +...))

= O(h^2j) veya

E_S(i+1,j+1) = ⁴

j 1E_S(i+1,j) E_S(i,j)

4^{j 1} =O(h^2j) elde ederiz.

I(f) S(i+1,j) (8)

= E_S(i+1,j)=c₁h^{2(j 1)}

2^{2(j 1)}f^{(2(j 1))}(a) +c₂h^2jf^(2j)(a) +...

elde ederiz.

8 ifadesini 2^{2(j 1)}=4^{j 1} ile çarp¬p, 7 den fark¬n¬almak suretiyle

4^{j 1}E_S(i+1,j) E_S(i,j) = (4^{j 1}(c2h^2jf^(2j)(a) +...) (c2h^2jf^(2j)(a) +...))

= O(h^2j) veya

E_S(i+1,j+1) = ⁴

j 1E_S(i+1,j) E_S(i,j)

4^{j 1} =O(h^2j) elde ederiz.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 15 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Örnek 1.

g(x) =sin(x)fonksiyonun [0,1] aral¬¼g¬ndaki yay uzunlu¼gu L=

Z 1

0

q

1+cos(x)²dx

dir. Buna göre söz konusu integral için yukar¬da tan¬mlanan S(i,j),i,j =1,2,3 yakla¸s¬mlar¬n¬hesaplay¬n¬z.

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

[0,1]aral¬¼g¬nda uygulanan basit sol dikdörtgen kural¬olarak, f(x) =^p1+cos(x)² ile

S(1,1) =hf(0) =f(0) =p

2=1.414213562373095 dir.

S(2,1) = h(f(x1) +f(x2))

= 1/2 (p 2+

q

1+cos(1/2)²) =1.372341918738314 dir.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 17 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

[0,1]aral¬¼g¬nda uygulanan basit sol dikdörtgen kural¬olarak, f(x) =^p1+cos(x)² ile

S(1,1) =hf(0) =f(0) =p

2=1.414213562373095 dir.

[0,1]aral¬¼g¬n¬n iki alt aral¬¼ga bölünmesiyle uygulanan sol dikdörtgen kural¬olarak,h =1/2,x1 =0,x₂ =1/2 de¼gerleri ile

S(2,1) = h(f(x1) +f(x2))

= 1/2 (p 2+

q

1+cos(1/2)²) =1.372341918738314

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

[0,1]aral¬¼g¬n¬n dört alt aral¬¼ga bölünmesiyle uygulanan sol dikdörtgen kural¬olarak,

h=1/4,x₁ =0,x₂ =1/4,x₃ =1/2,x₄ =3/4 de¼gerleri ile

S(3,1) = h(f(x1) +f(x2) +f(x3) +f(x4))

= 1/4 (f(0) +f(1/4) +f(1/2) +f(3/4))

= 1.344047152082966 dir.

h =1/8,x₁ =0,x₂ =1/8, ...,x₈ =7/8

de¼gerleri ile S(4,1) = 1.328270049119772 elde ederiz. O halde elde edilen bu yakla¸s¬m de¼gerlerinden a¸sa¼g¬daki ortanokta yakla¸s¬mlar¬n¬ elde edebiliriz

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 18 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

[0,1]aral¬¼g¬n¬n dört alt aral¬¼ga bölünmesiyle uygulanan sol dikdörtgen kural¬olarak,

h=1/4,x₁ =0,x₂ =1/4,x₃ =1/2,x₄ =3/4 de¼gerleri ile

S(3,1) = h(f(x1) +f(x2) +f(x3) +f(x4))

= 1/4 (f(0) +f(1/4) +f(1/2) +f(3/4))

= 1.344047152082966 dir.

[0,1]aral¬¼g¬n¬n sekiz alt aral¬¼ga bölünmesiyle uygulanan sol dikdörtgen kural¬olarak,

h =1/8,x =0,x =1/8, ...,x =7/8

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

S(2,2) =2 S(2,1) S(1,1) =1.330470275103533

Ayr¬ca elde edilen orta nokta yakla¸s¬mlar¬yard¬m¬yla S(3,3) = ^{4 S(3,2}₃^{) S(2,2)} =1.310846422202314 S(4,3) = ^{4 S(4,2}₃^{) S(3,2)} =1.311406466399563

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 19 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

S(2,2) =2 S(2,1) S(1,1) =1.330470275103533 S(3,2) =2 S(3,1) S(2,1) =1.315752385427619

S(4,2) =2 S(4,1) S(3,1) =1.312492946156577 Ayr¬ca elde edilen orta nokta yakla¸s¬mlar¬yard¬m¬yla S(3,3) = ^{4 S(3,2}₃^{) S(2,2)} =1.310846422202314 S(4,3) = ^{4 S(4,2}₃^{) S(3,2)} =1.311406466399563

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

S(2,2) =2 S(2,1) S(1,1) =1.330470275103533 S(3,2) =2 S(3,1) S(2,1) =1.315752385427619 S(4,2) =2 S(4,1) S(3,1) =1.312492946156577

S(4,3) = ^{4 S(4,2}₃^{) S(3,2)} =1.311406466399563

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 19 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

S(2,2) =2 S(2,1) S(1,1) =1.330470275103533 S(3,2) =2 S(3,1) S(2,1) =1.315752385427619 S(4,2) =2 S(4,1) S(3,1) =1.312492946156577 Ayr¬ca elde edilen orta nokta yakla¸s¬mlar¬yard¬m¬yla

S(3,3) = ^{4 S(3,2}₃^{) S(2,2)} =1.310846422202314 S(4,3) = ^{4 S(4,2}₃^{) S(3,2)} =1.311406466399563

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

S(2,2) =2 S(2,1) S(1,1) =1.330470275103533 S(3,2) =2 S(3,1) S(2,1) =1.315752385427619 S(4,2) =2 S(4,1) S(3,1) =1.312492946156577 Ayr¬ca elde edilen orta nokta yakla¸s¬mlar¬yard¬m¬yla S(3,3) = ^{4 S(3,2}₃^{) S(2,2)} =1.310846422202314

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 19 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

S(2,2) =2 S(2,1) S(1,1) =1.330470275103533 S(3,2) =2 S(3,1) S(2,1) =1.315752385427619 S(4,2) =2 S(4,1) S(3,1) =1.312492946156577 Ayr¬ca elde edilen orta nokta yakla¸s¬mlar¬yard¬m¬yla S(3,3) = ^{4 S(3,2}₃^{) S(2,2)} =1.310846422202314 S(4,3) = ^{4 S(4,2}₃^{) S(3,2)} =1.311406466399563

Son olarak

S(4,4) = ^{16 S(4,3}₁₅^{) S(3,3)} =1.311443802679379 yakla¸s¬m¬n¬elde ederiz.

MATLAB veya Octave quadl fonksiyonu ile elde edilen yakla¸s¬m de¼geri ise 1.311442498208092 dir. Bu yakla¸s¬mlar¬tablo halinde sunmak daha uygundur:

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 20 / 57

Sol Dikdörtgen tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

R1 0

p1+cos(x)²dxiçin Sol dikdörtgen esasl¬iteratif yakla¸s¬mlar¬

Sol Diktörtgen Orta Nokta O(h⁴) O(h⁶)

1.414213562373095

1.372341918738314 1.330470275103533 1.344047152082966 1.315752385427619 A

1.328270049119772 1.312492946156577 B C

A=1.310846422202314,B =1.311406466399563,C =1.311443802

R1 0

p1+cos(x)²dxiçin Sol dikdörtgen esasl¬iteratif yakla¸s¬mlar¬

Sol Diktörtgen Orta Nokta O(h⁴) O(h⁶)

1.414213562373095

1.372341918738314 1.330470275103533 1.344047152082966 1.315752385427619 A

1.328270049119772 1.312492946156577 B C

A=1.310846422202314,B =1.311406466399563,C =1.311443802

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 21 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Sol dikdörtgen yöntemi esasl¬ard¬¸s¬k yöntemlere benzer biçimde Yamuk yöntemini esas alan ard¬¸s¬k ve yüksek basamaktan yöntemler türetilebilir:

Yamuk yöntemindenh ve 2h ad¬m uzunluklar¬ile olu¸sturulan a¸sa¼g¬daki lineer kombinasyon I_S(f,h)ile gösterece¼gimiz Simpson yöntemine e¸sittir:

I_S(f,h) = ^4IY(f,h) I_Y(f,2h) 3

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Sol dikdörtgen yöntemi esasl¬ard¬¸s¬k yöntemlere benzer biçimde Yamuk yöntemini esas alan ard¬¸s¬k ve yüksek basamaktan yöntemler türetilebilir:

Yamuk yöntemindenh ve 2h ad¬m uzunluklar¬ile olu¸sturulan a¸sa¼g¬daki lineer kombinasyon I_S(f,h)ile gösterece¼gimiz Simpson yöntemine e¸sittir:

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 22 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Sol dikdörtgen yöntemi esasl¬ard¬¸s¬k yöntemlere benzer biçimde Yamuk yöntemini esas alan ard¬¸s¬k ve yüksek basamaktan yöntemler türetilebilir:

Yamuk yöntemindenh ve 2h ad¬m uzunluklar¬ile olu¸sturulan a¸sa¼g¬daki lineer kombinasyon I_S(f,h)ile gösterece¼gimiz Simpson yöntemine e¸sittir:

I_S(f,h) = ^4IY(f,h) I_Y(f,2h) 3

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Gerçekten de h=1/10 için

4IY(f,h) = ²

10f(0) + ²

5f(1/10) +...+ ²

5f(9/10) + ² 10f(1) dir.

Öteyandan I_Y(f,2h) = ¹

10f(0) + ¹

5f(2/10) +¹

5f(4/10) +...+ ¹ 10f(1) d¬r ve buradan

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 23 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Gerçekten de h=1/10 için I_Y(f,h) = ¹

10(¹

2f(0) +f(1/10) +...+f(9/10) +¹ 2f(1)) olup,

4IY(f,h) = ²

10f(0) + ²

5f(1/10) +...+ ²

5f(9/10) + ² 10f(1) dir.

Öteyandan I_Y(f,2h) = ¹

10f(0) + ¹

5f(2/10) +¹

5f(4/10) +...+ ¹ 10f(1) d¬r ve buradan

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Gerçekten de h=1/10 için I_Y(f,h) = ¹

10(¹

2f(0) +f(1/10) +...+f(9/10) +¹ 2f(1)) olup,

4IY(f,h) = ²

10f(0) + ²

5f(1/10) +...+ ²

5f(9/10) + ² 10f(1) dir.

10 5 5 10

d¬r ve buradan

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 23 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

Gerçekten de h=1/10 için I_Y(f,h) = ¹

10(¹

2f(0) +f(1/10) +...+f(9/10) +¹ 2f(1)) olup,

4IY(f,h) = ²

10f(0) + ²

5f(1/10) +...+ ²

5f(9/10) + ² 10f(1) dir.

Öteyandan

1 1 1 1

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

4I_Y(f,h) I_Y(f,2h)

= ¹

10f(0) +²

5f(1/10) + ¹

5f(2/10) + ²

5f(3/10) +...+ ¹ 10f(1)

= ¹

10(f(0) +4f(1/10) +2f(2/10) +4f(3/10) +...+f(1)) veya

= 3(f(0) +4f(h) +2f(2h) +4f(3h) +...+f(1)) =IS(f,h) elde ederiz.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 24 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

4I_Y(f,h) I_Y(f,2h)

= ¹

10f(0) +²

5f(1/10) + ¹

5f(2/10) + ²

5f(3/10) +...+ ¹ 10f(1)

= ¹

10(f(0) +4f(1/10) +2f(2/10) +4f(3/10) +...+f(1)) veya

4I_Y(f,h) I_Y(f,2h) 3

h

Teorem 2.

Rb

a f(x)dx integralini gözönüne alal¬m.

R(i,1),i =1,2, ....

ile [a,b] aral¬¼g¬n¬n2^{i 1} ,i =1,2, .... alt aral¬¼ga bölünmesi suretiyle uygulanan Yamuk kural¬yakla¸s¬mlar¬n¬gösterelim:

R(i,1):=I_Y(f,b a

2^{i 1} ),i =1,2, ...

olmak üzere a¸sa¼g¬daki ifadeler do¼grudur:

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 25 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

R(i,2):= ^4R(i,1) R(i 1,1)

3 ,i =2,3, ...

yakla¸s¬mlar¬kümülatif hatas¬O(h⁴) olan Simpson yakla¸s¬mlard¬r.

R(i,j):= ⁴

j 2R(i,j 1) R(i 1,j 1)

4^{j 2} 1 ,i =3,4, ...;j =i,i+1, ... yakla¸s¬mlar¬ise, kümülatif hatalar¬O(h^{2(j 1)}) olan yakla¸s¬mlard¬r. R(i,j)yakla¸s¬mlar¬na Romberg yakla¸s¬mlar¬ad¬verilir.

·Ispat için ders notlar¬na bak¬n¬z.

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

R(i,2):= ^4R(i,1) R(i 1,1)

3 ,i =2,3, ...

yakla¸s¬mlar¬kümülatif hatas¬O(h⁴) olan Simpson yakla¸s¬mlard¬r.

R(i,j):= ⁴

j 2R(i,j 1) R(i 1,j 1)

4^{j 2} 1 ,i =3,4, ...;j =i,i+1, ...

yakla¸s¬mlar¬ise, kümülatif hatalar¬O(h^{2(j 1)}) olan yakla¸s¬mlard¬r.

R(i,j)yakla¸s¬mlar¬na Romberg yakla¸s¬mlar¬ad¬verilir.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 26 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

R(i,2):= ^4R(i,1) R(i 1,1)

3 ,i =2,3, ...

yakla¸s¬mlar¬kümülatif hatas¬O(h⁴) olan Simpson yakla¸s¬mlard¬r.

R(i,j):= ⁴

j 2R(i,j 1) R(i 1,j 1)

4^{j 2} 1 ,i =3,4, ...;j =i,i+1, ...

yakla¸s¬mlar¬ise, kümülatif hatalar¬O(h^{2(j 1)}) olan yakla¸s¬mlard¬r.

R(i,j)yakla¸s¬mlar¬na Romberg yakla¸s¬mlar¬ad¬verilir.

Örnek 2.

Örnek 1 deki integral için yukar¬da tan¬mlanan R(i,j),i,j =1,2,3 yakla¸s¬mlar¬n¬hesaplay¬n¬z.

[0,1]aral¬¼g¬nda uygulanan basit yamuk kural¬olarak, f(x) =^p1+cos(x)² ile

R(1,1) = ^{b a}

2 (f(a) +f(b)) = ¹

2(f(0) +f(1)) =1.275421522708890 dir.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 27 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

[0,1]aral¬¼g¬n¬n iki alt aral¬¼ga bölünmesiyle uygulanan Yamuk kural¬

olarak,

h=1/2,x₁ =0,x₂ =1/2,x₃ =1 de¼gerleri ile

R(2,1) = h(¹

2f(x₁) +f(x₂) + ¹ 2f(x₃))

= ¹ 2(¹

2f(0) +f(1/2) +¹ 2f(1))

= 1.302945898906212

[0,1]aral¬¼g¬n¬n dört alt aral¬¼ga bölünmesiyle uygulanan sol dikdörtgen kural¬olarak,

h=1/4,x₁=0,x₂ =1/4,x₃ =1/2,x₄ =3/4,x₅ =1 de¼gerleri ile

R(3,1) = h(¹

2f(x1) +f(x2) +f(x3) +f(x4) + ¹ 2f(x5))

= ¹ 4(¹

2f(0) +f(1/4) +f(1/2) +f(3/4) + ¹ 2f(1))

= 1.309349142166915 dir.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 29 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

R(2,2) = ^{4 R(2,1}₃^{) R(1,1)} =1.312120690971986

R(3,2) = ^{4 R(3,1}₃^{) R(2,1)} = 1.311483556587149 R(3,3) = ^{16 R(3,2}₁₅^{) R(2,2)} =1.311441080961493

Bu yakla¸s¬mlar¬tablo halinde sunmak daha uygundur. j =3 için elde edilen yakla¸s¬mlar Boole yakla¸s¬mlar¬olarak adland¬r¬l¬rlar:

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

R(2,2) = ^{4 R(2,1}₃^{) R(1,1)} =1.312120690971986 R(3,2) = ^{4 R(3,1}₃^{) R(2,1)} = 1.311483556587149

edilen yakla¸s¬mlar Boole yakla¸s¬mlar¬olarak adland¬r¬l¬rlar:

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 30 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

R(2,2) = ^{4 R(2,1}₃^{) R(1,1)} =1.312120690971986 R(3,2) = ^{4 R(3,1}₃^{) R(2,1)} = 1.311483556587149 R(3,3) = ^{16 R(3,2}₁₅^{) R(2,2)} =1.311441080961493

Bu yakla¸s¬mlar¬tablo halinde sunmak daha uygundur. j =3 için elde edilen yakla¸s¬mlar Boole yakla¸s¬mlar¬olarak adland¬r¬l¬rlar:

R(2,2) = ^{4 R(2,1}₃^{) R(1,1)} =1.312120690971986 R(3,2) = ^{4 R(3,1}₃^{) R(2,1)} = 1.311483556587149 R(3,3) = ^{16 R(3,2}₁₅^{) R(2,2)} =1.311441080961493

Bu yakla¸s¬mlar¬tablo halinde sunmak daha uygundur. j =3 için elde edilen yakla¸s¬mlar Boole yakla¸s¬mlar¬olarak adland¬r¬l¬rlar:

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 30 / 57

Yamuk yöntemi tabanl¬yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar

R1 0

p1+cos(x)²dx için Yamuk yöntemi esasl¬Romberg yakla¸s¬mlar¬

Yamuk Simpson Boole

i R(i,1) R(i,2) R(i,3) 1 1.275421522708890

2 1.302945898906212 1.312120690971986

3 1.311441080961493 1.311483556587149 1.311441080961493

1 Verilenf fonksiyonu ve [a,b] aral¬¼g¬için yukar¬da tan¬mlanan Sol Dikdörtgen tabanl¬S(i,j)yakla¸s¬mlar¬n¬hesaplayan bir

MATLAB/Octave program¬ haz¬rlay¬n¬z.

2 Soru 1 de haz¬rlad¬¼g¬n¬z program yard¬m¬yla Z ₁

0

q

1+sin(x)²dx

integraline ait a¸sa¼g¬daki tabloda bo¸s b¬rak¬lan yerleri Sol Dikdörtgen tabanl¬uygun iteratif yakla¸s¬mlar yard¬m¬yla doldurunuz.

Sol Dikdörtgen yöntemi esasl¬iteratif yakla¸s¬mlar tablosu Sol Dikdörtgen Orta Nokta

i S(i,1) S(i,2) S(i,3) 1 1.000000000000000

2 — 1.108985503541832

3 — — 1.123917778305376

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 32 / 57

Al¬¸st¬rmalar

3 Verilenf fonksiyonu ve [a,b] aral¬¼g¬için yukar¬da tan¬mlanan Yamuk yöntemi tabanl¬R(i,j)yakla¸s¬mlar¬n¬hesaplayan bir

MATLAB/Octave program¬ haz¬rlay¬n¬z.

4 Soru 3 de haz¬rlad¬¼g¬n¬z program yard¬m¬yla soru 2 de verilen integral için a¸sa¼g¬daki tabloda bo¸s b¬rak¬lan yerleri Yamuk yöntemi tabanl¬

uygun iteratif yakla¸s¬mlar yard¬m¬yla doldurunuz.

Yamuk yöntemi tabanl¬Romberg yakla¸s¬mlar tablosu

Yamuk Simpson Boole

i R(i,1) R(i,2) R(i,3) 1 1.153466414261967

2 1.131225958901899

5 R1

0 sin(x³)dx integraline ait a¸sa¼g¬daki tabloda bo¸s b¬rak¬lan yerleri Sol Dikdörtgen tabanl¬uygun iteratif yakla¸s¬mlar yard¬m¬yla doldurunuz.

Sol Dikdörtgen tabanl¬iteratif yakla¸s¬mlar Sol Dikdörtgen Orta Nokta

i S(i,1) S(i,2) S(i,3) S(i,4) 1 0

2 0.0623 —

3 0.1374 — —

4 0.1834 — — —

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 34 / 57

Al¬¸st¬rmalar

6 _Z

1 0

sin(x³)dx

integraline ait a¸sa¼g¬daki tabloda bo¸s b¬rak¬lan yerleri Yamuk yöntemi esasl¬uygun Romberg iteratif yakla¸s¬mlar¬yard¬m¬yla doldurunuz.

Yamuk tabanl¬iteratif Romberg yakla¸s¬mlar¬

Yamuk Simpson Boole

i R(i,1) R(i,2) R(i,3) R(i,4) 1 0.4207

2 0.2727 —

3 0.2426 — —

7 Yukar¬daki örneklerden hareketleS(i,j)veR(i,j) yakla¸s¬mlar¬n¬

quadl fonksiyonu yard¬m¬yla elde edece¼giniz say¬sal yakla¸s¬mlarla kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Ne gözlemliyorsunuz?

8 _Z

1 0

p3

xdx =3/4 integrali için

E_S(i,j)=j^{3/4 S}(i,j)j

hata tablosu a¸sa¼g¬da verilmektedir. Hata tablosunun sütunlar¬n¬

inceleyerek,h ad¬m uzunlu¼gu ile elde edilen bir yakla¸s¬m¬n bir üst sat¬rdakih/2 ad¬m uzunlu¼gu ile elde edilen yakla¸s¬mla kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

Elde etti¼giniz sonucu ilgili yakla¸s¬mlar dizisinin kümülatif hatas¬ile kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 36 / 57

Al¬¸st¬rmalar

9

Sol Dikdörtgen tabanl¬iteratif yakla¸s¬mlar Sol Dikdörtgen Orta Nokta

i j^{3/4 S}(i,1)j j^{3/4 S}(i,2)j j^{3/4 S}(i,3)j j^{3/4 S}(i,4)j 1 0.7500

2 0.3531 0.0437

3 0.1669 0.0193 0.0111

4 0.0794 0.0081 0.0044 0.0040

10 Soru 8 i a¸sa¼g¬da verilen E_R(i,j) =j^{3/4 R}(i,j)j hata tablosu için tekrarlay¬n¬z.

Romberg yöntemi esasl¬iteratif yakla¸s¬mlar hata tablosu Sol Dikdörtgen Orta Nokta

i j^{3/4 R}(i,1)j j^{3/4 R}(i,2)j j^{3/4 R}(i,3)j j^{3/4 R}(i,4)j 1 0.2500

2 0.1031 0.0542

3 0.0419 0.0215 0.0194

4 0.0169 0.0086 0.0077 0.0075

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 38 / 57

Al¬¸st¬rmalar

11 Ortanokta yönteminin s¬ras¬yla (3) ve (4) ile verilen yerel ve kümülatif hata ifadelerini elde ediniz.

12

E_S(4,4)(f,h) =O(h⁷) ve bile¸sik yöntemler için ise

E_S(i,4)(f,h) =O(h⁶),i =5,6, ...;n=4,6, ...

oldu¼gunu gösteriniz.

13 Romberg yakla¸s¬mlar¬için geli¸stirdi¼giniz program¬önceden belirlenen say¬daki sat¬r veya sütun adedi kadar i¸slem yapmak yerine,

j^R(i+1,j+1) R(i,j)j R(i,j) <e

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬ncaya kadar tekrar edecek biçimde düzenleyiniz.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 40 / 57

Adaptif bir a¼ g üzerinde say¬sal integrasyon

Kümülatif hatas¬O(h) olan Sol Dikdörtgen veya Sa¼g Dikdörtgen yöntemini gözönüne alal¬m. Örne¼gin Sol Dikdörtgen yöntemi için

E_sol(f,h) = (b a)² 2n

1 n

∑

f⁰(c_i)

ile verilen kümülatif hatas¬n¬gözönüne alal¬m. Bu ifadeden kümülatif hata olu¸sumunda n ile belirtilen alt aral¬k say¬s¬n¬n yan¬s¬ra herbir alt aral¬ktaki f⁰(c_i) de¼gerlerinin de etkisinin oldu¼gunu gözlemliyoruz. Özellikle birinci türevin i¸saret de¼gi¸stirmedi¼gi ve mutlak de¼gerce büyük oldu¼gu bölgeler üzerinden hesaplanan integral i¸slemi için birinci türevin kümülatif hata üzerindeki etkisi fazla olur.

Adaptif bir a¼ g üzerinde say¬sal integrasyon

Kümülatif hatas¬O(h) olan Sol Dikdörtgen veya Sa¼g Dikdörtgen yöntemini gözönüne alal¬m. Örne¼gin Sol Dikdörtgen yöntemi için

E_sol(f,h) = (b a)² 2n

1 n

∑

f⁰(c_i)

ile verilen kümülatif hatas¬n¬gözönüne alal¬m. Bu ifadeden kümülatif hata olu¸sumunda n ile belirtilen alt aral¬k say¬s¬n¬n yan¬s¬ra herbir alt aral¬ktaki f⁰(c_i) de¼gerlerinin de etkisinin oldu¼gunu gözlemliyoruz.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 41 / 57

Adaptif bir a¼ g üzerinde say¬sal integrasyon

Kümülatif hatas¬O(h) olan Sol Dikdörtgen veya Sa¼g Dikdörtgen yöntemini gözönüne alal¬m. Örne¼gin Sol Dikdörtgen yöntemi için

E_sol(f,h) = (b a)² 2n

1 n

∑

f⁰(c_i)

ile verilen kümülatif hatas¬n¬gözönüne alal¬m. Bu ifadeden kümülatif hata olu¸sumunda n ile belirtilen alt aral¬k say¬s¬n¬n yan¬s¬ra herbir alt aral¬ktaki f⁰(c_i) de¼gerlerinin de etkisinin oldu¼gunu gözlemliyoruz.

Özellikle birinci türevin i¸saret de¼gi¸stirmedi¼gi ve mutlak de¼gerce büyük oldu¼gu bölgeler üzerinden hesaplanan integral i¸slemi için birinci

Bu nedenle birinci türevin mutlak de¼gerce büyük de¼gerler ald¬¼g¬

bölgede daha fazla dü¼güm noktas¬kabul eden veadaptif a¼g olarak adland¬raca¼g¬m¬z de¼gi¸sken ad¬m uzunluklu bir a¼g üzerinden

integrasyon i¸sleminin gerçekle¸stirilmesi, kümülatif hatay¬küçültecektir.

Bu amaçla birinci türevin mutlak de¼gerce büyük oldu¼gu noktada f(x+h) f(x) sonlu fark¬n¬n da mutlak de¼gerce büyük olaca¼g¬n¬ve bu oran yard¬m¬yla a¼g geni¸sli¼gini daraltmay¬hede‡eyen Algoritma ??

a¸sa¼g¬da önerilmektedir:

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 42 / 57

Adaptif bir a¼ g üzerinde say¬sal integrasyon algoritmas¬

1 input f,a,b,eps(a¼g geni¸slik parametresi)

2 X =a;x =X; % ba¸slang¬ç de¼gerleri

3 eps =0.001; % varsay¬lan a¼g geni¸slik parametresi

4 maxag =0.2;minag =0.001; %maksimum ve minimum a¼g geni¸slikleri

5 h =0.1;h1=h; % ·Ikinci türev yakla¸s¬m parametresi

6 x <= (b h1) oldu¼gu sürece

h1=eps/j^f(x+h) f(x)j^{; %a¼}g geni¸sli¼gi

h1=min(h1,maxag); %a¼g geni¸sli¼gi en fazla maxa¼g h1=max(h1,minag); % a¼g geni¸sli¼gi en az mina¼g x=x+h1; % sonraki dü¼güm noktas¬

X = [X;x]; % Dü¼güm noktas¬n¬n a¼ga ilavesi

7 e¼ger X(end)<b ise X(end) =b; % A¼g son noktas¬

Adaptif bir a¼ g üzerinde say¬sal integrasyon algoritmas¬

1 input f,a,b,eps(a¼g geni¸slik parametresi)

2 X =a;x =X; % ba¸slang¬ç de¼gerleri

3 eps =0.001; % varsay¬lan a¼g geni¸slik parametresi

4 maxag =0.2;minag =0.001; %maksimum ve minimum a¼g geni¸slikleri

5 h =0.1;h1=h; % ·Ikinci türev yakla¸s¬m parametresi

6 x <= (b h1) oldu¼gu sürece

x=x+h1; % sonraki dü¼güm noktas¬ X = [X;x]; % Dü¼güm noktas¬n¬n a¼ga ilavesi

7 e¼ger X(end)<b ise X(end) =b; % A¼g son noktas¬

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 8 Eylül 2020 43 / 57