Визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень призматичних тіл з тріщинами при дії динамічного навантаження



Вабіщевич М.О., Сахаров О.С., Солодей І.І.

УДК 539.3

Вабіщевич М.О.

Сахаров О.С., д-р техн. наук Солодей І.І., канд. техн. наук

ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТІВ ІНТЕНСИВНОСТІ

НАПРУЖЕНЬ ПРИЗМАТИЧНИХ ТІЛ З ТРІЩИНАМИ ПРИ ДІЇ ДИНАМІЧНОГО НАВАНТАЖЕННЯ

Здійснено узагальнення методики обчислення коефіцієнта інтенсивності напружень прямим методом для просторових призматичних тіл на снові напіваналітичного методу скінченних елементів при дії імпульсного навантаження.

Вступ. Значна кількість конструктивних елементів, являє собою неоднорідні призматичні тіла складної форми. До них відносяться різноманітні вузли та деталі енергетичного і транспортного машинобудування, а також зразки для визначення механічних характеристик матеріалів і т.і. Внаслідок експлуатаційних та технологічних умов зазначені об’єкти можуть мати певні пошкодження, типу тріщин. Нерідко такі об'єкти знаходяться під дією довільно орієнтованих у просторі та у часі динамічних навантажень, головною рисою яких є мікросекундні діапазони протікання. Дослідження напружено-деформованого стану таких конструкцій веде до необхідності розв’язання складних просторових задач динаміки для навантажених імпульсними силовими полями неоднорідних призматичних тіл складної форми та структури, при наявності у них тріщин.

Для аналіза подібного класа об’єктів найбільш раціональним є застосування напіваналітичного методу скінченних елементів, як це показано при розв’язанні лінійних задач механіки руйнування в роботах [1, 2]. Однак, в зазначених публікаціях розглядаються виключно задачі статики. Тому розробка ефективних засобів розрахунку вказаних конструкцій, при динамічних навантаженнях є актуальною проблемою.

Метою роботи є створення на основі напіваналітичного метода скінченних елементів ефективної методики визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень в призматичних тілах з тріщинами при дії імпульсного навантаження

1.Постановка задачі. Розглядаються в базисній Декартові системі координат z^i' неоднорідні призматичні тіла з тріщинами, що знаходяться під дією довільного імпульсного навантаження або зміщень, на інтервалі часу T∈

[ ]

t0, t1 (рис.1).

а б Рис. 1

Вісі z^1', z^2' лежать в площині поперечного перерізу тіла, вісь z^3' спрямована вздовж утворюючої.

Для призматичних тіл виділяють два типи тріщин: поздовжні (рис.1,а), фронт яких збігається за напрямком з віссю z^3'і поперечні (рис.1,б), фронт яких розташований в площині поперечного перерізу тіла і є ортогональним до вісі z³

Рис. 2

Для опису НДС в околі вершини тріщини застосовується система координат y^i'', пов’язана з фронтом тріщини, таким чином, щоб вісь y^1'' співпадала з нормаллю до поверхні тріщини, y^2’ орієнтована по нормалі до фронту тріщини, а y^3'' була спрямована вздовж дотичної до фронту.

Сингулярне поле напружень поблизу вершини тріщини в системі координат y^i'' в усіх точках її фронту буде характеризуватися

коефіцієнтом інтенсивності напружень (КІН). Конкретизація виразів, що описують взаємозв’язок напружень і переміщень з величиною КІН залежить від типу розкриття тріщини [2].

Для тріщин нормального відриву (тип I):

, 2) sin3 sin2 1 2( cos 2

2 , cos3 cos2 sin 2 2

, 2) sin3 sin2 1 2( cos 2

22 12 11

θ θ θ

σ π

θ θ θ σ π

θ θ θ

σ π

−

=

=

+

=

r К

r К

r К

I I I

2).

sin 2 1 2( 2 cos

, 2) cos 2 2 2( 2 sin

2 2

2 1

ν θ θ π µ

ν θ θ π µ

+

−

=

−

−

= K r u

K r u

I I

(1)

Для тріщин поперечного зсуву (тип II):

, 2) cos3 cos2 2 2( sin 2

, 2 ) sin3 sin 2 1 2( cos 2

2 , cos3 cos2 sin 2 2

22 12 11

θ θ θ

σ π

θ θ θ

σ π

θ θ θ σ π

+

=

−

=

=

r К

r К

r К

II II II

2).

cos 2 2 2( 2 sin

, 2) sin 2 1 2( 2 cos

2 2

2 1

ν θ θ π µ

ν θ θ

π µ

+

−

=

+ +

−

= K r u

K r u

II II

(2)

Для тріщин поздовжнього зсуву (тип III):

2, sin 2 2,

cos 2

23

13 θ

σ π θ σ π

r К r

К_{III III}

−

=

= 2 sin 2

3

θ π µ K r

u = ^III , (3)

де r,θ – полярні кооринати з початком в вершині тріщини (рис. 2); µ – модуль зсуву; ν – коефіцієнт Пуассона.

Будемо вважати, що в кожній точці тіла відомі компоненти тензора

перетворення z , _,^i'_j що обумовлює зв’язок між місцевою та базисною системами координат [4]:

2 0;

,

_,3^{' 3}_,^' _,³₃^'

' ' ,

z L z

x z

z

^α_β

= z

^α_β ^α

=

_α

= =

∂

∂

. (4)

де L – довжина тіла в напрямку

z

^3'.

Тут і в подальшому всі індекси, позначені грецькими буквами, будуть приймати значення 1,2, а позначені латинськими – 1,2,3.

Компоненти метричного тензору g_mn в місцевій системі координат подамо через компоненти метричного тензору базисної системи згідно з формулою:

( )

^{,33' 2}

33 ' , '

, z , g z z

g_αβ = ^γ_α ^γ_β = . (5) Запишемо співвідношення для визначення компонент деформацій ε_ij через переміщення u в місцевій системі координат [4]: _i

k ij i k

j j i

ij u

x u x

u − Γ









 +

= ∂

∂

∂ ε ∂

2

1 , (6)

де Γ_ij^k – символи Кристофеля другого роду.

Подамо переміщення в місцевій системі координат через їх значення в базисній:

' , '

s k s

k u z

u = , (7) Оскільки в декартовій базисній системі координат всі символи Кристофеля дорівнюють нулю, то:

(

^{,' ,' ,' ,'}

)

2

1 _l

l l

l z u z

u _{α β β α}

εαβ = + ;

(

^{,' ,3' ,'3 ,'}

)

3 2

1 l

l l

l z u z

u _{α α}

εα = + ; (8)

'.

3 , 3 ,' 33

l

l z

=u ε

Компоненти тензора напружень в місцевій системі координат виражаються через компоненти тензора деформацій на основі узагальненого закону Гука [2]:

kl ijkl

ij d ε

σ = ^. (9) В ізотропному тілі компоненти тензора пружних сталих d^ijkl пов'язані з коефіцієнтами Ламе λ і µ співвідношеннями [2]:

(

^{jl ik il jk}

)

kl ij

ijkl g g g g g g

d =λ +µ + ^, (10)

де ^λ=

(

^1−2νE

)( )

^{ν1+ν ; µ= 2}

( )

^{1E+ν ; E=E}

( )

^{zi′ , ν =ν}

( )

^zi′ - значення модуля пружності і коефіцієнта Пуассона в точці тіла, що розглядається.

Фізичні компоненти тензорів деформацій ε~ , _kl напружень σ~ ^ij та пружних констант d^~ijkl визначаються співвідношеннями:

) ( ) (

~

jj ii

ij

kl g g

ε = ε ,

) ( ) (

~

jj ii ij

ij σ g g

σ = , (11)

) ( ) ( ) ( ) (

~

ll kk jj ii ijkl

ijkl d g g g g

d = .

Рівновага тіла при наявності інерційних сил, описується рівнянням, покомпонентна форма якого в криволінійній системі координат приймає вигляд [2]:

(

^{jk ki}

)

^{j j}

i gz f u

g x

′

′

′σ + =ρ&&

∂

∂

,

1 . (12)

Однозначність розв’язання (12) забезпечується запровадженням відповідних початкових і граничних умов.

Початкові умови становить відомий розподіл переміщень та швидкостей в тілі у деякий фіксований момент часу t , який приймається ₀ за початок часової координати:

) ( ) ,

(zⁱ t₀ u₀ zⁱ

u ^′ = ^′ , u&(z^i′,t₀)=u&₀(z^i′)_{, z}^i′_∈V . (13)

При цьому припускається, що на частині поверхні S _u задані кінематичні граничні умови:

) ,

~( ) ,

(z t u z t

u ^i′ = ^i′ , z^i′∈S_u, (14)

а на поверхні Sp з нормаллю nr=n_je^j

- довільно орієнтована у просторі та у часі система навантажень:

( )

^{z t}

p n

z^k_i ^ij _j ~ ^k,

,′σ = ′ ^, p

k S

z ^′∈ . (15)

В кожний момент часу пружно-деформований стан згаданого тіла повинен задовольняти варіаційному рівнянню руху яке, згідно принципам Лагранжа-Даламбера, подамо у вигляді:

~ 0

~ − − =

+

∫ ∫ ∫

∫

^{′ ′ ′ ′ ′ ′}

Sp

i i V

i i V

ij ij V

i

i u dV dV f u dV p u dS

u δ σ δε δ δ

ρ^{&& , (16)}

де σ^{~ , ij} ε~ij _{- фізичні} компоненти тензорів напружень і деформацій відповідно.

2.Особливості дискретизації призматичних тіл з тріщинами на

основі НМСЕ Для апроксимації просторових неоднорідних призматичних тіл використовуються просторові неоднорідні призматичні скінченні елементи, що являють собою призму, утворену переміщенням чотирикутника довільного обрису вздовж напрямної у вигляді прямої.

Кожному скінченному елементу (СЕ) поставлена у відповідність місцева система координат x , ⁱ яка природньо пов’язана з геометрією об’єкта, так що осі x ¹ і x ² спрямовані вздовж сторін поперечного перетину скінченного елементу, а x ³ спрямована вздовж напрямної та співпадає за напрямком із z^3'. При цьому в місцевій системі координат поперечний перетин СЕ відображається на квадрат з одиничною стороною, а довжина його напрямної дорівнює 2 (рис.3). Місцева система координат застосовується для визначення деформацій та напружень у межах СЕ.

Будемо вважати, що щільність матеріалу ρ^, компоненти тензора пружних постійних і

C

^ijkl визначник метричного тензора g незначно змінюються в області поперечного перерізу елемента і вважаються рівними відповідним значенням в його центрі:

=ρ α₌0

ρ _x ^, ; ;

0 =0

= = =

=

≈ xα xα

ijkl ijkl

ijkl C C g g g

C

o o

(17) В той же час ρ і

C

^ijkl довільно змінюються вздовж осі х³ і обчислюються в необхідній кількості точок інтегрування

За невідомі при розв’язанні задачі приймаються компоненти переміщеннь, швидкостей та прискорень вузлів СЕ в базисній системі координат

( u : u & : u & & )

k_′, де

k ′

- напрямок в базисній системі координат.

Рис.3

В той же час ρ ^і

C

^ijkl довільно змінюються вздовж осі х³ і обчислюються в необхідній кількості точок інтегрування

За невідомі при розв’язанні задачі приймаються компоненти переміщеннь, швидкостей та прискорень вузлів СЕ в базисній системі координат

( u : u & : u & & )

k_′, де

k ′

- напрямок в базисній системі координат.

Якщо обмежитися білінійним розподілом переміщеннь, швидкостей і прискорень в площині перетину елемента і описати їх через вузлові значення поліномами Лагранжа першого ступеня:

4 1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1

1 1 2 2 2 2 1 1

2 2 1

1 2

1

) ( ) ( )

, ( 1 2

+ +

+

=

=



 



 +



 



 +

=



 



 +

=

Ρ

∏

=

x S x S x S x S

x S x

S x

S

n

n n S

S , (18)

можна записати:

( )

′ =

∑∑

( )

( )

′_{( )}

1 2

2 1 2

1, : : ,

: :

S S

S S S k

k PS u uu

u u

u & && & && . (19)

Індекси S ₁ та S ₂ визначають положення вузла відносно центру поперечного перерізу елемента і набувають значеннь ±1 (рис.3).

В центрі поперечного перерізу СЕ переміщення, швидкості, прискорення і їх похідні виражаються формулами:

( )

′ = =

∑∑ ( )

′_{( )}

1 2

2 1,

0 : :

4 : 1

:

S S

S k S

k x uu u

u u

u & && _α & && _,

( )

′ = =

∑∑ ( )

′_{( )}

1 2

2 1, 0

, : :

2 : 1

:

S S

S k S

k x u u u S

u u

u & && _β α & && _β , (20)

( )

′ = =

∑∑ ( )

′_{( )}

1 2

2

1, 1 2

0 12

, : :

: :

S S

S k S

k x uu u S S

u u

u & && _α & && _.

В напрямку утворюючої переміщення, та їх похідні по напрямку x ³ апроксимуються розкладенням за системою координатних функцій ϕ^{(l) –} поліномам Лагранжа

(

^l=0,1

)

і Міхліна

(

^l=^2,...L

)

:

∑

=

= ^L

l

l l m

m u

u

0 ) ( '

' ϕ ^;

∑

=

= ^L

l l l m

m u

u

0 ) ( 3 ' , 3

,' ϕ ; (21)

де ^ϕ(0)= ₂¹

( )

^{1−x3, ϕ(1)=} ₂¹

( )

^{1+x3 ,}

^{ϕ(l)= f(l)p(l)− f(l−2)p(l−2), f(l) =}

(

^4l2−1

)

⁻¹ , (22)

( ) ( )

^{1 ( 1)}

( )

^{1 .}

2 )

! (

! ) (

! ) 1 ( 2

1

2 3 3

0

1 2 )

( 

 − + − +

− +

−

= +

∑

= +

l k l k

k

k k

l x x

k k l

k l p l

Скінченні елементи, що пропонуються, орієнтовані на розрахунок широкого класу неоднорідних призматичних тіл. Вони повинні забезпечувати не тільки високу точність подання напружено- деформованого стану конструкцій складної форми, але і високу швидкість збіжності результатів до точного рішення.

Подамо компоненти тензору повних фізичних деформацій в поперечних перетинах, що відповідають точкам інтегрування, у відповідності до моментної схеми скінченних елементів (ММСЕ) відрізками ряду Маклорена [4]:

) 3 ) ( 3 ( ), ( ) ) (

( ~ ~

~ α

α α α α α α

α ε ε

ε = + − x ⁻

o o

, 12 12

~

~ ε^o

ε = ,

) 3 ) ( 3 ( , 3

3 ~ 3 ~

~ α

α α α εα ε

ε = + − x ⁻

o o

, ε~33 =ε~^o33+ε~^o33,β ^xβ , (23) де

0 0 ,

~ ~

~ ,

~

= = =

=

β

α β β

∂ ε ε ∂

ε ε

x ij x ij

ij ij

x

o o

.

Подаючи коефіцієнти розкладу напружень через коефіцієнти розкладу деформацій згідно закону Гука, отримаємо:

~ ;

~

~ ^{( ) (3 )}

) 3 ( , ) ( )

( αα α

α α α α

α σ σ

σ = + ₋ x ⁻

o o

σ~¹² =σ~^{o 12};

~ ;

~

~ 3 (3 )

) 3 ( , 3

3 α α

α α

α σ σ

σ = + ₋ x ⁻

o o

~ ~ ~³³ ,

, 33

33 α

σ α

σ

σ x

o

o +

= (24)

Запишемо коефіцієнти розкладання компонент фізичних напружень в ряд Маклорена через напруження місцевій системі координат (9):

~ ^{( )};

) ( )

( αα

α α α

α σ

σ^o =g^{o o} ~ ¹²;

12

12 o o

o σ

σ =^g

~ ³;

33 ) (

3 α

α

α α σ

σ^o = ^{go go o} ~ ³³;

33

33 o o

o σ

σ =g (25)

~ ( ) ;

) 3 ( ) , ( ) (

) 3 (

, αα

α α α α

α α σ

σ^o ₋ =g^{o o} ₋ ~ 3 ;

) 3 ( 33 , ) ( 3

) 3 (

, α

α α α α

α σ

σ^o ₋ = g^o g^{o o} ₋

~ 33 .

) 3 ( 33 , 33

,α σ α

σ^o =g^{o o} ₋

Аналогічно, коефіцієнти розкладання компонент фізичних деформацій в ряд Маклорена, отримані з урахуванням (11), матимуть вигляд:

1 ;

~ ( )

) ( )

( αα

α α α

α ε

ε^o _o ^o

g

= ~ 1 ;

12 22 11 12

o o o

o ε

ε

g g

= 1 ;

~ 3

33 ) (

3 α

α α

α ε

ε ^o

o o o

g g

= ~ 1 ;

33 33 33

o o

o ε

ε g

= (26)

0 ) 3 (

) ( ) 3 ( ), (

~ ~

− =

− ∂

= ∂

α β

α α α

α

α ε

ε

x x o

1 ;

) 3 ( ), ( ) ( ) 3 ( ), ( ) (



 



 −

= αα −α αα αα −α α

α

ε

ε^{o o o}

o h

g









− 

= − −

− ;

2 1

~ 1

) 3 ( ), ( 3 ) 3 ( , 3 33 ) ( ) 3 ( ,

3 α α α αα α

α α α

α ε ε

ε ^{o o o}

o o o

h g

g

1 ,

~ 33,

33 ,

33β ε β

ε o ^o

o

g

=

3.Визначення компонентів матриць жорсткості. Варіація

потенційної енергії деформації одного СЕ може бути записана у вигляді:

3 2 1 1

1 2 1

2 1 2 1

2 1

~ ~

3

3 2

2 1

1

dx dx dx g

W ^ij _ij

x

x x

x x

x

ε δ σ

δ

∫ ∫ ∫

⁼

−

=

=

−

=

=

−

=

= . (27)

Подаючи фізичні компоненти тензору напружень і тензору деформацій згідно (25) та (26) і виконавши інтегрування по

x

¹ та

x

², отримаємо:

∫

⁼

−

=

−

− −







 _^+









 −

+



= 

1

1

) 3 ( ), ( ) ( ) 3 ( ), ) (

( ) 3 ( ,

3

3

12

x 1

x ij ij

h

W αα αα α αα αα α

αδ ε ε

σ ε

δ σ

δ ^{o o o o o o}

, 3 33 33 ) 3 ( ), ( 3 ) 3 ( , 3 3

) 3 (

, ,

2

1 h gdx

o o o

o o o

o









 + 











 −

+ α− α −α α αα −α α α

αδ ε ε σ δε

σ ^{, (28)}

або, у матричній формі:

12 ,

1 3

2 , 2 , 1

1

1 , 1 ,

3

3

dx g W

x T

x

T

T o o o o o o

o





































 + 































 + 

































=

∫

⁼ 

−

=

σ ε δ σ ε δ σ

ε δ

δ ⁽²⁹⁾

Коефіцієнти розкладення напружень пов'язані з коефіцієнтами розкладання прирощень деформацій законом Гука, векторна форма якого має вигляд:

;









 



=







^{o o o}

ε

σ

^D











 



=







σ,α ,α ε,α o o o

D , (30) З урахуванням цього вираз (29) набуває вигляду:

3 2

1

, ,

1

1

12 , 1

3

3

dx g D

D W

T x T

x

o o

o o o

o o



































 









 + 











 











=

∫



∑

=

=

−

= α

α α

α ε

ε δ ε

ε δ

δ ⁽³¹⁾

Враховуючи залежності між коефіцієнтами розкладання прирощень деформацій і коефіцієнтами розкладання переміщень за поліномами (19), подамо вираз варіації енергії СЕ у вигляді:

( { } ) ^{[ ] { }}

∑

∑

= =

= ^L

n

n ln T l L

l

u K u W

0 0

δ

δ , (32)

де

[ ]

K ln – матриця жорсткості неоднорідного косокутного призматичного СЕ:

Виконуючи чисельне інтегрування за напрямком

x

³ для матриці жорсткості СЕ отримаємо наступний вираз[4]

[ ] [ ] [ ] [ ]

 ⁺



 



 



 

 + 



 



 



 

 + 









 



 



 



=  1 1 2 3 1 1 3 ²

o o

o o

o o

B D B B

D B B

D B

K ₀^ln

T ln

0 T ln

00 T ln

[ ] ∑ [ ]

= 



  +



 



 



 

 + 



 



 



 



+  ²

1

, 1 ,

1 33 2

2 12

1

α

α α α

o o

o o

B D B

B D

B ^ln₀₀

T ln

T

[ ] [ ]

⁺



 



 



 

 +



 



 



 



+ 2,α 3 α 1,α 1,α 3α 2,α o o

o o

B D B

B D

B ^ln₀

T ln

0 T

[ ]

^{o o}

o

g B

D

B ^ln

T















 



 



 



+  2,α 33α 2,α . (33)

4. Визначення компонент матриці мас. Варіація кінетичної енергії в місцевій системі координат описується співвідношенням:

∫

^{′ ′}

−

=

3

3 x

m m

e u u gdx

K

o o

&

& δ

ρ

δ ^. (34)

Виразивши переміщення вузлів елемента вздовж утворючої на основі поліномів (21), та використавши припущення про осереднення маси біля вузла, що розглядається, враховуючи, що кожна вузлова маса відповідає частині мас елементів, які примикають до даного вузла, перепишемо варіацію кінетичної енергії у вигляді:

( ) ( )

∑ ∑ ∫

= = ′ ′ ′

− ′

= ^L

l l

L

n

n x

l m m m n

l n m

e u dx g g u

K

0 0 3

3 δ

ϕ ϕ ρ

δ ^{&& o o o} , (35)

або в матричній формі

( ) { } ^{[ ] { }}

∑ ∑

= =

−

= ^L

l l

L

n n

n T

l

e u M u

K

0 0

ln &&

δ

δ , (36)

де

[ ]

M ln - амплітудна матриця мас неоднорідного вздовж x скінченного ³ елемента, компоненти якої обчислюються за формулою:

ln

ln 4

1 ^{o o o}

ρ

m m

m gg

m ^′ = ^{′ ′} , (37) тут введені наступні позначення:

( ) ( ) ( ) ( )

p P

p

n p l p p x

n

l dx

∑

H

∫

=

=

=

1 3 ln

3

ϕ ϕ ρ ϕ

ϕ ρ

ρ^{o o o} , (38)

ρ

p - щільність матеріалу, обчислена в центрі поперечного перерізу, що відповідає p-ій точці інтегрування, Hp – вагова функція чисельного інтегрування.

5. Використання методу Ньюмарка при обчисленні параметрів руйнування. На основі отриманих формул для матриці мас та матриці жорсткості можемо записати рівняння руху в матричній формі як:

[ ]

^M

{ }

^U&& +

[ ]

^K

{ } { }

^U = ^Q . (39)

Найбільш поштреним серед методів прямого інтегрування рівнянь руху у часі є метод Ньюмарка [7]:

{ }

^{U& t+∆t =}

{ }

^{U& t+}_^

(

^1−δ

) { } { }

^{U&& t+δ U&&t+∆t}_^∆t,

{ }

^{U t t}

{ }

^{U t}

{ }

^{U t t} ₂¹

{ } { }

^{U t U t t∆t2}







 ^ +



 



 − +

∆ +

= ^+∆

∆

+ & α && α && , (40)

де δ ≥0.5^, α ≥^0.25

(

^0.5+δ

)

^{2 - умови, які} визначають стійкість схеми інтегрування, що розглядається.

Подаючи

{ } ^{U & &}

^{t+∆t через}

{ } ^U

^{t+∆t, та} підставивши

{ } ^{U & &}

^{t+∆t у вираз для}

кінетичної енергії системи, записаний для того ж момента часу, одержимо:

[ ]

^M

{ }

^{U t t}

[ ]

^K

{ }

^{U t t}

{ }

^{Q t t}

[ ]

^M

{

^a

{ }

^{U t a}

{ }

^{U t a}

{ }

^{U t}

}

a & &&

3 2

0

0 ^+∆ + ^+∆ = ^+∆ + + + , (41)

або

[ ]

^{Kˆ t+∆t}

^{{ }}

^{U t+∆t =}

{ }

^{Qˆ t+∆t}, (42) де

0 2

1 t a = ∆

α ^{, a =}α^∆t 1

2 , 1

2 1

3 = −

a α . (43) На основі рішення (40), тобто значень амплітуд переміщень у момент часу t+∆t, обчислюємо амплітуди швидкостей та прискорень:

{ }

^{U&& t+∆t =a0}

( ^{{ }}

^{U t+∆t −}

^{{ }}

^{U t}

)

^−a2

^{{ } { }}

^{U& t −a3U&& t,}

{ }

^{U& t+∆t =}

{ }

^{U& t +a6}

{ }

^{U&&t +a7}

{ }

^U&&t+∆t, (44)

де a6 ^=∆t

(

^1−δ

)

, a7 =δ∆t.

Апроксимація конструкції вздовж направляючої майже ортогональною системою поліноміальних базисних функцій забезпечує добру обумовленість матриці

[ ]

^{Kˆ t+∆t. Найбільш} економічними, з точки зору трудоємкості розв’язання отриманої системи алгебраїчних рівнянь, є блоково-ітераційні процедури. Пропонується використання методу групової релаксації, для якого блок ітераційного процесу формується в межах одного члена ряду розкладу невідомих вздовж направляючої:

{ }

+^{+∆ =}

{ }

^{+∆ +}

[ ] { }

^{− }_^{ +∆ −}

{ }

^{+∆ }_^

t t

i l t t l ll t

t l i t t l

i U K Q R

U ^,₁ ^, ω ˆ ¹ ˆ ~ _, , (45)

де

{ }

^R~tl+,i∆t - вектор вузлових амплітудних реакцій на ітерації і кроку t+∆^t:

{ } ^∑ [ ] ^{{ } ∑} [ ] ^{{ }}

=

∆

− +

=

∆ ++

∆

+ = + ^L

l m

t t m i lm l

l m

t t m i lm t

t i

l K U K U

R ^,

1

, 1

, ˆ ˆ

~

0

, (46)

{ }

U ^mi₊^,₁^t+∆t,

{ } U

^mi^,t+∆t - амплітудні значення вузлових переміщень в момент часу t+∆^{t на ітераціях і+1 та і} відповідно, ω ^{- параметр} релаксації (

1 ≤ ω < 2

^).

Для завершення ітераційного процесу виконується нерівність:

{ } ∑ { }

∑

=

∆ +

=

∆

+ ≤ ∆

∆ ^L

l l

t t l L

l l

t t l

i U

U

0 0

,

, ε , (47)