УДК 622.647.4
В.С. Ловейкін д.т.н., проф. (НУБПУ, Київ);
Д.О. Міщук, аспірант (КНУБА, Київ)
ВИЗНАЧЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ РЕЖИМІВ РУХУ МАНІПУЛЯТОРА ЗА ПРОЦЕС ПУСКУ (ГАЛЬМУВАННЯ) ПІД ЧАС РОБОТИ ЗА ОДНЄЮ З УЗАГАЛЬНЕНИХ КООРДИНАТ
АНОТАЦІЯ. Розглянуто метод розрахунку оптимальних режимів руху стріли маніпулятора ра- зом з вантажем під час роботи за однією з узагальнених координат
Ключьові слова: маніпулятор, оптимізація, режими руху
АННОТАЦИЯ. Рассмотрен метод расчета оптимальных режимов движения стрелы манипуля- тора с грузом во время работы по одной из обобщенных координат
Ключевые слова: манипулятор, оптимизация, режимы движения
SUMMARY. The method of computation of the optimum modes of motion of boom manipulator is consid- ered together with a load at motion on one of the generalized coordinates
Key words: manipulator, optimization, modes of movement
Актуальність проблеми
Маніпулятор – керуємий пристрій або машина для виконання рушійних функцій, аналогічним функціям руки людини при перенесенні об’єктів в просторі, оснащений робочим органом.
В сучасних умовах виробництва маніпу- лятори, в складі роботизованих технологіч- них комплексів або як окремі одиниці тех- ніки, знаходять широке застосування. За їх допомогою освоюються нові технологічні процеси, які звільняють людину від бага- тьох видів стомлюючої, одноманітної, ін- коли небезпечної та складної роботи. Су- часні маніпулятори це – складні високотех- нічні машини зі складними електронними системами керування.
Завдяки своєї універсальності маніпуля- тори широко застосовують на транспорт- них засобах в якості завантажувально – розвантажувальних пристроїв, одноківше- вих екскаваторів, а також підйомників.
Найбільш розповсюджені на транспортних засобах є крани – маніпулятори з гідроприводом.
При зміні вильоту стріли маніпулятора, в процесі пуску і гальмування, виникають складні коливальні процеси, які є наслідком зміни навантажень, перерозподілу енергії під час зміни напрямку руху, а також різко- го гальмування стріли під дією її власної ваги [1]. Виникаючі коливання призводять до зменшення надійності та міжремонтного
циклу машини, збільшують енергоємність процесу і час виконання необхідних опера- цій.
Все зазначене вище свідчить про необ- хідність розробки регульованих систем ке- рування маніпулятора, які б за різних умов руху створювали плавність роботи, мінімі- зували тривалість виконання операцій та зменшили витрати енергії.
Мета статті – на прикладі руху стріли маніпулятора за однією з узагальнених ко- ординат дослідити характер зміни швидко- сті й прискорення привідних ланок маніпу- лятора та визначити оптимальні режими руху механічної складової його стріли.
Викладення основного матеріалу Розглянемо динамічну модель стріли крана – маніпулятора з гідроприводом (рис.1), що складається зі стояка 1, підйом- ної стріли 2, поворотної рукояті 3, висувної балки 4, вантажу 5 і привідних гідроцилін- дрів: підйомного 6, складання стріли 7 та висувної балки 8. Живлення робочою ріди- ною привідних гідроциліндрів забезпечу- ють два гідронасоса НШ-32, що входять в гідросхему крана.
Дана модель має три ступені вільності на площині, які визначаються положенням по- ршнів привідних гідроциліндрів. Розгляне- мо випадок, коли рух стріли відбувається лише за однією з узагальнених координат,
наприклад під час роботи підйомного гід- роциліндра. Позначимо незалежну узагаль- нену координату як q1 - положення поршня висувного гідроциліндра.
j
B
Ê A
a
q 1
b
a y
X
1 2
3
4 6
7
8
5
b L
C
Рис. 1. Динамічна модель крана - маніпулятора
Для динамічної моделі стріли, що даєть- ся, визначимо оптимальний режим руху за процес вильоту вантажу.
Оптимальний енергетичний режим руху визначається мінімізацією критеріальної дії за Лагранжем, що представлена функціона- лом з підінтегральною функцією у вигляді кінетичної енергії стрілової системи за кра- йових умов: початковими t=tп =0, q1=q1п і кінцевими t=tk =t1, q1 =q1k [1];
=
∫
kп
t
t
к t q q dt
E
I ( , 1, &1) . (1)
Кінетична енергія стрілової системи, що зображена на рис.1,
2
2
1 Σαα&
= J
Ek , (2) де JΣα- зведений до осі обертання стріли момент інерції стрілової системи маніпуля- тора з вантажем; α&- кутова швидкість руху стрілової системи;
t ,
пt
k- початковий і кін- цевий моменти часу закінченого циклу ру- ху.Розглядається рух лише підйомного гід- роциліндра 6 (рис.1), оскільки гідроцилінд- ри 7 та 8 нерухомі та разом з підйомною стрілою 2, рукояттю 3 та висувною балкою 4 створюють жорстку схему стріли.
Приведений момент інерції стріли мані- пулятора в загальному випадку буде
(
+)
⋅ + ⋅(
+)
−+
⋅
⋅ +
+
+ + +
+
+
Σ =
3 4
2 3 5 4 3 5
5 4 3 2 2 5 3 2
3 2 1
3 3
q LK m LK q
m m q m BC
m m m m
AB m m
BC J α
) 3 ( ),
( ) )
( 2 2
(
3 5
4 3
4 3
β Cos q m AB
m m
BC AB m LK m BC AB
⋅
⋅
⋅ +
+
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅ +
⋅
⋅
−
де m2,m3,m4,m5 - відповідно маси підйом- ної і складаної стріли, висувної балки та вантажу.
Кутова швидкість стріли маніпулятора пов'язана з узагальненою координатою за- лежністю
1
1 q
q ∂
= ∂α
α& & , (4)
де q1
∂
∂α
- оператор передачі руху першого порядку, який пов’язує координати стріли з координатою підйомного гідроциліндра.
Кут повороту стріли α визначається по- ложенням узагальнюючої координати q1 залежністю
α −ϕ
+ −
= ab
q b a arccos 2
2 1 2 2
, (5) де a= 1,4м; b = 0,29м – установчі розміри підйомного гідроциліндра (рис.1); ϕ = 700– кут відхилення стояка стріли від вертикалі.
Оптимальний енергетичний режим руху стрілової системи визначається рівнянням Ейлера – Пуассона [2]
0
1 1
∂ =
− ∂
∂
∂
q E dt
d q
Ek k
& . (6)
Після виконаних замін та перетворень отримаємо крайову задачу
0
1 2 1 2 2 1 2
1
1 =
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
Σ q q q
q q
J α α α
α && & . (7)
Рівняння (7) є нелінійним диференцій- ним рівнянням зі змінними коефіцієнтами.
Для його розв’язку використаємо наближе- ний числовий метод колокацій.
При використанні методу колокацій [3]
розв’язок крайової задачі (7) визначаємо
⋅
+
− +
∆ +
=
1 1 2 1 1 1
1
1 1
t t t
a t t a
q t q
q п ;
1 1
1 2 1 1
1 1
1 3
2
2 1
t t
t
t a t t a t
q
q ⋅
−
×
×
+
− +
∆
=
& ; (8)
2 1 1 1 2
1
3 1 1
2 a t
t a t
q ⋅
−
−
=
&
& ,
де ∆q1=q1k−q1п; t1
t - відносна координата часу; t1 - тривалість ділянки руху стріли маніпулятора; a1, a2 - сталі коефіцієнти рі- внянь неув’язок в точках колокації. Точка-
ми колокацій вибрано точки:
t1
t = 3 1;
t1
t = 3 2. Після підстановки цих значень в залеж- ності (8) отримаємо:
для t1
t = 3 1;
3 1 3 1 3
2
2 1 1
1
1 ⋅
+
+
∆ +
=q q a a
q п ;
( )
1 2 1 1 1
1 3 1 a t a q
q ⋅
∆ + +
& = ; (9)
2 1
1 1
2 t
q& = − a
& ;
для t1
t = 3 2;
3 2 3 2 3
1
2 1 1
1 ⋅
+
+
∆ +
=q q a a
q п ;
1 1 1 1
1 3 1 a t q
q ⋅
∆ −
=
& ; (10)
2 1
2 1 1
) (
2 t
a
q&& = − a + .
Визначивши в точках колокацій не- ув’язку рівнянь (7), отримаємо систему трансцендентних рівнянь з невідомими ко- ефіцієнтами a1 і a2
2
3 1
2 2 1 1 )
3 (1 1
a A q a
a
⋅
∆ + +
= ;
1
2 2 1 1 )
3 (2
2 2
3 a
a A q
a −
⋅
∆ −
= , (11)
де 2
, 1
2 , 1 2
, 1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
i i i i
q q q
A α
α α
, і= 1;2 – вирази, що
відповідають кутовим координатам стріли в точках колокацій.
Розглянемо ділянку руху з наступними значеннями: q1п= 1,49м; q1k= 1,66м; t = 6с. k Для заданих параметрів руху після бага- торазової ітерації із рівняння (11) знаходи- мо невідомі коефіцієнти a1 =0,057 і
017 ,
2 =0
a . Графіки зміни швидкості та прискорення узагальнюючої координати зображені на рис.2.
а
б
Рис.2. Характер зміни швидкості (а) та при- скорення (б) узагальненої координати при ене- ргетичному режимі руху
Характеристики зображені на рис.2 да- ють можливість зробити висновок, що та- кий режим руху можна отримати лише на ділянці усталеного руху.
Оптимальний динамічний режим руху механічної складової частини стрілової си- стеми маніпулятора визначається шляхом мінімізації інтегрального функціоналу з пі- дінтегральною функцією у вигляді енергії прискорень
=
∫
10
) , , ,
( 1 1 1
t
t
п t q q q dt
E
I & && . (12)
В такому разі енергія прискорень стріло- вої системи, зображеної на рис.1, матиме вигляд
2 2
1 Σαα&&
= J
Eп . (13)
Координати прискорення стріли маніпу- лятора пов'язані з узагальнюючою коорди- натою підйомного гідроциліндра наступ- ною залежністю:
2
1 2 1 1
1 q q
q q
∂ + ∂
∂
= ∂α α
α&& && & . (14)
Після підстановки виразу (14) у залеж- ність (13) отримаємо енергію прискорень механічної складової стрілової системи за зміну вильоту вантажу, що виражається че- рез узагальнюючу координату, її швидкість і прискорення
2
2 1 2 1 1
2 1
1
∂ + ∂
∂
= Σ ∂
q q q
q J
Eп α α
α && & . (15)
Оптимальний динамічний режим руху стрілової системи визначається рівнянням Ейлера – Пуассона
0
1 2 2
1 1
∂ = + ∂
∂
− ∂
∂
∂
q E dt
d q E dt
d q
Eп п п
&
&
& . (16)
У результаті отримуємо крайову задачу:
( )
; 0 )) 6
(
3 4
(
4 1 4
1 2 3 1 1 3
1 1 2 1
1 2 1 2 2 1 1 1 2
1 1
∂ =
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ +
∂
∂ + ∂
+
∂
∂
Σ
q q q q q
q q
q q q q q q
q J
IV
α α α
α
α α
α α
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
(17)
де крайові умови наступні: початкові –
=0
=tп
t , q1 =q1п, q&1 =q&1п =0; кінцеві –
t1
t
t= k = , q1 =q1k, q&1 =q&1k =0.
Крайову задачу (17) розв’язуємо мето- дом колокацій. Розв’язок поставленої зада- чі визначаємо у наступному вигляді:
+
−
+
−
∆
+
=
2
1 1 1
1 2
1 1
1 3 2 1 2
t t t b t t q t t q t
q п ;
2 1 2
1 1 1
1 1
2 2 3 1 1
3 t
t t
t t
b t t q t
q ⋅
+
−
+
−
∆
=
& ;
2 1 2
1 1 1
1 1
6 2 6 1 2
1 3
t t t t b t t q t
q ⋅
+
−
+
−
∆
=
&
& ;
3 1 1 1
1
2 12 1
t t b t
q
q ⋅
− +
∆
−
=
&
&
& ;
4 1 1
24 t q b
IV = . (18)
Точкою колокацій обрано точку t1
t =0,5, після підстановки якої в залежність (18) отримаємо:
(
q b)
q
q1 = 1п +0.25⋅ 2⋅∆ 1+0.25⋅ ;
1 1 1
5 . 1
t
q& = ⋅∆q ; 2
1
1 t
q&& = −b; 3
1 1 1
12 t
q&& = − ∆q
& ;
4 1 1
24 t q b
IV = . (19) Розв’язавши в точках колокацій не- ув’язку рівнянь (17), отримаємо квадратне рівняння відносно невідомого параметра, який визначаємо наступним чином:
( )
(
6 0.1252.25 0.)
0937,3
3 2 1 2
2 1
1 2 2
1
B q B
b q
B b q
b
⋅
∆
⋅
−
⋅
⋅
∆
×
× +
⋅
⋅
−
∆
⋅
= (20)
де
1 2 1 2
1
q B q
∂
∂
∂
∂
= α α
;
1 3 1 3
2
q B q
∂
∂
∂
∂
= α α
;
1 4 1 4
3
q B q
∂
∂
∂
∂
= α α
- вира-
зи відношень передаточних функцій меха- нізму стріли маніпулятора, які визначені в точці колокаій.
Для заданих параметрів стрілової систе- ми маніпулятора розв’язано рівняння (20) і визначено невідомий коефіцієнт b = 0,403.
Графіки зміни швидкості та прискорення узагальнюючої координати зображені на рис.3. З отриманих залежностей можна зро- бити висновок, що створити динамічний
тора можливо за умов, що механізм приво- ду (в нашому випадку – підйомний гідро- циліндр) забезпечить максимальну швид- кість більш ніж 4,8 см/с за узагальненою координатою.
а
б
Рис.3. Характер зміни швидкості (а) та при- скорення (б) узагальненої координати під час динамічного режиму руху
Максимальна швидкість висування што- ка гідроциліндра залежить від параметрів гідросистеми і в спрощеному випадку ви- значається з рівняння витрат робочої ріди- ни за умов, що працює лише один підйом- ний циліндр [4], тобто
Vy=
1
2 S
⋅Q , [м/с] , (21) де Q - робоча подача гідронасоса, м3/с; S1 - робоча площа поршня гідроциліндра, м2:
000586 .
10 0 60
1100 32
60 6 =
⋅
= ⋅
= q ⋅n
Q n [ м3/с]; (22)
0025434 .
4 0 18 . 0 14 . 3 4
2 2 1
1= D = ⋅ =
S π [м2], (23)
де qn – робоча подача гідронасоса, см3/об;
n – робоча частота насоса, об/хв; D1- діа- метр поршня підйомного гідроциліндра (прийнято 180мм), м.
Після підстановок отриманих значень виразів (22) та (23) в залежність (21), отри- маємо:
0.046
0025434 .
0
000586 .
0
2⋅ =
y =
V [м/с]. (24)
Приймемо, що в процесі роботи маніпу- лятора, під час руху підйомної стріли, мак- симальна швидкість висування штока гід- роциліндра становитиме 4 см/с, віддаючи 15% від її розрахункового значення на втрати в гідросистемі та похибку.
Із графіка (рис.3.а) видно, що прийняту швидкість поршень підйомного гідроцилі- ндра (узагальнююча координата) набуває майже миттєво, протягом 1с, відразу після пуску системи. В реальних гідросистемах маніпуляторів час пуску гідроциліндра ста- новить 2...3с, що зменшує динамічні наван- таження, тому поки що, не вдаючись в де- тальний розрахунок гідросистеми приводу маніпулятора і визначення часу її запуску, приймемо час необхідний для пуску і галь- мування – 3с та розглянемо оптимальний динамічний режим пуску і гальмування ма- ніпулятора.
Оптимальний динамічний режим руху стрілової системи буде визначатися крайо- вою задачею (17), проте матиме інші гра- ничні умови.
При пуску граничні умова наступні: по- чаткові – t =t0 =0, q=qп, q&=0; кінцеві –
tп
t
t= 1 = , q& =Vy, q&&=0. Розв’язок постав-
леної задачі також шукаємо методом коло- кацій, за яким він матиме наступний зага- льний вигляд:
; 10
15 6
1 3
3 3 2
2
2 0
. 1 1
п п п
п п y
t t t
t t
b t
t t t V t
q q
− +
+
+
− ⋅ +
=
; 1 2 30
2 3
2 2
2 1
п п п п
п
y t
t t
t t b t t
t t V t
q
− +
+
−
=
&
3 2
2
1 1 60 2 3 1
1
п п п п
п
y t
t t
t t b t t
t V t
q
− +
+
−
=
&
& ;
3 2
2 1 2
1 1 6 6 2 60
п п п п
y t t
t t
b t V t
q
− +
+
−
=
&
&
& ;
3 1 2
1 2 1
360
п п п IV
t t t b t
q ⋅
−
⋅
= . (25)
Точкою колокацій вибрано точку tn
t =0,5 після підстановки якої в залежності (25) отримаємо
(
t)
bV q
q1 = 1.0 + y ⋅ 0.415⋅ +0.5⋅ ;
п
y b t
V
q 1
875 . 1 75
.
1 =0 ⋅ + ⋅ ⋅
& ;
п y t V
q 1
1 = ⋅
&
& ;
3 1 2
30 1 2
п п
y b t
t V
q&& =− ⋅ − ⋅ ⋅
& ; IVq1 =0. (26)
Визначивши в точці колокацій неув’язку рівнянь, отримаємо параметричне рівняння при розв’язку якого вираховуємо невідомий коефіцієнт b = 0,00374 при підстановці яко- го в залежності (25) отримуємо кінематичні характеристики стріли (рис.4), які відпові- дають оптимальному динамічному режиму пуску стрілової системи за процес зміни вильоту.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.01 0.02 0.03 0.04
q' t( )
t
а
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
q'' t( )
t
б
Рис.4. Характер зміни швидкості (а) та при- скорення (б) узагальненої координати під час
При гальмуванні стрілової системи гра- ничні умови наступні: початкові –
0 =0
=t
t , q&=Vy, q&&=0; кінцеві –
tг
t
t= 1 = , q1 =qк, q&=0. Розв’язок постав-
леної задачі буде
; 2
3 3 2
3 3 4 4 5
5
2 3 1
1
− +
−
−
+ ⋅
−
−
=
k k k
k k
y к
t t t
t t
b t
t t t
t V q q
− +
−
−
= 22 45 34 23
1 1 5 8 3
k k
k k
y t
t t
t t
b t t
V t
q& ;
− +
−
−
= 2 35 24 3
1 2 20 24 6
k k
k k
y t
t t
t t
b t t V t q&
& ;
− +
−
−
= 2 25 4 3
1
6 1 48
2 60
k k
k п
y t t
t t
b t V t
q&&
& ;
−
−
= 5 4
1
48 1 120
k k
IV
t t
b t
q
.
(27)Точкою колокацій вибрано tn
t = 0,5 після підстановки якої в залежності (27) отрима- ємо:
b t
t V q
q k y k 0.916 0.03135
3 2
. 1
1 −
−
−
= ;
k
y bt
V
q 1
0625 . 0 75 .
1=0 − ⋅
& ; 1 12 0.5 2
k k
y t
b t
V
q& =− +
& ;
3 1 2
3 1 2
k k
y bt
V t
q&& =− + ⋅
& ; 1 12 4
k IV
t
q =− b . (28) Визначивши в точці колокацій неув’язку рівнянь, отримаємо параметричне рівняння при розв’язку якого вираховуємо невідомий коефіцієнт b = –0,004919 після підстановки якого в залежності (27) отримуємо графіки кінематичних характеристик стріли (рис.5), які відповідають оптимальному динаміч- ному режиму гальмування стрілової систе- ми в процесі зміни вильоту.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.01
0.02 0.03 0.04
q' t( )
t
а
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005
q'' t( )
t
б
Рис.5. Характер зміни швидкості (а) та при- скорення (б) узагальненої координати під час динамічного режиму гальмування
Оптимальний ривковий режим руху стрілової системи маніпулятора визнача- ється шляхом мінімізації інтегрального фу- нкціонала з підінтегральною функцією у вигляді енергії ривків:
=
∫
10
) , , ,
( 1 1 1
t
t
p t q q q dt
E
I & && . (29)
Енергія ривків стрілової системи, зобра- женої на рис.1, буде:
2 2
1 Σαα&&&
= J
Ep . (30)
Функції ривків стріли маніпулятора по- в'язані з узагальнюючою координатою
(підйомним гідроциліндром) наступною
залежністю
3
1 3 3 2 1 1 2 1 1 1
1 3
q q q q
q q
q ∂
+ ∂
∂ + ∂
∂
= ∂α α α
α&&& &&& & && & . (31)
Після підстановки виразу (31) в залеж- ність (30) отримаємо енергію ривків меха-
нічної складової стрілової системи під час зміни вильоту вантажу, що виражається че- рез узагальнені координати, швидкість, прискорення і ривок:
2 3 1 3 3 2 1 1 2 1 1 1
1 3
2
1
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= Σ ∂
q q q q
q q q J
Eп α α α
α &&& & && & . (32)
Оптимальний ривковий режим руху стрілової системи визначається рівнянням Ейлера – Пуассона
0
1 3 3
1 2 2
1 1
∂ =
− ∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂
∂
q E dt
d q E dt
d q E dt
d q
Ep p p p
&
&
&
&
&
& . (33)
В результаті отримуємо крайову задачу
(
4 9)
0;5
4 15
10 15
6
15
2 1 2 1 1 3 4 1 1 4
1
3 1 1 1 1 1 2 3 1 1 3
1
2 1 1 1 1 1 1 2 1 2
1 5 1 5 1 1 6 1 6 2 1 4 1 2
1 1
=
⋅
⋅ +
⋅
∂ ⋅
⋅∂
∂
⋅∂ +
+
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +
∂ ⋅
⋅∂
∂
⋅∂ +
+
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
⋅
∂ ⋅
⋅∂
∂ +∂
+
∂
⋅∂
∂ + ∂
∂
⋅∂
∂ + ∂
∂
∂
Σ
q q q q q
q
q q q q q q q
q
q q q q q q
q
q q q
q q q
q q q J
V IV
IV V
VI
&
&
&
&&
&
&
&
&&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&
&
&
&
α α
α α
α α
α α α
α
α α
(34)
з крайовими умовами: початкові –
0 =0
=t
t , q=qп, q&=0, q&&=0; кінцеві –
tk
t
t= 1 = , q=qk, q&=0, q&&=0.
Крайову задачу розв’язуємо за методом колокацій. Розв’язок визначаємо у вигляді:
; 3
3 1
6 15 10
3 1
3 2 1
2
1
2 1
2
1 1
3
1 1 1
− + −
+
+
− +
∆
+
=
t t t
t t c t
t t t q t
t q t
q п
; 2
5 4
1
2 1 10 3
3 1
2 3 1
3 2 1
2
1
2 1
2
1 1
1
t t t
t t t t
c t
t t t q t
q
−
+
− +
+
+
− +
∆
=
&
; 5
10 6 1
2 3 1 10 6
3 1 3 1
3 2 1
2
1
2 1
2
1 1
1
t t t
t t
t t
c t
t t t q t
q
⋅
−
− +
+
+
− +
∆
=
&
&
1 ; 20
30 12 1
6 6 1 10 6
3 1 3 1
3 2
1 2
1
2 1
2
1 1
1
t t t t
t t c t
t t t q t
q
⋅
−
− +
+
+
− +
∆
=
&
&
&
1 ; 5
5 1 1 2 5
72 4
1 2 1
2
1 1
1
1 t t
t t c t t
q t q
IV ⋅
− +
−
−
∆
=
1 ; 2
1 2
360 5
1 1 1 1
t t c t q q
V ⋅
− +
∆
=
1 .
720 6
1
1 c t
q
VI =− ⋅ ⋅ (35)
Точкою колокацій вибрано t1
t = 0,5 після підстановки якої в залежності (35) отрима- ємо неув’язку рівнянь визначивши які ра- зом з виразом (34) знаходимо невідомий коефіцієнт с≈0,012.
0 1 0 . 0 1
c = 0 . 8 0 . 0 2
0 . 0 3
c = 0 . 0 1 2 c = - 1 . 5 1
2 3 4 5 6
0 . 0 4 0 . 0 5 0 . 0 6
t , c q , ì \ c
а.
1 0 0 . 0 1
c = 0 . 8 c = - 1 . 5 1
c = 0 . 0 1 2
2 3 4 5 6
0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4
- 0 . 0 1
- 0 . 0 2 - 0 . 0 3
t , c q , ì / ñ 2
б.
Рис.5. Характер зміни швидкості (а) та при- скорення (б) узагальненої координати під час- ривкового режиму руху за різних значень кое-
Графічна інтерпретація оптимальної швидкості та прискорення під час ривково- го режиму руху зображена на рис. 5.
Висновки
Методами варіаційного числення в стат- ті розглянуто методику розрахунку опти- мальних режимів руху стріли маніпулятора під час зміни вильоту за рахунок роботи підйомного гідроциліндра.
Отримані чисельними методами із засто- суванням програм математичного обрахун- ку (MathCAD, Mathematica) залежності швидкостей та прискорень, які дають мож- ливість здійснити оптимальні режими руху підйомної стріли маніпулятора, створивши відповідним чином рух привідного гідро- циліндра відповідно до наперед визначених залежностей.
З розв’язків вищезазначених залежнос- тей можемо чітко сказати, що під час руху лише підйомного гідроциліндра (рух за од- нією узагальненою координатою) маси ла- нок і вантажу не впливають на показники оптимальних режимів руху, які залежать лише від геометричних параметрів маніпу- лятора і показників граничних умов швид- кості, переміщення та прискорення. Це дає можливість створювати більш прості сис- теми керування маніпулятором при розді- льном русі за його узагальненими коорди- натами.
Література:
1. Л. А. Гоберман Основы теории, расчета и проектирования строительных и до- рожных машин // М: Стройиздат, 1988.
– 250с.
2. В. С. Ловейкин «Расчеты оптимальных режимов движения механизмов строи- тельных машин». Киев 1990.
3. О. В. Григоров, В. С. Ловейкін «Оптима- льне керування рухом механізмів ван- тажопідйомних машин». Київ 1997.
4. Юрай Иринг. Проектирование гидрав- лических и пневматических систем Л.:
Машиностроение, 1983. – 363с.
Рецензент: Назаренко І. І. д.т.н. проф.
