Використання спеціальних скінченних елементів з тріщиною в задачах механіки руйнування при нестаціонарних динамічних навантаженнях



Солодей І.І., Вабіщевич М.О., Гуляр О.І.

УДК 539.3

І.І. Солодей, канд. техн. наук М.О. Вабіщевич

О.І. Гуляр, д-р техн. наук

ВИКОРИСТАННЯ СПЕЦІАЛЬНИХ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ З ТРІЩИНОЮ В ЗАДАЧАХ МЕХАНІКИ РУЙНУВАННЯ ПРИ НЕСТАЦІОНАРНИХ ДИНАМІЧНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ

На основі нових типів спеціальних скінченних елементів розроблена ефективна методика дослідження перехідних процесів динамічного деформування просторових тіл обертання та призматичних тіл з тріщинами. Вірогідність отриманих результатів і ефективність підходу підтверджені розв’язанням контрольних прикладів.

Вступ.

Прагнення зменшити чисельні витрати та спростити дискретні моделі при розв’язанні задачі механіки руйнування без втрати точності отриманих результатів потребують розробки нових методик з використанням спеціальних скінченних елементів з тріщинами (ССЕТ).

Існує декілька важливих аспектів які обумовлюють їх використання.

Густота сітки скінченних елементів (СЕ) у привершинній області – один із основних чинників ефективності моделі. Відомі рішення проблеми використання більш рідких сіток базуюються, з однієї сторони, на введенні до функцій форми СЕ очікуваної сингулярної поведінки у вершині тріщини з додаванням спеціальних функцій розщеплення в її середині [14-16], або спецільних процедурах зміщення вузлів звичайного СЕ [11, 13]. З іншої сторони, пропонується комбінація ССЕТ, як моделі із прямою коррекцією тензора напружень звичайного СЕ, та алгоритма усереднення отриманих розв’язків по ефективній привершинній підобласті [3, 5], що дозволяє зберегти регулярну структуру дискретної моделі і значно зменшити чисельні витрати.

Розв’язання задачі динаміки для тіл з тріщинами потребує введення до рівнянь руху обмежень від взаємного проникнення берегів тріщини, оскільки нестаціонарні задачі передбачають наявність силових факторів різних знаків. Подібний аспект виникає також і в задачах статики [1], наприклад при розгляді згину пластини із скрізною тріщиною коли її береги прагнуть розкритись на розтягнутій стороні пластини і зімкнутись на стороні стиснення. ССЕТ забезпечує природньо легке вирішення цієї проблеми варіюванням напружень нормальних до поверхні контакту берегів тріщини.

Більш того, використання спеціальних скінченних елементів для моделювання тріщини дає можливість безпосереднього роздільного обчислення коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН), що легко здійснюється при почерговому задоволенні умов рівності нулю відповідних компонент тензора напружень [5].

1. Основні співвідношення нестаціонарної задачі механіки

руйнування в схемі напіваналітичного метода скінченних елементів.

Для прямолінійних призматичних тіл та тіл обертання розглядаються поздовжні стаціонарні тріщини, фронт яких збігається за напрямком із твірною тіла (рис. 1).

Рис. 1. Просторові призматичні тіла та тіла обертання

Класичне рівняння руху однорідного вздовж направляючої ізотропного тіла для напіваналітичного метода скінченних елементів (НМСЕ) записується у вигляді незалежних амплітудних підсистем виду [9]:

δK_l+δW_l−δA_l =0 (1)

де δW_l, δK_l, δA_l амплітудні варіації потенційної, кінетичної енергій та роботи зовнішніх сил, що забезпечується використанням кільцевого та прямолінійного призматичного скінченних елементів з апроксимаціями невідомих в напрямку x ³ 2 - періодичними π функціями тригонометричних рядів Фур’є [9]:

( ) ( )

^li

L l l

l S S S i

i S u u u

u u

u _′

= ′

′ =

∑

ψ

0

2 2 1

1, ) ( , )

( : :

:

:& && & && , (2)

для замкненого тіла обертання в циліндричній системі координат:

3 2

1^l =ψ^l =coslx

ψ_{′ ′} , ψ₃^l_′=sin lx³, l₀ =0, 0≤x³ ≤2π, для призматичного прямолінійного тіла в ортогональній системі координат:

3 2

1_l =ψ_l =sinπ2lx

ψ_{′ ′} , ₃ ³

cos 2lx

l = π

ψ _′ , l₀ =1, 0≤x³≤2

Слід зазначити, що компоненти тензорів напружень і деформацій приймають вигляд повних рядів Фурь’є, незалежно від наявності площин симетрії:

l lij L l

l l

lij

ij 1 3

0

′

= ′

ψ ε + ψ ε

=

ε

∑

^,

∑

= σ ψ ′+σ ψ ′

=

σ ^L

l l

ij l l ij l l ij

0

3

1 . (3)

Відомо, що розкриття тріщини у твердому тілі може проходити трьома різними шляхами: нормальний відрив (тип І), поперечний (тип ІІ) та повздовжній зсув (тип ІІІ). У зв’язку з цим локальні напруження біля вершини тріщини відповідно харектиризуються параметрами K_I, K_II,

KIII, що отримали назву коефіцієнтів інтенсивності напружень.

KI, K_II, K_III є параметрами силового критерію руйнування – основою для розв’язанння задач механіки руйнування прямими методами.

У відповідності до (2) і (3) можна записати:

∑

= σ

= σ ^L l l

l I I

I H K

K

0

,

∑

= σ

= σ ^L l l

l II II

II H K

K

0

,

∑

= σ

= σ ^L l l

l III III

III H K

K

0

∑

=

= ^L

l l

l Iu u I

I H K

K

0

,

∑

=

= ^L

l l

l IIu u

II

II H K

K

0

,

∑

=

= ^L

l l

l IIIu u

III

III H K

K

0

, (4)

де K_I^l_σ, K_II^l_σ, K_III^l _σ, K^l_Iu, K^l_IIu, K^l_IIIu - амплітудні значення коефіціентів інтенсивності напружень; H_I^σ, H_II^σ, H^σ_III, H^u_I, H_II^u , H^u_III - відомі функції асимптотичних формул компонент тензора напружень і переміщень. Для найчастіше розглядуваного випадку тріщини нормального відриву вони мають вигляд:



 



 + θ θ

π θ

σ =

2 sin3 sin2 2 1 cos 2 r

H_I , (5)



 



 − ν− θ

θ

= π

cos 2 2 2 2

2 sin ₂

G r

H_I^u (6)

l l l l

lI

K _σ =σ^{1′′1′′}ψ_1′+σ^{1′′1′′}ψ_3′, (7) l

l Iul u

K = _1′′ψ_1′^{. (8)}

Для вісесиметричної та двовимірних задач теорії пружності коефіцієнт інтенсивності напружень повздовжнього зсуву K_III =0, а амплітудні значення тотожно дорівнюють їх координатним аналогам.

Енергетичний підхід передбачає обчислення J – інтеграла, який при динамічному процесі розповсюдження хвиль у тілі зі стаціонарною тріщиною для пружних матеріалів – лінійних або нелінійних представляє собою швидкість вивільнення енергії G [1]. Як показано в роботі [9] у відповідності до метода реакцій:

∑

=

= ^L

l l

Jl

J

0

, (7) де

( ) { } { } ( ) { } { }

⁻

− ∆

=

∑

∆

∑

= α

= α

1 2

1

1 2

1 2

1 ^N

j

j l T

j l j N

j

j l T

j l j

l u R

x R

u x J

( )( )

∑

= α

′

′

















∆

−

− ¹ +

1

, , , ,

2

N

j j

k q l k q l k q l k q l

x u u R

R

( )( )

₋

















∆

−

−

∑

+

= α

′

′

2

1

, , , ,

2

N

j j

k q l k q l k q l k q l

x u u R R

( )( )

∑

= α

′

′

















∆

−

− ³ +

1

, , , ,

2

N

j j

k q l k q l k q l k q l

x u u R R

-

( )( )

∑

= α

′

′

















∆

−

− ⁴ +

1

, , , ,

2

N

j j

k q l k q l k q l k q l

x u u R R

. (8)

Всі члени, які входять до (8), визначаються за допомогою амплітудних вузлових реакцій та переміщень сіткової області для момента часу τ=t+∆t задачі динаміки.

В області лінійної механіки руйнування існує однозначна залежність між величинами коефіціентів інтенсивності напружень (4) та J – інтегралом (7) [1].

2. Спеціальні скінченні елементи з тріщиною для задачі динаміки.

Складнощі апроксимації тріщини, що виникають при розв’язанні задач механіки руйнування для об’єктів із складною формою та конфігурацією поперечного перерізу, можуть бути подолані на основі використання спеціальних скінчених елементів, матеріал яких не сприймає дію нормальних та дотичних до траєкторії тріщини напружень.

Розглянемо кільцевий замкнений та призматичний скінченні елементи з поперечним перерізом у вигляді криволінійного чотирикутника довільного обрису, що перетинається тріщиною (рис. 2).

Рис. 2. Спеціальні кільцевий замкнений та призматичний прямолінійний скінченні елементи з тріщиною

Будемо вважати, що область, яку займає елемент, відображається на квадрат з одиничними сторонами, внутрішні властивості якого визначаються механічними і геометричними характеристиками елемента.

Помістимо в центр елемента початок системи координат x , ⁱ направляючи осі вздовж сторін. За невідомі обрані вузлові переміщення, швидкості та прискорення

( )

_{( )}

2

: 1

:u u_{i ss}

u & && _′ в базисній системі координат

'

Zi , де індекси s₁ та s₂ визначають положення вузла відносно центра елемента і набувають значеннь ±1 (рис.2). Позначка “:” відповідає логічному оператору “або”, що означає вибір для розгляду однієї з компонент в круглих дужках.

Припускається, що щільність матеріалу ρ, компоненти тензора пружних постійних d^ijkl і визначник метричного тензора g незначно змінюються в області поперечного перерізу елемента і вважаються рівними відповідним значенням в його центрі:

=ρ _α=0

ρ _x ,

=0

= α

x ijkl ijkl d

d ,

=0

= α

g x

g . (9)

Напротивагу цьому компоненти метричного тензора, постійні матеріала і напруження довільно змінюються вздовж осі х³ і обчислюються в необхідній кількості точок інтегрування.

Якщо обмежитися білінійним розподілом переміщеннь, швидкостей і прискорень в площині перерізу елемента:

( )

′=

∑∑

_{( )}

( )

′_{( )}

1 2

2 2 1

1, : : ,

: :

S S

S S S i

i PS u uu

u u

u & && & && ,

∏

=



 



 +

=

Ρ ²

1

) ( ) ( )

,

( 2

1

2 1

n

n n S

S S x . (10)

Нормовані компоненти тензора деформацій в місцевій системі координат визначаються виразом:

) ( ) (

~

jj ii

ij

ij g g

= ε

ε . (11)

Як показано в роботах [3, 5], застосування моментної схеми скінченних елементів (МССЕ) [8] дозволяє істотно підвищити ефективність чисельного дослідження просторових конструкцій на основі МСЕ:















 



ε −ε

+ ε

=

ε _{αα αα −α αα αα −α} ^−α

α αα

α ( ) ( ),(3 ) ( ) ( ),(3 ) ^{(3 )}

) ( ) (

~ 1 h x

g

o o

o

,

₁₂

22 11 12

~ε = 1 ε^o

g

g ,

( ) ( )

( )





























ε +

− ε

+ ε

=

ε _{α α −α} ^α _{αα −α −α} ^−α

α αα (3 )

3 , 33 3

), 3 ( ) 3 ( , 3 3 33 ) (

3 2

~ 1 h h x

g g

o o o

,















 



ε −ε +

ε

=

ε _α h _α x^α

g₃₃ ^{33 33, 33 33,}

33

~ 1 ^{o o o} , (12)

де ε =ε ^α=0 ijx ij o

,

0 ,

β =

β ∂ α

=∂ε ε

x ij

ij x

o

,

) (

), ( ), (

ii ii

ii g

h _β = g ^β.

Формули для обчислення компонент (12) отримані в роботі [4].

Нормовані компоненти тензора напружень визначаються співвідношенням:

) ( ) (

~

jj ii ij

ij=σ g g

σ . (13) Зв’язок між компонентами тензора нормованих фізичних напружень та деформацій подається на основі узагальненого закону Гука:

ij ijkl

ij=d ε

σ ~ ~

~ _,

) ( ) ( ) ( ) (

~

ll kk jj ijkl ii

ijkl d g g g g

d = . (14)

Аналогічно (12) представимо компоненти тензора напружень відрізками ряду Маклорена:







σ +σ′

=

σ^α(α) _(αα) ^{α(α) α}_,(3^(α₋⁾_α) ^(3−α)

~ g ^{o o} x ,

~σ¹² = g₁₁g₂₂σ^o12,







σ +σ′

=

σ~^α3 g_(αα)g₃₃ ^{oα3 o}_,^α₍³_3−α)x^(3−α) ,







σ +σ′

=

σ³³ g₃₃ ^{33 33}_,αx^α

~ ^{o o} . (15)

Компоненти σ′^oi_,α⁽ⁱ⁾

(

α≠ⁱ

)

відображають напруження згину і їх впливом на точність розв’язання нехтувати не можна, в особливості для оболонок і пластин. Члени ряду типу σ′^o12_,α, σ′^o3_,α^(α) визначають зміну напружень зсуву. Вклад їх в енергію деформації елемента при використанні МССЕ рівний нулю.

Для тонких оболонок з навантаженням, що приведене до серединної поверхні в класичній теорії запроваджуються умови рівності нулю нормальних напружень на площадках, які паралельні площині, що дотична до серединної поверхні. Цій умові відповідає наступна гіпотеза, яка визначає постійність напружень обтягу:

) 0

)(

(

, =

σ′^o _α^{α α} , (16) З умови (16) отримуємо зв'язок між коеффіцієнтами розкладів (12) і

(15) в центрі меридіонального перерізу СЕ на основі узагальненого

закону Гука:

ijkl kl

ij d ^o

o = ε

σ , (17) а також зв’язок між похідними напружень і деформацій для лінійно- пружного матеріалу, який забезпечує універсальність СЕ, що пропонуються:

α α

α= ε′

σ′^o,ij dijkl^okl, ,

) )(

)(

)(

(

) )(

( ) )(

(

α α α α

α α α α

α = −

d d d d

d

kl ijkl ij

ijkl . (18)

В силу замкнутості кільцевого СЕ, сталості його геометричних параметрів вздовж окружної координати та для забезпечення виконання граничних умов для шарнірно опертих призматичних тіл розподіл невідомих в напрямку x проводиться ^{3 2 -} π періодичними функціями x і їх вузлові ³ значення представляються відрізками тригонометричних рядів Фур’є:

( )

^L

( )

^l_i

l l

l S S S i

i S u u u

u u

u _′

= ′

′ =

∑

ψ

0

2 2 1

1, ) ( , )

( : :

:

:& && & && , (19)

де для кільцевого СЕ: ψ₁^l_′=ψ₂^l_′=cos lx³, ψ₃^l_′ =sin lx³, l₀=0, 0≤x³≤2π,





>

π

=

= π

ϑ 1 ,якщо 0;

; якщо 0 , 2 1

l

l , призматичного СЕ: _{1 2} ³

sin 2lx

l

l =ψ = π

ψ_{′ ′} ^,

3

3 cos 2lx

l = π

ψ _′ ^, l₀ =1, 0≤x³≤2, ϑ=1^.

У віповідності до розкладу (19), члени ряду Маклорена в (12) можна представити у вигляді рядів:

l l ij L l

l l

l ij

ij 1 3

0

′

= ′

ψ ε + ψ ε

=

ε

∑

^{o o}

o

, ^{l l}_ij ^l

L l l

l ij

ij, , 1 , 3

0

α ′

= α ′

α= ε ψ +ε ψ

ε^o

∑

^{o o} , (20)

амплітуди для яких отримані в роботі [4].

Напруження і їх похідні незалежно подаються відрізками ряду Фур’є вздовж x³:

l ij l L l

l l

ij l ij

3 1

0

′

= ′

ψ σ + ψ σ

=

σ^o

∑

^{o o , ij}l ^l

L l l l

ij l ij

, 3 , 1

,

0

′ α

= α ′

α= σ ψ +σ ψ

σ^o

∑

^{o o} . (21)

Для однорідних вздовж x³ тіл амплітудні значення напружень та їх похідних в центрі поперечних перерізів СЕ можуть бути отримані безпосередньо через амплітудні значення деформацій і їх похідних:

l km ijkm ij

l d

o

o = ε

σ ^, σ^oij_,αl=^d_α^ijkmε^ol_km,α, ^ij_l d^{ijkm l}_km

o

o = ε

σ , σ^oij_,αl=d_α^ijkmε^ol_km,α. (22)

В загальному випадку, компоненти тензора пружних постійних залежать від координати x ³ і значення напружень неможливо отримати через амплітудні значення деформацій. Тому, амплітудні значення напружень визначаються співвідношеннями гармонійного аналізу чисельним інтегруванням [10]:

∑

⁻

( )

=

φ θ σ

=

σ ^{2 1}

0 1

1 ^N

n l ijn ij

l n

N

o o

,

∑

⁻

( )

= α

α σ φ

= θ

σ ^{2 1}

0 1 , ,

1 ^N

n

l ijn ij

l n

N

o o

,

( )

∑

⁻

=

φ σ

=

σ ^{2 1}

0 2

1 ^N

n l ij n ij

l n

N

o o

,

∑

⁻

( )

= α

α= σ φ

σ ^{2 1}

0 2 , ,

1 ^N

n

l ij

n ij

l n

N

o o

, (23)

де σ^oij_n і σ^oij_,αn - координатні значення напружень і їх похідні в центрі поперечних перерізів, що відповідають точкам інтегрування n, 2N - загальне число точок інтегрування вздовж координати x , необхідне для ³ обчислення амплітудних значень аж до l=L включно. Для кільцевого СЕ:

( )

N l n

l n = π

φ₁ cos ,

( )

N l n

l n = π

φ₂ sin ,





>

= =

θ 1, 0;

; 0 ,

2 якщоl

якщоl

, для

призматичного:

( )

N l n l n

sin 2

1 = π

φ ,

( )

N l n

l n cos 2

2

φ = π , θ=1.

Для спеціальних скінчених елементів з тріщиною введемо ортогональну систему координат y (рис.2) таким чином, щоб ^i'' y^2'' проходила по дотичній до траєкторії тріщини, а y - по нормалі і утворювала з додатнім напрямком ^1'' осі Z ^1' кут ϕ. Вважається, що на берегах тріщини нормальні та дотичні напруження повинні дорівнювати нулю:

1 0

1 =

σ ^{′′ ′′} , σ^{1′′2′′}=0, σ^{1′′3′′}=0. (24) Використаємо подання тензора пружних сталих через коефіцієнти Ляме і компоненти метричного тензора для анізотропного матеріалу:

(

^{jl ik il jk}

)

kl ij

ijkl g g g g g g

d =λ +µ + . (25)

Оскільки для ортогональної системи координат y : ^i''

=0

′′

′′j

gi при i"≠ j", g^{i′′i′′}≠0, (26) на основі закону Гука представимо напруження через деформації:

'' 0

3 '' '' 3 3 '' 3 '' 1 '' '' 1 2 '' '' 2 2 '' 2 '' 1 '' '' 1 1 '' '' 1 1 '' 1 '' 1 '' 1 '' 1 ''

1 = ε + ε + ε =

σ d d d ;

0 2 ^1''2''1''2'' _1''2''

'' 2 ''

1 = ε =

σ d ; (27) σ^1''3''=2d^1''3''1''3''ε_1''3''=0.

З урахуванням (27) зв’язок між напруженнями та деформаціями в системі координат y^i''представимо наступним чином:

'' '' '' '' '' '' ''

''j i j k l k l

i =d ε

σ , (28)

де

'' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' ''

* i j k l

l q k j ci l k j ip l k j l i k j

i d d d d

d = − − − ^{, (29)}

'' 1 '' 1 '' 1 '' 1 '' '' '' 1 '' 1 '' 1 '' 1 '' '' '' '' ''

'' d d d

dⁱ_p^{j k l} = ^{i j k l , (30)}

2 ^{'' ''1''2''} ''

'' ''

''j k l i j

ci d

d = _{, (31)}

2 ^{'' ''1''3''}

'' '' ''

''j k l i j

i

q d

d = ^{. (32)}

Тут dⁱ_p^''j''k''l'' - доданок, обумовлений відсутністю напружень σ^1''1'',

'' '' '' ''j k l i

dc - напружень σ^1''2'', d_q^i''j''k''l'' - напружень σ^1''3''.

Виконавши відповідні перетворення, формулу (28) можна подати в місцевій криволінійній системі координат

x

ⁱ:

mnst st

mn=d ε

σ _* . (33)

Коррекція тензора пружних констант матеріалу d^mnst в зоні тріщини проводиться згідно формули:

qmnst cmnst mnstp mnst

mnst d d d d

d_* = - - - . (34)

Вирази для їх обчислення, у відповідності до відомих формул тензорного аналізу [6], мають вигляд:

'' 1 '' 1 '' 1 '' 1 '' '' '' 1 '' 1 '' 1 '' 1 ''

'' d d

d C C C C

d^mnst_p = _i^m_′′ ⁿ_{j′′ k}^s_{′′ l}^t_′′ ^{i j kl} , (35)

2 1 2

2 _{′′ ′′} 1_{′′ ′′} ^{′′′′′′ ′′}

= ⁿj ^{s t ij} m

i mnst

c C C C C d

d , (36)

3 1 3

2 _{′′ ′′} 1_{′′ ′′} ^{′′′′′′ ′′}

= ⁿj ^{s t ij} m

i mnst

q C C C C d

d . (37)

де C_i^m_" - коефіцієнти перетворення, що визначають зв’язок між системою

координат x та системою координат ⁱ y^α":

''' '

" k

m i m k

i C C

C = , C_i^k_"^' =cos(Z^k'^y^i"). (38) Проведемо перетворення величин, що входять до (35) - (37) у відповідності до (25) та (26):

st mn

mnstp S S

d

µ + λ

= µ 1 2

2 , S^mn g^mn C₁^m_"C₁ⁿ_"

2 +

µ

= λ , (39)

) (

2 ₂^m_{" 1}ⁿ_{" 1}^s_{" 2}^t_{" 1}^m_{" 2}ⁿ_{" 1}^s_{" 2}^t_"

cmnst C C C C C C C C

d = µ + , (40)

) (

2 ₃^m_{" 1}ⁿ_{" 1}^s_{" 3}^t_{" 1}^m_{" 3}ⁿ_{" 1}^s_{" 3}^t_"

qmnst C C C C C C C C

d = µ + . (41)

Якщо симетризувати вирази (40) та (41) і ввести позначення

s i m

i ms

i C C

r_" = _{(") (")}, можемо записати:

) (₁^ns_{" 2}^mt_{" 1}^ms_{" 2}^nt_{" 1}^nt_{" 2}^ms_{" 1}^mt_{" 2}^ns_"

cmnst r r r r r r r r

d =µ + + + , (42)

) (₁^ns_{" 3}^mt_{" 1}^ms_{" 3}^nt_{" 1}^nt_{" 3}^ms_{" 1}^mt_{" 3}^ns_"

mnst

q r r r r r r r r

d =µ + + + . (43)

Важливою перевагою запропонованого підходу, заснованого на зміні відповідним способом механічних характеристик матеріалу, є те, що деформоване тіло з тріщиною апроксимується

за допомогою повністю сумісних типів скінченних елементів. При цьому, обчислення коефіцієнтів ефективної матриці жорсткості спеціального скінченного елемента виконується по тим самим формулам, що і для звичайних СЕ, обмежуючись корекцією елементів матриць пружних сталих. Більш того, виникає можливість збереження регулярної структури скінченних елементів, оскільки тріщина може проходити незалежно від топології сіткової області (рис.4).

3. Вірогідність та ефективність використання спеціального

скінченного елемента з тріщиною в задачах динаміки.

До переліку факторів, що впливають на процес збіжності та вірогідності отриманих рішень при розв’язанні адач механіки руйнування

Рис. 4

методом скінченних елементів (МСЕ), відносять вибір схеми МСЕ, метода визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень, способа апроксимації тріщини. Основним параметром, що свідчить про ефективність будь-якого сіткового методу, є густота сітки скінченних елементів, яка необхідна для отримання достатньо точних результатів. У проведених дослідженнях приділено увагу вивченню швидкості збіжності наближених розв’язків при послідовному сгущенні апроксимуючої сітки та порівнянню цієї характеристики для різних способів апроксимації тріщини і методів визначення динамічного КІН.

Аналіз впливу апроксимації тріщини спеціальними скінченними елементами на точність

обчислення параметрів механіки руйнування проведено на прикладі розтягу квадратної пластини розміром

2 . 0 2 . 0 2

2b× L= × м з центральною тріщиною довжиною 2l=b (рис. 5).

Коефіцієнт Пуасона 35

.

=0

ν ^, модуль пружності Е=2.1×10¹¹ Па, щільність матеріала 103

8 . 7 ×

=

ρ кг/м³. На рис. 6 приведені графіки збіжності результатів розрахунку динамічного коефіцієнта інтенсивності напружень K_dI при апроксимації тріщини спеціальними скінченими елементами (ССЕТ) та скінченими елементами нульової жорсткості, запропонованими в роботах [7, 12] (Виріз) по відношенню до схеми із введенням тріщини в розрахункову схему (модель із закріпленням частини бокової поверхні пластини).

Кольором відмічені спеціальні скінченні елементи з тріщиною.

Граничні умови відображають наявність двух вісей симетрії по Z^1′ та

Z2′. При обчисленні значень ДКІН використовували методики описані в

роботах [2, 9].

Похибка визначення K_dI обчислювалась у відповідності до формули:

%

⋅100

= −

ψ ^τ _zτ ^τ

dI dIz dI

K K

K ,

де K_dI^zτ - динамічний КІН еталонної моделі, обчисленний для момента часу τ; K_dI^τ - ДКІН розрахункових моделей для того ж момента часу.

Рис. 5