(1)ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛІННЯ ФІНАНСАМИ ТА БІЗНЕСУ ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні кафедри економічної кібернетики, протокол №____ від р

(1)

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛІННЯ ФІНАНСАМИ ТА БІЗНЕСУ

ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні кафедри економічної кібернетики, протокол №____ від “___” ___________ 2017 р.

Зав. кафедри _________ ____Шевчук І. Б._____

(підпис) (прізвище, ім’я, по батькові)

ПЛАНИ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ І МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

ЩОДО ЇХ ПРОВЕДЕННЯ

З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

_ Дискретний аналіз___

(назва навчальної дисципліни)

галузь знань: ____05 “Соціальні та поведінкові науки”_____________

(шифр та найменування галузі знань)

спеціальність: ______051 “Економіка”___________________________

(код та найменування спеціальності)

спеціалізація: ____ Інформаційні технології в бізнесі_______________

(найменування спеціалізації)

освітній ступінь: _______бакалавр______________________

(бакалавр, магістр)

Укладач:

Задорожна А. В., доцент, к.ф-м.н, доцент____

ЛЬВІВ 2017

К КК А

АА Ф

ФФ

Е ЕЕ Д

ДД Р

РР А

АА Е

ЕЕ К

КК О

ОО

Н НН О

ОО

М ММ

І ІІ Ч

ЧЧ Н

НН О

ОО

Ї ЇЇ

К

КК І

ІІ Б

ББ Е

ЕЕ Р

РР Н

НН Е

ЕЕ Т

ТТ И

ИИ К

КК И

ИИ

(2)

Зміст планів практичних занять

Плани практичних занять і методичні рекомендації щодо їх проведення з навчальної дисципліни включають такі розділи:

РОЗДІЛ 1. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ПРОВЕДЕННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

РОЗДІЛ 2. КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ПРОВЕДЕННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

РОЗДІЛ 3. ПЛАНИ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ РОЗДІЛ 4. КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ

РОЗДІЛ 1. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ПРОВЕДЕННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Практичні заняття мають на меті закріпити теоретичний матеріал, а також формувати практичні навички та вміння визначати показники обсягу національного виробництва, проводити розрахунки стосовно параметрів ринкових ситуацій. Основою для підготовки студентів до практичних занять є план практичного заняття.

При підготовці до занять студент повинен всебічно розглянути і засвоїти питання, що були предметом лекції та винесені на практичний розгляд, а саме:

– ознайомитись з планом практичного заняття та переліком навчальної літератури, наведеним наприкінці плану;

– перевірити наявність попереднього конспекту лекції;

– виконати завдання для самостійної роботи – опрацювання теоретичних основ, прослуханого лекційного матеріалу з відповідної теми практичного заняття.

Підготовка студентів до практичних занять вимагає:

1. Опрацювання та засвоєння лекційного матеріалу з обов’язковим вивченням запропонованих ключових понять, підготовки відповідей на питання, які розглядатимуться на заняттях.

2. Переглянути список питань для самоконтролю знань, дати відповіді на запропоновані питання, не користуючись конспектом.

3. Дати відповіді на тести для самоконтролю, які охоплюють ключеві питання з кожної теми.

4. Складання переліку питань, що на думку студента недостатньо висвітлені на попередній лекції чи в рекомендованих джерелах.

Під час практичних занять викладач оцінює усні та письмові відповіді студентів, участь у

(3)

№ Тема практичного заняття.

Контрольні роботи (заліки по модулях)

К-ТЬ ГОДИН

1 2 3

Заліковий модуль №1

Тема 1. Вступ. Основні поняття про дискретну інформацію. 2

1 Основні поняття про дискретну інформацію. 2

Тема 2. Основи теорії множин 8

2 Основи теорії множин 2

3 Основи теорії множин. Операції над множинами. 2

4 Операції над множинами. 2

5 Доведення рівностей з множинами 2

Тема 3. Логіка висловлювань. 4

6 Логіка висловлювань. 2

7 Логіка висловлювань. 2

Тема 4. Логіка першого ступеня. 2

8 Логіка першого ступеня. 2

Тема 5. Комбінаторний аналіз. 6

9 Комбінаторний аналіз. 2

Тема 6. Відношення. Види відношень. 4

12 Відношення. 2

13 Відношення. 2

Тема 8. Основи теорії графів. 4

14 Основи теорії графів. 2

15 Основи теорії графів. 2

Разом практичних занять 30

Разом контрольні роботи, заліки по модулях (ЗМ) 2

Разом годин 32

(4)

РОЗДІЛ 3. ПЛАНИ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

План практичного заняття № 1

Тема № 1. Вступ. Основні поняття про дискретну інформацію.___________________________

Навчальний час: 2 год.

Міжпредметні зв’язки Навчальна дисципліна “Дискретний аналіз” взаємопов’язана з такими дисциплінами як “Математика для економістів”, “Інформатика”.

Мета і завдання практичного заняття ознайомлення з поняттями дискретної інформації, моделями алгебри даних, висловлюваннями.

Питання для перевірки базових знань за темою практичного заняття:

1. Що таке неперервна інформація?

2. Що таке дискретна інформація?

3. Що таке слово?

4. Які є типи елементарних даних?

План практичного заняття:

1. Визначити, скільки різних складів можна утворити з однієї приголосної і однієї голосної слова:

А) Студент Б) Академія С) Математика Д) Комбінаторика

2.Визначити, скільки різних складів можна утворити з однієї приголосної і однієї голосної слова:

Математика.

3. Алфавіт А складається з трьох символів. Знайти множину всіх слів довжини 1, 2, 3, 4 в алфавіті А.

Форми контролю знань – презентація виконаних завдань, розв’язання задач та вправ, обговорення виконаних завдань, тестування тощо.

Рекомендована література до теми практичного заняття:

Основна та допоміжна література:

1. Нікольський Ю. В., Пасічник В. В., Щербина Ю. М. Дискретна математика: Підручник. / Ю. В. Нікольський, В. В. Пасічник, Ю. М. Щербина. – Львів: «Магнолія 2006», 2007. – 608 с.

2. Трохимчик Р. М. Основи дискретної математики: Практикум. / Р. М. Трохимчик. – К.: МАУП, 2004. – 168 с.

3. Андрійчук В. І., Комарницький М. Я., Іщук Ю. Б. Вступ до дискретної математики. / В. І. Андрійчук, М. Я. Комарницький, Ю. Б. Іщук. – Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2003. – 254 с.

4. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику: Учебное пособие для вузов / С. В. Яблонский. – 3-е изд., М.: Высш. шк., 2002. – 384 с.

5. Бардачов Ю. М. та ін. Дискретна математика: Підручник. / Ю. М. Бардачов та ін. – К.: Вища шк., 2002. – 287 с.

Інтернет ресурси:

1. http://www.studentam.kiev.ua/

2. http://www.twirpx.com/file/685791/

3. http://www.college-chnu.cv.ua/images/Books/bondarenko.pdf http://www.dut.edu.ua/uploads/l_373_44193539.pdf

(5)

Тема № _2_. Основи теорії множин______________________________________________________

Мета і завдання практичного заняття знайомство з основами теорії множин Питання для перевірки базових знань за темою практичного заняття:

1. Що таке множина?

2. Назвати способи задання множин 3. Що таке декартовий добуток?

4. Що таке вектор та його проекція?

1. Задати різними способами множину М всіх парних чисел, що не перевищують 100.

2. Задати різними способами множину М всіх чисел 2ⁿ, що не перевищують 300.

3. Задати різними способами множину натуральних чисел, що парні 5, 10, 15, 20 і т.д .

4. Задати множину М(U) всіх підмножин множини U та знайти її потужність, якщо U={1, 2, 5, 7}.

5. V={(a, b), (b, с, d), (с, а, d)}. Чому дорівнюють проекції V?

6. X={0, 1}, Y={a, b}. Знайти XY, YX, X², XYX.

7. Довести, що AX та BY, то ABXY.

8. Знайти проекції V: пр1V, пр3V, пр1,3V, якщо:

а) V=(2, 3, 1, 1); б) V=(2, 2, 3, 1).

9. Довести, що А(ВС)=(АВ)(АС).

10. Знайти проекції V: пр1V, пр1,3V, якщо:

A1=A2={a, b, c}, A3=A4={d, e}, V=A1A2 A3 A4.

3. http://www.college-chnu.cv.ua/images/Books/bondarenko.pdf 4. http://www.dut.edu.ua/uploads/l_373_44193539.pdf

(6)

Завдання студентам на самостійне опрацювання навчального матеріалу, рішення задач, розв’язання вправ для підготовки до наступного практичного заняття.

1. Задати множину М(U) всіх підмножин множини U та знайти її потужність, якщо U={0, 2, 4, 12, 19, 35}.

2. V={(a, b, d), (c, b, d), (d, b, b)}. Знайти, чому дорівнюють проекції V на першу вісь, другу, а також на другу і третю. Чому дорівнюють проекції V на ці осі, якщо V – впорядкована множина векторів V?

3. Знайти проекції V: пр1V, пр3V, пр1,3V, якщо:

а) {(2, 3, 1, 1), (2, 2, 3, 1), (1, 2, 3, 1)};

б) {(1, 3, 5), (2, 4, 6), (3, 5, 7)}.

4. X={a, c}, Y={a, d, f}. Знайти XY, YX, Y², YXY.

(7)

Мета і завдання практичного заняття _ Основи теорії множин. Операції над множинами._____

1. Що таке універсум?

2. Поняття порожньої множини.

3. Назвати основні операції з множинами.

1. U- універсум множини всіх співробітників фірми; А- множина співробітників понад 35 років; В – множина співробітників, стаж яких більше 10 років; С – множина менеджерів фірми. Знайти:

а) А(В ); б) В\С; в) С\В?

2. Задати множини , якщо:

а) М – множина всіх натуральних чисел;

б) N – множина натуральних чисел.

3. Здійснити операції над множинами:

A={a, b, c, d}, B={c, d, t, f, g, h}.

4. Здійснити операції над множинами А, ВU:

A={a, b, d}; B={b, d, e, h}; U=(a, b, c, d, e, f, g, h}.

5. Здійснити операції над множинами:

A={2, 4, 6, 8}, B={3, 6, 9}, U={1, 2, 3,…, 10}.

6. A={1,2}, B={2, 3}, C={1, 3}. Знайти:

а) АВС; б) АВС; в) А\(ВС); г) (А\В)С; д) (АВ)\(АВ).

7. Яке з цих тверджень э справедливим?

а) 0; б) ={0}; в){}=0; г) =0.

8. Знайти множини:

а) (XY) (XZ);

б) X(YZ);

в) X(YZ);

г) (X\Z)(Y\Z).

(8)

1. U={1, 2, 3, 4}, A={1, 3, 4}, B={2, 3}, C={1, 4}. Знайти:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Знайти множини:

1) Х(YZ); 2) (XY)(XZ); 3) ХY; 4) Х(YZ); 5) (XY)Z; 6) XYZ;

(9)

Мета і завдання практичного заняття _ Операції над множинами.__________________________

1. Графічне зображення операцій над множинами.

2. Поняття підмножини.

1. Група студентів налічує 25 осіб, з яких 15 – люблять математику, 10 – інформатику, 8 – не люблять жодної з цих дисциплін. Скільки студентів люблять обидві дисципліни?

2. Довести, що довільну суму грошей, більшу 7 гривень, можна розміняти купюрами по 3 та 5 гривень.

3. Скільки натуральних чисел із першої сотні не діляться на 2, 3 або 5?

1. Скількома способами можна скласти комісію викладачів для прийому заборгованостей з дисципліни, якщо склад комісії повинен бути 3 особи.

Укладач(і):____________ ____________ Задорожна А. В., к.ф-м.н, доцент______________

(підпис) (ПІБ, посада, науковий ступінь, вчене звання)

(10)

План практичного заняття № 5

Мета і завдання практичного заняття доведення рівностей з множинами._________________

1. Назвати основні рівності з множинами.

2. Назвати основні операції з множинами.

1. Довести, що: а) (АB)C=(AC)(BC) – справа  відносно ;

б) А(BC)=(AВ)(АC) – зліва  відносно ;

в) (АB)C=(AC)(BC) – справа  відносно ;

г) АU=U.

2. Дано дві множини А і В такі, що АВ=. Що являють собою А\В та В\А?

якщо АU, єдине.

(11)

Тема № _3_. __Логіка висловлювань.____________________________________________________

Мета і завдання практичного заняття _знайомство з основами логіки висловлювань__________

1. Що таке висловлювання?

2. Закони логіки висловлювань.

1. Довести, що функції еквівалентні:

а) p^(qr) та (p^q)(p^r); б) p(qr) та (p^q)(p^r); в) p(qr) та (pq)(pr).

2. Перевірити, чи еквівалентні формули:

а) p(q^r) та (pq)^(pr); б) p(qr) та (p^q)(p^r); в) p(qr) та (pq)(pr).

3. Подати висловлювання рq формулою, яка містить тільки операції  та .

1. Подати висловлювання рq формулою, яка містить тільки операцію .

(12)

План практичного заняття № 7

Тема № _3_. __Логіка висловлювань.____________________________________________________

Мета і завдання практичного заняття _використання законів логіки висловлювань____________

1. Закони логіки висловлювань.

2. Нормальні форми логіки висловлювань.

1. Q(x, y): “x+y=x-y”, предметна область кожної змінної – множина цілих чисел. Визначити значення істинності висловлювань:

1) Q(1, 1); 2) Q(2, 0); 3) yQ(1, y); 4) xQ(x, 2); 5) xyQ(x, y);

6) xyQ(x, y); 7) xyQ(x, y); 8) xyQ(x, y); 9) yxQ(x, y); 10) yxQ(x, y).

1. Задано предметну область М={1, 2, 3} змінної х. Записати висловлювання !хР(х), використовуючт заперечення, кон'юнкцію та диз'юнкцію.

(13)

Тема № _4_. __Логіка першого ступеня__________________________________________________

Мета і завдання практичного заняття _використання законів логіки першого ступеня_________

1. Що таке предикат?

2. Назвати основні закони логіки першого ступеня.

1. Подати українською мовою вирази:

1)

2) xy(((x>0)^(y<0))(xy<0));

3) x(C(x)y(C(y)^F(x, y))).

2. Довести еквівалентність x(P(x)^Q(x))=xP(x)^xQ(x).

3. Записати заперечення висловлювань формулами логіки першого ступеня та реченнями української мови:

а) кожний студент групи любить інформатику;

б) у групі є студент, який не бачив комп'ютера;

в) у групі є студент, який прослухав усі комп’ютерні курси;

г) у групі є студент, який відвідав як мінімум одну аудиторію кожного корпусу університету.

1. x(P(x)Q(x))=xP(x)xQ(x).

(14)

План практичного заняття № 9

Тема № _5_. __Комбінаторний аналіз.____________________________________________________

Мета і завдання практичного заняття _знайомство з основами комбінаторного аналізу________

1. Які основні правила комбінаторного аналізу?

2. Що таке n-перестановки?

3. Як обчислюються біноміальні коефіцієнти?

4. Поліноміальна формула.

1. Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо:

а) цифри можуть повторюватися;

б) жодна з цифр не повторюється двічі;

в) цифри непарні і можуть повторюватися.

2. Академічна група налічує 21 студента. Скільки різних варіантів команди з 7 осіб можна відправити на брейн-ринг?

3. Знайти коефіцієнт при х¹⁷ в розкладі (1+x⁵)⁷. 4. Скільки існує способів для:

а) упорядкування {1, 2, …, 2n} таким чином, щоби кожне парне число мало парний номер;

б) розмістити 9 книг на полиці.

5. М={1, 2, 3, 4, 5}. Навести всі розміщення та сполучення без повторень з елементів множини М по 3 елементи.

6. Обчислити кількість перестановок {a, b, c, d, e, f, g}, які закінчуться літерою а.

(15)

1. У скількох точках перетинаються діагоналі випуклого трикутника, якщо ніякі три з них не перетинаються в одній точці?

2. Обчислити:

а) (a+b+c)²; б) (a+b+c)³.

3. Знайти коефіцієнт при х⁵ в розкладі (1+x)⁷.

(16)

План практичного заняття № 10

Мета і завдання практичного заняття _набути навичок використання комбінаторного аналізу при розв’язуванні типових задач.

1. У чому полягає принцип коробок Діріхлє?

2. Суть принципу включення-виключення.

3. Суть альтернативного принципу включення-виключення.

1. Довести, що підмножин скінченної множини М із парною кількістю елементі стільки, скільки й підмножин із непарною кількістю елементів.

2. У групі зі 100 студентів 28 осіб знають англійську мову, німецьку – 30, французьку – 42, англійську та німецьку – 8, англійську і французьку – 10, німецьку і французьку – 5, всі три мови – 3 студенти. Скільки студентів не знають жодної мови?

3. Скільки існує п’ятизначних чисел, в яких кожна наступна цифра:

а) менша за попередню; б) більша за попередню.

(17)

Мета і завдання практичного заняття набути навичок використання комбінаторного аналізу при розв’язуванні типових задач.

1. Суть принципу включення-виключення.

2. Суть альтернативного принципу включення-виключення.

1. В змаганнях по метанню списа беруть участь 4 спортсмени (A, B, C, D). Скільки існує способів розмістити їх, якщо спортсмен B не може A?

2. В одного учня – 7 книг, у другого – 9. Скільки існує способів для обміну по одній книжці кожен учень, по дві книги кожен?

3. Знайти кількість розв’язків рівняння х1+х2+х3=11 у невід’ємних цілих числах за обмежень: х13, х24, х36.

1. Знайти кількість перестановок з n елементів, у яких кожен елемент не залишається у початковому положенні.

(18)

План практичного заняття № 12

Тема № _6_. __ Відношення. Види відношень.____________________________________________

Мета і завдання практичного заняття набути навичок виконання операцій над відношеннями.

1. Що таке відношення?

2. Які види відношень існують?

План практичного заняття: (задачі, завдання та вправи для розв’язання на занятті з методичними вказівками до їх виконання)

1. Нехай на множині М={1, 2, 3, 4} визначено відношення R – «бути більше». Виконати операції над відношенням R; задати отримані в результаті операцій відношення характеристичною властивістю, списком, назвати відношення, порівняти відношення та визначити їх властивості.

2. Нехай (М) – множина всіх підмножин, що складаються з елементів множини М={a, b, c}.

Задати списком відношення R, що визначено на (М), а також R^-1, R, R, R*, якщо R означає:

а) «є нестрогим включенням »;

б) «бути доповненням до»;

в) «перетинатися з».

1. Відношення задані на N: R1, R2, R3: R1={(a, b): a<b}, R2={(a, b): a=b}, R3={(a, b): ab}. Виконати операції над R

(19)

Тема № _6_. __ Відношення. Види відношень.____________________________________________

Мета і завдання практичного заняття набути навичок виконання операцій над відношеннями.

1. Що таке відношення рівно потужності?

2. Як визначити потужність множини натуральних чисел?

3. Як визначити потужність множини раціональних чисел? Потужність множини дійсних чисел?

4. Які відношення називаються функціональними?

5. Що таке ін’єктивні відношення?

6. Що таке сюр’єктивні відношення?

7. Що таке бієктивні функціональні відношення?

План практичного заняття: (задачі, завдання та вправи для розв’язання на занятті з методичними вказівками до їх виконання)

1. Cкласти матриці відношень, що задані на системі множин (М), М={a, b, c}:

1) R – «перетинатися з» (мати непорожній перетин);

2) R – «є строгим включенням )

2. Якими ознаками характеризується матриця відношення R, якщо R: рефлексивно, антирефлексивно, симметрично, антисиметрично, транзитивно.

3. Які властивості відповідності між множиною N натуральних чисел і множиною M2ⁿ степенів двійки?

4. На множині M {m,n,o,p} задане відношення )}.

, ( );

,

{(m m n n o o p p n o m n o n

R Чи є це відношення рефлексивним,

симетричним, транзитивним, асиметричним, антисиметричним?

(20)

1. Використовуючи означення рівнопотужності множин, показати, що множина М2ⁿ натуральних чисел, що є степенями двійки, злічувана.

(21)

Тема № _8_. _Основи теорії графів.______________________________________________________

Мета і завдання практичного заняття набути знань з основ теорії графів Питання для перевірки базових знань за темою практичного заняття:

1. Що таке граф, мультограф, псевдо граф?

2. Які існують різновиди графів?

3. Основні операції над графами та їх властивості.

1. Задати сітковий графік (стрілки – операції, вершини –події завершення-початку робіт) різними способами:

2. Якими особливостями відрізняється граф G, який однозначно відповідає бінарному відношенню R, якщо R:

а) симетрично; б) антисиметрично; в) рефлексивно; г) анти рефлексивно; д) транзитивно.

3. Яким операціям над графами відповідають основні операції над відношеннями?

4. Нехай на множині V={vi}, i=1, 2, 3, 4 задано відношення еквівалентності R так, що vjRvk, j, k=1, 2, 3, 4. Якому графу G відповідає відношення R? Задати G графічно.

3. http://www.college-chnu.cv.ua/images/Books/bondarenko.pdf

(22)

4. http://www.dut.edu.ua/uploads/l_373_44193539.pdf