[PENDING] (1)Конспект лекції № 12 ТЕМА № 12

Конспект лекції № 12

ТЕМА № 12. ОПТИМІЗАЦІЙНІ МОДЕЛІ ПРЕДМЕТНИХ ОБЛАСТЕЙ Міжпредметні зв’язки: Зв’язок із елементами знань і умінь таких навчальних дисциплін як „Дослідження операцій”, „Економіко-математичні методи та моделі” та

„Оптимізаційні методи та моделі”.

Мета лекції: Розглянути основні оптимізаційні моделі предметних областей.

Ключові поняття та терміни

• модель оптимізації виробничої програми підприємства

оптимізаційного аналізу

• методи побудови компромісних планів

• модель оптимізації процесу

фінансування з урахуванням часового фактору

• моделі оптимальної структури інвестиційного портфеля банку

• моделювання конкурсів інвестиційних проектів

• задачс синхронного інвестиційно- фінансового планування пріоритетів для інвестиційних і фінансових об’єктів

• балансовуа умова ліквідності коштів банку

• задачі оптимізації процесів управління ліквідністю банку

План лекції

12.1. Модель оптимізації виробничої програми підприємства.

12. 2. Методи побудови компромісних планів.

12.3. Модель оптимізації процесу фінансування з урахуванням часового фактора.

12.4. Модель оптимальної структури інвестиційного портфеля.

12.5. Моделювання конкурсів інвестиційних проектів.

12.6. Одноетапна динамічна модель синхронного інвестиційно-фінансового планування.

12.7 Модель оптимізації процесів управління ліквідністю банку.

Інформаційні джерела:

Основна та допоміжна література:

1. Вітлінський В. В. Моделювання економіки: Навч.-метод. посіб. для самост. вивч.

дисц./ В. В. Вітлінський, Г. І. Великоіваненко. – К.: КНЕУ, 2005. – 306 с.

2. Вовк В.М. Оптимізаційні моделі економіки : навч. посібник / В.М. Вовк, Л.М.

Зомчак. – Львів: ЛНУ імені Івана Франка, 2013. – 318 с.

3. Дацко М. В. Дослідження операцій в економіці: навч. посіб. / М. В. Дацко, М. М.

Карбовник. – Л. : ПАІС, 2009. – 288 с.

4. Економіко-математичне моделювання: Навчальний посібник / За ред. О. Т.

Іващука. – Тернопіль: ТНЕУ “Економічна думка”, 2008. – 704 с.

Навчальне обладнання: ТЗН, презентація тощо: ноутбук, проектор, мультимедійна презентація.

ВИКЛАД МАТЕРІАЛУ ЛЕКЦІЇ

12.1. Модель оптимізації виробничої програми

підприємства

Розглянемо постановку задачі оптимізації виробничої програми підприємства та побудуємо її економіко-математичну модель.

Для організації виробництва m видів продукції підприємство має n видів виробничих ресурсів, стосовно яких задано обсяги запасів та норми їх використання на одиницю випуску продукції.

Відомий ринковий попит на окремі види продукції, а також ефективність їх виробництва (ціна, прибуток від одиниці продукції, собівартість одиниці продукції і т.д.). Необхідно побудувати модель оптимізації виробничої програми підприємства для випуску різних видів продукції на основі наявних ресурсів. У якості критерію ефективності прийняти або прибуток, або валову продукцію, або собівартість.

Для побудови економіко-математичної моделі задачі введемо позначення: і – індекс виду ресурсу, 1i = ,n; j – індекс виду продукції,

m

j =1, ; k – індекс критерію оптимальності, ^k = ,1^K ; aij– норма використання і-го виду ресурсу на випуск одиниці продукції j-го виду; Аі – обсяг запасів і-го виду ресурсів; Вj – величина договірних поставок j-го виду продукції; Ckj – величина ефективності k-го критерію оптимальності при випуску одиниці продукції j-го виду; xj – невідома величина, яка означає обсяг випуску продукції j-го виду; M₁ – множина видів продукції, для яких встановлюється нижня та верхня межа ринкового попиту; M₂ – множина видів продукції, для яких існують фіксовані договірні поставки; αj , βj –відповідно, нижня та верхня межі ринкового попиту на продукцію j-го виду.

Враховуючи введені позначення, математична модель матиме вигляд.

Знайти розв’язок

{

^xj ≥0, ^j = ,1^m

}

, який забезпечить

( )

1 1

m

k kj j

k ,K j

Z C x max min

= =

=

∑

→ ^(12.1)

при виконанні умов:

1) з використання обсягів наявних ресурсів

m 1

ij ij i

a x ≤ A ,i = ,n

∑

^{; (12.2)}

2) з випуску продукції, врахувуючи ринковий попит

1

j xj j, j M .

α ≤ ≤ β ∈ . (12.3)

3) з виконання фіксованих умов відносно поставки продукції

2

j j

x = B , j∈M ; (12.4)

(B_{1 2 5}

Приклад 12.1 Для виготовлення п’яти видів продукції ,B ,...,B ) підприємство використовує токарне, фрезерне, свердлильне устаткування № 1, розточувальне та свердлильне устаткування № 2, а також комплектуючі деталі.

Крім цього, складання виробів вимагає виконання певного обсягу складально-налагоджувальних робіт. Норми затрат всіх видів ресурсів на виготовлення одиниці кожного виробу, запаси ресурсів, прибуток від реалізації одного виробу та ціна одиниці продукції наведені в табл. 12.1. Договірними умовами передбачено мінімальний випуск продукції четвертого виду в кількості 200 одиниць. Аналізуючи ринковий попит, встановлено обмеження з максимального випуску другого та п’ятого видів продукції, відповідно в кількості 3400 і 2800 одиниць.

Таблиця 12.1

Норми затрат ресурсів на виготовлення одного виробу

Ресурси

B1 B₂ B₃ B₄ B₅

Обсяг ресурсу

Свердлильне №1 2,1 2,5 4,3 25000

Фрезерне 6,2 4,1 5,0 30000

Токарне 0,6 0,7 0,9 5000

Розточне 0,8 0,9 1,1 1,3 0,4 10000 Устаткування, люд. год.

Свердлильне №2 2,1 1,8 2,3 1,5 1,2 16000

Комплектуючі деталі, шт. 4 3 4 6 4 40000

Складально-налагоджувальні

роботи, люд.-год. 4,5 2,2 2,6 5,3 4,6 45000 Прибуток від реалізації

одного виробу, грн. 1200 2300 3000 1600 1900 Ціна одного виробу, грн. 9000 6400 6000 4200 7200

Мінімальний випуск, шт. 200

Максимальний випуск, шт. 3400 2800

Розрахувати оптимальний випуск продукції, який забезпечить підприємству максимальний прибуток та провести повний економіко- математичний аналіз.

♦Розв’язування.

Для побудови числової моделі задачі введено невідомі величини х₁, х₂, …, х₅, які відповідно означають розміри випуску підприємством продукції першого, другого і т.д. п’ятого видів.

Необхідно знайти такий розв’язок

{

x_j ≥ 0, j =1,5

}

, який би забезпечив підприємству максимальний прибуток (Z1):

1 1200 1 2300 2 3000 3 1600 4 1900 5

Z = x + x + x + x + x →max

при виконанні умов:

наявного фонду робочого часу устаткувань 1) свердлильного № 1

1 3 5

2 1, x +3 5, x +4 3, x ≤ 25000; 2) фрезерного

2 3 4

6 2, x + 4 1, x + 5 0, x ≤ 30000 ; 3) токарного

1 3 5

0 6, x +0 7, x +0 9, x ≤5000; 4) розточного

1 2 3 4 5

0 8, x +0 9, x +11, x +1 3, x +0 4, x ≤10000; 5) свердлильного № 2

1 2 3 4 5

2 1, x +1 8, x +2 3, x +1 5, x +1 2, x ≤16000; 6) використання комплектуючих деталей

40000 4

6 4

3

4x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ ≤ ;

7) можливого виконання складально-налагоджувальних робіт

1 2 3 4 5

4 5, x +3 2, x +2 6, x +5 3, x +4 6, x ≤ 45000;

8) з виконання договірних умов відносно випуску продукції четвертого виду x₄ ≥ 200;

9) з максимального випуску продукції другого виду x₂ ≤3400;

10) п’ятого виду x₅ ≤ 2800.

12.2. Методи побудови компромісних планів

Багатокритеріальні задачі дуже часто трапляються при оптимізації складних динамічних систем, якою є економіка. Це пов’язано не тільки з формальними труднощами вибору та обґрунтуванням єдиного критерію, але і з багатоцільовим характером функціонування економічної системи, коли необхідно брати до уваги одночасно декілька показників ефективності (максимум прибутку, товарної та кінцевої продукції, рентабельності, мінімум собівартості і т. д.).

Відомо, що співпадіння екстремальних значень двох і більше критеріїв можливе лише при випадковому збігу обставин і в практичних розрахунках їх отримання малоймовірне. Тому виникає потреба у виборі такого варіанта, який був би однаково ефективним для множини найбільш приваблих критеріїв. Такі задачі називаються багатокритеріальними з векторним критерієм оптимальності.

При розв’язку задач окресленого класу необхідне виконання таких умов: обґрунтування множини критеріїв для конкретної задачі;

кількісна оцінка відносної переваги критеріїв або побудова деякої шкали переваг; визначення умов можливого компромісу (вибір сценаріїв компромісу) та обґрунтування методу знаходження компромісного варіанта.

Множина можливих критеріїв визначається характерними властивостями економічному процесу і обґрунтовується на основі логічного аналізу. Після визначення необхідного набору критеріїв і їх відносної переваги можна перейти до вибору компромісного варіанта.

Умову компромісу можна сформулювати по різному:

мінімізація відносних відхилень від оптимальних значень по всій множині критеріїв; фіксування одного з критеріїв на деякому рівні і подальша оптимізація за наступним критерієм і т. д.

Відповідно до умов формулювання компромісу розроблено методи знаходження розв’язків багатокритеріальних задач.

Сьогодні для одержання компромісних варіантів існує ряд методів, серед яких особливу увагу заслуговують методи В. Садовського, І. Никовського, І. Саскі, Х. Юттлера, методи послідовних поступок, відносного показника та ін.

Для знаходження компромісного плану з врахуванням двох рівнозначних критеріїв можна використати метод І. Никовського. Він дозволяє знайти такий компромісний варіант розв’язку, в якому відхилення кожного критерію від оптимального значення є рівновелике та мінімальне.

Алгоритм методу складається з певних кроків. На першому кроці знаходимо розв’язок задачі за кожним критерієм окремо, тобто

1 1

1 m

j j j

Z C x max

=

=

∑

→ ^{і 2 2}

1 m

j j j

Z C x max

=

=

∑

→ при існуючій системі обмежень, наприклад, виду (12.2) – (12.4). У результаті отримуємо:

1 1

max Z = Z^∗ і ^{max Z}₂ ^{= Z}₂^∗.

На другому кроці в систему обмежень моделі вводиться додаткова умова, яка вимірює відхилення кожного критерію від оптимального значення:

1 1 2 2

1 2

Z Z Z Z

Z Z

∗ ∗

∗ ∗

− = − . (12.5)

У нашому випадку задача розв’язується на максимум, тому додаткову умову можна записати таким чином:

1 1 2 2

1 1 2 2

Z Z Z Z

Z Z Z Z

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

− = − − або ^{1 2}

1 2

1 Z 1 Z

Z^∗ Z^∗

− = − . (12.6)

Звідси, маємо: ^{1 2}

1 2

Z Z

Z^∗ = Z^∗ .

Отже, основна система обмежень доповниться умовою:

2 1 1 2 0

Z Z^∗ −Z Z^∗ = . (12.7)

Далі задача розв’язується за одним із критеріїв Z₁ або Z₂.

Для знаходження компромісних розв’язків за двома або більше

метод послідовних поступок, зміст алгоритму якого полягає в окремих діях. Нехай в якості критерію оптимальності вибрано K окремих економічних показників

( )

1 m 1

k ij j

j

Z x C x , k ,K

=

=

∑

= ^{. Для}

показників ефективності встановлено ієрархію. Далі задача розв’язується з допомогою декількох послідовних етапів.

На першому етапі знаходиться розв’язок за найбільш важливим критерієм, наприклад Z1⁽x⁾. У результаті розв’язку отримаємо оптимальне значення ^Z₁^{∗ = max Z x}₁

( )

. На другому етапі основну систему обмежень задачі доповнюємо додатковою умовою, яка забезпечує досягнення знайденого оптимального значення з деяким відхиленням ^ΔZ₁, тобто ^{Z x}₁

( )

^{≥ Z}₁^{∗ − ΔZ}₁.

Після цього задача розв’язується з врахуванням другого критерію оптимальності Z₂(x). Якщо в наявності є третій критерій оптимальності, то з Z₂(x) проводиться адекватна процедура Z₁(x). Таким чином, в систему обмежень буде введено другу додаткову умову: Z x2

( )

≥ Z2^∗ − ΔZ2.

Далі знаходимо оптимальне значення відносно третього критерію Z₃(x) і якщо більше не існує критеріїв, то знайдений оптимальний розв’язок буде компромісний. У випадку існування інших критеріїв оптимальності процедура повторюється до повного перебору їх з множини існуючих. Якщо k-й критерій оптимальності оцінюється на мінімум, то додаткове обмеження матиме вигляд:

( )

k k k

Z x ≤ Z^∗ + ΔZ .

Складність такого методу полягає в знаходженні величини відхилень ΔZk. Для її знаходження доцільно використати двоїсті оцінки.

Більш об’єктивно можна оцінити компромісний варіант розв’язку з допомогою методу відносного показника. На першому етапі розв’язується К однокритеріальних задач

( )

1 1

m

k kj j

j k ,K

Z x C x min

= =

=

∑

→ (12.8) при виконанні однієї і тієї ж системи обмежень, наприклад, виду (12.2)-(12.4).

На другому етапі формується нова задача, в якій до основної системи обмежень додатково включається обмеження виду:

1 m

k ij j

j k

Z C x

Z Z

∗

=

∗

−

∑

≤

або

( )

1

k k

k

Z Z x

Z , k ,K Z

∗

∗

− ≤ = . (12.9)

Система нерівностей (12.9) еквівалентна такій системі:

Після відповідних перетворень отримаємо:

( ) ( )

1

k k k

k k k

Z x Z Z Z , Z x Z Z Z , k ,K .

∗ ∗

∗ ∗

⎧ + ≥

⎪⎨

− ≤

⎪⎩

=

(12.10) Основна система обмежень буде включати в себе 2К додаткових умов

виду (12.10). Для отримання компромісного розв’язку далі необхідно знайти розв’язок доповненої задачі, прийнявши за критерій

оптимальності minZ .

Отже, розв’язок задачі лінійного програмування за наведеною методикою дає можливість одержати мінімальну верхню границю для відносних відхилень від усіх максимальних значень цільових функцій, одержаних в результаті розв’язку К однокритеріальних задач. Це дозволяє знайти компромісний розв’язок поставленої задачі.

Приклад 12.2. Використовуючи умову прикладу 12.1, необхідно розрахувати компромісний варіант виробничої програми підприємства з врахуванням двох критеріїв: прибутку та валової продукції.

♦Розв’язування.

Розв’яжемо окремо задачу (побудовану в прикладі 12.1) за кожним із запропонованих критеріїв (прибуток і товарна продукція).

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

1200 2300 3000 1600 1900

9000 6400 6000 4200 7200

x x

Z x x x x x x max ,

Z x x x x x x max .

= + + + +

= + + + +

На першому етапі в результаті їх розв’язку одержимо:

1 21634060

Z^∗ = грн.; Z₂^∗ = 71213340 грн.

( ) ( )

k k

k

k k

k

Z Z x

Z Z ,

Z Z x

Z Z .

∗

∗

∗

∗

⎧ −

⎪ ≤

⎪⎨

⎪ − ≥ −

⎪⎩

Нова задача буде складатися з основних десяти обмежень прикладу 12.1 і чотирьох додаткових обмежень.

Розглянемо, насамперед, обмеження стосовно прибутку:

1 1

( )

1

Z Z x Z Z

∗

∗

− ≤ .

Враховуючи значення ^Z₁^{∗ =} 21634060 і систему нерівностей (12.10), одержимо два додаткових обмеження:

. 21634060 21634060

, 21634060 21634060

1 1

≤

−

≥ +

Z Z

Z Z

Аналогічно отримаємо додаткові обмеження відносно валової продукції

(

^{Z2∗ =71213340}

)

^:

2 2

71213340 71213340 71213340 71213340

Z Z ,

Z Z .

+ ≥

− ≤

Отже, ми одержимо таку задачу:

: MIN Z ST

2) 2.1x1+3.5x3+4.3x5≤25000, 3) 6.2x2+4.1x3+5.0x4≤30000, 4) 0.6x1+0.7x2+0.9x5≤50000,

5) 0.8x1+0.9x2+1.1x3+1.3x4+0.4x5≤10000, 6) 2.1x1+1.8x2+2.3x3+1.5x4+1.2x5≤16000, 7) 4x1+3x2+2x3+6x4+4x5≤40000,

8) 4.5x1+3.2x2+2.61x3+5.3x4+4.3x5≤45000, 9) x4≥200,

10) x2≤3400, 11) x5≤2800,

12) 1200x1+2300x2+3000x3+1600x4+1900x5–Z1=0, 13) 9000x1+6400x2+6000x3–4200x4+7200x5–Z2=0, 14) 21634.06Z+0.01Z1≥21634.06,

15) -21634.06Z+0.01Z1≤21634.06, 16) 71213.34Z+0.01Z2≥71213.34, 17) -71213.34Z+0.01Z2≤71213.34,

12.3. Модель оптимізації процесу фінансування з урахуванням часового фактора

На відміну від евристичного розподілу фінансових ресурсів, коли для кожного об’єкта та кожного періоду часу задається строго визначена величина, при оптимальному фінансуванні для кожного об’єкта і кожного періоду задаються не конкретні значення, а нижня та верхня граничні умови, тобто інтервали, в яких повинні знаходитися шукані невідомі величини. У цих інтервалах здійснюється фінансування з метою максимізації його ефективного використання, яке визначається з допомогою цільової функції.

Припустимо, що виробнича система складається з n об’єктів, функціонування яких проходить в T часових періодах. Введемо позначення: i – індекс об’єкта фінансування, i = ,1n; t – індекс періоду фінансування, t = ,1T ; a_i – величина фінансових ресурсів виділених i-му об’єкту; b_t – величина фінансових ресурсів потрібних в t-му періоді; А – загальний обсяг виділених фінансових ресурсів;

Cit – величина кількісної оцінки ефективності розподілу фінансових ресурсів i-му об’єкту в періоді t; x_it – невідома величина, яка визначає оптимальний обсяг фінансування i-го об’єкта в періоді t; α_it,β_{it –} відповідно, нижня та верхня границі фінансування i-го об’єкта в періоді t.

Розглянемо можливі варіанти кількісної оцінки величини ефективності розподілу ресурсів.

З допомогою величини C_it можна встановити пріоритет фінансування і–го об’єкта в періоді t. У такому випадку чим важливіше фінансування, тим більше значення Cit. Наприклад, його можна оцінювати в бальній системі в інтервалі від 0 до 10. У цьому випадку знаходиться максимум цільової функції.

Якщо Cit є мірою кількісної оцінки результату фінансування, то цільова функція теж максимізується. Наприклад, Cit позначає величину отриманого прибутку i–м об’єктом від одиниці вкладених коштів у періоді t.

Якщо Cit характеризує витрати, то цільова функція мінімізується.

Враховуючи введені позначення, математична модель оптимального фінансування може бути сформульована таким чином.

Знайти розв’язок

{

^xit ≥0,ⁱ = ,1ⁿ;^t = ,1^T

}

, який забезпечить

( )

1 1

n T

it it

i t

Z C x max min

= =

=

∑∑

→ ^{, (12.11)}

при виконанні наступних умов:

1) за розміром виділених лімітів відповідним об’єктам

∑

=

=

T ≤

t xit ai i n

1 , 1, ; (12.12)

2) за розміром потреби фінансових ресурсів у відповідних періодах

∑

=

=

n ≤

i xit bt t T

1 , 1, ; (12.13) 3) за загальним обсягом фінансування виробничої системи

A

n x

i T

t it ≤

∑∑

= =1 1 ; (12.14)

4) за граничними обсягами розподілу фінансових ресурсів

it xij it,i M ,t M , ji t 1,m

α ≤ ≤ β ∈ ∈ = , (12.15)

де M_i– множина тих об’єктів, а M_t – множина тих періодів, для яких встановлюються відповідні граничні рівні.

У описуваній моделі повинна виконуватися додаткова умова, яка полягає в тому, що потреби у фінансових ресурсах не повинні перевищувати загального обсягу виділених бюджетних коштів:

∑

= T t

b_t ≤ A

1 . (12.16)

Проте у практичній діяльності трапляються випадки, коли потреби перевищують наявні фінансові кошти, тобто нерівність (12.16) не виконується, а отже, має місце дефіцит фінансових ресурсів. Нехай для нашої виробничої системи дефіцит фінансових

ресурсів складає _b

t −

∑ ∑

= ^{T n} a_i

d . (12.17)

i=1 t=1

Тоді виникає необхідність у залученні додаткових фінансових ресурсів шляхом створення інвестиційних фондів або взяття кредитів.

Припустимо, що для забезпечення фінансування в повному обсязі планується взяти m кредитів у відповідних банках обсягом не більше

Qj під Рj % ( ^j– індекс банку, ^j = ,1^m).

Введемо додаткову невідому величину ^yij , яка означатиме обсяг взятих кредитів в j-му банку для i-го об’єкта. Приймемо критерієм оптимальності величину отриманого чистого прибутку виробничою системою. Тоді економіко-математична модель матиме вигляд.

Знайти оптимальний розв’язок

{

^x_ij ≥ 0,^y_it ≥ 0;ⁱ =1,ⁿ; ^j =1,^m;^t = ,1^T

}

задачі повного забезпечення фінансовими ресурсами та їх розподілу, який забезпечить максимум чистого прибутку:

( )

1 1 1 1

100 100

n T n m

j

it it ij

i t i j

Z C x P y max

= = = =

=

∑∑

−

∑∑

+ ^, (12.18)

при виконанні умов:

1) за повним забезпеченням елементів виробничої системи фінансовими ресурсами

∑ ∑

= =

= +

T =

t

m

j ij

i

it a y i n

x

1 1 , ,1 ; (12.19) 2) за розміром потреби фінансових ресурсів у відповідних

періодах

1

, 1,

n

it t

i

x b t T

=

= =

∑

; (12.20) 3) за граничними розмірами можливих обсягів виділених

банками кредитів

∑

=

=

n ≤

i yij Qj j m

1 , 1, ; (12.21)

(12.22) 4) за граничними обсягами розподілу фінансових ресурсів

α ≤it x_ij ≤ β_it,i∈M_i,t∈M_t, j =1,m; 5) за розміром покриття дефіциту фінансових ресурсів

∑∑

= =j n i

m y_ij = d

1 1 . (12.23)

Приклад 12.3. Виробниче об’єднання (ВО) складається із п’яти суміжних підприємств. Протягом півріччя для організації виробничих процесів місячна потреба об’єднання у фінансових ресурсах становить відповідно 20, 30, 50, 60, 70 і 80 млн. грн. Величина виділених лімітів для відповідних підприємств становить 30, 60, 40, 50 і 70 млн. грн. Наявний дефіцит фінансових ресурсів можна покрити за рахунок взяття кредитів у трьох банках під відповідні відсотки: 40 %, 50 % і 60 %. Розміри фактичних кредитів не повинні перевищувати 20, 30 та 40 млн. грн.

Величини отриманого прибутку i-им підприємством від одиниці вкладених коштів в періоді t у

виробничий процес записуються з допомогою матриці [Cit] (i =1 5, , t =1 6, ):

[ ]

0 21 0 32 0 41 0 36 0 26 0 45 0 34 0 64 0 48 0 38 0 21 0 62 0 20 0 48 0 72 0 92 0 41 0 38 0 38 0 15 0 12 0 68 0 94 0 41 0 45 0 18 0 32 0 26 0 41 0 39

it

, , , , , ,

, , , , , ,

C , , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

.

Нижні та верхні обсяги можливого фінансування підприємств протягом півріччя задаються з допомогою матриць [αit] та [βit], відповідно:

[ ]

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 0 0 10 0

0 0 0 5 0 0

0 0 0 0 0 5

0 0 0 0 0 10

0 0 0 0 0 5

αit _,

[ ]

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 0 0 0 20

0 25 0

0 0 0

0 0 15 0 0 0

0 0 0 0 20 0

10 0 0 0 0 0

βit _.

Визначити оптимальний варіант фінансування підприємств об’єднання, який забезпечить максимум прибутку ВО.

♦Розв’язування.

Для побудови числової математичної моделі позначимо через

(

i = ,15,t = ,16

)

x_it – обсяг фінансування i-го підприємства в періоді t. Оскільки величина дефіциту фінансових ресурсів

6 5

1 1

310 250 60

t i

t i

d b a

= =

=

∑ ∑

− ^{= − = млн. грн.,}

нам необхідно взяти кредити ^{y iij}

(

^{=1 5, ; j =1 3,}

)

у трьох банках.

Математична модель задачі матиме вигляд:

знайти

11 12 13 14 15 16

51 52 53 54 55 56 11

12 13 51 52 53

0 21 0 32 0 41 0 36 0 26 0 45

0 45 0 18 0 32 0 26 0 41 0 39 1 4

1 5 1 6 1 4 1 5 1 6

Z , x , x , x , x , x , x

, x , x , x , x , x , x , y

, y , y , y , y , y max

= + + + + + + +

+ + + + + + − −

− − − − − − →

…

… при виконанні умов:

1) за розмірами виділених лімітів відповідним об’єктам:

- першому

13 12

11 16

15 14

13 12

11 x x x x x 30 y y y

x + + + + + ≤ + + + , або

13 30

12 11

16 15

14 13

12

11 + x + x + x + x + x − y − y − y ≤

x ;

- другому

23 22

21 26

25 24

23 22

21 x x x x x 60 y y y

x + + + + + ≤ + + + , або

23 60

22 21

26 25

24 23

22

21 + x +x + x +x + x − y − y − y ≤

x ;

- третьому

33 32

31 36

35 34

33 32

31 x x x x x 40 y y y

x + + + + + ≤ + + + , або

33 40

32 31

36 35

34 33

32

31 + x +x + x +x +x − y − y − y ≤

x ;

- четвертому

43 42

41 46

45 44

43 42

41 x x x x x 50 y y y

x + + + + + ≤ + + + , або

43 50

42 41

46 45

44 43

42

41 + x +x + x +x + x − y − y − y ≤

x ;

- п’ятому

53 52

51 56

55 54

53 52

51 x x x x x 70 y y y

x + + + + + ≤ + + + , або

53 70

52 51

56 55

54 53

52

51 + x + x + x +x +x − y − y − y ≤

x ;

2) за розміром потреби фінансових ресурсів у відповідних періодах:

- першому x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ + x₄₁ + x₅₁ =20; - другому x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ + x₄₂ + x₅₂ = 30; - третьому x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ + x₅₃ =50; - четвертому x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ + x₄₄ + x₅₄ = 60; - п’ятому x₁₅ + x₂₅ + x₃₅ + x₄₅ + x₅₅ =70; - шостому x₁₆ + x₂₆ + x₃₆ + x₄₆ + x₅₆ =80;

3) за граничними розмірами можливих обсягів виділених банками кредитів:

- першим y₁₁ + y₂₁ + y₃₁ + y₄₁ + y₅₁ ≤ 20; - другим y + y + y + y + y ≤ 30;

4) за граничними обсягами розподілу фінансових ресурсів між об’єктами:

- першому

min x₁₁ ≥ 5, max x₁₆ ≤10; - другому

min x₂₁ ≥10, max x₂₂ ≤ 20; - третьому

min x₃₁ ≥5, max x₃₄ ≤15; - четвертому

min x₄₃ ≥5, max x₄₅ ≤ 25 ; - п’ятому

min x₅₂ ≥10, max x₅₁ ≤ 20. Розв’язок задачі представимо у вигляді табл. 12.7.

Таблиця 12.7

Об’єкт Поступлення власних коштів у відповідні періоди, млн. грн.

Обсяг власних коштів, млн.

грн.

Кредити відповідних банків,

млн. грн.

1 2 3 4 5 6

1 5 15 10 30

2 10 20 55 60 15 10

3 5 30 15 40 10

4 5 45 25 50 10

5 10 45 15 70

Потреби

коштів 20 30 50 60 70 80 20 15 10

Отже, отримано оптимальну динамічну схему фінансових потоків для структурних підрозділів виробничого об’єднання.

Дефіцит фінансових ресурсів буде покритий за рахунок взяття відповідних кредитів на суму 45 млн. грн. Завдяки одержаному оптимальному сценарію руху фінансових ресурсів об’єднання отримає чистий прибуток розміром 90,2 млн. грн.

Задачу можна розв’язати на основі багатокритеріального підходу. Проміжними критеріями оптимальності можна взяти максимум прибутку для окремих структурних підрозділів об’єднання, використавши запропоновані вище методи побудови компромісних планів.

12.4. Модель оптимальної структури інвестиційного портфеля

Інвестиційна стратегія банку визначає тактику вкладання коштів: скільки і в які цінні папери доцільно ці кошти інвестувати.

Така розробка інвестиційної стратегії, перш за все, спрямована на максимізацію доходу від вкладених коштів при мінімізації ціни ресурсів, які використовуються для інвестування і вибір такого варіанта інвестування, що забезпечить найвищу з можливих дохідність.

До проблеми портфельного інвестування та моделювання оптимального інвестиційного портфеля, в тому чи іншому вигляді, зверталося багато вчених-економістів Заходу, а саме: Г. Марковітц, Д. Тобін, У. Шарп, Дж. Сінкі. Вітчизняні науковці теж працювали над вирішенням цієї задачі (І. Бланк, В. Вітлінський, А. Мертенс, А. Пересада та ін.).

Однак при роботі банків на фондовому ринку України класичні методи теорії портфельного інвестування практично не використовуються. У моделях, властивих умовам нашої країни, слід передбачати можливість обліку специфіки вітчизняного ринку цінних паперів, ситуацію на світових фондових ринках, особливості ведення бізнесу українськими банками.

Опираючись на класичний підхід до моделювання інвестиційного портфеля та врахувавши вищезгадані особливості, змоделюємо оптимальну структуру інвестиційного портфеля банку, яка базується на таких висхідних припущеннях:

• інвестування розглядається з позицій банку як портфельного інвестора, що намагається сформувати оптимальний портфель активів, а не тільки інвестувати в єдиний визначений тип фінансового інструменту, наприклад в акції;

• визначеність інвестиційного горизонту (два роки).

У запропонованій моделі також припускається, що, маючи на початок періоду певний капітал Qt, банк з усіх можливих активів формує портфель на термін інвестиційного горизонту Т. Отже, для організації інвестиційної діяльності банк планує включити в

портфель такі фінансові інструменти: акції m видів, облігації внутрішньої державної позики n видів з різними термінами обігу, кредити L видів строковості. Інвестиційну діяльність банк організовує на основі використання власних фінансових ресурсів і можливості отримати міжбанківський кредит при заданих відсоткових ставках. Запозичення міжбанківських ресурсів буде регулюватися Національним банком України через встановлення нормативу Н13 – максимального розміру отриманих міжбанківських позик, загальний обсяг яких не перевищує трикратного розміру власних ресурсів банку. Що стосується виходу банку на ринок облігацій внутрішньої державної позики, то, незважаючи на стабільність курсу облігацій і високу гарантію Уряду при їх погашенні, банки на початку нового століття не були достатньо активними на цьому ринку. Про це свідчать результати аукціонів 2001-2002 р. р. Враховуючи це, включення в інвестиційний портфель банку облігацій внутрішньої державної позики обмежимо 20-30 % від загальної суми коштів, які передбачені на формування інвестиційного портфеля банку.

Для побудови формалізованої моделі нашої задачі вводимо позначення: t – індекс планового періоду (місяць), t = ,1T,T ≥ 24; j – індекс виду акцій, j = ,1m; i – індекс виду облігацій державної позики, i = ,1n; l – індекс виду наданих банком кредитів, l = ,1L; k – індекс виду банку, що надає міжбанківський кредит, k = ,1K ; х_jt – обсяг коштів, вкладених банком в j-й вид акцій у періоді t; yit – обсяг коштів, вкладених банком в i-й вид облігацій державної позики в періоді t; z_lt – обсяг коштів, виділених банком для l-го виду кредиту в періоді t; vkt – обсяг взятого міжбанківського кредиту в k-му банку в періоді t; Qt – обсяг власних коштів, спрямованих на інвестиційну діяльність банку в періоді t; α_, β – відповідно, верхня та нижня межа, відсоткове співвідношення вартості облігацій державної позики в загальній структурі інвестиційного портфеля; qjt – величина корисності, яку отримує банк від виділених одиниць коштів для j-го виду акцій в період t:

якщовід говидуакцій банкотримує кошти розміром у періоді на одиницювкладень;

0 якщовід го видуакцій банкотримуєкошти в періоді

jt jt

jt

q , j q

q t

, j t,

∗ ∗

⎧ −

= ⎨⎪

⎪ −

⎩

dit – величина корисності, яку отримує банк від виділення одиниці коштів для і–го виду облігацій державної позики в періоді t; blt – величина корисності, яку отримує банк при розміщенні одиниці ресурсів для l–го виду кредиту в періоді t:

якщовід го видукредитубанкотримує кошти розміром у періоді на одиницюрозміщення;

0 якщовід го видувиданогокредитукошти в періоді непоступають.

lt lt

lj

b , l b

b t

, l t

∗ ∗

⎧ −

= ⎨⎪

⎪ −

⎩

Pkt – відсоткова ставка для k-го виду міжбанківського кредиту, отриманого в періоді t; P_kt^∗ – умовний коефіцієнт відносно k-го виду міжбанківського кредиту, отриманого в періоді t.

Метою інвестиційної діяльності банку є отримання на кінець планового періоду максимального чистого доходу від оптимальної структури портфеля.

Враховуючи введені позначення, економіко-математична модель набуває такого вигляду.

Знайти такий розв’язок

{

^{Xjt ≥0,Yit ≥0,Zlt ≥0,Vkt ≥0, j =1,m;i =1,n;l =1,L;k =1,K;t =1,T ,}

}

який забезпечить

1 ^j 1 ⁱ 1 ^l 1 13

m n L K T

*

jt j it i lt l kt kt

j i l k t

F q x _τ d y_τ b z_τ P v max

= = = = =

=

∑

+

∑

+

∑

−

∑∑

→ , (12.24)

25 ,

,

, _{2 3}

1 ∈ ∈ = =

∈M _i M _l M t T

j τ τ

τ _,

де τi – індекс періоду, в якому були вкладені кошти в облігації державної позики і-го виду; τj – індекс періоду, в якому були вкладені кошти акції j-го виду; τ_l – індекс періоду, в якому були направлені кошти в l-й вид кредиту; М₁ – множина попередніх періодів τ_{j, в яких} були вкладені кошти в j-й вид акцій, а часткове чи повне їх повернення настає в періоді t; М₂ – множина попередніх періодів τi, в яких були виділені кошти на придбання і-го виду облігацій державної позики, а повернення відбудеться в періоді t; М₃ – множина попередніх періодів τ_l, в яких були направлені кошти в l-й вид кредиту, а повернення відбуває�