uk_UAДекомпозиція задачі параметричної оптимізації в умовах невизначеності інформації

© Н.І. Полтораченко 45

УДК 519.6

Н.І. Полтораченко

Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ

ДЕКОМПОЗИЦІЯ ЗАДАЧІ ПАРАМЕТРИЧНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ІНФОРМАЦІЇ

Розглянуто задачу параметричної оптимізації інженерної мережі при сепарабельній цільовій функції з дискретними та інтервальними змінними, які виражають невизначеність вихідних даних.

Запропоновано декомпозицію математичної моделі задачі.

Ключові слова: інженерна мережа, параметрична оптимізація, математична модель, декомпозиція, інтервальні змінні

Постановка проблеми

Задача параметричної оптимізації інженерної мережі (ІМ) є складовою частиною загального процесу проектування нових та реконструкції старих ІМ, що є нагальною проблемою комунального господарства [1;2]. Розв’язання цієї задачі в умовах невизначеності вихідних даних більш точно відображає реальний процес проектування.

Аналіз останніх досліджень і публікацій

Проектування нових та реконструкція старих ІМ є багатокритеріальною і багатовимірною задачею, яка вимагає нових підходів до її розв’язання [3]. У роботі [3] також зроблено наголос на необхідності одночасного урахування як детерміністських вихідних даних, так і тих, що можуть змінюватися з плином часу. Застосування функціонально-динамічних схем для моделювання інженерної мережі розглянуто у статті [4].

Невизначеність інформації в задачах оптимізації частіше виражається через нечіткі числа [5].

Формулювання мети статті

Метою статті є розробка методу розв’язання задачі параметричної оптимізації в умовах невизначеності вихідної інформації, яка виражається через інтервальні числа і функції.

Розглянуто варіант сепарабельного характеру цільової функції.

Виклад основного матеріалу

Задача параметричної оптимізації ІМ має вигляд:

v

i i i i

i 1

y (h , q , D ) min





 при обмеженнях

 

min max

min max

min max

i

i i i

i i i

i i i

i i1 iW

B h 0, A q 0,

q q q ,i 1, 2,..., v,

h h h ,i 1, 2,..., v,

D D D ,i 1, 2,..., v,

D D ,..., D ,i 1, 2,..., v,

 

 

  

  

  

 





де h (h ,..., h ) _{1 v} - вектор паралельних змінних мережі, q (q ,...,q ) _{1 v} - вектор послідовних змінних мережі, v – кількість дуг графа, що описує ІМ; A – матриця інцедентності дуг та вершин графа, В – цикломатична матриця, що встановлює відповідність дуг фундаментальним циклам графа;



i



i i1 iW

D  D ,..., D – діаметр i-ї комунікації; Wi – кількість допустимих значень дискретної змінної Di

;

i i i i

y (h ,q , D ) - капітальні та експлуатаційні витрати, що приходяться на i-у комунікацію; функції yi є опуклими.

Оптимізація параметрів ІМ відбувається при відомих послідовних змінних та довжинах комунікацій, що приводить до еквівалентності визначення діаметрів Di та паралельних змінних hi

(i=1,2,…,v), тобто h_i f (D )_{i i} . Невизначеність вихідних даних будемо виражати через інтервальний характер функційf_i(i=1,2,…,v). Тоді задача оптимізації буде містити як дискретні змінні Di, так і інтервальні hi (i=1,2,…,v). Перейдемо від дискретних змінних до інтервальних. Якщо fi(i=1,2,…,v) – інтервальна функція, то кожному

iw i

D (w 1, 2,..., W ) відповідає інтервал

iw iw iw

h  h , h . Так як D_i D , D_{i1 iWi}, то h_i h , h^*_i ^**_i ,



^min



де



^max



* **

i w iw i i w iw i

h max min h , h , h min max h , h .

46 Таким чином отримали задачу оптимізації з

інтервальними змінними hi (i=1,2,…,v) та новою областю визначення для кожної hi=h , h_{i i}

.

Враховуючи інтервальний характер змінних та визначення суми для інтервальних чисел, перше обмеження задачі параметричної оптимізації буде мати вигляд

p p

i i i i

i M i M

h , h h , h

 

 

   

   

 

p p p p

i i i i

i M i M i M i M

h , h , h , h , 0,

p 1, 2,..., P,

   

   

   

   

   

   



   

де Р – кількість фундаментальних циклів, M_p^ – множина індексів змінних hi, які входять до обмеження р зі знаком «+»; M_p^ – множина індексів змінних hi, які входять до обмеження р зі знаком «-».

Якщо умови проектування дозволяють скористатися спеціальним визначенням різниці інтервальних чисел (A, A B, B  min(A B, A B), max(A B, A B)    ) та ввести похибку _p для кожного р-го обмеження (р=1,2,…,Р), то обмеження, що розглядаємо, перетворюються у нерівності

p p

p p

p i i p

i M i M

p i i p

i M i M

h h ,

h h .

 

 

 

 

    

    

 

 

Для того, щоб знайти інтервал hi (i=1,2,…,v), достатньо з’ясувати значення його крайніх точок h_i та h_i. Виразивши експлуатаційні та капітальні витрати для i-ї комунікації через крайні значення інтервалу hi,, отримаємо наступний вигляд задачі, що розглядається:

¹ 2

v

i i i i

i 1

(y (h ) y (h )) min,



 



(1)

p p

p i i p

i M i M

h h ,

 

 

 







  (2) р=1,2,…,Р,

p p

p i i p

i M i M

h h ,

 

 

 







  (3) ^v _{i i}

i 1

(h h ) Q,



 



(4) h^*_i h_i h_i h ,i 1, 2,..., v,^**_i  (5) де Q – стала величина, що є результатом експертних оцінок, і впливає на ширину інтервалів hi

(i=1,2,…,v), а чим ширший інтервал, тим більше варіантів для вибору діаметрів комунікацій.

Коефіцієнт ½ у цільовій функції надалі не будемо враховувати.

Отримали задачу сепарабельного програмування з лінійними обмеженнями та неперервними зміннимиh_i і h_i. Так як задача параметричної оптимізації ІМ має велику розмірність, то пропонується розв’язувати її шляхом декомпозиції. Але спочатку доведемо наступне твердження. Розглянемо задачу

^v _{i i}

i 1

y (x ) min,





 (6)

p p

p i i p

i M i M

x x ,

 

 

 







  р=1,2,…,Р, (7) h^*_i x_i h ,^**_i i=1,2,…,v (8) Твердження. Якщо h^'_i  h , h^'_{i i}^'' (i=1,2,…,v) – розв’язок задачі (1)-(5), а x^'_i (i=1,2,…,v) - розв’язок задачі (6)-(8)

,

то x^'_{i }^h , h_i^{' ''}_i^_ (i=1,2,…,v).

Доведення. Нехай для кожного hi (i=1,2,…,v) визначена область, в якій виконуються обмеження (2) і (3), а саме інтервали



 i, i



(i=1,2,…,v). Так як yi (i=1,2,…,v) – опуклі функції, то на



 i, i



y_i або зростають, або спадають, або містять інтервали і зростання, і спадання. Тоді x^'_i=_i, якщо y_iзростає,

'

xi=_i, якщо y_i спадає, x^'_i відповідає

 

i i i i i

hmin (y (h )),

   ,

якщо y_iмістять інтервали і зростання, і спадання.

Нехай на



 i, i



знайдений розв’язок

' ' '

i i i

h  h , h  (i=1,2,…,v) цільової функції (1), що задовольняє обмеженням (4) і (5). Розглянемо для кожного випадку ситуацію x^'_i h , h_i^{' ''}_i:

1) функція y_i зростає (x =^'_i _i). Тоді x , h^'_i ^'_i покращує обмеження (5) і зменшує значення цільової функції (1). Як наслідок, h , h_i^{' '}_i не може бути розв’язком задачі (1)-(5) і не містити x_i^';

2) функція y_i спадає (x^'_i=_i). Тоді h , x_i^{' '}_i покращує обмеження (5) і зменшує значення цільової функції (1). Як наслідок, h , h_i^{' '}_i не може бути розв’язком задачі (1)-(5) і не містити x ; ^'_i

3) функція y_i містить інтервали зростання і спадання. Якщо x^'_i h , h^'_i ^''_i, то h^'_i x , h^'_{i i}^'x^'_i або

' ' ' '

i i i i

h x , h x . Тоді до кожного варіанта може бути застосований перший або другий випадки. Як наслідок, і у третьому випадкуh , h^'_{i i}^' не може бути розв’язком задачі (1)-(5) і не містити x_i^'.

47 4) методом від супротивного доведено, що

розв’язок задачі (6)-(8) належить розв’язку задачі (1)-(5).

5) наслідок. Якщо функція y (h )_{i i} зростає, то hi=_i, якщо функція y (h )_{i i} спадає, то h_i=_i.

6) за необхідності значення _i і _i(i=1,2,…,v) можуть бути знайдені з таких задач:

7) ^v _i

i 1

min,





  8)

p p

p i i p

i M i M

,

 

 

 



 



   р=1,2,…,Р,

v i i 1

max,





 

p p

p i i p

i M i M

,

 

 

 



 



   р=1,2,…,Р.

Переходимо до розв’язання вихідної задачі.

Знаючи розв’язки останніх двох задач, задачу (1)-(5) можна представити наступним чином

^v _{i i i i}

i 1

(y (h ) y (h )) min,



 



h_i=_i, i W , ^* h_i=_i, i W , ^**

 _i h_i x_i^', i=1,2,…,v, i W , ^* x^'_i h_i  _i, i=1,2,…,v, i W , ^**

^v _{i i}

i 1

(h h ) Q,



 



де W^* - множина індексів, що відповідають зростаючим функціям y_i, W^** - множина індексів, що відповідають спадним функціям y_i .

До побудованої моделі може бути застосована декомпозиція Корнаі-Ліптака [5], яка розбиває вихідну задачу на дві локальні параметричні задачі та координуючу.

Локальні задачі мають вигляд:

v

1 i i

i 1

y (h ) min,



 





hi=_i, i W , ^*

'

i hi xi

   , i=1,2,…,v, i W , ^*

v '

i i 1

h p ,







v

2 i i

i 1

y (h ) min,



 



_  hi=_i, i W , ^**

'

i i i

x h   i=1,2,…,v, i W , ^**

v ''

i i 1

h p .





 Координуюча задача:

* ' * ''

1 2

'' '

v v

' ''

i i

i 1 i 1

v v

' '

i i

i 1 i 1

(p ) (p ) min,

p p Q,

x p ,

p x ,

 

 

   

 

  

  

 

 

де ^*₁(p ),^' ^*₂(p )^'' - відповідні розв’язки локальних задач відносно p^’ та p^’’ .

Існують різні методи розв’язання задачі сепарабельного програмування на базі декомпозиції Корнаі-Ліптака, але загальним для цих методів є те, що той чи інший параметр (штрафні константи, множник Лагранжа) змінюються до того моменту, поки не буде отриманий оптимальний розв’язок або близький до оптимального із заданою точністю.

Враховуючи, що для параметрів p^’ та p^’’ можна вказати конкретні кроки дискретизації, то є сенс вар’ювати саме їх значення. Для цього виділимо

himта h_il такі, що

' '

im i i i il i i i

h   , x , m 1, 2,..., M , h  x ,,l 1, 2,..., L , де Мi та Li – кількості змінних h_imта h_il, які залежать від кількості допустимих значень діаметрів комунікації i. Тоді локальні задачі приймуть вигляд

Mi

v '

1 i im im

i 1 m 1

y (h )z min,

 

 





ⁱ

M ' im m 1

z 1,





 i=1,2,…,v,i W , ^* (9)

*

*

v ' '

im im i

i 1 i W

i W

h z h p ,

 



 

 

 

'

zim 0,1 , m 1, 2,..., M , _i i=1,2,…,v,i W , ^*

Li

v ''

2 i il im

i 1 l 1

y (h )z min,

 

 





ⁱ

L '' il l 1

z 1,





 i=1,2,…,v,i W , ^** (10)

**

**

v '' ''

il il i

i 1 i W

i W

h z h p ,

 



 

 

 

''

zil 0,1 , l 1, 2,..., L , _i i=1,2,…,v,i W . ^**

48 Значення h_i і h_i обчислюються за формулами

i

i M

'

i im im

m 1 L

''

i il il

l 1

h h z ,

h h z .













Висновки

Задачі ₁ та ₂ є задачами булевого програмування, для яких кількість змінних

визначається за формулами

* v

i 1

i 1 i W

M n ,









**

v

i 2

i 1 i W

L n







 ^{. Без} обмежень (9) та (10) необхідно було б розглянути 2 ⁿ¹ і 2ⁿ²варіантів рішень. Обмеження (9) та (10) значно зменшують кількість варіантів, що розглядаються, а саме

* v

i i 1 i W

M







^та

**

v i i 1 i W

L







для кожної з локальних задач. Оскільки M_i та L_i (i=1,2,…,v) вимірюються в одиницях, то задачі можуть бути розв’язані з використанням аддитивного алгоритма при будь-якому значенні v .

Список літератури

1. Храменков С.В. Стратегия модернизации водопроводной сети / С.В. Храменков. – М.: Стройиздат, 2005.

2. Стратегія проведення моніторінгу й реформування систем муніципального водопостачання //

Водопостачання та водовідведення: Н.Г. Насонкіна, В.В. Дорофієнко, В.М. Маслюк, С.Є. Антоненко, В.М Сахновська. Виробничо-практичний журнал. – К., 2009. - №2. – С.2-8.

3. Демченко В.В. Переваги онтологічного підходу до розподіленого моделювання інженерних та транспортних мереж // Містобудування та територіальне планування:

В.В. Демченко Наук.-техн.збірник. – К., КНУБА, 2008. – Вип.29. – С.79-83.

4. Застосування функціонально- динамічних схем для моделювання інженерної мережі водопостачання міста //

Проблеми водопостачання, водовідведення та гідравліки:

П.І. Анпілогов, В.М. Михайленко, А.П. Анпілогов, Ю.В. Кошарна. Наук.-техн.збірник. – К., КНУБА, 2007. – Вип.27 . – С.8-13.

5. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій/

Ю.П. Зайченко: Підручник. – К., 2000. – 688 с.

Стаття надійшла до редколегії:12.05.2010 Рецензент: д-р техн. наук, проф. В.М. Міхайленко, Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ