No domínio GM9 — Geometria e Medida, do subdomínio — Medida e do objetivo geral 9 — Comparar e calcular áreas e volumes temos pelo descritor 9 que os alunos devem — «Saber que a medida, em unidades quadradas, da área de uma superfície esférica é igual a 4 × π × R2, onde R é o raio da esfera.» Neste capítulo demonstraremos através do teorema 14 este descritor. Antes de iniciarmos a demonstração consideremos o seguinte lema:
4.5. Área da Superfície Esférica 57
Lema 1: A área da superfície lateral de um cilindro, um cone e um cone truncado é igual
ao produto da medida da sua altura pelo perímetro da circunferência cujo raio é igual ao comprimento do segmento de reta perpendicular traçado do ponto médio da geratriz ao eixo de rotação.
Teorema 14: A área da superfície esférica é igual a 4 × π × R2, em que R é o raio da superfície
esférica.
Demonstração: Consideremos a linha poligonal regular [ABCDEF ], com n segmentos de
reta, inscrita numa semicircunferência (ver figura45). Pretende-se provar que através de uma rotação esta linha gera a superfície esférica. Esta superfície é obtida pela rotação da linha
Figura 45 – Linha poligonal regular [ABCDEF ] inscrita na semicircunferência
poligonal e é constituída pelas superfícies laterais de sólidos de revolução como cones, cones truncados e um cilindro no caso em que n é ímpar. Suponhamos que o comprimento do apótema da linha poligonal é a. Pelo Lema1, temos que:
a superfície gerada por rotação de [AB]é igual a AG × 2 × π × a, a superfície gerada por rotação de [BC]é igual a GH × 2 × π × a, a superfície gerada por rotação de [CD]é igual a HI × 2 × π × a,
a superfície gerada por rotação de [DE]é igual a IJ × 2 × π × a, a superfície gerada por rotação de [EF]é igual a JF × 2 × π × a,
Assim, a linha gerada por rotação de [ABCDEF ] é:
2 × π × a(AG + GH + HI + IJ + JF ) = 2 × π × a × AF .
À medida que o número de segmentos de reta da linha polígonal regular aumenta a superfície gerada por rotação desta linha tende para a superfície esférica. Da mesma forma o apótema da linha polígonal vai tender para o limite que é o raio da semicircunferência, que é o mesmo raio
58 Capítulo 4. Área Lateral de Prismas e Sólidos de Revolução
da superfície esférica obtida, R. Tendo em conta o limite de ambos os membros da igualdade acima, e que AF = 2 × R, segue que,
Sesf rica= 2 × π × R × 2 × R = 4 × π × R2, c.q.d.
Ou seja, área da superfície esférica é igual a quatro vezes a área da circunferência maior. (ANDREEV; SHUVALOVA,1974)
59
5 Produto Escalar (Produto Interno)
Consultando o Programa e Metas Curriculares de Matemática A do ensino secundário (BIVAR et al.,2013a), no domínio, Geometria Analítica — GA10, no subdomínio, Geometria Analítica no espaço e no objetivo geral 7— definir referenciais cartesianos do espaço — é exigido no descritor 2 que o aluno saiba definir «projeção ortogonal de um ponto numa reta» e que reconheça que essa projeção é a interseção do plano normal à reta dada, que contém o ponto, com essa reta. Neste capítulo começaremos primeiro por abordar esse conceito e de seguida demonstrar este resultado. Mas antes precisamos demonstrar o resultado: «dado um vetor qualquer não nulo e um ponto qualquer no espaço existe um único plano a passar por esse ponto e tal que o vetor dado é normal a esse plano» referenciado no domínio, Geometria Analítica — GA11, no subdomínio, produto escalar, no descritor 4, do objetivo geral — determinar equações de planos no espaço. (BIVAR et al.,2013a) Este resultado é uma consequência de um outro já demonstrado no 9◦ ano. No domínio, Geometria e Medida — GM9, no subdomínio,
paralelismo e perpendicularidade de retas e planos, no descritor 7, do objetivo geral 6, identificar planos perpendiculares e retas perpendiculares a planos no espaço euclidiano, é requerido o ao aluno: « Saber, dada uma reta r e um ponto P , que existe um único plano perpendicular a r passando por P , reconhecer que é o lugar geométrico dos pontos do espaço que determinam com P , se pertencer a r, ou com o pé da perpendicular traçada de P para r, no caso contrário, uma reta perpendicular a r e designar esse plano por «plano perpendicular (ou normal) a r passando por P » e, no caso de pertencer à reta, por «plano normal a r em P ». (BIVAR et al.,
2013c) A seguir vamos demonstrar uma das propriedades do produto escalar no espaço: a distributividade do produto escalar em relação à soma de dois vetores, referida no descritor 9 do objetivo geral, definir e conhecer propriedades do produto escalar de vetores, do subdomínio, produto escalar e do domínio, Geometria Analítica — GA11. Mas antes vamos demonstrar uma propriedade do domínio, Geometria Analítica — GA10, necessária para a demonstração do resultado anterior e que aparentemente por lapso não se encontra referida nem demonstrada no referido domínio. Pretendo com esta demonstração contribuir para colmatar esta lacuna.
Os resultados expostos neste capítulo foram baseados em (BIVAR et al.,2013c), (BIVAR et al.,2012), (BIVAR et al.,2013a) e em (BIVAR et al.,2013b).
A definição13traduz o descritor 2, do objetivo geral 7 — Definir referenciais cartesianos do espaço, do subdomínio — Geometria Analítica no espaço e do domínio Geometria Analítica 10 — GA10.
Definição 13: Dado um ponto P e uma reta r, quaisquer, dizemos que a «projeção ortogonal
de P sobre r» é o próprio ponto P se P ∈ r, ou então que é o pé da perpendicular de r a passar por P , caso P /∈ r (ver figuras46 e 47).
Na demonstração do teorema15será trabalhada a demonstração dos seguintes descritores:
60 Capítulo 5. Produto Escalar (Produto Interno)
Figura 46 – P ∈ r Figura 47 – P /∈ r
igualmente perpendicular a todas as retas complanares a s e t que passam por P e que qualquer reta perpendicular a r que passa por P está contida no plano determinado pelas retas s e t;
• 4:«Identificar uma reta como «perpendicular a um plano» num ponto P quando é perpendi- cular em P a um par de retas distintas desse plano e justificar que uma reta perpendicular a um plano num ponto P é perpendicular a todas as retas do plano que passam por P .»
do objetivo geral 6— Identificar planos perpendiculares e retas perpendiculares a planos no espaço euclidiano, do subdomínio— Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos e do domínio Medida — GM9 baseada no caderno de apoio do 3◦ciclo.(BIVAR et al.,2012)
Teorema 15: Sejam r, s, e t retas quaisquer, tais que r é perpendicular a s e a t num mesmo
ponto P . Então r é perpendicular a todas as retas complanares com s e t que passam por P e essas retas estão contidas no plano formado pelas retas s e t.
Figura 48 – Plano formado pelas retas s e t perpendiculares a r num ponto P
Demonstração: Seja r uma reta qualquer tal que r ⊥ s e r ⊥ t num ponto P , sendo s e t
61
qualquer do plano definido pelas retas s e t. As retas s e t são concorrentes em P , logo u também é concorrente com s e t em P e só pode estar entre estas duas retas. Sejam A e A1
equidistantes de P e B e B1 igualmente equidistantes de P tais que A e A1 estão em s em
duas semirretas opostas de origem P e B e B1 em t também em duas semirretas opostas,
igualmente com origem em P . Sejam Q e Q1nos segmentos [AB] e [A1B1], respetivamente,
e tal que Q, Q1 ∈ u. Seja T ∈ r tal que T 6= P . P é o ponto médio de [AA1] pois A e A1 são
equidistantes de P , r ⊥ s, logo r é a mediatriz de [AA1], então [AT ] = [A1T ]. De forma análoga
se demonstra que [BT ] = [B1T ]. [AB] = [A1B1] , uma vez que A1e B1 são imagens de A e de
B pela reflexão central de centro P e as isometrias preservam os segmentos. [AT ] = [A1T ],
[BT ] = [B1T ] e [AB] = [A1B1] então pelo critério LLL os triângulos [ABT ] e [A1B1T ] são
iguais. Temos também que os triângulos [ABT ] e [A1B1T ] são isósceles, logo T ˆAB = T ˆBA e
T ˆA1B1 = T ˆB1A1, donde T ˆAB = T ˆA1B1. Q1 é imagem de Q pela mesma reflexão central de
centro P porque a imagem de Q tem de estar na reta QP , ou seja, u, e no segmento [A1B1] e
Q ∈ [AB]. [AQ] = [A1Q1],pela reflexão central de centro P , Q ˆAT = B ˆAT = B1Aˆ1T = Q1Aˆ1T e
[AT ] = [A1T ]. Então, pelo critério LAL, △[AQT ] ≡ △[A1Q1T ]. Logo, [T Q] = [T Q1]. Agora, pelo
critério LLL, os triângulos [T P Q] e [T P Q1] são iguais e consequentemente os ângulos T ˆP Q e
T ˆP Q1 que são suplementares, logo T ˆP Q = T ˆP Q1 = 90◦, donde r ⊥ u. c.q.d.
Quando uma reta r é perpendicular a duas retas de um plano α que passam por um ponto P de r dizemos que a reta é perpendicular ao plano α no ponto P . Pelo que acabámos de provar, que a reta r é então perpendicular a todas as retas do plano α passam por P .
Na demonstração do teorema 16 será trabalhada a demonstração do descritor 4: «Reconhecer, fixado um referencial ortonormado do espaço e dado um vetor não nulo −→v = (v1, v2, v3) e um ponto P0 = (x0, x1, x3) , que existe um único plano α que passa por P0 tal
que −→v é normal a α . . . » do objetivo geral 3 — Determinar equações de planos no espaço, do subdomínio — Produto escalar e do domínio, Geometria Analítica — GA11.(BIVAR et al.,
2013a) Consultando o caderno de apoio do 11◦ ano (BIVAR et al.,2013b) e na proposta de
um exercício vemos a seguinte citação: «As justificações pedidas nas alíneas 1.1 e 1.2 são consequências imediatas do descritor GM9 — 6.7 das Metas Curriculares do Ensino Básico. Uma demonstração rigorosa destes factos pode ser encontrada no respetivo Caderno de Apoio, nomeadamente no Texto Complementar de Geometria, 9◦ano, 6.7.» Nesse exercício o teorema
16 era proposto como uma atividade a ser realizada pelos alunos. Assim a demonstração seguinte foi baseada em (BIVAR et al.,2012).
Teorema 16: Seja −→u 6=−→0 e P ∈ R3. Então existe um e um só plano α que contém P tal que −
→u é normal a α.
Demonstração: Sejam r uma reta qualquer, −→u o seu vetor diretor, P ∈ R3, P1 o pé da
perpendicular a r a passar por P , caso P /∈ r (ver figura 49), e P1 = P , caso contrário .
Pretendemos mostrar que existe um único plano α perpendicular a r tal que P ∈ α e que é o lugar geométrico dos pontos do espaço que contém todas as retas perpendiculares a r em P1.
Seja C /∈ r um ponto qualquer. Então C e r determinam um plano β. Seja s ⊥ r uma reta em β tal que P1 ∈ s. Seja t ⊥ β em P1 uma reta. Então temos que s ⊥ r e t ⊥ r em P1, logo pelo
62 Capítulo 5. Produto Escalar (Produto Interno)
Figura 49 – Plano α normal a um vetor diferente do vetor nulo
teorema anterior s e t determinam um plano α perpendicular a r em P1. Mostremos agora que
α é único. Seja Q um ponto qualquer tal que QP1 ⊥ r. Pelo teorema anterior QP1 ⊂ α, pois
α contém todas as retas perpendiculares a r em P1. Reciprocamente, também pelo teorema
anterior, dada uma reta qualquer g tal que g ⊂ α e P ∈ g, temos que g ⊥ r. Ou seja, α é o único plano normal a r em P1 e que passa, portanto, também por P e é o lugar geométrico dos
pontos do espaço que contém todas as retas perpendiculares a r em P1. Provamos assim que
−
→u , vetor diretor de r é perpendicular a α. c.q.d.
Teorema 17: Sejam P e r um ponto e uma reta quaisquer. A «projeção ortogonal de P sobre
r» é a interseção do plano normal à reta r que contém P com a reta r.
Figura 50 – P ∈ r Figura 51 – P /∈ r
Demonstração: Sejam P e r um ponto e uma reta quaisquer. Consideremos o plano α normal
a r que contém P e P1 = ProjrP . P1 é o pé da reta perpendicular a r, s, a passar por P , caso
P /∈ r, ou então P1= P , caso P ∈ r (ver figuras50e51). No caso em que P ∈ r, P1 = P = r ∩α.
E no caso em que P /∈ r, P1 = r ∩ s, mas s ⊂ α, donde P1= r ∩ α. Logo P1é a interseção do
63
A definição14traduz o descritor 1, do objetivo geral 2 — Definir e conhecer propriedades do produto escalar de vetores, do subdomínio — Produto escalar, do domínio, Geometria Analítica — GM11.
Definição 14: Fixada uma unidade qualquer, seja O um ponto qualquer, −→u e −→v dois vetores não nulos quaisquer onde P = O + −→u e Q = O + −→v . Definimos o «produto escalar (ou interno)» de −→u com −→v como o número OP × OQ1, onde Q1 é a projeção de Q sobre a reta OP , se OQ1
e OP têm o mesmo sentido e como o número − OP × OQ1, caso contrário. O produto escalar
de −→u com −→v é nulo se −→u = −→0 ou −→v =−→0 . Denotamos o produto escalar de −→u com −→v por «−→u .−→v » (ver figuras52e53).
Figura 52 – OQ1e OP têm o mesmo sentido Figura 53 – OQ1 e OP têm sentido contrário
O teorema18serve de auxílio à demonstração do teorema19.
Teorema 18: Seja P ∈ R3, α um plano qualquer e r ⊂ α uma reta qualquer. Seja P
1 a projeção
de P sobre α. Então a projeção de P1 sobre r é igual à projeção de P na mesma reta.
Figura 54 – P1 = P rojαP e P2= P rojrP1 Figura 55 – P2 = P rojrP1 = P rojrP
Demonstração: Seja P ∈ R3, α um plano qualquer e r ⊂ α uma reta qualquer. Seja P 1 =
P rojαP e P2 = P rojrP1(ver figura54). Pretendemos provar que P2 = P rojrP . Seja β o plano
normal a r que contém P1. Então, pelo teorema anterior, P2= β ∩ r. Seja δ o plano normal a r e
64 Capítulo 5. Produto Escalar (Produto Interno)
55). P1 ∈ β, P1= P rojαP , logo P ∈ β e P2 = β ∩ r, donde P, P1, P2∈ β. P ∈ δ, P1 = P rojαP ,
logo P1 ∈ δ e P2 = δ ∩ r, donde também P, P1, P2 ∈ δ. Temos então que {P, P1, P2} ⊂ β e
{P, P1, P2} ⊂ δ, ou seja, β ≡ δ. c.q.d.
No descritor 9, do objetivo geral 2— Definir e conhecer propriedades do produto escalar de vetores, no subdomínio— Produto escalar e no domínio Geometria e Medida— GM11 temos que os alunos devem — «Provar, dados vetores −→u , −→v , −→w ∈ R3\{0}, que −→w .(−→u + −→v ) = −
→w .−→u + −→w .−→v ». Assim a demonstração do teorema ?? é baseada em (BIVAR et al.,2013b).
Teorema 19: Dados −→u , −→v , −→w ∈ R3\{0} temos que −→w .(−→u + −→v ) = −→w .−→u + −→w .−→v .
Figura 56 – Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores
Demonstração: Sejam −→u , −→v e −→w vetores do espaço quaisquer não nulos e A ∈ R3. Conside- remos B = A + u, C = B + v e D = A + w (ver figura56).
Temos que
−
→w .(−→u + −→v ) = −→w .−→AC = −→w .−−→AC
1,
onde C1 é a projeção ortogonal de C no plano ABD,
−
→w .−→AC = w × AC
2 e −→w .
−−→
AC1= w × AC2,
onde C2é a projeção ortogonal de C e de C1na reta AD, pelo teorema anterior. Temos também
que
−
→w .−→v = −→w .−−→BC = −→w .−−→BC
1.
Tomando E = A + −→v , onde−→AE =−−→BC, temos também que −
→w .−→v = −→w .−→AE = −→w .−−→AE
1,
onde E1é a projeção ortogonal de E no plano ABD;
−
→w .−→AE = w × AE
2 e −→w .
−−→
65
sendo E2 a projeção de E e de E1na reta AD, pelo teorema anterior. Temos que provar que
−−→ AE1=
−−→
BC1. Para tal basta provar que [AE1C1B] é um paralelogramo. Temos que
−−→
AB = −→u = −−→
EC, porque [ABEC] é um paralelogramo. −−→EC k −−−→E1C1 e
−−→
EC = −−−→E1C1 pois E1 e C1 são as
projeções ortogonais de E e C no plano [ABD], respetivamente; logo−−→AB k−−−→E1C1e−−→AB =−−−→E1C1.
−→
AE k−−→BC e−−→EE1 k
−−→
CC1 logo, pelo teorema5podemos concluir que [AEE1] k [BCC1], donde
−−→ AE1 k
−−→
BC1. Temos também que △[AEE1] ≡ △[BCC1] porque [AE] = [BC] e os ângulos
agudos internos são iguais : ∠EAE1 = ∠CBC1e ∠AEE1= ∠BCC1. Logo,
−−→ AE1 =
−−→
BC1. Assim,
[AE1C1B1] é um paralelogramo. Então,
−
→w .(−→u + −→v ) = −→w .−→u + −→w .−→v ⇐⇒ −→w .−→AC = −→w .−−→AB + −→w .−−→BC
1 c.q.d.
donde,−→AC =−−→AB +−−→BC1. Conseguimos assim demonstrar a distributividade do produto escalar
em relação à adição de dois vetores no espaço, propriedade essa que envolve apenas vetores complanares, ou seja, vetores do plano [ABD].
As construções geométricas das figuras utilizadas neste capítulo podem ser consultadas no CD disponibilizado com os nomes dePr♦❥❡❝❛♦❖rt♦❣♦♥❛❧✶, P❧❛♥♦◆♦r♠❛❧✶, P❧❛♥♦◆♦r♠❛❧✷, Pr♦❥❡❝❛♦❖rt♦❣♦♥❛❧ ✷, Pr♦❥❡❝❛♦❖rt♦❣♦♥❛❧✸, Pr♦❞✉t♦❊s❝❛❧❛r✶, e também Pr♦❞✉t♦❊s❝❛❧❛r✷.
67
Referências
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ANDREEV, P.; SHUVALOVA, E. Geometry. Moscow: Mir Publishers, 1974. Citado 11 vezes nas páginas31,38,39,40,42,49,51,53,54,55e58.
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