(Árvore Geradora de Custo Mínimo) Construir a árvore ge-

radora9 de custo mínimo (AGCM) T (com comprimento A(T)), que

estabeleça ligações entre as componentes conexas G\,..., Gp. Denote-

se por X(R) o somatório do comprimento de todas as arestas de R e por

z* o valor de uma solução óptima para o PCR. Então X(T)+X(R) < z*. Passo 2. (Emparelhamento de Custo Mínimo) Determinar o empa-

relhamento10 de custo mínimo (ECM) de todos os vértices de grau

ímpar do grafo originado por R U T. Seja M o conjunto de arestas do emparelhamento óptimo e À(M) o seu comprimento total.

Passo 3. (Ciclo Euleriano) Um ciclo Euleriano no grafo originado por RUT U M constitui uma solução para o PCR. Se (Cy) satisfizer a

desigualdade triangular pode mostrar-se, usando o mesmo argumento que em Christofides [24], que À(M) < \z*. Assim, o comprimento do ciclo Euleriano À(T) + X(R) + A(M) não excede \z*.

Modelos de Programação Linear Inteira para o P C R Não Dirigido

Consideram-se de seguida dois modelos de Programação Linear Inteira (PLI) para o PCR. O primeiro, proposto por Christofides et ai. [25], define-se da seguinte forma:

analisando o pior dos casos em questão. Esta aproximação, apesar de retratar mal a performance efectiva de um algoritmo (por se tratar de uma perspectiva pessimista) é independente do computador onde se está a processar o algoritmo, da implementação do mesmo e das próprias instâncias particulares.

9Um grafo diz-se uma árvore se for conexo e não contiver circuitos. Dado um grafo

conexo G, designa-se por árvore geradora de G todo o subgrafo de G que, sendo uma árvore, contém todos os vértices de G.

10Designa-se por emparelhamento (ou matching) de um grafo G, todo o conjunto de

Modelo P C R N D 1

Considere-se o grafo G' — (V, A'), com:

R Ç A' - subconjunto de arestas obrigatórias (a percorrer);

Xij - número de vezes que a aresta (VÍ,VJ) é repetida, se

(vi,Vj) G R, ou percorrida, se (VÍ,VJ) G A' \ R;

Cij - custo de percorrer a aresta (v{ ,Vj).

Pretende-se:

Min ^2 CÍJ(1 + XÍJ)+ 22 CiJXiJ (2l1)

(vi,Vj)eR (vi,Vj)eA'\R

sujeito a:

Y^ (1 + Xij)+ Yl XÍJ = 0 (mod2), {VÍEV') (2.1.O)

(,vi,vj)€R (vi,vj)£A'\R

J2

(s=\JV

,S=({JV

\\S,Pc{l,...,p}\ (2.1.6)

vtes^es \ keP \fc=i / / Xij > 1 e inteiros ((VÍ,VJ) G A')

Note-se que, quando Xij representa o número de vezes que a aresta (v{, Vj) é repetida (quando (VÍ, Vj) G R), isso significa que essa aresta será percorrida 1 + Xij vezes.

Neste modelo, a restrição (2.La) garante que, na solução óptima, o grau de cada vértice seja par, enquanto que a restrição (2.1.6) garante que todas as componentes conexas estejam ligadas. É relativamente fácil mostrar que

Xij pode ser limitado superiormente por 1 se (VÍ,VJ) G R, e por 2 se (vi,Vj) G A' \ R. A restrição (2.1.a) pode ser reformulada e substituída

por uma outra restrição (2.1.a'), fazendo-se o segundo membro igual a 2ZÍ, com ZÍ > 0 e inteiros (VÍ G V).

Tal como no algoritmo de Held e Karp [61] para o TSP, os autores determinaram um limite inferior para o problema, introduzindo restrições (2.1.a') na função objectivo (seguindo uma estratégia Lagrangeana) e veri- ficando que o subproblema definido pelas variáveis Sy associadas a A'\R, ê um problema de determinação da árvore geradora de custo mínimo (AG CM) sobre um grafo, cujos vértices correspondem às componentes conexas de G'.

26 Problemas de Rotas em Arcos

Utilizando também a AGCM, determinaram um limite superior para o PCR fazendo um emparelhamento dos vértices de grau ímpar. Os procedimentos adoptados na procura desses limites baseiam-se em técnicas de branch-and-

bound. Resolveram 24 problemas, gerados aleatoriamente, até à optimali-

dade. As características desses problemas eram as seguintes: 9 ^ |V| ^ 84, 13 ^ |A| ^ 184, 4 ^ \R\ ^ 78 e 2 si p ^ 8.

O segundo modelo, relacionado com o anterior, foi proposto mais tarde por Corberán e Sanchis [31]. Defina-se A{ = {{VÍ,VJ) G A'}, como o conjunto

de todas as arestas de G' incidentes em Uj. Um vértice diz-se ií-par (res- pectivamente, JS-ímpar) se é incidente a um número par (respectivamente, ímpar) de arestas de R. Considerem-se as variáveis Xy definidas como no modelo PCRND1. O problema define-se então como se segue:

Modelo P C R N D 2

Pretende-se:

Min ^jP dj(l + Xij)+ 22

ii

ij (

-

)

(vi,Vj)eR (vi,Vj)eA'\R

sujeito a:

Y2 XÍJ=0 (mod2) (VÍÇV',VÍ é R-par) (2.2.a)

(vi,vj)eAi ] T XÍJ = 1 (mod2) (VÍ E V, u, é fí-ímpar) (2.2.6) {vi,vj)eAi

Y, *ij>1 [S=\JV

, S=((jV

)\S, Pc{l,...,p}j

Sanchis [98] e Corberán e Sanchis [31], identificaram algumas das famílias das facetas do politopo do invólucro convexo das soluções admissíveis defi- nidas pelas restrições (2.2.a) a (2.2.d). Estes autores mostraram em [32] que todas as desigualdades geradoras de facetas para o chamado TSP-Rodoviário

(ver Cornuéjols, Fonlupt e Naddef [34] e Fleischmann [46]) são também face­ tas para o PCR Não Dirigido. Dando continuidade ao trabalho de Padberg e Grõtschel [89], Corberán e Sanchis [32] integraram algumas rotinas gera­ doras de facetas, num processo de branch-and-bound que aplicaram aos 24 problemas testados por Christofides et ai. [25]. Vinte e três desses proble­ mas foram resolvidos até à optimalidade no nó de raiz da árvore de pesquisa, usando apenas planos de corte. Outros dois problemas resultantes da rede de estradas de Albaida (Valência), também foram resolvidos sem ramificação

(branching).

Pearn e Wu [95], apresentam dois novos algoritmos para PCR Não Diri­ gido, baseados no algoritmo proposto por Christofides et ai. [25]. Segundo estes autores, tal abordagem recorre a um algoritmo exponencial, sendo por isso, computacionalmente ineficiente. Além disso, os valores dos multipli­ cadores11 r\ escolhidos, influenciam significativamente o desempenho desse

algoritmo. A transformação do grafo original (descrita na página 23) é vis­ ta como uma contribuição insignificante na obtenção de soluções eficientes, apesar de simplificar a estrutura do problema ao formular o PCR. Numa tentativa de melhorar as soluções, propuseram­se algumas modificações que a seguir se descrevem.

Seja GR = (VR,R) o subgrafo constituído pelo conjunto R de arcos obri­

gatórios, e VR o conjunto correspondente de vértices. Seja {Ci, C2, ■.., Cr}

o conjunto das componentes de GR, e Ge o grafo condensado obtido a partir de GR, considerando cada componente como um vértice.

Na abordagem modificada considera­se uma nova distância d(Ci,Cj) =

mmXjy{sTp\{x,y)\x G Ci,y G Cj} + \ (em vez de d(Ci,Cj) = mmXty{d{x,y) -

ux — Uy}) com uma penalização A adicionada ao definir as distâncias no

grafo condensado Ge, e onde spl(a;, y) representa o comprimento do caminho mínimo entre o vértice x e o vértice y no grafo original G. Naturalmente, diferentes valores de A, geram soluções diferentes para o PCR. Pode então escolher­se um conjunto de valores de A para gerar algumas soluções para o PCR, e escolher de entre elas a melhor, que será considerada a solução desta

nP a r a multiplicadores, ux e uy, Christofides et ai., consideraram u, = — T](deg(i) — 2), onde deg(i) representa o grau do vértice i no grafo original.

28 Problemas de Rotas em Arcos

abordagem. A abordagem modificada pode descrever-se da seguinte forma:

Algoritmo de Christofides et ai. Modificado