Procuramos nesta tese, solu¸c˜oes num´ericas para problemas de programa¸c˜ao dinˆamica com a¸c˜oes de controle discretas e horizonte finito.
Todas as ferramentas propostas se baseiam num mesmo paradigma: a id´eia de considerarmos a dinˆamica do sistema via itera¸c˜ao de conjuntos fechados ao longo dos est´agios do problema, em vez de estudarmos a dinˆamica atrav´es dos arcos de um grafo. A esta abordagem chamamos de ponto de vista geom´etrico. A nossa proposta consiste em definirmos ou escolhermos, de acordo com o pro- blema a ser tratado, uma meta de programa¸c˜ao: um ponto que deve ser atingido no est´agio final. Feito isto, permitimos uma relaxa¸c˜ao de tamanho admiss´ıvel nesta meta, por meio de um conjunto fechado ao seu redor, e consideramos a pr´e-imagem deste conjunto no est´agio inicial por meio do sistema dinˆamico do problema8. A figura 2.5 ilustra esta id´eia considerando um conjunto polit´opico.
Figura 2.5: S´ıntese das ferramentas propostas. Ponto de vista geom´etrico: pr´e- imagem no est´agio inicial de um hipercubo em torno da meta de programa¸c˜ao.
Assim sendo, a otimiza¸c˜ao pode ser feita usando m´etodos de otimiza¸c˜ao est´atica, exatos ou heur´ısticos, de acordo com a natureza do problema, consi- derando como vari´aveis apenas a seq¨uˆencia de a¸c˜oes de controle. Conseguimos isto, reescrevendo formalmente a restri¸c˜ao de ponto final em fun¸c˜ao do estado inicial e da seq¨uˆencia de a¸c˜oes de controle, por meio da equa¸c˜ao de estados do sistema dinˆamico. De acordo com a nota 2.2, este procedimento pode ser iden- tificado com o controle em malha aberta. O ponto central ´e que evitamos o car´ater enumerativo da solu¸c˜ao.
Voltando ao exemplo 2.5, nossa abordagem forneceria apenas a resposta mos- trada na figura 2.3, enquanto que a solu¸c˜ao pelo algoritmo cl´assico da pro- grama¸c˜ao dinˆamica forneceria a resposta mostrada na figura 2.4. Note que a
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Este procedimento ´e semelhante ao proposto em Bertsekas e Rhodes (1971), que considera na otimiza¸c˜ao, uma bola e um politopo em torno da origem do sistema, a fim de garantir estabilidade de um problema de horizonte ilimitado.
seq¨uˆencia de a¸c˜oes de controle depende dos valores dos estados, mas na nossa abordagem, esta dependˆencia se est´a implicitamente, por meio da pr´e-imagem da meta de programa¸c˜ao em um dos est´agios do problema.
Como dissemos na nota 2.3, quando o sistema ´e determin´ıstico, dado um estado inicial e uma seq¨uˆencia de a¸c˜oes de controle, sabemos previamente qual ser´a o valor de cada estado. Portanto, o resultado da otimiza¸c˜ao em malha aberta equivale ao da otimiza¸c˜ao em malha fechada. O problema ´e que quando o processo ´e estoc´astico, n˜ao conseguimos saber previamente qual ser´a o valor de cada estado, e desta forma, a otimiza¸c˜ao deveria ser feita sobre uma seq¨uˆencia de leis de controle.
Sendo assim, no caso estoc´astico, a fim de atualizarmos a informa¸c˜ao dos estados, propomos que apenas a decis˜ao atual seja implementada, e que nova otimiza¸c˜ao seja executada em malha aberta a cada est´agio, se for o caso. Desta forma, as ferramentas propostas s˜ao similares ao controle preditivo e se enqua- dram nos m´etodos sub-´otimos de aproxima¸c˜ao impl´ıcita descritos na se¸c˜ao 2.5.
Podemos sintetizar a metodologia aqui proposta desta forma: Algoritmo Proposto - Vers˜ao Geral
1. Encontrar ou definir a meta de programa¸c˜ao do problema.
2. Executar a otimiza¸c˜ao em malha aberta como num problema est´atico, com o sistema reescrito em fun¸c˜ao do estado inicial e da seq¨uˆencia de a¸c˜oes de controle, sujeito `a restri¸c˜ao de ponto-final com ou sem a relaxa¸c˜ao na meta. 3. Implementar apenas a decis˜ao atual e repetir a otimiza¸c˜ao no est´agio se-
guinte, se for o caso, atualizando a novas informa¸c˜oes sobre os estados.
A complexidade computacional das formula¸c˜oes aqui propostas ser´a a de um problema de otimiza¸c˜ao est´atico com p vari´aveis, sendo p ´e n´umero de controles poss´ıveis.
No problema determin´ıstico, se as vari´aveis forem n´umeros reais, ao resolver- mos pela t´ecnica aqui proposta usando m´etodos exatos de otimiza¸c˜ao est´atica, encontraremos o ponto ´otimo (a menos da limita¸c˜ao do computador que s´o tra- balha com um n´umero finito de casas decimais). Se as vari´aveis forem n´umeros inteiros, o procedimento proposto corresponde a permitir a devida relaxa¸c˜ao nas vari´aveis e encontrar um limite inferior para o valor da fun¸c˜ao-objetivo. Neste caso, nosso procedimento ´e assintoticamente exato, no sentido que que depende assintoticamente da distˆancia relativa entre o conjunto discreto e sua relaxa¸c˜ao.
Entretanto, se quisermos trabalhar com as vari´aveis inteiras enquanto tais, basta resolvermos a otimiza¸c˜ao de forma exata via m´etodos de programa¸c˜ao inteira a um custo exponencial, ou, de forma sub-´otima, usando heur´ısticas. Nos proble- mas estoc´asticos, os resultados obtidos pelas nossas ferramentas s˜ao sub-´otimos. As ferramentas propostas foram aplicadas em problemas que tenham como sistemas dinˆamicos fun¸c˜oes: determin´ısticas lineares, determin´ısticas n˜ao-lineares e estoc´asticas lineares. Ao longo dos cap´ıtulos desta tese, aprofundamos e discu- timos as especificidades das ferramentas em cada classe.