Aço do perfil

Para a modelagem dos aços das mesas e da alma do perfil, foi utilizado o critério de plastificação de von Mises (1913) com endurecimento isotrópico. Essa superfície pode ser expressa pela equação (3.15). No espaço tridimensional de tensões principais, ela apresenta o formato de um cilindro – as suas intersecções com o plano desviador são círculos (figura 3.16a), e com os planos meridianos são retas horizontais (figura 3.16b). Este critério não depende do primeiro invariante de tensões 𝐼₁ nem tampouco do ângulo de similaridade 𝜃, estando relacionado apenas com as tensões desviadoras. Segundo Ottosen e Ristinmaa (2005, p. 179), o critério de von Mises se ajusta com bastante precisão a dados experimentais do aço e de metais diversos.

𝑓(𝐽₂) = √3𝐽₂− 𝜎_𝑦 = 0 (3.15)

Em que 𝜎_𝑦 é a tensão de escoamento do material.

Figura 3.16 – Superfície de von Mises. (a) Plano desviador; (b) Plano meridiano

Fonte: adaptado de Ottosen e Ristinmaa (2005)

Antes que o estado de tensões de um ponto atinja a superfície dada em (3.15), ou seja, enquanto 𝑓 < 0, admite-se que o aço possui comportamento elástico linear. No momento em que esta superfície é atingida (𝑓 = 0), inicia-se a plastificação deste ponto, e então passa a valer a lei de endurecimento. Admite-se plasticidade associada, ou seja, o incremento de deformação plástica ocorre na direção perpendicular à superfície de plastificação. Dentro do script desenvolvido, são disponibilizados três tipos de lei de endurecimento para o aço do perfil, além da opção elástica, a partir da definição do valor numérico para o parâmetro ap_opt. A tabela 3.3 apresenta estas opções, que são esquematizadas na figura 3.17. No caso da opção de material elástico (ap_opt=0), admite-se que o material permanece no regime elástico para qualquer incremento de tensão, sem plastificação. As demais opções (1, 2 e 3) consideram a plastificação conforme descrito neste parágrafo e diferem na complexidade de suas formulações.

Tabela 3.3 – Opções de modelos constitutivos para o aço do perfil Valor de ap_opt Modelo constitutivo

0 Elástico Linear

1 Elastoplástico perfeito

2 Bilinear

3 Multilinear - Gattesco (1999) Fonte: elaborado pelo autor

__________________________________________________________________________________________ Figura 3.17 – Modelos constitutivos para o aço do perfil. (a) Elástico Linear;

(b) Elastoplástico perfeito; (c) Bilinear; (d) Multilinear – Gattesco (1999)

Fonte: (a), (b), (c) Elaborado pelo autor; (d) Adaptado de Gattesco (1999)

Sendo 𝑓_𝑦 a tensão de escoamento do aço; 𝑓_𝑢 a tensão última do aço; 𝜀_𝑦 a deformação de escoamento do aço; 𝜀𝑢 a deformação quando é atingida a tensão última; 𝜀ℎ a deformação no

início do endurecimento no modelo de Gattesco (1999); 𝐸 o módulo de elasticidade do aço na zona elástica; e 𝐸_ℎ o módulo de elasticidade tangente à curva de endurecimento no modelo de Gattesco (1999).

O modelo utilizado por Gattesco (1999), ilustrado na figura 3.17d, admite um patamar de escoamento antes do início do endurecimento. No presente trabalho foi fornecida uma pequena inclinação a este patamar, com o objetivo de prevenir problemas numéricos. O trecho do endurecimento é modelado por uma parábola cujo vértice coincide com o ponto (𝜀_𝑢, 𝜎_𝑢). Este modelo constitutivo é expresso na equação (3.16).

𝜎 = { 𝜀. 𝐸 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝜀 ≤ 𝜀_𝑦 𝑓𝑦 + (𝜀 − 𝜀𝑦) (𝜀_ℎ− 𝜀_𝑦). (𝑓𝑢− 𝑓𝑦) 100 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜀𝑦 < 𝜀 ≤ 𝜀ℎ 𝜎(𝜀ℎ) + 𝐸ℎ. (𝜀 − 𝜀ℎ). (1 − 𝐸_ℎ. (𝜀 − 𝜀_ℎ) 4. (𝑓𝑢− 𝜎(𝜀ℎ)) ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜀ℎ < 𝜀 ≤ 𝜀𝑢 (3.16) Com 𝜎(𝜀ℎ) = 𝑓𝑦 + (𝑓𝑢−𝑓𝑦) 100 ≅ 𝑓𝑦

A função contínua definida por partes em (3.16) é inserida no software via pontos discretos, com interpolações lineares nos seus intervalos. O manual do Ansys (2018) denomina este modelo como multilinear. A figura 3.18 ilustra um exemplo hipotético com valores típicos 𝐸 = 20000 𝑘𝑁/𝑐𝑚²; 𝐸_ℎ = 400 𝑘𝑁/𝑐𝑚²; 𝑓_𝑦 = 30 𝑘𝑁/𝑐𝑚2_{; 𝑓}

𝑢 = 45 𝑘𝑁/𝑐𝑚² e 𝜀ℎ/𝜀𝑦 =7,5.

Em razão da entrada de dados ser feita desta forma, o valor de 𝜎(𝜀ℎ) pode ser aproximado para

𝑓_𝑦 na equação do trecho parabólico sem que seja gerada uma descontinuidade na função.

Figura 3.18 – Exemplo de aplicação do modelo de Gattesco (1999)

Fonte: Elaborado pelo autor

Na prática, muitas vezes só estão disponíveis os dados das tensões de escoamento e última do aço, além de seu módulo de elasticidade inicial. Nestes casos, os demais valores dos modelos devem ser calculados e/ou arbitrados. Sadowski et al. (2015) fizeram um estudo estatístico com um conjunto de dados de diagramas tensão-deformação acumulados entre 2010 e 2013, no

Karlsruhe Institute of Technology, na Alemanha: para aços do tipo S355, encontraram um valor

médio para a razão 𝜀ℎ/𝜀𝑦 igual a 8,3, e para a razão 𝐸ℎ/𝐸 igual a 2,41%, com desvios padrão

de 1,94 e 0,15%, respectivamente. Gattesco (1999) utilizou valores para a razão 𝐸ℎ/𝐸 variando

entre 1,2% a 1,7%; e para a razão 𝜀_ℎ/𝜀_𝑦 variando entre 1 e 15,7. No presente trabalho, na ausência de maiores informações, optou-se por utilizar 𝜀_ℎ/𝜀_𝑦 entre 6,5 a 8,5 e 𝐸_ℎ/𝐸 entre 1,5% a 2,0% (resultando em 𝐸ℎ entre 300 kN/cm² e 400 kN/cm² para 𝐸 = 20000 kN/cm²).

No caso da adoção de um modelo bilinear, conforme ilustrado na figura 3.17c, o Eurocode 3 –

Part 1-5 (CEN, 2006) permite que a análise seja feita utilizando-se uma inclinação para o trecho

__________________________________________________________________________________________ O modelo elastoplástico perfeito, ilustrado na figura 3.17b, não é muito representativo do comportamento do aço pois desconsidera o endurecimento do material. Contudo, é um modelo mais simples do que os demais e pode servir como boa aproximação inicial. A este modelo também foi fornecida uma pequena inclinação no patamar plástico, igual a 0,1 kN/cm², com o objetivo de prevenir problemas numéricos. O Eurocode 3 – Part 1-5 (CEN, 2006) determina que, neste caso, a inclinação do patamar deve ser menor ou igual a 𝐸/10000.

Cabe ressaltar que o modelo constitutivo de Gattesco (1999) também foi utilizado por Kotinda (2006), Queiroz, Vellasco e Nethercot (2007), Schmitz (2017) e Mittelstadt Júnior (2017). Apesar de ser um modelo mais complexo, e, portanto, dependente de mais valores, ele é o único, dentre os utilizados, capaz de captar um patamar de escoamento com posterior endurecimento, se aproximando mais realisticamente dos diagramas tensão-deformação dos aços estruturais. No script desenvolvido, é possível adicionar diferentes valores para os aços de cada mesa e da alma do perfil. Devem ser informados o módulo de elasticidade (kN/cm²), a tensão de escoamento (kN/cm²), a tensão última (kN/cm²), o coeficiente de Poisson, o módulo de elasticidade tangente 𝐸_ℎ (kN/cm²) e a razão 𝜀_ℎ/𝜀_𝑦. No caso de serem utilizados os modelos elastoplástico perfeito ou bilinear, estes dois últimos valores não são utilizados diretamente, mas entram no cálculo da deformação 𝜀_𝑢, associada à tensão última (alternativamente, existe a opção dentro do código de inserir diretamente o valor de 𝜀𝑢).