folha-mundo;
• Uma Dp-brana tem (d− p) campos escalares n˜ao-massivos vivendo em sua folha-mundo. De um modo an´alogo21, pode-se mostrar que no caso de haver N branas coincidentes, uma teoria de Yang-Mills com simetria SU (N ) ´e encontrada na folha-mundo22.
2.8
A a¸c˜ao de Dirac-Born-Infeld
Como vimos, a existˆencia de campos de calibre sobre a brana ´e consistente com a teoria de cordas. Portanto, ´e natural o interesse na dinˆamica de tais campos. Prop˜oe-se assim a quest˜ao:
• Dada uma configura¸c˜ao de campos (mais precisamente, uma m´etrica, um campos escalar e uma 2-forma) no espa¸co-tempo, como determinar a dinˆamica dos campos de calibre que vivem numa D-brana?
Comecemos por introduzir o conceito de pull-back, que ´e a “ proje¸c˜ao”do campo (que vive no espa¸co-tempo) no volume-mundo. Assim, por exemplo, se um espa¸co-tempo possui uma m´etrica Gµν, o pull-back desta geometria sobre a brana ´e simplesmente a m´etrica induzida no volume mundo: ˆ Gab = ∂xµ ∂ξa ∂xν ∂ξbGµν (2.84)
em que ξa, a = 0, . . . , p parametrizam a brana e xµ, µ = 0, . . . , d s˜ao as coordenadas do espa¸co- tempo.
Num espa¸co-tempo com geometria Gµν e um campo de Kalb-Ramond Bµν, a dinˆamica de um campo abeliano com intensidade de campo Fab vivendo no volume-mundo da brana (ou seja, na variedadeMp+1) ´e dada pela a¸c˜ao de Dirac-Born-Infeld:
SDBI =−τp Z Mp+1 dp+1ξe−Φ q det( ˆGab+ ˆBab+ 2πl2sFab), (2.85) sendo τp a tens˜ao da brana. Apresentamos (2.85) sem provas e direcionamos o leitor interessado em mais detalhes para as referˆencias [1, 14] que contˆem argumentos heur´ısticos que justificam a a¸c˜ao de Dirac-Born-Infeld.
Al´em dos campos mencionados acima, o espa¸co-tempo pode conter outros campos se lidamos com a teoria supersim´etrica23que cont´em o setor de Ramond-Ramond al´em do setor de Neveu- Schwarz-Neveu-Schwarz (que coincide com o espectro da corda bosˆonica e cuja influˆencia na brana ´e descrita pela a¸c˜ao (2.85)). Os campos24 de Ramond-Ramond Cq s˜ao inclu´ıdos atrav´es do termo de Wess-Zumino: SW Z = µp Z Mp+1 X q ˆ Cq∧ eB+2πlˆ 2 sF, (2.86)
21Neste caso, introduz-se r´otulos adicionais para diferenciar as v´arias configura¸c˜oes poss´ıveis entre as branas e
as extremidades da corda. Estes r´otulos s˜ao chamados `as vezes de ´ındices de Chan-Paton.
22Al´em disso, a f´ormula de massa ´e tal que, separando as tais branas coincidentes, alguns campos de calibre
adquirem massa. Isto pode ser visto como uma alternativa ao mecanismo de Higgs.
23A supersimetria ser´a vista no pr´oximo cap´ıtulo.
24Estes campos est˜ao presentes no setor de Ramond-Ramond da teoria de Supercorda fechada. Isto tamb´em
2.8 A a¸c˜ao de Dirac-Born-Infeld 23
em que o somat´orio se extende sobre todos os campos de Ramond presentes e µp ´e a carga associada ao campo Cp.
Acolhendo todas estas considera¸c˜oes, vemos que a a¸c˜ao que descreve o comportamento a baixas energias dos campos de calibre (Fab) sobre a Dp-brana na presen¸ca dos campos bosˆonicos Gµν, Bµν, Φ e Cq ´e, no quadro das cordas (string frame)25,
SDp =−τp Z Mp+1 dp+1ξe−Φ q det( ˆGab+ ˆBab+ 2πls2Fab) + µp Z Mp+1 X q ˆ Cq∧ eB+2πlˆ 2 sF, (2.87)
em que τp e µp est˜ao relacionados entre si e com os parˆametros da corda ℓs e gs por [1, 10, 14] τp= µp= 1/(2π)pgslp+1s .
Cap´ıtulo 3
Supersimetria
3.1
Introdu¸c˜ao
As simetrias adquiriram um car´ater fundamental na f´ısica do s´eculo XX. O estudo dos grupos de simetria mostraram-se extremamente reveladores no estudo dos mecanismos b´asicos da Natureza. O objetivo deste cap´ıtulo ´e introduzir uma nova simetria, chamada supersimetria, ou, abreviadamente, susy.
A supersimetria surgiu com a necessidade de se incluir f´ermions na Teoria de Cordas bo- sˆonicas que estudamos no cap´ıtulo 2. A teoria resultante, a Supercorda, possui uma simetria sob uma transforma¸c˜ao que transforma os campos bosˆonicos em fermiˆonicos e fermiˆonicos em bosˆonicos. Em 1974, Wess e Zumino [15, 16] apresentaram um modelo quadridimensional de uma teoria de campos que combina o grupo de Poincar´e e as simetrias internas de um modo n˜ao trivial, obtendo assim transforma¸c˜oes de simetria (supersimetria) que transformam um b´oson num f´ermion e vice-versa.
Uma vez que estamos interessados principalmente na parte bosˆonica das teorias de supercor- das e supergravidade, apenas alguns conceitos advindos da supersimetria ser˜ao necess´arios aqui. Introduziremos tais conceitos atrav´es de um estudo da super´algebra em quatro dimens˜oes, por simplicidade. Algumas considera¸c˜oes sobre espinores em v´arias dimens˜oes s˜ao feitas no apˆendice B.
Al´em da perspectiva de descrever mat´eria (f´ermions) e intera¸c˜ao (b´osons) numa mesma representa¸c˜ao, a supersimetria ´e importante pelos aspectos te´oricos que ela proporciona. Por exemplo, uma das caracter´ısticas de uma teoria supesim´etrica ´e que h´a a mesma quantidade de estados bosˆonicos e fermiˆonicos, o que fornece um mecanismo para a remo¸c˜ao das divergˆencias que importunam a teoria quˆantica de campos, j´a que loops bosˆonicos e fermiˆonicos tˆem sinais opostos e podem eventualmente cancelarem-se entre si. Al´em disso, numa teoria supersim´etrica, todos os estados tˆem energia n˜ao-negativa e isso permite a remo¸c˜ao de estados taquiˆonicos quando f´ermions s˜ao inclu´ıdos na teoria de cordas bosˆonicas.
Apesar da elegˆancia da supersimetria, ´e preciso lembrar que n˜ao h´a embasamento experimen- tal para a afirmativa de que b´osons e f´ermion existem em pares (n˜ao h´a registros, por exemplo, de nenhum b´oson que tenha a mesma massa do el´etron). Isso indica que, na escala de energias a que temos acesso hoje, a supersimetria deve ser quebrada para se ajustar `as observa¸c˜oes. N˜ao discutiremos aqui, entretanto, a quebra espontˆanea de supersimetria e nos restringimos a indicar a referˆencia [17] (cap´ıtulo 9) para uma primeira leitura.