3.1 Redes Neurais Celulares
3.1.1 A arquitetura de Redes Neurais Celulares
A unidade de circuito b´asica de uma rede neural celular ´e uma c´elula que cont´em ele- mentos de circuito lineares e n˜ao lineares tais como, capacitores lineares (C), resistores lineares (R), fontes controladas lineares e n˜ao-lineares e fontes independentes (CHUA; YANG, 1988a). A estrutura de uma rede neural celular ´e similar `aquela encontrada em
autˆomatos celulares, j´a que cada c´elula da rede ´e conectada com suas c´elulas vizinhas. Dessa forma, c´elulas adjacentes podem interagir com suas c´elulas vizinhas e c´elulas n˜ao- conectadas diretamente s˜ao afetadas indiretamente por causa dos efeitos de propaga¸c˜ao da dinˆamica da rede. Um exemplo de CNN bi-dimensional ´e ilustrado na Figura 3.1. A c´elula da i-´esima linha e j -´esima coluna ´e indicada como C(i, j). A vizinhan¸ca-r de uma c´elula C(i, j) em uma rede neural celular ´e definida por:
Nr(i, j) = {C (k, l) | max {|k − i| , |l − j|} ≤ r, 1 ≤ k ≤ M; 1 ≤ l ≤ N } (3.1)
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com c´elulas arranjadas em M linhas e N colunas. Usualmente, chamamos a vizinhan¸ca r=1 de vizinhan¸ca 3x3. A vizinhan¸ca definida acima exibe uma propriedade de simetria, j´a que C(i, j) ∈ Nr(k, l), ent˜ao C(k, l) ∈ Nr(i, j), para todo C(i, j) e C(k, l) em uma rede
neural celular.
Figura 3.1: Uma rede neural celular bidimensional com matriz 4x4. Figura adaptada de (CHUA; YANG, 1988b).
A Figura 3.1 ilustra uma c´elula de processamento C(i, j) de uma rede CNN. Os sufixos u, x e y denotam entrada, estado, e sa´ıda da c´elula, respectivamente. As fontes de corrente (I) controladas conectadas por linhas pontilhadas representam as intera¸c˜oes dentro da vizinhan¸ca Nr. Os n´os de tens˜ao Vxij, Vuij,Vyij s˜ao denominados estado, entrada
e sa´ıda da c´elula C(i, j), respectivamente.
Figura 3.2: Um exemplo de um circuito de uma c´elula. Figura adaptada de (CHUA; YANG, 1988b).
Observa-se da Figura 3.2 que cada c´elula C(i, j) cont´em uma fonte de tens˜ao indepen- dente Eij, uma fonte de corrente independente I, um capacitor linear Cx, dois resistores
lineares Rx e Ry e 2m fontes de corrente lineares controladas por tens˜ao acopladas `as
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sa´ıda Vykl de cada c´elula vizinha C(k, l), em que m ´e igual ao n´umero de c´elulas vizinhas.
Particularmente, Ixy(i, j, k, l) e Ixu(i, j, k, l) s˜ao fontes de corrente controladas por tens˜ao
com as caracter´ısticas Ixy(i, j, k, l) = A(i, j, k, l)Vykl e Ixu(i, j, k, l) = B(i, j, k, l)Vukl para
todo C(k, l) ∈ Nr(i, j). O ´unico elemento n˜ao-linear em cada c´elula ´e a fonte de corrente
controlada por tens˜ao parcialmente linear Iyx = (1/Ry)f (Vxij) com caracter´ıstica f (.)
como ilustra a Figura 3.3.
Figura 3.3: A caracter´ıstica da fonte controlada n˜ao-linear. Figura adaptada de (CHUA; YANG, 1988b).
Considerando uma rede neural celular M xN , com c´elulas arranjadas em M linhas e N colunas, e aplicando as leis de Kirchhoff no circuito da Figura 3.2, as equa¸c˜oes deste arranjo s˜ao facilmente derivadas e especificadas a seguir. A equa¸c˜ao do estado ´e definida por: Cx(dVxij(t)/dt) = − (1/Rx) Vxij(t) + P C(k,l)∈Nr(i,j) A (i, j; k, l)Vykl(t) + P C(k,l)∈Nr(i,j) B (i, j; k, l)Vukl+ I, 1 ≤ i ≤ M; 1 ≤ j ≤ N (3.2)
A condi¸c˜ao inicial do estado da c´elula Vxij tem magnitude menor ou igual a 1, ou seja,
|Vxij(0)| ≤ 1. A equa¸c˜ao de sa´ıda ´e dada por:
Vyij(t) =
1
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O n´o de tens˜ao Vuij ´e definido como a entrada de C(i, j) e sua equa¸c˜ao ´e dada por:
Vuij = Eij, 1 ≤ i ≤ M; 1 ≤ j ≤ N; (3.4)
cuja condi¸c˜ao inicial ´e constante e tem magnitude menor ou igual a 1, ou seja, |Vuij| ≤
1.
Os parˆametros da equa¸c˜ao 3.2 s˜ao definidos por:
A(i, j; k, l) = A(k, l; i, j), 1 ≤ i ≤ M; 1 ≤ j ≤ N; (3.5)
Cx > 0, Rx > 0. (3.6)
em que ij refere-se `a c´elula C(i, j) e kl ∈ Nr(i, j) refere-se `a c´elula C(k, l) na vizin-
han¸ca dentro de um raio r da c´elula C(i, j). A e B s˜ao m´ascaras (templates) denominadas operador feedback e operador de controle, respectivamente. Os valores dos elementos do circuito podem ser escolhidos convenientemente na pr´atica. Rx e Ry determinam a
potˆencia dissipada no circuito e usualmente tˆem valores entre 1kΩ e 1M Ω. CxRx ´e a
constante de tempo da dinˆamica do circuito e usualmente tem valores entre 10−8 e 10−5s.
Para garantir que as equa¸c˜oes do circuito acima (3.2 a 3.6) sejam v´alidas para todas as redes neurais celulares, Chua e Yang (1988a) provaram o seguinte teorema que pode ser usado para determinar o intervalo dinˆamico de todos os n´os de tens˜ao na rede:
Teorema I O estado Vxij de cada c´elula em uma CNN ´e limitada para todo o tempo
t > 0 e o Vmax pode ser calculado pela seguinte f´ormula para qualquer rede neural celular:
Vmax = 1 + Rx|I| + Rx max 1≤i≤M;1≤j≤N
X
C(k,l)∈Nr(i,j)
(|A (i, j; k, l)|) + (|B (i, j; k, l)|)
. (3.7)
A fun¸c˜ao b´asica da rede neural celular em processamento de imagens ´e transformar uma imagem de entrada em uma imagem de sa´ıda. A rede deve sempre convergir para valores iguais a 1 ou -1 resultando em uma imagem bin´aria. Por outro lado, as imagens de entrada podem ter m´ultiplos n´ıveis de cinza desde que atendam `a condi¸c˜ao inicial da equa¸c˜ao de entrada. Isto significa que a rede neural celular para processamento de imagens deve
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sempre convergir para um estado constante, seguindo um regime transiente, inicializado por uma dada imagem de entrada.
Maiores detalhes sobre a an´alise das propriedades de convergˆencia da CNN s˜ao en- contradas em (CHUA; YANG, 1988b). Para que a convergˆencia da rede neural celular seja garantida, algumas condi¸c˜oes e restri¸c˜oes s˜ao resumidas e discriminadas a seguir.
Teorema 2 Ap´os decorrido o estado transiente, uma rede neural celular sempre se aproxima de um dos seus pontos de equil´ıbrio est´avel. Em outras palavras tem-se:
lim
t→∞Vxij(t) = α, 1 ≤ i ≤ M; 1 ≤ j ≤ N (3.8)
em que α ´e uma constante qualquer, ou tem-se: lim
t→∞
dVxij(t)
dt = 0, 1 ≤ i ≤ M; 1 ≤ j ≤ N (3.9)
Teorema 3 Se os parˆametros do circuito satisfazem:
A(i, j; k, l) > 1 Rx (3.10) ent˜ao, lim t→∞|Vxij(t)| ≥ 1, 1 ≤ i ≤ M; 1 ≤ j ≤ N (3.11) ou equivalentemente, lim t→∞Vyij(t) = ±1, 1 ≤ i ≤ M; 1 ≤ j ≤ N. (3.12)
O teorema 3 garante atrav´es da equa¸c˜ao 3.12 que a rede CNN apresentar´a sa´ıda bin´aria e implicar´a que o circuito n˜ao oscilar´a ou se tornar´a ca´otico. Esta propriedade ´e fundamental para solucionar problemas de classifica¸c˜ao que envolvem aplica¸c˜oes de processamento de imagens.
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