A classe IP

Umsistema interativo de provaé um sistema de prova como acima com a exceção de que o Verificador é um algo-ritmoprobabilísticode tempo polinomial ePé um algoritmo probabilístico sem restrições de tempo. Esse conceitofoi introduzido porGoldwasser et al.(1985) e de modo independente porBabai(1985). Uma interação emkrodadas define uma sequência de mensagensm₁,m₂, . . . ,m_ktal que

m₁�V(w), m₂�P(w,m₁), ...

m_i�











V(w,m₁, . . . ,m_i−1)sei é ímpar menor ou igual ak

P(w,m₁, . . . ,m_i−1)seié par e menor ou igual ak e(V,P)(w) = V(w,m₁, . . . ,m_k)∈{0,1}.

Uma linguagemLadmite um sistema interativo de provas se existe um VerificadorVprobabilístico de tempo polino-mial tal que com entradaw

1. completude: sew∈LentãoexistePtal que

P[(V,P)(w) = 1]�2 3; 2. consistência: sew�Lentãoqualquer que sejao ProvadorP

P[(V,P)(w) = 1]�1 3;

além disso, os algoritmos trocam no máximo um número polinomial em|w|de mensagens e aaleatoriedade é privada, ou seja,Pnão tem acesso aos bits aleatórios deVe vice-versa.

IP—Interactive Proof — é a classe de linguagens que admitem um sistema interativo de prova.

IP(k)é a subclasse de linguagens emIPque admitem um sistema interativo de prova emkrodadas.

A classeIPé invariante com respeito às seguintes modificações na definição: a probabilidade de erro é arbitrária e po-deria ser qualquer constante positiva, na completude, assumir erro com probabilidade zero. Não provaremos essesfatos aqui, o leitor pode consultarArora and Barak(2009, seção 8.3). Ademais, o Provador probabilístico não acrescenta poder ao modelo com respeito ao reconhecimento de linguagens, poderíamos assumirPdeterminístico e de complexidade de espaço⁴polinomial.

Convencionamos que um protocolo interativo é escrito como

4Um máquina de Turing tem complexidade de espaçoS(n)seS(n)é um limitante superior para a posição mais a direita nafita que é lida ou escrita em qualquer computação com instância de tamanhon.

alg oritmos

probabilisticos–

Com

putacao

probabilistica

Entrada:aqui descrevemos a entrada comum as duas partes.

V: aqui estão as computações de V;

V→P: aqui estão as mensagens enviadas deVparaP;

P: aqui, são as computações deP;

P→V: aqui, são as mensagens enviadas dePparaV;

O exemplo abaixo mostra um problema computacional que está na classeIPmas não se sabe se está na classeNP, o que é um indício de que com a aleatoriedade o modelo interativo vai além deNP.

Exemplo166 (noniso∈IP). Os grafos a seguir são sobre o mesmo conjuntoVde vértices,fixamosV ={1,2, . . . ,n}e um isomorfismo é uma permutação�do conjuntoSn de todas as permutações de{1,2, . . . ,n}de modo que seGé um grafo então�(G)é o grafo com arestas{{�(u),�(v)}:{u,v}∈E(G)}. Definimos a linguagemformada por pares de grafos não isomorfos

noniso�{�G,H�: GeHnão são grafos isomorfos}.

Não é sabido senonisoestá emNP.

Problema8. noniso∈NP?

Apesar disso, em 2 rodadas um Provador consegue convencer um Verificador probabilístico desse fato. O Verificador escolhe ao acaso um dos dois grafos e envia ao Provador um cópia isomórfica do grafo escolhido, o Provador tem que descobrir qualfoi o grafo escolhido, o que só é possível se os grafos da entrada nãoforem isomorfos. No protocolo abaixo essa estratégia é executada duas vezes para diminuir a probabilidade de erro

Entrada: os grafosG₀eG₁. V: i,j←R{0,1};

�,�←RSn;

H←�(G_i);J←�(G_j);

V→P: H,J;

P: seG₀não é isomorfo aH, entãod←1, senão seG₁não é isomorfo aH, entãod←0, senão

d←R{0,1};

seG₀não é isomorfo aJ, entãoe←1, senão seG₁não é isomorfo aJ, entãoe←0, senão

e←R{0,1}; P→V: d,e;

V: se(i,j) = (d,e)então responda1, senão responde0.

Se os grafosG₀eG₁ não são isomorfos, então o Provador pode sempre distinguir o caso em queHé isomorfo aG₀ do caso em queHé isomorfo aG₁, o mesmo vale paraJ, e sempre acertar os valores ded ee. Nesse caso o verificador responde1(completudesem erro).

Se os grafos são isomorfos então mesmo com um grande poder computacional o Provador não sabe distinguirHeJ deG₀ ouG₁ de modo qued eesão sorteados pelo Provador. O Verificador responderá errado sed =i ee=j, o que ocorre com probabilidade no máximo1/4.

alg oritmos

probabilisticos–

Com

putacao

probabilistica

Sistemas interativos de prova 136

Notemos que a tarefa do Provador durante a execução é testar isomorfismo entre grafos, o que não sabemosfazer deforma eficiente, entretanto, Pnão tem restrição de tempo, ele pode testar todas as n! permutações possíveis para

descobrir o isomorfismo. ♦

O exemplo acima nos mostra quenoniso∈IPmas, como já dissemos, ainda não sabemos responder senoniso∈NP, mais que isso, não sabemos se a inclusãoNP⊂IPé própria.

Problema9. NP�IP?

A linguagem

iso�{�G,H�: GeHsão grafos isomorfos}

por sua vez, está emNPpois um isomorfismo é um certificado curto que atesta pertinência na linguagem. Não é sabido seisoé uma linguagemNP-completa. SeisoforNP-completa, entãononisoserácoNP-completa e chegaríamos a uma resposta afirmativa para o problema

Problema10. coNP⊂IP(2)?

É sabido (Boppana et al.,1987) que se o problema10for respondido com sim,coNP⊂IP(2), então a Hierarquia Polinomial colapsa no segundo nível.

A classeIPcontém a hierarquia polinomial (Lund et al.,1992) e o quefoi surpresa para os pesquisadores é ofato de queIPé igual a classePSPACE—Polynomial Space— a classe das linguagens que podem ser decididas por algoritmos com complexidade de espaço polinomial (Shamir,1992,Shen,1992). Assim o que sabemos é que

P⊂NP⊂PH⊂IP=PSPACE.

Exemplo167 (não-resíduo quadrático está emIP). Sejapum primo. Lembremos queaé um resíduo quadrático modulo pse para algum inteiroxtemos x² ≡a (mod p). A linguagem definida pelos pares(a,p)tais quepé primo eaé um resíduo quadrático modulopestá emNPpois uma raiz quadrada deaé um certificado que pode ser verificado de modo eficiente, assim como a primalidade dep. Por outro lado, a linguagem definida pelos pares(a,p)tais quepé primo ea nãoé um resíduo quadrático modulopnão se sabe se está emNP, mas tem uma prova interativa como mostra o seguinte protocolo:

Entrada: um par de inteiros(a,p),pprimo.

V: r←R{1, . . . ,p−1}; b₁,b₂←R{0,1}; Para cadai∈{1,2},

seb_i= 0, entãow_i←r²modp, senãow_i←ar² modp;

V→P: w₁,w₂;

P: Para cadai∈{1,2},

sew_ié resíduo quadrático, entãoc_i←0, senãoc_i←1;

P→V: c₁,c₂;

V: se(c₁,c₂) = (b₁,b₂), então responde1, senão responde0.

Sea é resíduo quadrático então ar² também é um resíduo quadrático entãow₁ e w₂ serão resíduos quadráticos, portantoc₁=c₂= 0. Como o Provador não conhece os bitsb₁eb₂a probabilidade de que(c₁,c₂) = (b₁,b₂)é1/4. Agora,

alg oritmos

probabilisticos–

Com

putacao

probabilistica

se a não é resíduo quadrático então ar² também não é, enquanto que r² é resíduo quadrático, portanto o Provador consegue distinguir corretamente o bit sorteado pelo Verificador e a resposta, nesse caso, é sempre1. ♦