A COMBINATÓRIA E O RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO

A Análise Combinatória6 é uma área da Matemática relacionada com a contagem de quantidades discretas. Morgado, Pitombeira de Carvalho, Carvalho e Fernandez (1991) destacam que uma das primeiras atividades das crianças nas escolas está relacionada com quantidades de objetos de um determinado conjunto, enumerando-as. A Combinatória, entretanto, segundo os autores supracitados, estabelece que esta enumeração inicial de quantidades dê lugar a uma contagem dos elementos de um conjunto de modo que, por meio do princípio da multiplicação, seja possível “obter o número de elementos de um conjunto [...] sem que seja necessário enumerar seus elementos” (p.19). Assim, por exemplo, numa situação em que se pretende formar casais compostos por um homem e uma mulher, sabendo que são três homens e quatro mulheres, os autores destacam que:

Chamando os homens de h1, h2, e h3 e as mulheres de m1, m2, m3, m4, é fácil ver que há 4 casais nos quais o homem é h1, outros 4 nos quais o homem é h2 e outros 4 nos quais o homem é h3. O número de casais é, portanto, 4 + 4 + 4 = 3 x 4 = 12. O exemplo acima ilustra o Princípio Fundamental da Enumeração7 ou Princípio da Multiplicação, o qual diz: Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de y maneiras, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 é xy. (MORGADO, et al, 1991, p.19)

6 _{Neste estudo ‘Análise Combinatória’ e ‘Combinatória’ são consideradas sinônimos.}

Diferentes autores (GUIRADO; CARDOSO, 2007; PESSOA; BORBA, 2009; AZEVEDO; BORBA, 2013) defendem que já nos anos iniciais do Ensino Fundamental, se faz necessário que os professores trabalhem com seus alunos situações que exijam o raciocínio combinatório, de modo que seja possível pensar de maneira sistemática e generalizada na enumeração de elementos combinados entre si. Sobre isso, Batanero, Navarro-Pelayo e Godino (1997, p. 181) afirmam que os problemas de Combinatória podem ser usados “[...] para treinar os alunos na contagem, fazendo conjecturas, generalização e pensamento sistemático, que pode contribuir para o desenvolvimento de muitos conceitos, tais como as relações de equivalência e ordem, função, amostra, etc. [...]”.

Segundo Borba (2010, p.3) o raciocínio combinatório é

[...] entendido como um modo de pensar presente na análise de situações nas quais, dados determinados conjuntos, deve-se agrupar os elementos dos mesmos, de modo a atender critérios específicos (de escolha e/ou ordenação dos elementos) e determinar-se – direta ou indiretamente – o número total de agrupamentos possíveis.

Essa perspectiva da Combinatória será adotada no presente estudo por ser de natureza essencialmente cognitiva que é a abordagem pretendida nessa investigação. Dessa forma, o pensamento combinatório se caracteriza por um tipo de raciocínio que possibilita a enumeração, sistematização, generalização e abstração de uma situação que indica certas condições que precisam ser respeitadas para a sua resolução.

Teixeira e Pietropaolo (2013, p.10) afirmam que os problemas combinatórios apresentados na Educação Básica “são bastante atraentes para motivar crianças e jovens acerca de aplicações da Matemática”. Isso porque, esses problemas demandam o uso de diferentes formas de representação que estão relacionados com a maneira como o problema é proposto, incentivando nos estudantes um pensamento criativo e um raciocínio crítico em busca da solução de um problema. Em geral, na resolução de um problema de Combinatória é necessário pensar com bastante cuidado nos elementos dados, nas condições presentes na situação e em estratégias próprias para cada tipo de situação combinatória. Usualmente, nos problemas combinatórios os modos de resolução não são imediatamente

identificados. É preciso refletir bem e elaborar uma estratégia de resolução, seja por desenho, por listagem ou por fórmula, dentre outros modos de representação.

Assim, em consonância com o exposto pelos PCN de Matemática dos anos iniciais (BRASIL, 1997), se faz necessário que, desde os primeiros anos de escolarização, as crianças tenham contato com diferentes tipos de situações combinatórias, em diferentes contextos, com o uso de diversificadas representações, estimulando o raciocínio combinatório dos alunos. Essa ideia também é discutida nos PCN de Matemática dos anos finais quando se afirma que o objetivo é levar o aluno a lidar com situações que envolvam diferentes tipos de agrupamentos, ou seja, com diferentes situações combinatórias, pois elas visam possibilitar o desenvolvimento do raciocínio combinatório e a compreensão do princípio multiplicativo. A Combinatória sendo trabalhada dessa forma incentiva a curiosidade, instiga a perseverança em busca de soluções, também é base para o aprendizado de outros conceitos, e é fundamental para o desenvolvimento do raciocínio lógico matemático e hipotético-dedutivo dos alunos.

O raciocínio hipotético-dedutivo está relacionado, de acordo com Inhelder e Piaget (1976, p.241), com a diferenciação entre o real, o possível e o necessário. Os autores destacam que essa dissociação está vinculada a um nível do pensamento relacionado à Combinatória e Probabilidade. Flavell (1988, p.210) afirma que o raciocínio hipotético-dedutivo é, fundamentalmente, “Uma estratégia cognitiva que tenta determinar a realidade no contexto das possibilidades”.

Nesse sentido, no exemplo de uma situação combinatória de produto cartesiano em que é solicitado ‘De quantas maneiras diferentes é possível se vestir se Maria tem três saias e duas blusas?’ – quando uma criança afirma que não pode haver mais de uma possibilidade para a resposta, pois só é possível usar ‘uma blusa e uma saia’, a criança não utiliza pensamento relacionado com hipóteses ou possibilidades, mas apenas com a realidade. O pensamento hipotético começa a se desenvolver quando a criança passa a admitir que saias e blusas podem ser combinadas de distintas formas e, mais avanços acontecem quando conseguem sistematizar as possibilidades e encontrar as seis maneiras diferentes de combinar três saias e duas blusas.

Pessoa e Borba (2009) ressaltam que o aprendizado da Combinatória deve ter início já nos primeiros anos de escolarização, por meio de diferentes situações combinatórias, pois, assim, novas aprendizagens poderão ser incentivadas, bem como poderão ser superados os erros e as dificuldades apresentadas inicialmente, favorecendo, dessa forma, o momento do aprendizado sistemático oferecido por ocasião do Ensino Médio.

Desse modo, apesar de a Combinatória ser mais fortemente trabalhada durante o Ensino Médio, por meio do uso de fórmulas, é imprescindível que suas relações e propriedades sejam discutidas desde os primeiros anos do Ensino Fundamental. Guirado e Cardoso (2007) destacam que, trabalhando os problemas combinatórios desde os anos iniciais, os alunos poderão ser conduzidos para a “[...] abstração e generalização, e o hábito de adivinhar a fórmula adequada para resolver um problema de combinatória será substituído por um trabalho de análise e síntese” (p.1).

Assim, entende-se que, para que isso seja possível, é necessário que os professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental oportunizem seus alunos a entrarem em contato com distintos problemas combinatórios, de modo que utilizem diferentes formas de representá-los e que possam discuti-los com seus pares e professores, estabelecendo maior ligação com as relações presentes nesse tipo de pensamento e, assim, possibilitando um mais amplo desenvolvimento de seus raciocínios combinatórios.

A seguir serão discutidos os diferentes tipos de situações combinatórias.