mento
A influência da descoerência no emaranhamento de sistemas multipartites vem sendo estudada através de várias perspectivas, porém, em sua grande maioria, considerando aspectos de bipartição. Considerar apenas aspectos de bipartição pode levar a uma com- preensão incompleta do processo de descoerência, logo, é importante e altamente desejável investigar uma medida do grau de emaranhamento genuinamente multipartite sob a in- fluência do meio externo. Porém, todas as medidas de emaranhamento genuinamente multipartite são definidas através de procedimentos complicados de otimização. Na ver- dade, examinando a literatura na área da computação e informação quântica, sempre nos deparamos com problemas de otimizações onde alguma grandeza deve ser minimizada ou maximizada. Entre as grandezas que envolvem algum tipo de otimização, podemos citar a medida geométrica de emaranhamento e a discórdia quântica, entre muitas outras.
Motivados pela possibilidade de compararmos os resultados obtidos nos capítulos an- teriores para a dinâmica da fidelidade de sistemas formados por 4 qubits maximamente emaranhados que sofrem a influência de descoerência com a dinâmica de uma medida do grau de emaranhamento, nos dedicamos, durante um certo periodo, a tarefa de calcular numericamente a dinâmica da medida geométrica de emaranahmento para um sistema for-
mado por 4 qubits inicialmente emaranhados que interage com o meio ambiente e evolui não unitáriamente satisfazendo o mesmo hamiltoniano estudado nos capítulos anteriores,
ˆ H = N X n=1 ǫnˆσnz + ∞ X k=1 ǫkˆa†kˆak+ ~ X n,k ˆ σzn gkˆa†k+ g∗kaˆk , (6.8)
e, nas mesmas condições e regimes anteriores.
Como vimos na subseção 2.8.2, a medida geométrica de emaranhamento quantifica a distância no espaço de Hilbert entre um estado quântico emaranhado multipartite e o conjunto dos estados separáveis. Ela é definida como sendo
Eg = min |Φi∈Prod(H) − log2 |hΦ|Ψi| 2 , (6.9)
onde |Ψi é um estado emaranhado composto por N subsistemas pertencente ao espaço de Hilbert H =NN
i=1Hi (onde Hi é o espaço de Hilbert do i-ésimo subsistema) e Prod (H)
é o conjunto de todos os estados puros separáveis no espaço H. O mínimo na equação (6.2) garante que escolhemos o estado puro separável mais próximo do estado |Ψi, ou seja,
garante que Eg é a menor distância no espaço de Hilbert entre o estado |Ψi e o conjunto
de todos os estados puros separáveis.
A idéia inicial para se calcular a dinâmica da grandeza (6.2) era simples; reescrevendo a equação como se segue
Eg = min |Φi∈Prod(H) − log2 hΦ|ˆρQ(0) |Φi , (6.10)
poderiamos, uma vez que tinhamos calculado a dinâmica do operador densidade do sis- tema de interesse sob influência de descoerência, obter a evolução temporal da medida geométrica de emaranhamento da seguinte forma:
Eg(t) = min |Φi∈Prod(H) − log2 hΦ|ˆρQ(t) |Φi , (6.11)
onde ˆρQ(t) é o estado do sistema evoluido no tempo. Sabiamos que para alguns estados
esses estados (a condição apresentada no capítulo 5 na seção 5.2). Dessa forma, algumas perguntas eram inevitáveis: Apenas o emaranhamento é necessário para implementar protocolos de computação quântica? E quanto a fidelidade? Que tipo de comportamento dinâmico a medida geométrica de emaranhamento apresentará? Para certos estados es- pecíficos, será que essa medida decai exponencialmente com o tempo ou será que oscila como faz a fidelidade? Quais seriam os resultados de protocolos de computação quân- tica implementados em tempos onde a fidelidade é muito alta (ou seja, num pico de uma oscilação) e o emaranhamento muito baixo? E o que dizer da situação oposta? Assim, para responder essas e outras perguntas, o cálculo da dinâmica da medida geométrica de emaranhamento era uma questão que deveria ser resolvida. Nessa direção, primeiramente notamos que os estados puros separáveis mais gerais de sistemas formados por 4 qubits são escritos como se segue:
|Φi = |ψi1⊗ |ψi2⊗ |ψi3⊗ |ψi4, (6.12)
onde
|ψij = cos
θj
2
|0i + eiϕjsin θi
2
|1i , (6.13)
para j = 1, 2, 3, 4. Logo, a função hΦ|ˆρQ(t) |Φi é uma função das oito variáveis {θ j, ϕj}
para j = 1, 2, 3, 4 e do tempo t. Portanto,
G (θ1, θ2, θ3, θ4, ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4, t) = − log2 hΦ|ˆρQ(t) |Φi
. (6.14)
Para calcular a minimização sobre todos os estados puros separáveis (6.12), derivamos a função (6.14) em termos de suas oito variáveis angulares e igualamos a zero, obtendo
dessa forma oito equações não lineares com oito incógnitas para cada tempo t: ∂ ∂θ1G ({θj , ϕj} , t) = 0, ∂ ∂θ2G ({θj , ϕj} , t) = 0, (6.15) ∂ ∂θ3G ({θ j, ϕj} , t) = 0, ∂ ∂θ4G ({θ j, ϕj} , t) = 0, (6.16) ∂ ∂ϕ1G ({θ j, ϕj} , t) = 0, ∂ ∂ϕ2G ({θ j, ϕj} , t) = 0, (6.17) ∂ ∂ϕ3G ({θj , ϕj} , t) = 0, ∂ ∂ϕ4G ({θj , ϕj} , t) = 0. (6.18)
Cada uma das equações acima possui 256 termos que são proporcionais aos 256 elementos de matriz do operador densidade ˆρ (t). É evidente que calcular as raízes desse conjunto de oito equações não lineares com oito variáveis independentes não é uma tarefa nada trivial, mesmo dentro do reino dos métodos numéricos. Note que a nossa missão era encontrar o conjunto de oito números {θj, ϕj}, onde j = 1, 2, 3, 4, que satisfazem simultaneamente
as oito equações não lineares acima. Por outro lado, um conjunto de equações desse tipo pode não possuir nenhuma solução (real) ou ainda, pode apresentar um grande número de máximos e mínimos locais, dificultando a tarefa de se encontrar o máximo e o mínimo absoluto.
Após obtermos um algoritmo baseado no método de convergência global para sis- temas de equações não lineares e apesar de testarmos o nosso algoritmo para uma gama de situações em que poderiamos verificar a validade dos dados produzidos numerica- mente, obtendo dessa forma segurança em nosso algoritmo, não obtivemos resultados satisfatórios para a dinâmica da medida geométrica de emaranhamento. Os nossos re- sultados mostraram que a dinâmica da medida geométrica de emaranhamento, ao invés de decrescer com o passar do tempo, crescia com o tempo, como podemos observar no gráfico da figura (6.1) obtido atráves dos dados produzidos numericamente. Concluimos que deveriamos calcular a dinâmica da medida geométrica de emaranhamento, projetando o estado evoluido no subespaço mais geral dos estados mistos separáveis e não no sub-
Figura 6.1. A dinâmica da medida geométrica de emaranhamento para o estado de Cluster de 4 qubits interagindo com o meio externo coletivamente segundo o hamiltoniano (6.8).
espaço dos estados puros separáveis, já que o nosso estado inicial ficava cada vez mais misto à medida que ficava mais separável. Pensamos que, como a medida geométrica de emaranhamento é uma medida de distância no espaço de Hilbert, talvez os estados mistos separáveis estejam a uma distância maior dos estados puros separáveis do que es- tão os estados puros emaranhados. Em outras palavras, pensamos que talvez os estados emaranhados puros estejam mais próximos dos estados separáveis puros do que estão os estados mistos separáveis. Então, resolvemos calcular a dinâmica da medida geométrica de emaranhamento, projetando o estado do sistema evoluido nos estados mistos separáveis. Primeiramente escrevemos o estado de 4 qubits misto e separável da seguinte forma:
ˆ ρM S = ˆρ1⊗ ˆρ2⊗ ˆρ3 ⊗ ˆρ4, (6.19) onde ˆ ρi = ˆ Ii+ ~ri· ~σi 2 , para i = 1, 2, 3, 4. (6.20)
Assim teriamos Eg(t) = min ρM S∈ProdMS(H) − log2 Tr ˆρM SρˆQ(t) , (6.21)
onde agora ProdMS seria o subespaço de todos os estados mistos e separáveis dentro do espaço de Hilbert total. Essa modificação incluiria mais quatro equações não lineares ao conjunto de oito já existente e mais quatro variáveis independentes: r1, r2, r3, r4. Porém,
o estado (6.19) não é o estado misto separável mais geral. O estado misto separável mais geral é dado por
ˆ
ρ =X
µ
pµρˆ(1)µ ⊗ ˆρ(2)µ ⊗ ⊗ˆρ(3)µ ⊗ ˆρ(4)µ . (6.22)
Assim sendo, é impossível fazer uma varredura completa sobre todos os estados que per- tencem ao subespaço dos estados mistos separáveis, o que foi motivo de muita frustração, pois, esse fato colocava um ponto final em nossa busca pela dinâmica da medida geométrica de emaranhamento para sistemas de 4 qubits. Apesar da frustração inicial relacionada com o resultado dessa empreitada mal sucedida, logo encontramos uma situação que se mostraria factível para a aplicação de nosso algoritmo para o cálculo de equações não li- neares. A seguir mostraremos a nossa nova empreitada e os resultados obtidos, em parte, devido aos nossos esforços.