non-équilibre
Une analyse complète des fluctuations au sein des systèmes loin de l’équilibre ther
modynamique par le formalisme de la mécanique statistique constitue encore un
problème ouvert. Seuls quelques exemples simples ont pu être envisagés [46]. Un for
malisme probabiliste où l’évolution du système est vue comme un processus stochas
tique s’avère plus adéquat.
Un processus stochastique est caractérisé par une variable (scalaire ou vec
torielle) aléatoire dépendant du temps X(t), dont on peut mesurer les valeurs
Xi,X2,X3,... aux temps ti,t2,t3,... . Ces valeurs successives Xj de X sont appelées
événements. Le caractère aléatoire de la variable suggère d’introduire une densité
de probabilité p(x, t) non-négative et normalisée (/p{x,t)dx = 1). A tout instant t
la probabilité que la variable X prenne une valeur située dans l’intervalle [x, x -f dx]
est donnée par p(x, t)dx. Pour tenir compte de l’évolution temporelle du système,
on introduit également un ensemble de densités de probabilité jointes :
p(xi, U; X2, t2‘i ...) (2.13)
Dans le cas où les événements sont indépendants les uns des autres (la valeur de X
au temps t est indépendante de ses valeurs antérieures), la densité de probabilité
jointe se factorise :
p(xi,U;x2,/2) = p(xi,U)p(x2,/2) (2-14)
définit la densité de probabilité conditionnelle comme :
(2.15)
La dépendance en les événements précédents peut être très complexe. Cependant
parmi les processus stochastiques dont les événements ne sont pas indépendants,
il existe une classe importante et relativement simple constituée par les processus
markoviens.
2.3.1 Processus markoviens
Pour les processus de Markov, la distribution de probabilité d’un événement ne
dépend que de la distribution de probabilité de l’événement précédent. Cette hy
pothèse relève bien souvent d’une approximation, qui s’avère néanmoins valable dans
de nombreuses situations, et qui permet de simplifier sans mesure le formalisme
probabiliste. Dans ce paragraphe, nous décrivons brièvement les propriétés proba
bilistes de ces processus. La justification physique de l’approximation markovienne
sera discutée dans le paragraphe 2.3.2.
Soit un processus décrit par la densité de probabilité conditionnelle
p(Xi, , X2, f2) •• •) J |yi 5 D ) y2 J ^2) ) (2.16)
où on ordonne le temps selon :
ti > t2> ... > >
Tl > T2 > ... >Tm (2.17)
On dit que le processus est markovien si la densité de probabilité conditionnelle
(2.16) est égale à ;
p(Xi, f 1, X2, f2 ) 5 |yi 5 D ) (2.18)
Sachant que
(2.19)
on peut alors écrire pour un processus markovien:
p(Xi,fi;X2,f2;-;X„,f„;yi,Ti) = p(Xi,fi|X
2,f
2)p(X
2,f
2|X
3,t
3)
• ■■p(x„,f„|yi,Ti)p(yi,ri) (2.20)
et
p(Xi,fi;X
2,f
2;---;X„,f„|yi,Ti) = p(Xi,fi|X2,f2)p(X2,f2|X3,<3)
Le processus markovien est donc entièrement défini par une distribution à un temps
P(yi,7-i) et un ensemble de probabilités conditionnelles p(x„_i, |x„, remplis
sant le rôle de loi d’évolution.
La relation de consistence
p(xi,ti|x3,<3) = ydX2p(Xi,ti;X2,t2|X3,t3) (2-22)
devient, en vertu de l’hypothèse de Markov :
p(xi,ti|x3,t3) = y dX2p(Xi,ti|x2,t2)p(X2,t2|X3,i3) (2.23)
Cette équation est connue sous le nom à'équation de Chapman-Kolmogorov. Re
marquons que dans le cas d’une variable discrète l’intégrale sur dx2 est à remplacer
par une somme sur X2.
2.3.2 Equation différentielle de Chapman-Kolmogorov
Comme la forme intégrale 2.23 est peu manipulable en raison de son caractère non-
linéaire, il est intéressant de dériver sa forme différentielle, qui s’avère linéaire. A
cette fin définissons trois grandeurs : la probabilité de transition par unité de temps
I4^(x|z,f), le vecteur de dérive A et la matrice de diffusion B :
W{x\z,t) = + At\z,t) pour |x — z| > e (2.24)
lim ^ / dx{xi - Zi)p{x,t + At\z,t) = A,{z,t) + 0{e) (2.25)
At-*0 Af j\x-z\<e
lim — [ dx{xi — Zi){xj — Zj)p{x,t + At\z,t) = Rq(z, f)-f 0(e) (2.26)
At^O At J\x-z\<t
On peut montrer que pour autant que ces grandeurs soient bien définies, les moments
d’ordre supérieur à deux tendent vers zéro et n’ont donc pas besoin d’être définis.
Dérivant l’équation 2.23 par rapport au temps et développant la probabilité en série
de Taylor, on peut exprimer l’équation différentielle de Chapman-Kolmogorov sous
la forme :
^p(z,f|y,0 = J dx[W{z\x,t)p{x,t\y,t')-W{x\z,t)p(2,t\y,t')]
- J2-^\M^^t)p{z,t\y,t')]
+ (2-27)
Cette équation contient trois termes différents, correspondant chacun à un type
particulier de processus, appelés respectivement le saut, la dérive et la diffusion.
2.3.3 Equation maîtresse
Dans le cas où le vecteur A et la matrice B sont nuis, l’équation 2.27 se ramène
à une équation maîtresse :
^p(z,t\y,t') = J dx[W{z\x,t)p{x,t\y,t') - W{x\z,t)p{z,t\y,t')] (2.28)
Deux termes contribuent à l’évolution de la probabilité p(z, t|y, <'), un terme de gain
correspondant à la transition y ^ z et un terme de perte associé à z —>• x. Pour
une condition initiale déterministe,
p(z,t|y,t) = ù(y-z), (2.29)
l’équation 2.28 peut être résolue au premier ordre en At. La solution prend la forme:
p(z,t + At\y,t) = 8{y - z)[l - j dxW{x\y,t)At] + W{z\y,t)At. (2.30)
Pour tout At il y a une probabilité finie, donnée par le coefficient de ê{y — z) que le
système reste dans l’état y. La distribution des états autres que y vers lesquels le
système peut transiter s’exprime en terme de W{z\y, t). Typiquement cette solution
peut être associée à un processus de saut: les réalisations présentent une sucession
de plateaux entrecoupés de sauts. Notons que dans le cas d’une variable discrète,
l’équation maîtresse se ramène à
— P(n, t|n', t') = [f^(nlm,t)P(m,t|n',t') — W{m\n,t)P{n,t\n',t')] (2.31)
miin
Si la variable discrète est à valeur entière, elle évolue par quantités elles-mêmes
entières. Ce type de variable est particulièrement bien adaptée à la description de
population, au sens large du terme. Lorsque le saut est positif on parle de processus
de üze, lorsqu’il est négatif, on parle de mort, d’où le nom de processus de vie et de
mort.
2.3.4 Equation de Fokker-Planck
Dans le cas où la probabilité de transition par unité de temps Vl^(z|x, t) s’annule,
seuls les termes de dérive et de diffusion subsistent dans l’équation 2.27 :
O
—p(z,t\y,t')= - [A.(z,t)p(z,t|y,t')]
+ (2.32)
Pour une condition initiale déterministe
p{z,t,y,t) = S(z-y), (2.33)
la solution de l’équation 2.32 est une distribution gaussienne dont le maximum dérive
avec une vitesse A(y, f), et qui s’étale au cours du temps par l’intermédiaire de la
matrice de diffusion B(y, t):
p(z,t + A<|y,t) = (27T)"'^^y^^5exp[-^(z - y - AAt)^B"^(z - y - AAf)]
(2.34)
Ce type d’équation décrit des processus continus (mais non-différentiables), mais
peut également s’avérer très utile dans l’approximation de processus discrets. En
effet, nous verrons plus loin comment un processus de saut décrit par une équation
maîtresse peut être ramené à un processus continu de diffusion.
2.3.5 Equation de Liouville
VE(z|x, f) = Bij(z,t) = 0
Le dernier cas particulier que nous citerons est celui de l’équation de Liouville :
^p(z, f |y, = (2.35)
Pour une condition initiale déterministe, p(z, t, y, t) — 6(z — y), on vérifie facilement
que la solution de 2.35 est donnée par
p(z, t + At|y, t) = S(z - x(y, t)) (2.36)
où x(y,t) est solution de l’équation déterministe :
^x(y,f) = A(x(f),f) (2.37)
En d’autres termes la distribution de probabilité suit la trajectoire déterministe, sans
étalement. En effet, si la matrice de diffusion B est nulle, cela revient à négliger les
fluctuations.
2.3.6 Lien entre les descriptions déterministe et stochas
tique
Etablissons à présent dans quelles limites la description stochastique rejoint la de
scription déterministe basée sur les équations phénoménologiques.
Dans certaines situations, la distribution de probabilité est centrée autour d’une
valeur bien définie. Dans ce cas le premier moment est proche du maximum de
la distribution et décrit relativement bien l’évolution des variables macroscopiques.
Malheureusement ce cas est idéal et, en général, la moyenne diffère significativement
du maximum et donc de la grandeur macroscopique correspondante. Ceci provient
de ce que le système est soumis à des fluctuations. En effet, de (2.37) on peut
déduire que:
^-^^=<A(x,0> (2.38)
La fonction A(x,t) étant en général nonlinéaire, on ne peut pas écrire
< A(x, t) >= A(<
X>, t) (2.39)
On voit donc que l’équation pour les moyennes, A(< x >,t), diffère des équations
phénoménologiques auxquelles obéissent les variables macroscopiques. L’évolution
de <
X> est donc déterminée à la fois par sa moyenne mais aussi par les fluctuations
autour de cette moyenne. L’approximation macroscopique consiste à ignorer les
fluctuations et à ne garder que les termes du premier ordre. On a donc dans cette
approximation l’équation déterministe:
No documento
O ordenamento do território e a estrutura ecológica de Vila Nova de Famalicão
(páginas 79-86)