A entrada lexical e o sistema lógico de tipagem

O sistema do Léxico Gerativo Montagueano emΛTy_n², funciona da seguinte maneira:

o léxico fornece cada item lexical com:

• umλ-termo principal, o “mais corrente”, que especifica a estrutura argumental³ do item,

• um número finito de λ-termos (possivelmente nenhum) que implementam as transferências de significados.

2A nomenclatura segue [Muskens, 1990] que define uma lógica de primeira ordem com muitos tipos parae(e_n) chamada deTy_n. Como o LGM também quantifica sobre tipos através do cálculoΛde segunda ordem, os autores optaram por chamá-la deΛTy_n.

3Aqui, a estrutura argumental indica apenas argumentos sintáticos que são geralmente obrigatórios.

Runpoderia ser especificado apenas comoλx.run(x), mas é interessante ressaltar que o mecanismo do LGM não impede que outros formatos de estrutura argumental sejam utilizados.

Graças ao sistema de tipos mais complexo, é possível especificar, através do tipo do argumento do λ-termo principal, a natureza do argumento do verbo ou do predi-cado: por exemplo, “runs: λx^animalrun(x)”somente é aplicável a indivíduos do tipo

“animal”. O λ-termo opcional permite, então, tornar um objeto de um determinado tipo em outro tipo, se este for requerido pelo predicado: umλ-termo opcional é uma função que pode transformar, por exemplo, o tipo de um nome como São Paulo de

“town”em“institution”, de “town”em “geographic place”, ou de“town”em“ fo-otball club” através dosλ-termos opcionais: “ f_i: town→institution”, “ f_p: town → place”and“ f_c: town→club”.

Uma entrada lexical, então, tem o seguinte formato:

hλx^v.(assinatura^v→tx);

Id=λx^v.x, f_M^v→r, ...i

• λx^v.(assinatura^v→tx)é oλ-termo principal;

• Id=λx^v.xé a função de identidade doλ-termo principal;

• = f_M^v→r é um λ-termo opcional que muda o tipo de assinatura de“v”(evento) para“r”(resultado),Mé o índice da variável, uma etiqueta arbitrária usada para diferenciar umλ-termo opcional de outro.

Seguindo [Borges Neto, 1999, Retoré, 2013], o tipo semântico para nomes comuns é e→t, logo a forma lógica deassinatura éλx^v.(assinatura^v→tx). Já o tipo de um nome próprio, comoSão Paulo⁴, éee sua fórmula éλx^town.x.

hλx^town.(sao_paulo^townx);

Id=λx^town.x, ftown→institution

i , f_p^town→place f_c^town→club...i

O sistema lógico para a computação sintático-semântica das sentenças é bastante próximo da semântica de Montague, exceto pelo uso do Sistema F, proposto por

[Gi-4Aqui faço referência apenas à denotação deSão Paulocomo cidade, e não como santo.

rard, 1971], que permite a quantificação sobre tipos. Precisamente, é usada a lógica proposicional de segunda ordem e o cálculo λ de segunda ordem como sistema de tipo. O quantificador proposicional de segunda ordem é denotado por Λ, como no Sistema F. Λ, então, é um operador que age somente sobre tipos: Λ liga variáveis de tipos, considerados de segunda ordem, enquanto λ liga variáveis de primeira or-dem, predicados e entidades. A abstração λ, Λα.T, vista como uma fórmula lógica, é escrita como ∀α.T, onde ∀ quantifica proposições ou tipos, mas não variáveis de primeira ordem. Desta forma, dizer que um termo é do tipoΛα.T, para qualquer tipo arbitrárioU, é dizer que seu tipo é T[U/α], já que a aplicação de Λα.T{U} resulta emT[U/α].

Vejamos como formalmente o sistema lógico é descrito⁵. Considere um conjunto P de variáveis de tipo:

(221) constanteseet, assim como qualquer variávelα, são tipos;

(222) se T é um tipo e α é uma variável de tipo, que pode ocorrer ou não em T, Λα.T é um tipo.

(223) seT₁eT₂são tipos, entãoT₁→T₂também é um tipo.

Consideremos, então,assinaturacomo exemplo. A fórmula deassinaturaéλx.x^v, ondevé uma constante de tipo (da natureza deeexposto acima). O tipo doλ-termo opcional deassinatura, por exemplo, év→r: vé um tipo (T₁),ré um tipo (T₂), logo v→ré também um tipo (T₁→T₂).

Para referir-se a uma expressão cujo tipo contém uma variável a ser saturada:

Λα.T, onde α é uma variável de tipo eT é a expressão, como exposto em 222. Se tivéssemos umλ-termo opcional deassinaturaa ser saturado posteriormente, sua fór-mula poderia ser: Λα.T^v→α. Esta fórmula diz que existe uma variável de tipo a ser saturada emT. Por exemplo, ao assumirmos que nominalizações podem ter diversos significados e que eles serão definidos em contexto, fórmulas de tipo com variáveis a

5Apresentarei as regras por partes, seguidas de comentários e exemplos.

serem saturadas tornam-se muito úteis. Esta possibilidade formal, de termos fórmulas de tipos não saturadas, é trazida pelo Sistema F de [Girard, 1971], já que normalmente lógicas de primeira ordem não operam sobre tipos.

Para cada tipo existente na linguagem, há um conjunto contável de variáveis que poderão ser formadas a partir deste tipo:

(224) Uma variávelxde tipoT é um termo de tipoT;

(225) Seτ é um termo de tipo T e f é um termo de tipoT →U ,(fτ)é um termo de tipoU;

(226) Sexé uma variável de tipoT, e τ é um termo de tipoU,λx^T.τ^U é um termo do tipoT →U;

(227) Se τ é um termo do tipo Λα.T, e U é um tipo, τ{U} é um termo do tipo T[U/α];

(228) Seα é uma variável de tipo, eτ é um termo do tipoT sem nenhuma variável livre envolvendo a variável de tipoα,Λα.τé um termo do tipoΛα.T.

224 diz que mesmo uma variável desconhecida pode ter seu tipo pré-definido,x^vé do tipov, assimx, mesmo indefinido, é do tipov.

Imediatamente abaixo, em 225, tem-se a regra que define como os tipos se portam em aplicações funcionais entre constantes, isto é, a resolução dos tipos na concatena-ção das expressões:

a^{((v→t)→v)}assinatura^v→t = (a assinatura)^v, ondea=T,assinatura= f,U =v.

Visitaremos esta aplicação detalhadamente nas próximas páginas.

Já em 226, tem-se a formalização do funcionamento dos tipos em expressões for-madas por um termo (τ^U) e uma variável (x^T). Se consideramos assinatura como exemplo: assinatura é um termo (τ), seu tipo (U) é v→r. Aplicando agora λx^T.τ, temos: (λx^Tassinatura^v→t), que é uma expressão do tipoT →(v→t).

Em 227, temos a regra de substituição dos tipos. A expressãoT[U/α] significa

‘substitua todas as ocorrências deα porU emT’: τ^Λα.T{U}.

Por fim, 228 define a regra dos tipos de expressões sem variáveis livres. Λα.τ^T é uma expressão do tipoΛα.T.

A redução, formalização comum para saturar as expressões com variáveis ligadas porΛeλ, é definida como:

(229) (Λα.τ){U}reduz paraτ[U/α], ondeα eU são tipos;

(230) (λx.τ)ureduz paraτ[u/x](redução canônica);

229 é a redução de segunda ordem, aplicada a tipos e proposições.τ[U/α]indica que na expressão τ, todas as instâncias de α devem ser substituídas porU. Já em 230, temos a mesma relação de redução, mas de primeira ordem, ou seja, aplicável a entidades e predicados.

Como no cálculoλ tipado simples, o sistema é altamente normalizado e conflu-ente, já que cada termo tem uma única forma normal [Girard, 1972].

É possível ver o uso da lógica de segunda ordem no LGM ao considerar o trata-mento proposto para o artigo definido, “the”, por [Retoré, 2013]. Para dar conta dos vários tipos para e, o artigo definido é formalizado a partir do operador ι definido por [Hilbert and Bernays, 1939], como ι =Λα.((α →t)→α), onde α é qualquer tipo. Assim o tipo do artigo definido (ι) é vago quanto ao tipo do termo que servirá como argumento e será contextualmente especificado conforme o tipo requerido [Real and Retoré, 2013]. Vejamos a formalização para “a assinatura”, ondevé o tipoevento:

the=ι:Λα.((α →t)→α) ι:((v→t)→v) =ι^{((v→t)→v)}

“a assinatura”

a assinatura^v→t =ι^{((v→t)→v)}(assinatura^v→t)

(ι(assinatura))^v

Em outros contextos, obviamenteι poderá assumir outros valores.

Apresentei até agora os principais mecanismos e regras do LGM. Na próxima seção, veremos seu funcionamento.