A Equação de Euler

Antes de atacarmos a Equação de Navier-Stokes, melhor descrição que possuímos para o escoamento de um fluido real, vejamos um passo anterior, desenvolvido por Leonhard Euler: as equações de movimento para um fluido ideal (invíscido). Para tal, ele considerou a ideia de um campo escalar de pressão para descrever as forças que atuam sobre um elemento de fluido, e computou o balanço de momento no fluido. Note que, fisicamente, temos uma sutileza em relação a campos contínuos: a matéria, em sua essência, é discreta!

O que faremos será considerar médias macroscópicas, onde cada elemento de fluido contém moléculas em número o suficiente para ’borrar’ efeitos microscópicos, mas ainda é muito menor que as escalas relevantes para a dinâmica do sistema. Assim, podemos falar de um campo suave o suficiente para que as operações usuais do cálculo possam ser realizadas sobre ele.

No desenvolvimento a seguir, faremos uso das Referências [1, 2]. Seja D uma região do espaço bi- ou tri-dimensional preenchida por um fluido. Seja x ∈ D um ponto nessa região, pelo qual os elementos do fluido podem passar; note que estamos utilizando uma visão euleriana, ou seja, a malha de pontos é fixa e o fluido se movimenta por ela. A

descrição desse fluido se dará através do seu campo de velocidades u(x, t). Além disso, utilizando a hipótese de meio contínuo, definiremos uma densidade de massa ρ(x, t), tal que em uma subregião W da região D a massa de fluido será dada por

m(W, t) = Z

W

ρ(x, t)dV. (2.1)

Antes de descrevermos as hipóteses de Euler, iremos definir a derivada material e enunciar o Teorema do Transporte. Seja uma função f(x,t), x∈ D e uma trajetória ϕ(t) de um dado elemento de fluido. Podemos calcular a derivada temporal de f ao longo de ϕ como:

Ou seja, pela regra da cadeira, a noção de derivada temporal sobre uma trajetória (e os elementos de fluido sempre estarão seguindo trajetórias) nos leva naturalmente à noção de derivada material:

Essa derivada leva em consideração a própria variação temporal da função f e o efeito sobre ela da dinâmica dos elementos de fluido que a carregam. Feita esta definição, irei enunciar o Teorema do Transporte; sua prova pode ser encontrada em [1]. Consideraremos que a sub-região W pode evoluir no tempo, sendo denotada por W_t

(2.4) Faremos, em todas as nossas discussões, uma restrição que parecerá drástica à pri-meira vista: consideraremos apenas fluidos incompressíveis. Isso significa que a densidade é constante, e os elementos de fluido preservam seu volume em sua evolução. Na prá-tica, isso é uma ótima aproximação quando as velocidades envolvidas são muito baixas

em comparação com a velocidade do som no meio. Veremos depois que a hipótese de incompressibilidade introduz uma não-localidade na descrição do campo de velocidades, mas é o preço a se pagar por uma enorme simplificação. Caso contrário, deveríamos ter uma equação de estado para o fluido e abrir a caixa de Pandora da termodinâmica. Nessa dissertação, não abordaremos o problema dos fluidos compressíveis.

Vejamos a consequência de um fluido ser incompressível. A evolução do volume de um elemento de fluido é dada pelo determinante Jacobiano correspondente à trajetória ϕ(t):

d

Usando a regra da cadeira, podemos obter a derivada parcial de J. Embora seja direta tal demonstração, é ligeiramente extensa, e não entraremos em detalhes desnecessários. Tal regra de evolução é dada por:

∂ Se exigirmos que esse volume se conserve, devemos ter ∇·u = 0. Como isso faz com que J seja uma constante, o terceiro termo de (2.7) também se anula, e temos a Lei de conservação do volume. Isso significa que o campo de velocidade deve ter divergência nula, o que pela Lei de Gauss implica que não há fontes ou sorvedouros em nossa região de interesse. Esse vínculo simplifica o Teorema do Transporte:

d

Consideremos agora a equação de Euler. Ela resulta de quatro hipóteses: (i) a massa se conserva, (ii) a segunda lei de Newton é válida, (iii) não há criação nem destruição de energia e (iv) o fluido é ideal (não possui viscosidade). Vejamos as consequências dessas

hipóteses, começaando pela primeira: não há criação nem destruição de massa. Logo, qualquer alteração na massa contida em uma sub-região W se deve a um fluxo de massa em seu contorno ∂W:

Essa é a forma integral da conservação de massa. O vetor n é um vetor unitário que é perpendicular à superfície de W ponto a ponto. Usando o teorema da divergência, podemos reescrevê-la como

Como (2.10) é válida para qualquer sub-região arbitrária W, o integrando deve se anular.

Assim, teremos a celebrada equação de continuidade, onde j= ρu é a corrente de massa através de ∂W:

∂ρ

∂t +∇·j= 0. (2.11)

Por outro lado, se utilizarmos o vínculo de incompressibilidade, teremos

∂ρ

∂t +ρ(∇·u) +∇ρ·u= Dρ

Dt = 0. (2.12)

.

Ou seja, a conservação de massa e incompressibilidade implicam que a densidade de um elemento de fluido, durante sua evolução, é constante. Logo, para nós o fluido inteiro não só terá densidade uniforme em todo o espaço, como também constante no tempo.

Agora, vejamos o que ocorre quando aplicamos o balanço de momento (Segunda Lei de Newton). Para tanto, devemos entender quais forças entrarão em jogo. Usando uma classificação atribuída a Cauchy, teremos dois tipos de contribuição aqui: uma parte devida às forças volumétricas, causadas por algum agente externo (campo magnético, campo gravitacional, etc.), e a outra devida às forças de contato (stress), internas ao fluido.

Como pela hipótese (iv) o fluido é ideal, todas as forças internas são normais à superfície

de contato (pressão). Note que, como carecemos de forças tangenciais nesse modelo, a equação de Euler não pode criar ou destruir vorticidade, o que contraria grande parte do que observamos em escoamentos físicos. Porém, prossigamos; vamos definir um campo escalar p(x,t) que represente a força por unidade de área atuando sobre um elemento de fluido - ele representará a pressão. A força sobre uma sub-região do fluido, num dado tempo t, será dada por:

Novamente usando o teorema da divergência, podemos encontrar a contribuição volumé-trica da força resultante. De acordo com a Segunda Lei de Newton, teremos:

F= d dt

Z

Wt

ρudV. (2.14)

Por (2.8) e a expressão para a força resultante, obtemos a Equação de Euler: D

Dt(ρu) =−1

ρ∇p+f. (2.15)

Como a densidade será uma constante, por simplicidade iremos tomar ρ = 1. Note que ainda não utilizamos a hipótese da conservação de energia; ela poderia induzir um termo a mais na equação. Isso não irá ocorrer nesse caso, mas por motivos didáticos vamos conferir como é o balanço de energia. Como o fluido é incompressível, podemos desprezar sua energia interna (que entraria na discussão termodinâmica e não se faz necessárioa no presente contexto), e sua energia total é dada pela energia cinética. Sua derivada será:

d

Se utilizarmos então a (2.15), teremos: O que significa que todo aumento de energia do fluido se dá por conta da potência cedida pelo campo de pressão e por agentes externos. Podemos integrar o primeiro termo por partes, e reescrevê-lo como um fluxo:

Z

Como a região W compreende totalmente o fluido, o fluxo de corrente em sua fronteira é nulo, e esse termo vai a zero. O único trabalho relevante é o injetado pelas forças volumétricas externas.

Note que não há termo dissipativo. Assim, caso a força externa deixe de agir, espe-raríamos inocentemente que o movimento do fluido não cesse após uma agitação inicial.

Porém, na ausência de um termo dissipativo que "suavize"o campo de velocidades, este rapidamente evolui para uma configuração não-diferenciável, e o balanço de energia não pode ser feito tão diretamente; veremos esta questão em maiores detalhes quando discu-tirmos a Lei Zero da Turbulência.

Um comentário adicional a ser feito: como não há viscosidade, o fluido não irá "gru-dar"no contorno do volume que o encerra. Essa inexistência da dita camada-limite (volta-remos a esse conceito em outra seção) induz a seguinte condição de contorno: na fronteira, a componente da velocidade normal à superfície deve ser zero, enquanto a componente tangencial tem total liberdade. Matematicamente,

u·n= 0 em ∂D. (2.18)

Notemos que esta equação já carrega algumas das complicações vistas em Navier-Stokes, a saber: é uma EDP não-linear e não-local (no limite incompressível). O termo não-linear será discutido mais a frente, quando falarmos sobre a cascata de energia; por enquanto,

ele é só um empecilho matemático. Já quanto à não-localidade, ela se torna evidente ao tomarmos o divergente da equação de Euler. Dada a condição div u = 0, teremos:

∇²p=−∇·(u·∇u) = −∇²(u·u). (2.19) Podemos reconhecer aqui uma equação de Poisson, completamente análoga aos casos de potencial elétrico e gravitacional. Logo, para um domínio infinito, utilizamos a solução dada pela Lei de Gauss, nos aproveitando dessa analogia.

p(x, t) = 1 4π

Z ∇⁰²(u(x⁰, t)·u(x⁰, t))

|x−x⁰| d³x⁰. (2.20) Esta expressão nos mostra que a pressão num ponto x é determinada conhecendo-se o integrando em todo o restante do espaço. Isso é natural, uma vez que o vínculo de incom-pressibilidade equivale a ondas sonoras com velocidade infinita: qualquer perturbação em um dado ponto do fluido é transmitida instantaneamente para todo o restante do domínio, a fim de que o campo de pressão se reajuste e os vínculos de divergência nula da velocidade e densidade constante sejam respeitados em todos os pontos da região W. Se por um lado contornamos o problema termodinâmico, por outro ganhamos uma dificuldade extra, que torna as simulações muito mais caras e os cálculos analíticos muito mais complexos.

Vale notar que, pelo Teorema de Kelvin da circulação [1], não há criação de vortici-dade em um fluido perfeito. Mesmo na existência de condições de contorno não é possível criar vorticidade na fronteira - então, uma vez que a vorticidade seja nula, nunca poderá evoluir. Como experimentalmente observamos a criação de toda uma fauna de turbilhões e vórtices, esta é uma séria dificuldade do modelo de fluido ideal.