que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.
Questão 20
(ENEM)
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é
a) E1E3. b) E1E4. c) E2E4. d) E2E5. e) E2E6.
Questão 20
(ENEM)
Trajetos de A para B: ( E1E4 ) ou ( E1E3 ) ou ( E2E6 ) ou ( E2E5 )
Probabilidade de não ter engarrafamento:
0,2 0,7 0,5 0,3 0,4 0,6
Questão 20
(ENEM)
Probabilidade de não ter engarrafamento:
Trajeto Prob. de não ter engarrafamento E1E4 0,2 0,7 (0,2).(0,7) = 0,14 E1E3 0,2 0,5 (0,2).(0,5) = 0,10 E2E6 0,3 0,4 (0,3).(0,4) = 0,12 E2E5 0,3 0,6 (0,3).(0,6) = 0,18
Melhor trajeto: E2E5 Gabarito: d
Questão 20
(ENEM)
Considere os conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}.
a) Determine o número total de produtos distintos de seis fatores distintos, que podem ser obtidos, escolhendo–se três fatores entre os elementos do conjunto P e três fatores entre os elementos do conjunto Q.
b) Determine quantos dos produtos obtidos no item (a) são divisíveis, pelo menos, por um dos números 2 ou 29.
Conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}. a) Determine o número total de produtos distintos de seis fatores distintos, que podem ser obtidos, escolhendo–se três fatores entre os elementos do conjunto P e três fatores entre os elementos do conjunto Q.
Questão 21
Resolução: _____ _____ _____ _____ _____ _____C
83C
6 38!
3!.(8− 3)!
6!
3!.(6− 3)!
x= 1120
Conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}. b) Determine quantos dos produtos obtidos no item (a) são divisíveis, pelo menos, por um dos números 2 ou 29.
Questão 21
Resolução: Produtos que não interessam (sem os fatores 2 e 29):
_____ _____ _____ _____ _____ _____
C
73C
5 37!
3!.(7− 3)!
5!
3!.(5− 3)!
x= 350
Total: 1120 Sem Int.: 350 Casos de interesse: 1120 – 350 = 770As embalagens dos produtos vendidos por uma empresa apresentam uma seqüência formada por barra verticais: quatro de largura 1,5 mm; três de largura 0,5 mm e duas de largura 0,25 mm como na figura abaixo. Cada seqüência indica o preço de um produto. Quantos preços diferentes podem ser indicado por essas nove barras?
Questão 22
Resolução:
4 de largura 1,5 mm; 3 de largura 0,5 mm e 2 de largura 0,25 mm:
P
94,3,2=
9!
4!.3!.2!
⇒ P
9ENEM | O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
a) 2×(0,2%)4. b) 4×(0,2%)2. c) 6×(0,2%)2×(99,8%)2. d) 4×(0,2%). e) 6×(0,2%)×(99,8%). Resolução: D e D e ND e ND (0,2%) x (0,2%)x(99,8%)x(99,8%) = (0,2%)2 x(99,8%)2 D, D, ND, ND Gabarito: c
Questão 23
P
42,2=
4!
2!.2!
= 6
FUVEST | Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
Dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
Questão 24
Resolução: Sendo x o número de homens, temos:
Cumprimentos entre dois homens: 2.Cx,2
Cumprimentos entre um homem e uma mulher: x.(37 – x) Portanto: 2.Cx,2 + x.(37 – x) = 720
2.
x!
Questão 24
Resolução:2.
x!
2!.(x
− 2)!
+ x.(37 − x) = 720
2.
x.(x
−1).(x − 2)!
2.1.(x
− 2)!
+ 37x − x
2= 720
x
2− x + 37x − x
2= 720
36x
= 720
x
= 20
Mulheres: 37 – x 37 – 20 17 Gabarito: bCom n letras iguais a A e 3 letras iguais a B formam-se um total de 8n + 16 permutações. Calcule n.
Questão 25
Resolução: ___ ___ . . . ___ ___ ___ ___ A A A B B B n letras 3 letrasP
n+3n,3=
8.n+16(n+ 3)!
n!.3!
= 8.n+16
n
2+ 4n− 45 = 0
⇒
n
= 5
n
= −9
⎧
⎨
⎩
Gabarito: 05Um oráculo mente sempre às segundas, terças e quartas feiras, mas fala sempre a verdade nos outros dias. Num certo dia ao ser
perguntado se “hoje é domingo” , ele respondeu “sim” . A probabilidade de ele estar mentindo é:
a) 3/7 b) 4/7 c) 3/4 d) 1/4 e) 1/7
Questão 26
Resolução: Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado
V M M M V V V
Dias em que o oráculo poderia responder SIM:
Domingo (V); Segunda(M); Terça(M) ; Quarta(M).
Probabilidade do oráculo estar mentindo:
Gabarito: c
P
=
3
João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.
Questão 27
(ENEM)
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de
a) 60 min. b) 90 min. c) 120 min. d) 180 min. e) 360 min.
Questão 27
(ENEM)
Resolução: Trajeto Custo ABCDEFA 49 AFEDCBA 49 Total de Trajetos: A B C D E F A B C D E F
P
5= 5!
P
5= 120
Questão 27
(ENEM)
Como João gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, o tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de:
Total de Trajetos:
P
5= 120
Tempo:
120
2
⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
.(1min.30s)
=
( )60
.(1,5 min.)
=
90 min.
Gabarito: b
Questão 27
(ENEM)
Sobre uma mesa, há 15 bolas de bilhar: 8 vermelhas, 4 amarelas e 3 pretas.De quantos modos podem-se enfileirar essas bolas de modo que duas da mesma cor nunca fiquem juntas?
Questão 28
Resolução:
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
Há 7 bolas de bilhar, 4 amarelas e 3 pretas, para 7 espaços.
Gabarito: 35
P
73,4=
7!
3!.4!
⇒ P
7UERJ | Numa sala existem cinco cadeiras numeradas de 1 a 5. Antônio, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo devem se sentar nestas cadeiras. A probabilidade de que nem Carlos se sente na cadeira 3, nem Daniel na cadeira 4, equivale a:
a) 16% b) 54% c) 65% d) 96%
Questão 29
Gabarito: cCEM | O número de maneiras que pode-se distribuir 10 moedas, todas idênticas, entre 4 crianças, de modo que cada criança receba pelo menos uma moeda é:
CEM | O número real positivo x que satisfaz a condição x2 = x + 1 é
chamado de número de ouro. Para este número x, temos que x5 é
igual a 5x + 3.
Correto
UNICAMP | Com as letras x, y, z e w podemos formar monômios de grau k, isto é, expressões do tipo xaybznwt, onde a, b, n e t são
inteiros não negativos, tais que a + b + n + t = k. Quando um ou mais desses expoentes é igual zero, dizemos que o monômio é formado pelas demais letras. Por exemplo, y3z4 é um monômio de
grau 7 formado pelas letras y e z [nesse caso, a = t = 0].
a) Quantos monômios de grau 4 podem ser formados com, no máximo, 4 letras?
b) Escolhendo-se ao acaso um desses monômios do item (a), qual a probabilidade dele ser formado por exatamente duas das 4 letras?