A fun¸c˜ ao linear afim - Fun¸c˜ oes polinomiais

3.4 Fun¸c˜ oes polinomiais

3.4.1 A fun¸c˜ ao linear afim

As fun¸cões lineares afins são definidas por meio dos polinômios do primeiro grau: f (x) = ax + b

´e uma fun¸c˜ao linear afim se a 6= 0.

Os gráficos destas fun¸cões são retas, as progressões aritméticas são fun¸cões deste tipo. Vere- mos isto aqui.

4_{a express˜}_{ao “se torne” é incorreta, mas bastante usada, na verdade ao fazerem tais mod-} ifica¸cões, se redefine a fun¸cão, se tem uma nova fun¸cão.

5_{como se um sinal digitalizado n˜}_{ao fosse um “fato f´ısico”...}

88 CAPÍTULO 3. RELAÇ ÕES E FUNÇ ÕES.

Um polinˆomio do primeiro grau ´e uma express˜ao do tipo ax + b

em que a, b são dois números dados e x é uma variável. Costumamos escrever P (x) = ax + b

para indicar que x pode assumir valores. Quer dizer que P pode ser entendido como um fun¸cão e nós podemos então calcular seu valor em um número:

P (3) = 3a + b; P (0) = b; P (−1) = b − a; P (1) = a + b.

Propriedades das fun¸c˜oes do primeiro grau

Uma propriedade fundamental das fun¸c˜oes do primeiro grau diz respeito ˚adiferen¸ca. Vejamos o que significa isto.

Seja f (x) = ax + b, uma fun¸cão cuja equa¸cão é um polinômio do primeiro grau. Acompanhe as contas que faremos agora, em seguida logo vamos analisar o que fizemos, se você sozinho não chegar às suas próprias conclusões.

Ent˜ao:

f (x + ∆x)− f(x) = a(x + ∆x) + b − (ax + b) = ax + a∆x + b− ax − b = a∆x Vamos analisar o que fizemos.

Primeiro usamos o s´ımbolo ∆x para representar um acré scimo. Assim calculamos o valor da varia¸cão de f relativamente ao acréscimo ∆x.

O resultado foi que a varia¸cão de f é proporcional ao acréscimo. Vamos repetir as contas com uma pequena modifica¸cão e em seguida analisaremos o resultado:

∆f = f (x + ∆x)− f(x) = a(x + ∆x) + b − (ax + b) = ax + a∆x + b− ax − b = a∆x.

Logo, ∆f = a∆x

O acré scimo de f , e o acréscimo da variá vel, se encontram na propor¸cão: ∆f = a∆x.

Observe que a variável x desapareceu nas contas. Quer dizer que esta propor¸cão entre ∆f e ∆x não depende de x. Esta é uma propriedade fundamental das fun¸cões do primeiro grau que vamos explorar muito.

Observe na figura (fig. 3.8) p´agina 89,

O s´ımbolo ∆ com frequˆencia representa diferen¸cas ou acr´escimos, como no presente texto.

A figura (fig. 3.8) página 89, traz o grá fico de uma reta e sugere que este gráfico corresponde ˚afun¸cão f (x) = ax + b. Vamos ver que isto é verdade, que os gráficos de fun¸cões lineares afins são retas.

3.4. FUNC¸ ˜OES POLINOMIAIS 89 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 000000000000000 111111111111111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00000000 11111111 00000000 11111111 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ∆ ∆ ∆ ∆f f x x f(x) = ax + b triangulos semelhantes q q+ p p+ x ∆ f = a ∆ ∆x ∆x

Figura 3.8:Diferen¸ca: propor¸c˜ao constante na fun¸c˜ao do linear afim.

• quando nos afastamos de um ponto x = p com um acr´escimo ∆x se produz um acr´escimo ∆f = a∆x no valor de y = f (p).

• a figura (fig. 3.8) nos diz que é irrelevante o ponto em que isto é feito: no ponto x = q podemos ver outro triângulo semelhante ao primeiro feito quando x = p. • Como os triângulos são semelhantes, porque os lados são proporcionais, então

as hipótenusas dos mesmos vão ficar sobre uma mesma dire¸cão.

• A conclusão a que podemos chegar com estes dados é que a fun¸cão y = f(x) = ax + b tem como gráfico uma reta.

Demonstramos assim o teorema:

Teorema 23 Gráfico das fun¸cões lineares afins O gráfico das fun¸cões lineares afins são retas.

Como uma reta fica determinada por dois pontos, basta que calculemos dois pontos do gr´afico:

(x1, f (x1)), (x2, f (x2))

e tra¸car a reta que passa por estes dois pontos.

Exerc´ıcios 15 Diferen¸cas, gráficos Para cada um dos itens abaixo, fa¸ca o gráfico da fun¸cão e da diferen¸ca solicitada.

1. Considere f (x) = 3x + 2. Calcule ∆f para o acr´escimo ∆x = 1 quando p∈ {−3, −1, 0, 1, 2}.

90 CAPÍTULO 3. RELAÇ ÕES E FUNÇ ÕES.

2. Considere f (x) =−3x + 2. Calcule ∆f para o acr´escimo ∆x = 1 quando p ∈ {−3, −1, 0, 1, 2}.

3. Considere f (x) = 3x− 2. Calcule ∆f para o acr´escimo ∆x = 1 quando p ∈ {−3, −1, 0, 1, 2}.

4. Considere f (x) =−3x − 2. Calcule ∆f para o acr´escimo ∆x = 1 quando p ∈ {−3, −1, 0, 1, 2}.

5. Considere f (x) = 3x + 2. Calcule ∆f para o acr´escimo ∆x = 2 quando p∈ {−3, −1, 0, 1, 2}.

6. Considere f (x) = 3x + 2. Calcule ∆f para o acr´escimo ∆x = 3 quando p∈ {−3, −1, 0, 1, 2}.

O coeficiente angular e coeficiente linear

O número a na equa¸cão da fun¸cão linear afim f (x) = ax + b é o quocientes entre os comprimentos dos catetos de qualquer triângulo obtido, como na figura (fig. 3.8). Isto quer dizer que a = tg(α) em que α é o angulo que a reta faz com o eixo OX.

Observe na figura (fig. 3.9) p´agina 90, o ˆangulo α e o quociente∆f

∆xrepresentados

em dois pontos diferentes do gr´afico.

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0000000000000000 1111111111111111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 000000000 111111111 0000000 1111111 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ∆ ∆f f f(x) = ax + b q p x ∆ f = a ∆ ∆x ∆x α α tg(α)= −−−−−−∆_∆f x

Figura 3.9:a tangente do ˆangulo α ´e a.

O outro coeficiente na expressão polinomial que define f (x) = ax + b, o número b se chama coeficiente linear. Ele é o valor de f no ponto x = 0 portanto corresponde ˚asegunda coordenada do ponto em que a reta y = ax + b corta o eixo OX.

Na figura (fig. 3.10) página 91, você pode ver o gráfico da reta y = 2x + 1 observando os pontos em que o gráfico corta os eixos.

3.4. FUNC¸ ˜OES POLINOMIAIS 91

O gráfico corta o eixo OY no ponto (0, 1), sendo 1 = f (0). O ponto em que o gráfico corta o eixo OX é quando y = 0. Se substituirmos na equa¸cão y = 2x + 1 teremos:

y = 0 = 2x + 1 ⇒ 2x + 1 = 0 ⇒ 2x = −1 ⇒ x = −1₂. Como este ponto foi obtido como solu¸cão de uma equa¸c˜ao associada ˚afun¸cão y = f (x) dizemos que éuma raiz da fun¸c˜ao.

Como as fun¸cões do primeiro grau tem por gráfico uma reta, elas só podem cortar os eixos uma vez (a não se que se confundam com os mesmos). Isto representa um teorema importante: as equa¸cões do primeiro grau tem uma única solu¸cão:

Teorema 24 Solu¸cões das equa¸cões do primeiro grau As equa¸cões do primeiro grau

ax + b = 0 tem uma ´unica solu¸c˜ao:

x =−b a. y = 2x + 1 (0,1) ( ____ −1 2 ,0 ) =f(x) x=0 f(x) =0 y=0 ∆ ∆ y x ∆ ∆ ________y x = 2

Figura 3.10:Os pontos em que uma fun¸c˜ao linear afim corta os eixos.

Exerc´ıcios 16 Coeficiente angular da reta

1. Trace as retas cujas equa¸c˜ao s˜ao

y =−1 2x + 3 y =

x+3

2 y =3−x3 y =−2x + 1

2. Para cada uma das retas do item anterior, marque os pontos em que elas cortam os eixos. Resolva as equa¸c˜oes do primeiro grau associadas a cada uma das retas.

92 CAPÍTULO 3. RELAÇ ÕES E FUNÇ ÕES.

3. Para cada uma das retas do primeiro item, calcule os valores de y = f (x) quando:

a) x =−1 b) x = 0 c) x = 1 d) x = 2 4. Para cada equa¸c˜ao y = ax + b no primeiro item, calcule∆y

∆x. Observe que que

o quociente é o coeficiente angular de cada reta. Desenhe em cada reta um triângulo retângulo dando um valor espec´ıfico para ∆x e escolhendo um ponto

x = p. Observe o gr´afico (fig. 3.8), na p´agina 89.

5. Uma reta de coeficiente angular−2 passa no ponto (−3, 1). Encontre a equa¸c˜ao

desta reta.

6. Encontre a equa¸c˜ao da reta que passa no pontos

(−3, 0), (2, 5). Fun¸c˜ao linear

Quando o coeficiente linear, na fun¸c˜ao linear afim é zero, nós chamamos a fun¸cão polinomial correspondente de linear.

Defini¸c˜ao 22 Fun¸c˜ao linear

Se em f (x) = ax + b o coeficiente linear, b = 0, for zero, a fun¸c˜ao f (x) = ax ´e chamada de linear.

Como o coeficiente linear é zero, as fun¸cões lineares passam na origem: f (0) = 0. Nos gráficos das fun¸cões lineares, sempre podemos escolher um dos triângulos que tem a hipotenusa sobre o gráfico com um dos vértices na origem. Ver na figura (fig. 3.11) página 93,

Nas fun¸cões lineares y = f (x) = ax o coeficiente de proporcionalidade se aplica diretamente ˚avariável para obter o valor da fun¸cão sem mais outro cálculo. Exerc´ıcios 17 Fun¸cões lineares

1. O trabalho de um pedreiro é pago de acordo com f (t) = at em que t representa o tempo em dias e a representa o valor da diária. Quanto vai ganhar o pedreiro em 30 dias de trabalho se a diária vale R$15,00.

2. Um bombeiro hidráulico cobra R$2,00 por hora (ou fra¸cão de hora) de trabalho mais uma taxa de R$10,00 por visita. Escreva a fun¸cão do primeiro grau que descreve o pre¸co do seu trabalho num dia, junto a um cliente, e decida se é uma fun¸cão linear.

3. Um bombeiro hidr´aulico cobra R$2,00 por hora (ou fra¸c˜ao de hora) de trabalho mais uma taxa de R$10,00 por visita.

Como o bombeiro fez tres visitas, tendo na primeira trabalhado durante 2 horas, na segunda 2 horas e meia e na terceira 5 horas, fa¸ca o gr´afico que descreve o seu rendimento neste dia de trabalho.

Defini¸c˜ao 23 Progress˜ao Aritm´etica

Uma sucessão{a0, a1, . . . an} se diz uma progressão aritmética, “p.a.” se a

diferen¸ca entre quais quer dois termos sucessivos for constante: ak+1= ak= ∆

3.4. FUNC¸ ˜OES POLINOMIAIS 93 =f(x) ∆ ∆ ________y x = 2 y = 2x (0,0) 1 −1 −2 2 (−1,−2) f(−1)=−2 OX OY ∆x ∆y

Figura 3.11:A fun¸c˜ao linear y = 2x.

Esta diferen¸ca constante ´e chamada de raz˜ao da progress˜ao aritm´etica.

A express˜ao ak´e chamada termo geral da p.a.

4. Construindo p.a.

(a) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a0= 1 e a raz˜ao ∆ = 2

(b) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a9= 18 e a raz˜ao ∆ = 2

(c) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a0= 1 e a raz˜ao ∆ =−2

(d) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a4= 1 e a3= 2

5. Termo geral de uma p.a. Verifique que se a razão de uma p.a. é ∆ então o seu termo geral pode ser escrito em fun¸cão do primeiro termo, a0como

ak= a0+ (k− 1)∆.

Escreva a express˜ao do ´ultimo termo, an−1.

6. Numa p.a. com 10 termos o ´ultimo termo ´e a9= 26. Determine o termo geral

sabendo que a0=−1.

7. Mostre que os ganhos do bombeiro hidr´aulico (exerc´ıcio acima) tem seus ganhos definidos por uma p.a. ao longo de um dia de trabalho, em que k ´e o tempo em horas inteiras, (descontando o tempo que ele leva para se translatar de um cliente a outro)

8. Um t´ecnico de TV e v´ıdeocassete cobra 40 reais pela visita e 4 reais pela hora de trabalho (ou fra¸c˜ao). Quanto lhe vai render um servi¸co que tiver durado 2 horas e vinte minutos.

94 CAPÍTULO 3. RELAÇ ÕES E FUNÇ ÕES.

9. Em duas cidades A,B, as tabelas de corrida de taxi são definidas assim: (a) Em A R$2,00 custa o quilómetro rodado (ou fra¸cão) e a bandeirada vale

R$1,50;

(b) em B R$1,50 custa o quil´ometro rodado (ou fra¸c˜ao), e a bandeirada vale R$2,00

Fa¸ca os gr´aficos das curvas de pre¸co dos taxis nas duas cidades e conclua se o taxi ´e mais barato em alguma das cidades.

10. Mostre que o termo geral de uma p.a. pode ser escrito como uma fun¸c˜ao do primeiro grau: f (x) = a + (x− 1)b e identifique usando as express˜oes ak, ∆ a

razão, o primeiro termo, e o termo geral desta progressão aritmética. 11. Mostre que numa p.a. a média aritmética de tres termos consecutivos ak, ak+1, ak+2

´e ak+2= ak+ak+3

2 .

12. Encontre x sabendo que 3, x, 10 s˜ao os termos consecutivos de uma p.a. 13. Decida se ´e verdade: “os mandatos dos presidentes da rep´ublica do Brasil, ocor-

rem segundo uma p.a.”.

14. Decida se ´e verdade, e se for escreva a p.a. correspondente: “as datas em que o

cometa Haley se torna vis´ıvel em nosso horizonte formam uma p.a.”

15. Quantos s˜ao os m´ultiplos de 7 entre 1000 e 2000 ? 16. Calcule o valor de x, y, z na p.a.

5, x, 13, y, 21, z, 29

17. termos equidistantes Por defini¸c˜ao, dizemos que os termos ak, an−ks˜ao termos

equidistantes dos extremos numa p.a. Prove que a soma de todos os termos equidistantes ´e constante, e calcule este valor relativamente a p.a.

a0, a1, . . . , an.

18. F´ormula da soma dos termos Deduza do teorema anterior que

k=0

ak= a0+ a1+ . . . + an=(a0+ an)n

19. Considere uma p.a.

a0, a1, . . . , an.

com razão ∆. Uma outra sucessão é obtida, desta, mantendo-se o primeiro e o ´

ultimo termo, mas considerando-se como raz˜ao ∆

2. Calcule a soma dos termos

da nova progress˜ao em termos da soma dos termos da primitiva.

20. Numa sucessão o termo geral é sk= ak + b em que a, b são dois números dados.

Mostre que esta sucess˜ao ´e uma p.a.

21. Calcule a soma dos n primeiros números naturais. Existe alguma diferen¸ca no resultado, considerada a polêmica sobre se o zero é ou n˜ao um n´umero natural?

22. Escreva o termo geral da p.a. formada pelos n primeiros n´umeros naturais ´ımpares.

23. Numa p.a. de termo geral ano primeiro termo é a0= 5 e a razão é 2. Escreva

3.4. FUNC¸ ˜OES POLINOMIAIS 95

24. Numa p.a. tem-se a10= 17, a0= 13. Calcule a3, a5.

25. Numa p.a a10= 17, a6= 13. Calcule a5− a3.

26. Calcule a soma dos n primeiros n´umeros naturais ´ımpares.

27. Um grupo de pessoas almo¸cou num restaurante decidindo ao final ratear o custo de $R 240,00 da refei¸c˜ao, quando, quatro pessoas do grupo disseram-se impos- sibilitadas de participar dos gastos o que aumentou em $R 5,00 o que cada uma das outras teve que pagar. Quantos eram os membros do grupo ?

Solu¸c˜ao: Vamos designar por x o n´umero total de pessoas do grupo e portanto o pre¸co, por pessoa do rateio seria240

x ficando este pre¸co acrescido de $R 5,00

quando quatro pessoas n˜ao puderam pagar:240

x + 5. Este ´e o valor que cada um

dos x− 4 restantes do grupo tiveram que pagar individualemnte, portanto igual

a240

x−4. Isto nos conduz `a equa¸c˜ao 240 x−4=240x + 5 240x = 240(x − 4) + 5(x − 4)x

−48.4 + x2_{− 4x = 0} −192 − 4x + x2_{= 0}

A raiz positiva desta equa¸cão é 16, a outra é −12 sendo, portanto, a resposta “eram 16 os membros do grupo”.

Defini¸c˜ao 24 Progress˜ao Geom´etrica

Uma sucessão{a0, a1, . . . an} se diz uma progressão geométrica, “p.g.” se a

quociente entre quais quer dois termos sucessivos for constante: ak+1

ak = r

Este quociente constante ´e chamado de raz˜ao da progress˜ao geom´etrica.

28. Mostre que numa p.g. a m´edia geom´etrica de tres termos consecutivos sk, sk+1, sk+2

´e sk+2= √akak+3.

29. Encontre x sabendo que 9, x, 81 s˜ao os termos consecutivos de uma p.g. 30. F´ormula da soma dos termos de uma p.g. Deduza do teorema anterior que

k=0

ak= a0+ a1+ . . . + an=(a0+ an)n

Cap´ıtulo 4

Conjuntos num´ericos

fundamentais.

Neste cap´ıtulo vamos seguir o conselho de Kroneker e considerar o conjunto dos números naturais absolutamente bem conhecido. A partir dele construiremos o conjunto dos números inteiros e depois com este último construiremos o conjunto dos números racionais. Final- mente, faremos a constru¸cão geométrica do conjunto dos números reais, a reta real, seguindo uma receita de David Hilbert, contida no seu famoso livro “fundamentos da geometria” e depois mostraremos que esta constru¸cão geométrica e algebricamente compat´ıvel com a estrutura do conjuntos dos números racionais que será então visto como um subconjunto da reta real.

4.1 O conjunto dos n ˜A

_{meros naturais.}

N˜ao, n˜ao vamos construir o conjunto N. Vamos apenas falar um pouco dele e construir alguns exemplos para estabelecer uma linguagem adequada para o resto do cap´ıtulo.

Vamos deixar claro o que já sabemos sobre N, estabelecer as regras do jogo. Como dissemos em nossos primeiros exemplos sobre estrutura, um conjunto pode ser pode ser um agregado amorfo de objetos. Quando observamos que algumas propriedades ou métodos se encontram presentes, o conjunto passa a ser uma estrutura. H´a vários tipos de estrutura em Matem´atica: estruturas algébricas, ver [3] ou [5], estruturas topol´ogicas, estruturas geométricas, etc... Cada uma destas estruturas define um campo de atividade em Matemática e a intera¸c˜ao entre elas é fazer Matemática.

Vamos “descobrir” qual ´e estrutura alg´ebrica de N.

4.1.1 A estrutura alg´ebrica de N.

Temos dois m´etodo em N para construir mais um elemento do conjunto a partir de dois conhecidos:

• a adi¸cão é um desses métodos simbolizada por c = a + b em que c é o novo elemento obtido a partir de dois outros a, b∈ N.

• a multiplica¸cão é o outro método simbolizada por c = a x b em que c é o novo elemento obtido a partir de dois outros a, b∈ N. Quando não há d Ão_vida

98 CAP´ITULO 4. CONJUNTOS NUM ´ERICOS FUNDAMENTAIS.

a multiplica¸cão é simbolizada por justaposi¸cão: 3a = 3 x a. Entretanto, em N, a multiplica¸cão é soma repetida, 3a = a + a + a.

• N tem um primeiro elemento Nós adotaremos o zero como este primeiro elemento. Há autores que preferem que seja 1. O essencial é verdade que N tem um primeiro elemento. Todos os outros s˜ao obtidos como soma repetida deste primeiro elemento com o 1.

• sucessor Em particular diremos que a + 1 é o sucessor de a. Isto quer dizer que entrea e a + 1 não há nenhum n Ão_{mero natural.}

• Consequentemente podemos construir o conjunto N – Com o primeiro elemento;

– Com o “m´etodo” de determina¸c˜ao do sucessor.

Foram estes tres ˜Ao_{ltimos axiomas que Peano descobriu. Infelizmente os axiomas de}

Peano se aplicam com perfei¸c˜ao ao conjunto

{−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} em que−5 ´e o primeiro elemento, logo tamb´em, segundo Peano,

N ={−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

o que naturalmente não é verdade. Isto apenas mostra a fraqueza dos axiomas de Peano para definir “número natural”. É melhor, portanto, evitar a defini¸cão e aderir `

a frase de Dedekind, ”Deus criou os números naturais, e resto nós criamos.” Usando todas estas informa¸c˜oes podemos provar, (mas nós não vamos faz Ãa_-lo):

Teorema 25 Propriedades de (N, +,·).

1. A adi¸cão é comutativa. 2. A adi¸cão é associativa.

3. Existe o elemento neutro para a adi¸c˜ao, se considerarmos 0 como primeiro ele- mento de N.

4. A multiplica¸cão é comutativa. 5. A multiplica¸cão é associativa.

6. Existe o elemento neutro para a multiplica¸cão. 7. A multiplica¸cão é distributiva relativamente à adi¸cão. 8. (∀ a ∈ N) (0 x a = 0), e se a x b = 0 então a = 0 ou b = 0.

Usaremos este conjunto para construir todos os demais conjuntos numéricos que se usa em Mamtemática. Os exerc´ıcios seguintes são um exemplo de constru¸cão t´ıpica do in´ıcio do século 20 quando houve uma intensa atividade objetivando uma rigorosa linguagem matemática. Hoje sabemos que este rigor todo é inviável sem criar con- tradi¸cões. Não sabemos porque, mas é assim. Se você não se sentir motivado para fazer os exerc´ıcios, deixe-o de lado, e talvez volte aos mesmos n’outra ocasião. Exerc´ıcio 12 Uma pequena amostra do “Principia”.

4.1. OS NATURAIS 99

a){a} b){{a}} c){{{a}}} d){{a}, {a}}

a){} b){{}} c){{{}}} d){{}, {}}

2. Verifique que{} ∪ {} = {}. Verifique que {{}} ∪ {} = {{}}.

3. Verifique que a uni˜ao dos conjuntos{a}, {{a}} ´e um conjunto com dois elemen-

tos.

4. Verifique que a uni˜ao dos conjuntos{{}}, {{{}}} ´e um conjunto com dois ele-

mentos.

5. Defina um m´etodo que consista em criar um novo conjunto unit´ario a partir de

{} inserindo o elemento {}. Verifique que este método é equivalente a opera¸cão

de sucessor de Peano no sentido de que com a uni˜ao produz um novo conjunto cujo cardinal ´e maior do que dos conjuntos existentes.

Observa¸c˜ao 13 Unidade ´e um conceito realativo

Em algum momento na história, algum rei decidiu que a unidade era o seu bra¸co. Em 1979, com a Revolu¸cão Francesa, se passou a pensar em unidades universais e os revolucionários franceses, para se oporem aos aristocratas ingleses, criaram o sistema métrico que foi adotado no mundo inteiro, exceto na Inglaterra e nos Estados Unidos. Mas mesmo nestes pa´ıses, veladamente, é feito o uso do sistema métrico.

Mas há momentos em que você não consegue encontrar nenhum padrão de unidade `

a sua volta, mas precisa de estabelecer o que ´e a unidade.

Escolha algo que esteja a sua volta e que possa servir para comparar com outras coisas, esta ser´a a sua unidade, naquele momento.

Suponha que você queira construir um quadrado de lado (a + b). Serviria para ilustrar o produto notável (a + b)2_{. Se você tiver `}_{a m˜}_{ao uma folha de isopor e quiser}

construir pequenos retângulos, a unidade mais prática poderá ser a expessura desta folha.

E vocˆe quem determina o que unidade, apenas mantenha a sua unidade o tempo todo.

Observa¸c˜ao 14 A constru¸c˜ao feita por N de Russel

Foi este m´etodo ardiloso que levou Russel e Whitaker a constuirem os n ˜Ao_meros

naturais tendo zero como primeiro elemento. Para quem for curioso, havia um exem- plar do Principia Matem´atica na biblioteca da Univ. Federal do Cear ˜A¡.

Então, “união do vazio com o vazio, resulta no vazio” e “reunião do vazio com um conjunto unitário, resulta num conjunto unitário”.

N˜ao estamos sugerindo que voc ˜Aa _{siquer deva ler o Principia, mas se alguma}

vez você se decidir por se aprofundar em Lógica, sem d Ão_{vida que este poder´}_{a ser um}

caminho.

4.1.2 A ordem em N.

Da mesma forma como sabemos tudo sobre adi¸cão e multiplica¸cão também sabemos

tudo sobre a rela¸c˜ao de ordem em N. Vamos listar suas propriedades para referˆencia posterior.

Teorema 26 da estrutura de ordem em N..

Existe uma rela¸c˜ao de ordem em N compat´ıvel com o m´etodo de sucessor

m < m + 1

e tal que que

100 CAP´ITULO 4. CONJUNTOS NUM ´ERICOS FUNDAMENTAIS.

• ∀ p ∈ N m ≤ n ⇒ m + p ≤ n + p • ∀ p ∈ N m ≤ n ⇒ pm ≤ pn

Observe que de acordo com a estrutura lógica deste livro, não temos que demonstrar nada sobre N e seus métodos, tudo é conhecido.

Para aquecer o seu apetite l´ogico, o conceito de sucessor, usado no Teorema 26 pode ser usado para demonstrar todas as propriedades de N listadas no Teorema anterior.

4.2 Os n´umeros inteiros.

Podemos facilmente conjecturar que o aparecimento dos inteiros deve ter se dado junto com as primeiras concep¸cões econômicas quando alguém teve a ne- cessidade de registrar o que tinha e o que devia. Formalmente podemos inven- tar os inteiros a partir dos números naturais impondo um problema algébrico: queremos encontrar um conjunto que estenda o conjunto dos números natu- rais onde sempre a equa¸cão

m + x = 0 (4.1)

tenha solu¸cão. Vamos usar este mé todo algébrico.

4.2.1 A defini¸c˜ao de Z.

Vamos espandir o conjunto dos números naturais criando uma solu¸cão para a equa¸cão

m + x = 0 (4.2)

para cada n´umero natural m.

Isto nos leva a inventar, para cada n´umero natural m um novo objeto designado1

por−m. O resultado desta inven¸c˜ao ´e o novo conjunto:

Z ={. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .} (4.3) que já difere de N num ponto: Z não tem um primeiro elemento. Depois, seguindo a tarefa de inventor, devemos nos preocupar com a extensão ao novo conjunto das

opera¸cões de adi¸c˜ao e multiplica¸cão definidas em N. Também deveremos estender a rela¸cão de ordem de N a Z.

Vamos executar cada uma destas tarefas passo a passo, agora.

4.2.2 Extens˜ao da adi¸c˜ao aos inteiros.

Primeiro temos a “inventar” uma terminologia que vocˆe espera: Defini¸c˜ao 25 O conjunto dos n´umeros inteiros positivos.

No documento Universitária. Sobral Matemática Sobral - Ce 26 de outubro de Tarcisio Praciano-Pereira 1 C=YX Y X Y C=XY (páginas 45-57)