A ideia subjacente

Está muito mais para além da mira das nossas conferências relatar o

desenvolvimento das ideias da Relatividade, primeiro da Especial e depois da Geral, e mostrar como se hão construído logicamente como resultado de um conjunto de experiências cruciais, como a aberração da luz das estrelas fixas, a experiência de Michelson- Morley, certos factos referentes à luz das estrelas binárias visuais, e as experiências de Eötvös que determinaram, com um maravilhoso alto grau de exactidão, o carácter universal da aceleração gravitacional, quer dizer, que num campo dado é a mesma para qualquer corpo-teste, independentemente do material.

Não obstante, antes de entrar no detalhe sobre o contínuo métrico (ou de Riemann), desejo assinalar a principal linha de pensamento que sugere a dita escolha como um modelo do espaço-tempo, em ordem a dar conta da gravitação de uma forma puramente geométrica. Não seguiremos, nisto, a evolução histórica do pensamento tal como teve lugar realmente, ainda que muito bem poderia ter ocorrido desse modo, sendo já familiar a ideia da transformação afim para os físicos naquela época. Realmente a ideia geral de esta emergiu gradualmente (no trabalho H. Weyl, A.S. Eddington e Einstein) do caso especial de uma afinidade que surge a partir de uma transformação métrica (de Riemann); emergiu apenas depois de que esta última tivesse

adquirido uma ampla publicidade devida ao grande êxito da teoria de Einstein de 1915. Hoje, não obstante, parece mais simples e natural colocar uma transformação afim, agora que estamos familiarizados com ela, num primeiro plano, e chegar à métrica mediante uma sua, muito simples, especilização.1

Mostramos que no caso particularmente simples de uma afinidadeintegrável simétrica, pode encontrar-se um sistema de coordenadas em que as geodésicas sejam linhas rectas2. Além disso, sabemos a partir da mecânica ordinária que a trajectória de uma partícula, sobre a qual não actua nenhuma força, é uma linha recta, tanto no espaço como no tempo (já que, neste caso, o movimento é uniforme). Pondo-o mais

cautelosamente e de maneira muito mais significativa para o nosso propósito actual: é uma linha recta num sistema de referência adequadamente escolhido, o mesmo para todas as partículas não sujeitas a forças, o chamado sistema de referência inercial. Contudo a trajectória não será recta no espaço-tempo, isto é, a trajectória espacial não será recta, nem o movimento uniforme, quando seja referido a um sistema de

coordenadas que possua, em si mesmo, um movimento acelerado ou de rotação relativo a um sistema de referencia inercial, como, por exemplo, o sistema de referencia espacial fixo rigidamente à Terra no seu movimento de rotação.

Agora, a partir das experiências de Eötvös inferimos que num campo

gravitacional dado, qualquer partícula independentemente da sua natureza, partindo de um ponto dado do espaço-tempo (isto é, a partir de um ponto do espaço e num instante de tempo dados) numa direcção concreta do espaço-tempo (isto é, numa direcção

1

Schrödinger expõe agora muito claramente o caminho que escolheu desde o início deste trabalho. Caminho que, como também o diz, não foi o escolhido por outros célebres investigadores e estudiosos deste assunto.

2

N.A.: Porque neste caso as Ñs podem tranformar-se em zero em todas as partes, de modo que (VII.0.5) define linhas rectas. A restrição a afinidades integráveissimétricas é requerida inclusivamente ainda que a parte anti-simétrica não afecte a forma das geodésicas. Isto é devido a que a parte simétrica de uma afinidade integrável não é necessariamente integrável (e não o será, como regra geral) e, portanto,não

espacial e com uma velocidade dadas), segue uma curva (que chamamos «linha do universo») que depende tão só das condições iniciais mencionadas e do campo gravitacional, e não da natureza da partícula. Além disso esta curva não é uma linha recta quando a referimos a um sistema de referência inercial. Ou melhor, já que, neste caso, pode ser duvidoso o significado de um sistema de referencia inercial devido a que não há partículas isentas de gravitação: estas curvas não são linhas rectas em nenhum sistema de referência; não existe um sistema em que todas sejam rectas, com uma excepção que não é notável dado que é mais fictícia3.

Este estado de coisas sugere estender por tentativas a analogia entre as geodésicas de uma afinidade integrável e as trajectórias (ou «linhas do universo») de partículas não submetidas a nenhuma força, às geodésicas de uma afinidade geral, não integrável, e as trajectórias de partículas submetidas à acção de um campo gravitacional. A tentação é particularmente forte, porque a geodésica, por definição, poderia ser

denominada como a linha «mais recta», de tal maneira que teríamos a simples lei: uma partícula segue em todos os casos uma linharecta; uma lei que não carece de

precedente. Recorda fortemente um conhecido resultado da mecânica clássica ordinária, a saber, que uma partícula limitada a permanecer sobre uma superfície dada, e que para além disso não esteja submetida a nenhuma força, move-se com velocidade uniforme ao longo de uma geodésica de esta superfície.

Por outras palavras, suponhamos que um campo gravitacional pode

representar-se por uma propriedade puramente geométrica do espaço-tempo, a saber, como uma afinidade imposta nele, e que equivale a uma limitação geométrica sobre o movimento das partículas. Esta transformação afim há de ser considerada como uma

3

N.A.: Este é o caso de um campo gravitacional estritamente uniforme, o qual não existe. Infelizmente este caso fictício converteu-se em exemplo típico de todos os tratamentos populares ou semipopulares.

propriedade inerente do contínuo espacio-temporal, não como algo que é criado apenas quando há um campo gravitacional. O caso em que não o há é simplesmente o caso em que a afinidade é integrável.

Nestas considerações adoptamos tacitamente uma generalização muito relevante da ideia clássica de «sistema de referência» que não deve ser silenciada nesta ocasião, ainda que tenha chegado a ser-nos familiar em capítulos precedentes. Não só se trata de que tenhamos incluído o tempo de uma forma completamente geral na transformação de coordenadas, mas também que um físico clássico, quando fala de um sistema de

referência inercial ou qualquer outro sistema de referência, só tem em mente que as coordenadas cartesianas de um ponto poderiam referir-se a qualquer dos dois sistemas rígidos de eixos os quais se movem um em relação ao outro como o de uma pedra lançada se move relativamente à Terra ou a Terra relativamente a um sistema de referência inercial. Neste caso as coordenadas num sistema de referência são funções lineares especiais das coordenadas em outro sistema de referência, com coeficientes que são alguma função do tempo. Sem qualquer objecção, passámos, de modo inadvertido, a considerar as nossas transformações completamente gerais, as quais só são lineares na

imediata vizinhança de um ponto; e os coeficientes (os ∂ ∂xi xk) são funções

arbitrárias de todas as quatro coordenadas e mudam de um ponto a outro. Para justificar

esta generalização podemos dizer que sem ela a ideia geral de transformação afim não chegaria de nenhuma forma e, portanto, não poderia usar-se para representar o campo gravitacional.

É útil outro comentário. Tendo adoptado esta ideia geral de um sistema de referência, não desejamos privilegiar nenhum sistema de referência especial. De aqui que onde quer que, no sistema de referência particular que estamos usando, as

obrigados a considerá-las como representando um campo gravitacional do ponto de vista deste sistema de referência, inclusive ainda que possamos estar inclinados a denominá-lo como um campo falso no caso de uma afinidade integrável, em cujo caso pode encontrar-se um sistema de referencia no qual se anulam todas elas. Mas se, devido a isto, não as consideramos no sistema de referência original onde não se anulam, então não traçaremos correctamente as geodésicas. Tão pouco queremos fazer excepções neste caso especial, não desejamos impor a regra de que sempre devamos incomodarmo-nos em ver se pode reduzir-se a nada a transformação afim como um todo, e, de ser assim, nos preocupemos em adoptar o sistema de referência no qual se reduza desta maneira.

Quiçá seria interessante saber se pelo menos na vizinhança de um ponto

particular o campo gravitacional pode «transformar-se e desaparecer». A resposta a isto é simples: pode-se sempre. Mas voltaremos a isto mais tarde.