A importância e as dificuldades com as representações

Segundo Post et. al. (1993), existem três características importantes do pensamento dos alunos relacionadas à compreensão de número racional: 1-flexibilidade na conversão entre as representações; 2- 1-flexibilidade nas

transformações dentro de cada representação; e 3- independência cada vez maior das representações concretas.

Segundo Goldin (2003, apud QUARESMA, 2010, p. 14), uma representação é “uma configuração de sinais, caracteres, ícones ou objetos que podem, de alguma forma, designar ou substituir alguma coisa”. E para Orton et. al. (1995), “a representação é uma noção útil para descrever não apenas a lógica do conceito de número racional, mas a natureza da Matemática em geral” (apud QUARESMA, 2010, p. 14). Também Cox (1999) reafirma a necessidade dos alunos desenvolverem habilidade para interpretar representações, e de desenvolver e comunicar suas ideias construindo suas próprias representações.

Além disso, Goldin e Shteingold (2001) frisam a importância da interação entre as diferentes representações. Para os autores, o pensamento matemático será desenvolvido a partir do momento em que as relações entre as diferentes representações do mesmo conceito forem compreendidas, além da compreensão das semelhanças e diferenças entre os sistemas de representação.

Seguindo essa ideia, Duval (2004) afirma que um objeto matemático só pode ser trabalhado por um aluno se ele recorrer à sua representação, visto que em Matemática trabalhamos com objetos abstratos. Ainda de acordo com Duval (2003, p. 31), “há uma pluralidade de registros de representação de um mesmo objeto, e a articulação desses registros é a condição para a compreensão em Matemática”, o que confirma o exposto até o momento.

Presenciamos, em sala de aula, muitas situações em que se manifesta a dificuldade dos alunos em representar objetos matemáticos e compreender essas representações. Um exemplo diz respeito ao momento que a álgebra começa a ser introduzida. Não é fácil para os alunos entenderem o que uma “letra” representa quando inserida em uma expressão. A partir desse momento, começa-se a ouvir que o valor de uma “letra”, quando acompanhada do coeficiente 1, é sempre 1, o que denota a dificuldade em compreender que 1 é o coeficiente de x, e não o valor de x. Avançando nesse âmbito, chega-se ao momento em que x representa uma variável como na função.

Em relação à dificuldade de compreensão sobre as diferentes representações de um número racional, ocorre a seguinte situação: se é apresentada ao aluno a adição 2 + 3, prontamente ele apresenta a resposta. Mas, ao solicitar que resolva a adição ⁶

3+⁶

2^{, pelo fato de serem utilizadas as representações fracionárias, uma}

resposta comumente ouvida é “não sei resolver”.

Com relação aos modos de ensino, de acordo com Moss e Case (1999), diferentes aspectos que se constituem como uma barreira na aprendizagem do aluno, no que tange o ensino dos números racionais, surgem quando ele se depara com métodos tradicionais de ensino. Uma das dificuldades enfrentadas pelos alunos é que, a partir do 6º e do 7º anos, embora até o momento tenham desenvolvido algumas habilidades referentes ao conceito e às representações dos números naturais, precisam aprender rapidamente a operar com as representações, as quais segundo Quaresma e Ponte (2012, p. 39):

[...] não chegam a ser devidamente trabalhadas. Isso implica que os alunos têm que compreender novas representações dos números racionais e, ao mesmo tempo, tornar-se capazes de operar e resolver problemas com eles. Ou seja, exigimos um grande número de destrezas e conhecimentos aos alunos num curto espaço de tempo, o que leva a que eles não aprendam com compreensão os números racionais e tenham muitas dificuldades na resolução de problemas que envolvam estes números.

O NCTM (2007, p. 75), ao abordar esses aspectos, considera que as representações devem ser trabalhadas ao longo de toda a escolaridade, de modo que os alunos tenham oportunidade de:

(i) criar e usar representações para organizar, registrar e comunicar ideias matemáticas; (ii) selecionar, aplicar e traduzir representações matemáticas para resolver problema e (iii) usar as representações para modelar e interpretar fenômenos físicos, sociais e matemáticos. É importante que os alunos sejam encorajados a representar suas ideias, mesmo que de maneira não convencional, de forma que essas representações façam sentido (NCTM, 2007):

Representar um número significa atribuir-lhe uma designação, devendo ser trabalhada com os alunos a compreensão de que um número pode ter várias designações. A percentagem, o número

decimal, a fracção, linguagem natural e pictórica são representações que um número racional pode tomar e que os alunos devem compreender de forma a desenvolverem a sua capacidade de raciocínio (QUARESMA, 2010, p. 15)

Pensando nas várias conexões existentes entre as diferentes representações, Lesh (1979) criou um modelo de conversões:

Figura 8 - Modelo de conversões de Lesh

Fonte: Quaresma (2010, p. 18)

O modelo salienta que “a compreensão se reflete na capacidade de representar as ideias matemáticas de várias maneiras” (QUARESMA, 2010, p. 18). As setas que ligam as diferentes representações e as setas internas, salientam as interações/conversões entre e dentro das representações.

O modelo indica que o desenvolvimento da compreensão profunda de ideias matemáticas exige experiência em diferentes representações e experiência nas conversões dentro e entre representações, já que as conversões exigem uma reinterpretação de ideias e conceitos (QUARESMA, 2010, p. 18).

O processo de reinterpretação permite que o aluno adquira novos conhecimentos e reforça conhecimentos já construídos. Para Lesh, Post e Behr (1987), esse processo culmina em uma compreensão mais profunda e ampla das ideias matemáticas.

Post et. al. (1993) defendem que se os alunos não adquirirem experiência na utilização e na conversão entre as diferentes representações de números racionais, poderão ter dificuldades na realização de conversões, na operação com símbolos

matemáticos e na abstração de informações a partir das representações. Os autores ressaltam que é preciso usar os conhecimentos prévios dos alunos como base para a aprendizagem dos números racionais, partindo de imagens concretas dos conceitos e recorrendo a materiais manipuláveis.

As formas de representação que adotaremos em nossa pesquisa são fracionária, decimal e pictórica. A escolha das representações decimal e pictórica, acompanham Quaresma (2010).