Para achar o cílindro de volume máximo, procuremos o máximo global de qualquer uma dessas funções no seu domínio. Consideremos por exemplo V(r). Como V é derivável em (0, R), temos V0(r) = 2π¦2rpR2− r2+ r2 −r p R2− r2© = 2πr 2R2− 3r2 p R2− r2 .
Portanto, V0(r) = 0 se e somente se r = 0 ou 2R2− 3r2= 0. Logo, o único ponto crítico de
V em(0, R) é r∗=p2/3R (' 0.82R). Estudando o sinal de V0obtemos a variação de V :
r V0(r) Variaç. de V p 2/3R + 0 − máx. máx.
Na fronteira do intervalo[0, R], V (0) = 0 e V (R) = 0. Logo, V atinge o seu máximo global em r∗. Portanto, o cilíndro com volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio
Rtem base com raio r∗, e altura h∗= 2ÆR2− r2 ∗ =
2 p
3R (' 1.15R).
Exercício 7.16. Qual é, dentre os cilíndros inscritos em um cone de altura H e base circular
de raio R, o de volume máximo?
Exercício 7.17. (Segunda prova, 27 de maio de 2011) Considere um cone de base circular,
inscrito numa esfera de raio R. Expresse o volume V do cone em função da sua altura h. Dê o domínio de V(h) e ache os seus pontos de mínimo e máximo globais. Dê as dimensões exatas do cone que tem volume máximo.
Exercício 7.18. De todos os cones que contêm uma esfera de raio R, qual tem o menor volume? Exercício 7.19. Uma caixa retangular é feita retirando quatro quadrados dos cantos de uma
folha de papelão de dimensões2m× 1m, e dobrando os quatro lados:
Qual deve ser o tamanho dos quadrados retirados para maximizar o volume da caixa obtida?
7.5
A Lei de Snell
Considere uma partícula que evolui na interface entre dois ambientes, 1 e 2 (veja a figura abaixo). Suponhamos que num ambiente dado, a partícula anda sempre em linha reta e que a partícula evolui no ambiente 1 com uma velocidade constante v1 e no ambiente 2 com uma velocidade constante v2. Suponhamos também que a partícula queira viajar de um ponto A no ambiente 1 para um ponto B no ambiente 2; qual estratégia a partícula deve adotar para minimizar o seu tempo de viagem entre A e B?
Cálculo1, Versão 1.02 (26 de fevereiro de 2015). Sugestões, críticas e correções: [email protected]
7.5. A Lei de Snell CAPÍTULO 7. EXTREMOS E PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO v1 v2 2 1 A B C
É claro que se v1= v2, a partícula não precisa se preocupar com a interface, e pode andar em linha reta de A até B. Mas se porventura v1< v2, a partícula precisa escolher um ponto
C na interface entre 1 e 2, mais perto de A do que de B, andar em linha reta de A até C, para depois andar em linha reta de C até B. O problema é de saber como escolher C, de maneira tal que o tempo total de viagem seja mínimo. Modelemos a situação da seguinte maneira: A d1 B d2 C x h2 h1 L
A nossa variável será x, a distância entre C e a projeção de A na horizontal. Quando x é fixo, a distância de A até C é dada por d1 =
Æ
h21+ x2, e a distância de C até B é dada por
d2 = Æh22+ (L − x)2. Indo de A até C, a partícula percorre a distância d
1 em um tempo
t1 = d1
v1, e indo de C até B, percorre a distância d2 em um tempo t2 =
d2
v2. Logo, o tempo
total de viagem de A até B é de T = t1+ t2. Indicando explicitamente a dependência em x,
T(x) = Æ h21+ x2 v1 + Æ h22+ (L − x)2 v2 .
Assim, o nosso objetivo é achar o mínimo global da função T(x), para x ∈ [0, L]. Comecemos procurando os pontos críticos de T em(0, L), isto é, os x∗ tais que T0(x
∗) = 0, isto é, x∗ v1 Æ h21+ x2 ∗ − L− x∗ v2Æh22+ (L − x∗)2 = 0 . (7.1) Essa equação é do quarto grau em x∗. Pode ser mostrado que a sua solução existe, é única, e dá o mínimo global de T em [0, L]. Em vez de buscar o valor exato do x∗, daremos
CAPÍTULO 7. EXTREMOS E PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 7.5. A Lei de Snell
uma interpretação geométrica da solução. De fato, observe que em (7.1) aparecem dois quocientes que podem ser interpretados, respectivamente, como os senos dos ângulos entre
AC e a vertical, e BC e a vertical: x∗ Æ h21+ x2 ∗ ≡ sen θ1, Æ L− x∗ h22+ (L − x∗)2 ≡ sen θ2.
Portanto, vemos que o mínimo de T é atingido uma vez que os ângulosθ1eθ2 são tais que
θ1 θ2 senθ1 senθ2 = v1 v2
Em ótica, quando um raio de luz passa de ambiente 1 para um ambiente 2, observe-se um desvio ao atravessar a interface; θ1 é chamado o ângulo de incidência, θ2 o ângulo de
refração. O ângulo de refração depende das propriedades dos ambientes 1 e 2 via v1 e v2,
e a relação acima é chamada a Lei de Snell1.
No exemplo acima não obtivemos um valor explícito para o x∗ que minimize o tempo de viagem de A até B, mas aprendemos alguma coisa a respeito dos ângulosθ1eθ2. Em alguns casos particulares, x∗pode ser calculado explicitamente:
Exercício 7.20. Um ponto A flutuando a h metros da praia precisa atingir um ponto B situado
na beirada da água, a L metros do ponto da praia mais perto de A. Supondo que A se move na água com uma velocidade v1 e na areia com uma velocidade v2 > v1, elabore uma estratégia
para que A atinja B o mais rápido possível. E se v1 < v2?
Exercício 7.21. Uma partícula parte de um ponto A para atingir o mais rápido possível um
ponto B situado do outro lado de uma piscina redonda:
A B
Se A nada com uma velocidade de 2km/h e anda com uma velocidade de 4km/h, será que é
melhor 1) dar a volta toda andando, 2) usar o caminho mais direto, atravessando a piscina nadando, 3) adotar uma outra estratégia?
1Willebrord Snellius van Royen, Leiden, 1580 - 1626.
Cálculo1, Versão 1.02 (26 de fevereiro de 2015). Sugestões, críticas e correções: [email protected]
7.5. A Lei de Snell CAPÍTULO 7. EXTREMOS E PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Exercício 7.22. Considere a esquina do corredor em formato de L representado na figura
abaixo (suponha-se que o corredor é infinitamente extenso nas direções perpendiculares). Qual é o tamanho` da maior vara rígida que pode passar por esse corredor?
` L
Capítulo 8
Estudos de Funções
Neste capítulo juntaremos as técnicas desenvolvidas anteriormente para estudar funções. Já estudamos algumas funções em bastante detalhes no último capítulo, ao resolver problemas de otimização.
Antes de estudar casos particulares, faremos mais dois comentários sobre o comportamento de uma função quando x → ±∞.
8.1
Sobre o crescimento das funções no
∞
É importante se lembrar, ao estudar funções, de quais são os comportamentos das fun- ções fundamentais (polinômios, exponenciais e logaritmos) que tendem ao infinito quando
x→ ∞.
Para começar, já vimos na Seção 4.8 (ou no item (16) do Exercício 6.50) que lim
x→∞
x ex = 0 .
Pode também ser mostrado que para qualquer p> 0,
lim
x→∞
xp
ex = 0 . (8.1)
Podemos resumir esse fato da seguinte maneira: seja P(x) um polinômio cujo coeficiente de grau maior é positivo. Então P(x) % ∞ e ex % ∞, mas
P(x) ex, quando x → ∞ .
O símbolo “ ” é usado para significar: “é muito menor que”. Em palavras: no infinito, o
crescimento exponencial é muito mais rápido que qualquer crescimento polinomial. Vimos também que
lim x→∞ ln x x = 0 , xlim→∞ (ln x)2 x = 0 , 145