A LGUMAS P ECULIARIDADES DOS D RAMAS 109 

Historiquement et dans la plupart des applications pratiques, les méthodes Monte

Carlo ont pour cadre l’ensemble canonique. Afin de réduire les notations, la présentation

générale de la méthode y sera limitée. Dans ce cadre, certaines grandeurs macroscopiques

(comme la pression, l’énergie interne) s’expriment comme des moyennes sur la distribution

d’équilibre canonique. Considérons l’observable A, définie sur l’espace des configurations

G La moyenne canonique, après intégration sur les impulsions, est donnée

par ;

J ■ ■ • J exp{—0U{x^^))

où U{x^^) est l’énergie potentielle de la configuration x^^.

La méthode Monte Carlo est un algorithme d’intégration numérique très général.

Dans le cadre de la mécanique statistique d’équilibre, elle permet d’évaluer des rapports

d’intégrales sur l’espace des configurations du type de l’équation (6.1).

Le principe de la méthode est simple. L’espace des phases du système est échantillonné

aléatoirement : les n points de l’échantillon {xj^, x^^, xl^,..., x^^} permettent d’obtenir

une estimation de < ^4 > :

< A >MC= (6.2)

La méthode fournit des résultats asymptotiquement corrects. La précision de l’estimation

est proportionnelle à 1/y/n, indépendamment de la dimension de l’espace. L’efficacité des

méthodes Monte Carlo en tant que méthodes d’intégration numérique dépasse celle des

autres méthodes (Simpson,...), dès que la dimension des intégrales dépasse 8 (Sokal, 1989).

Pour des intégrales de type (6.1), un échantillonnage uniforme de l’espace est cependant

peu efficace, étant donné les variations abruptes de l’intégrant. En pratique, seule

une fraction minime de l’espace contribue de manière significative à l’intégrale. L’idée

maîtresse de la méthode consiste à échantillonner uniquement la fraction déterminante

de l’espace des phases en choisissant une distribution d’échantillonnage appropriée. La

solution la plus naturelle est précisément de choisir la distribution canonique ;

3;^ _ exp{-pU{x^^))

^ ‘ Q{N,T,V) (6.3)

où Q{N,T,V) = / •••/dx^^ exp{-(3U{x^^)). Le biais introduit par un échantillonnage

non uniforme de l’espace est corrigé en pondérant la somme i'6.2) :

< A> MC ^ie:.,_{;Sî.oexp(-/3y(xî"))n(j:;''') ‘}^oA(4n (6.4)

1

i Z -Mr:)

"■ u=Q

La moyenne d’ensemble devient une simple moyenne arithmétique sur les configurations.

Le choix de la distribution d’échantillonnage (6.3) complique quelque peu la méthode.

En général, Q{N,T,V) n’est pas connu et la distribution d’échantillonnage n’est pas

entièrement spécifiée. Seul le rapport des poids statistiques de deux configurations

est déterminé. Un échantillonnage indépendant des configurations est impossible. La

méthode d’échantillonnage des configurations repose sur une chaîne de Markov.

Une chaîne de Markov est une séquence de vecteurs aléatoires ...,Xf^,...,

représentant l’état du système aux divers instants, telle que les transitions X^^

sont statistiquement indépendantes et indépendantes de t.

Pour simplifier les notations, repérons les états du système par z = 1,2,... et considérons

que l’ensemble des états du système £ = (z, z = 1,2,...} est discret. Une chaîne

de Markov est spécifiée par la matrice de probabilité de transition, P = {pij,i,j G

£} avec pij = P = j \ Xf^ = z). Pij représente la probabilité que le système se

trouve dans l’état j à l’instant t + 1, étant donné qu’il est dans l’état z à l’instant t

{Pij > O.Vzj et ZjPij = l,Vz).

Une chaîne est irréductible (ergodique) s’il est possible, à partir de chaque état, de

visiter n’importe quel autre état. Une chaîne est apériodique si l’ensemble des états ne

peut être partitionné en sous-ensembles d’états visités cycliquement par le système. Enfin,

une distribution d’états tTj, j G £ est dite stationnaire ou d'équilibre pour la chaîne de

Markov si :

= 7r„Vz (6.6)

S’il existe une distribution ttj satisfaisant à (6.6), alors, quel que soit l’état initial, une

chaîne irréductible et apériodique visitera l’espace des états avec une distribution de

probabilité asymptotique itj, j G £.

La méthode consiste à définir une chaîne de Markov irréductible et stationnaire

admettant la distribution d’équilibre souhaitée. La condition de stationnarité (6.6) ne

dépend que des rapports T^j/iTi, et est donc indépendante du facteur de normalisation de

la distribution. Cette caractéristique permet de lever la difficulté mentionnée ci-dessus.

L’irréductibilité d’une chaîne de Markov est difficile à montrer formellement et est souvent

heuristiquement admise.

La stationnarité est souvent introduite en remplaçant la condition nécessaire et suffisante

(6.6) par la condition suffisante dite de réversibilité ou encore balance détaillée” :

TTi Pij = TXj pji, V i, j (6.7)

La mise en oeuvre de l’algorithme se fait en deux étapes.

Dans un premier temps, étant donné que le système est dans un état i à l’instant t, on

propose une transition. Soit la probabilité de proposer la transition i j. La matrice

{Çtj) h 3 ^ est appelée matrice de proposition.

Dans un deuxième temps, cette transition est acceptée ou rejetée avec des probabilités

respectives üij et 1 — a^. Ojj est déterminée de manière à satisfaire la condition de

stationnarité (6.7) :

^ ^ (6.8)

La solution proposée par Metropolis (1953) est la suivante :

üij = min(l, ^^i^) (6.9)

On observe que les probabilités d’acceptation ne dépendent de tTj et tTj que par le rapport

nj ■

On peut construire autant de variantes de l’algorithme qu’il n’y a de matrices de

proposition.

Pour l’ensemble canonique, l’échantillonnage de l’espace des configurations spatiales

est facilement implémenté. Un état A est caractérisé par l’ensemble des vecteurs position

de toutes les particules ;

A = {fi,f2,...,f„,...,f^}

Considérons B l’ensemble des états obtenus à partir de .4 en déplaçant la particule m.

S = {n, ^2, • • •, r'm, • • ■, r/v; r’m e L'}

Pratiquement, un état B e B est généré aléatoirement en déplaçant la particule de à

r'rn ~ "b (^1) ^2) ^s) Ç (6.10)

OÙ Si-.s-iiSa sont des nombres aléatoires distribués uniformément sur [—0.5,0.5], et ^ un

paramètre ajustable.

La transition est acceptée avec une probabilité üab = mm(l, exp(—/?(17a — Ua))) où

Ua, Ub sont les énergies des états A et B respectivement.

On peut montrer aisément que la condition de stationnarité (6.6) est satisfaite. En effet,

la matrice de proposition correspondant au déplacement de la particule m est donnée par :

Q(m) ^

avec

^ sijeB avec maXa.=1,2,3(kam - ^

0 sinon

(6.U)

(6.12)

(6.13)

Le déplacement de la particule m est obtenu en générant aléatoirement et uniformément

un point dans un cube de volume centré en fm- La probabilité que la particule se

retrouve dans un volume infinitésimal dV centré autour de r'm est égale à Tout autre

état est inaccessible à partir de >1. La matrice de transition sera donnée par :

p(m)

avec

I «À”*®''! si J # /I

[ Ew/t- “Ji) + <Ia'Aaa sij=A

(6.14)

(6.15)

(6.16)

On répète séquentiellement ces opérations pour les particules 1,2, ... N. La matrice de

transition correspondant à ces N transitions successives est simplement donnée par :

P = pW . p(2) . Il n’est pas difficile de montrer que cette matrice vérifie la

condition (6.6). La chaîne de Markov ainsi générée visitera l'espace des états avec des

probabilités données par la distribution canonique : tt/ oc exp( —/?C//).

D’un point de vue statistique, les méthodes Monte Carlo fournissent des résultats

asymptotiquement corrects. Pour des raisons d’économie, les simulations sont limitées

à quelques millions de configurations. Les résultats présentent d’inévitables erreurs

statistiques. Dans le cas d’un échantillonnage indépendant de l’espace des phases, le

théorème limite centrale garantit que l’erreur d’échantillonnage décroît en L’erreur

standard A<^> sur la moyenne d’ensemble de A peut être estimée par :

Dans le cas de la simulation d’une chaîne de Markov, le problème de l’estimation

de la moyenne d’équilibre et de l’erreur d’échantillonnage est plus complexe. Un

premier problème est lié à la convergence de la chaîne de Markov vers la distribution

stationnaire. Un second résulte de la corrélation des configurations successives. On

tient compte du premier en observant l’équilibration de la chaîne et en déterminant

le moment de l’instauration d’un régime stationnaire : les premières configurations

correspondant au régime transitoire sont abandonnées dans le calcul des moyennes.

Le second, l’autocorrélation des configurations, complique sensiblement l’estimation des

erreurs statistiques sur les moyennes et nécessite en principe une analyse dynamique

des résultats. La présence de corrélations dans l’échantillonnage réduit le nombre

des configurations ” utiles” dans le Monte Carlo. Grossièrement, l’erreur statistique se

comporte cette fois comme , ^ en définissant Tcorr comme le temps de décorrélation

^ n/Tcorr

des configurations. L’estimation précise est impossible. On peut toutefois obtenir une

borne inférieure en déterminant la portée des fonctions d’autocorrélation temporelle des

grandeurs thermodynamiques calculées dans la simulation (Sokal, 1989).

En pratique, on évite ces difficultés en subdivisant la chaîne de Markov en sous-

blocs Bi, B2,... T Bj, suffisamment longs pour être considérés comme indépendants

(couvrant des périodes plus longues que Tcorr)- Les moyennes pour chacun de ces

blocs < A >Bi,< ^ ^ >Bj sont indépendantes et une estimation classique de

l’erreur A</i> est donnée par :

" J(j~l) S(< ^ >S; - < ^ (6-18)

où :

1

< A >MC= 7 ^ < "4 >Bj (6.19)

'J j=i

No documento Diálogos absurdos : o silêncio traduzido em gritos pelos monstros de Samuel Beckett (páginas 109-129)